QUALIFICANDO O ENSINO DE TRIGONOMETRIA COM O USO DE SMARTPHONES RESUMO Daniel Ânderson Müller 1 UFRGS danielmuller@live.com Este texto é um relato de experiência a respeito de uma estratégia para o uso de smartphones visando qualificar o ensino de trigonometria em um 9º Ano do Ensino Fundamental. A metodologia prevê uma atividade prática para cálculo de alturas de prédios, árvores, postes e outros elementos, através do ângulo sob o qual topo destes elementos é visualizado. Para tanto, são utilizados telefones celulares equipados com o sistema operacional Android e um aplicativo denominado Smart Protractor. Medido o ângulo de visualização, as alturas dos elementos são calculadas através da trigonometria. A atividade evoluiu para a construção de maquetes apresentadas em aula. Relatos dos alunos dão confiança para afirmar que se trata de uma abordagem muito significativa de ensino-aprendizagem em Matemática. Palavras-chave: Matemática; Ângulos; Trigonometria; Smartphones. 1. INTRODUÇÃO Muitos são os esforços que tenho empreendido para elaborar abordagens significativas dos conteúdos trabalhados em Matemática no ensino básico. Fazer com que os alunos se envolvam num projeto que lhes seja interessante certamente contribui para que eles construam o conhecimento e o levem por toda a vida. Nos tempos atuais, os adolescentes recebem uma elevada gama de estímulos de toda a sorte que, se forem mal administrados, podem prejudicar o aprendizado. É o caso da telefonia móvel (telefones celulares e smartphones), da televisão, da internet em banda larga, das redes sociais, etc. Como professor, buscava planejar uma estratégia que unisse o útil ao agradável: usar tecnologias presentes no cotidiano do aluno para trabalhar tópicos das aulas de Matemática. Sendo mais específico, a ideia era fazer com que os alunos utilizassem algum de seus inseparáveis aparelhos eletrônicos numa atividade de Matemática. Devo lembrar que no Rio Grande do Sul, desde 2008, uma lei proíbe o uso de telefones celulares em sala de aula. Tal medida transforma em lei um caso particular de uma prerrogativa do professor e da escola, que é a administração das relações e acontecimentos 1 Professor de Matemática. Mestrando do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Sul UFRGS. E-mail: danielmuller@live.com 1
dentro do contexto da sala de aula. À época da lei, os aparelhos de telefonia celular incorporavam também recursos de câmeras fotográficas e reprodução de músicas. De fato, o uso destes recursos sem a anuência do professor atrapalha o bom andamento de uma aula por tirar a atenção dos alunos, já tão difícil de conseguir. Ocorre que os aparelhos disponíveis atualmente (os chamados smartphones) possuem uma imensa gama de recursos e aplicativos que podem muito bem servir ao aprendizado dos alunos. Refiro-me aqui aos recursos computacionais presentes nos aparelhos, e não à telefonia celular propriamente dita, alvo de proibição pela referida lei. Este trabalho apresenta um relato de experiência em que telefones celulares foram utilizados para qualificar o aprendizado de uma turma de 9º Ano do Ensino Fundamental, numa escola privada do interior do Rio Grande do Sul, no que se refere à trigonometria no triângulo retângulo. Num primeiro momento, é descrito o aplicativo usado na atividade. Em seguida, os encaminhamentos feitos na atividade em si. Ao final, são apresentadas algumas considerações acerca dos ganhos pedagógicos obtidos nesta experiência. 2. UM RECURSO INTELIGENTE Por algum tempo, pesquisei aplicativos relacionados à Matemática para uso em smartphones e encontrei vários muito interessantes, desde softwares que geram gráficos de funções, passando por calculadoras científicas e financeiras, além de aplicativos de geometria e álgebra que existem em profusão. Chamou minha atenção especialmente a existência de um aplicativo para smartphones chamado Smart Protractor 2 (transferidor inteligente, em tradução livre). Este aplicativo pode ser instalado em smartphones equipados com sistema operacional Android 3 e é obtido gratuitamente na loja Google Play através do próprio aparelho. O aplicativo é gratuito, mas pode também ser adquirido como parte de um pacote de ferramentas pagas denominado Smart Tools, também disponível na loja Google Play, mediante pagamento com cartão de crédito. Nesta atividade, foi usada a versão gratuita do aplicativo. 2 Endereço para download: https://play.google.com/store/apps/details?id=kr.sira.protractor 3 Marca registrada de Google Inc. 2
