Tarefa 06 Todos Subconjuntos Disciplina: Estatística Básica para Bioinformática Discentes: Diego M Salvanha, Madeleine Ernst Enunciado da tarefa: Dado que o número de subconjuntos que podem ser feitos de um conjunto com N elementos é 2 n, mostrar que é 2 n de fato usando: Princípio da Indução (i) e Teorema da expansão Binomial (ii); Comentando/Comparando cada uma delas em termos da dificuldade, pré- requisitos, etc. e tal. Análise crítica das duas formas de chegar nesse maravilhoso resultado. (i) Resolução com o Princípio da Indução Matemática. A Indução Matemática é um método de prova matemática usado para demonstrar a verdade de um número infinito de proposições[1]. A forma mais simples e mais comum de indução matemática prova que um enunciado vale para todos os números naturais n e consiste de dois principais passos: A. A base: mostrar que o enunciado vale para n = 1; B. O passo indutivo: mostrar que, se o enunciado vale para n = k, então o mesmo enunciado vale para n = k + 1; Esse método funciona provando que o enunciado é verdadeiro para um valor inicial, e então provando que o processo usado para ir de um valor para o próximo é valido. Se ambas as coisas são provadas, então qualquer valor pode ser obtido através da repetição desse processo. Para a resolução deste exercício por (i), devemos considerar: O numero possível de subconjuntos com n elementos foi apresentado como sendo 2 n. { a 1, a 2, a 3 a n } conjuntos = 2 n subconjuntos Em primeiro momento, vamos testar a formula dada para verificar se realmente bate com o resultado esperado: n = 2 {a 1, a 2 } = {a 1, a 2, a 1 a 2, Ø} = 4 conjuntos = 2 2 subconjuntos A formula é verdadeira para n = 2.
n = 3 {a 1, a 2, a 3 } = {a 1, a 2, a 3, a 1 a 2, a 1 a 3, a 2 a 3, a 1 a 2 a 3, Ø} = 8 conjuntos = 2 3 subconjuntos A formula é verdadeira para n = 3. O princípio da indução matemática, que é afirmado sobre cada número natural, diz que se: 1) Para o caso base n=2 é verdadeiro (já provamos acima); 2) A afirmação é verdadeira para o numero natural n = k, então também deve ser verdadeiro para seu sucessor n = k + 1; O caso 2. apresentado acima é então conhecido como hipótese de indução. Vamos então provar utilizando o teorema de indução assumindo que a hipótese de indução (n=k) é verdadeira. n = k é dado como verdadeira { a 1, a 2, a 3 a k } conjuntos = 2 k subconjuntos Assumindo n = k como verdadeiro, devemos conseguir provar que a formula também é verdadeira para o seu sucessor (n = k + 1), então teremos: { a 1, a 2, a 3 a k+1 } Conjuntos = 2 k+1 Subconjuntos Para fazer isso, adicionaremos (k+1) a nossa hipótese de indução: { a 1, a 2, a 3 a k, a k+1 } conjunto = 2 k 2 subconjuntos (1) Para n = 2 Foi multiplicado por 2 (na esquerda) para que o novo elemento a k+1 seja adicionado e forme um novo elemento a cada elemento já existente e contido em 2 k. Devemos lembrar que o mesmo não forma um novo elemento com Ø. {a 1, a 2 } = {a 1, a 2, a 1 a 2, Ø} = 4 conjuntos = 2 2 subconjuntos n+1 = 3 {a 1, a 2, a 3 } = {a 1, a 2, a 3, a 1 a 2, a 1 a 3, a 2 a 3, a 1 a 2 a 3, Ø} = 8 conjuntos = 2 2 2 subconjuntos
Reescrevendo a formula (1) obteremos: { a 1, a 2, a 3 a k, a k+1 } conjuntos = 2 k 2 subconjuntos = 2 k 2 1 subconjuntos = 2 k+1 provando assim que a formula também é verdadeira para n = k+1; (ii) Resolução com o Teorema Binomial. Em matemática, binômio de Newton permite escrever na forma canônica o polinómio correspondente à potência de um binômio. O nome é dado em homenagem ao físico e matemático Isaac Newton. Entretanto deve- se salientar que o Binômio de Newton não foi o objeto de estudos de Isaac Newton. Na verdade o que Newton estudou foram regras que valem para (a + b)n quando o expoente n é fracionário ou inteiro negativo, o que leva ao estudo de séries infinitas.[2] x + y = x + 2xy + y O teorema binomial é representado como: x + y = n k x y Os coeficientes definidos como: são chamados coeficientes binomiais e são n k = n k n k IMPORTANTE: Devemos lembrar que: O coeficiente binomial corresponde, em análise combinatória, ao número combinações de n elementos agrupados k a k. Para provarmos que 2 k é verdade, utilizando o Teorema Binomial, podemos aplicar a formula acima e verificar o resultado: 2 = 1 + 1 = 1 1 (2)
Se olharmos somente para a parte da equação (1 n- k 1 k ) veremos que a mesma vai sumir, pois: Para n = 1 e k=0 ; (1 n- k 1 k ) = (1 1-0 1 0 ) = (1 1 1) = 1 Para n = 1 e k=1 ; (1 n- k 1 k ) = (1 1-1 1 1 ) = (1 1 1 ) = 1 Para n = 1 e k=2 ; (1 n- k 1 k ) = (1 1-2 1 2 ) = (1 1 1 2 ) = 1 Para n = 1 e k=3 ; (1 n- k 1 k ) = (1 1-3 1 3 ) = (1 2 1 3 ) = 1 Com isso, vemos que independente do numero atribuído ao k (durante a somatória) para (x = 1 e y = 1) o resultado será sempre igual a 1 pois 1 elevado a qualquer número é sempre ele mesmo, ou seja, a mesma formula (2) pode ser simplificada para o nosso caso como: 2 = 1 + 1 = n k Para provar essa aplicação da formula Binomial, algumas soluções/simulações foram feitas utilizando a poderosa linguagem estatística de programação R. ## Código1 em R para verificar um único caso onde n = qualquer número natural (formula binomial completa) a=1; b=1; n=2; result=0; for (i in 0:n) { result = result + ( factorial(n)/((factorial(i))*(factorial(n-i))) ) * ( ( (a^(n-i)) ) * (b^i) ) } print(result) 2^n result == 2^n
## Código2 em R para verificar um único caso onde n = qualquer número natural (formula binomial simplificada) a=1; b=1; n=2; result=0; for (i in 0:n) { result = result + ( factorial(n)/((factorial(i))*(factorial(n-i))) ) } print(result) 2^n result == 2^n Foi desenvolvido uma simulação para verificar se realmente bate para vários casos (o que deve ocorrer sempre). #simula para n=# + n=#+1... a=1; b=1; n=0; result=0; walk = 10; vt = 0*(1:walk) for (j in 0:walk){ for (i in 0:n) { result = result + ( factorial(n)/((factorial(i))*(factorial(n-i))) ) * ( ( (a^(n-i)) ) * (b^i) ) } print(result) print(2^n) print(result == 2^n) vt[j] = (result == 2^n) result = 0; ##limpa var n = n+1; #n++ } #end j if ( (sum(vt == FALSE)) ==0 ){ print("todos resultados bateram ") } else {print("errado")}
1. GERSTING, Judith L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. LTC 3º ed. 2. GARBI, Gilberto G. O Romance das Equações Algébricas. Editora Livraria da Física. São Paulo, 2007.