Figura 1: Aplicativo Smart Protractor em funcionamento Fonte: Google Play Store Sua configuração e utilização são extremamente simples. Basta fazer uma busca na loja Google Play e solicitar a instalação do aplicativo. O sistema operacional do aparelho fará o download e a instalação de maneira automática. Uma vez instalado, o aplicativo já estará pronto para uso. Ao abrir o aplicativo, aparece um semicírculo graduado com as medidas dos ângulos. Sobre o semicírculo há a figura de um prumo, pêndulo que fica sempre em posição vertical independente da posição do aparelho (Figura 1). Isto é possível porque o aplicativo explora os sensores de gravidade e posição do smartphone. Ao inclinar o aparelho, visualiza-se instantaneamente o ângulo de inclinação na tela. É possível travar a marcação apenas tocando o dedo na tela. Um exemplo das possibilidades do aplicativo é a medida do ângulo de visada pelo qual é visualizado o topo de um prédio, por exemplo. Para obter a medida deste ângulo, usamos a borda lateral do smartphone como uma espécie de mira para visualizar o topo do elemento desejado. Para melhor precisão, é preferível que o aparelho tenha bordas laterais retilíneas. Uma vez visualizado o topo adequadamente, toca-se e mantém-se o dedo em contato com a tela, travando a posição do prumo, de modo que seja possível virar o aparelho e observar na tela a medida angular obtida e apresentada tanto pela posição do prumo, quanto um indicador digital no meio da tela. 3
Outra possibilidade do aplicativo é simplesmente posicionar a lateral retilínea do aparelho sobre uma superfície inclinada, obtendo assim o ângulo de inclinação. Rapidamente, a praticidade deste aplicativo foi adaptada às minhas aulas de trigonometria do 9º Ano do Ensino Fundamental. A ideia era resolver na prática os clássicos problemas de cálculo de alturas inacessíveis, como alturas de prédios, árvores, postes e outras coisas com base no ângulo pelo qual se visualiza o topo do item a ser medido. 3. DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE Os conceitos de razões trigonométricas no triângulo retângulo são trabalhados previamente, seguindo os exemplos encontrados nos livros didáticos. Uma estratégia comum das questões encontradas nos livros é o cálculo de um lado do triângulo retângulo com base em um lado conhecido e um ângulo interno. Para tornar as questões mais interessantes, os livros apresentam situações possíveis de serem vivenciadas num determinado contexto da realidade. Por exemplo, o volume relativo ao 9º Ano do Ensino Fundamental da Coleção Teláris - Matemática, de Luiz Roberto Dante (2012, p. 252), apresenta a seguinte questão: Para determinar a altura de uma torre, um topógrafo colocou o teodolito (aparelho de medir ângulos) a 100 m da base e obteve um ângulo de 30, conforme mostra a figura. Sabendo que a luneta do teodolito estava a 1,70 m do solo, qual era aproximadamente a altura da torre? Figura 2: Ilustração da questão Fonte: Dante (2012) 4
A resolução da questão é relativamente simples, bastando usar as noções de trigonometria no triângulo retângulo, mais especificamente a tangente de um ângulo. Antes da resolução propriamente dita, sugiro representar a situação através de um triângulo retângulo para limpar o desenho e facilitar a resolução. Figura 3: Interpretação da questão Fonte: Ilustração do autor. A medida a ser calculada é o comprimento do cateto oposto ao ângulo de 30 e foi identificada pela incógnita. Para calcular a medida aproximada de, usaremos a definição de tangente no triângulo retângulo, que é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente: m Finalizando a questão, é preciso observar que a medida não é a altura da torre. É necessário somar a medida calculada à altura da luneta do teodolito em relação ao solo informada no enunciado da questão (1,70m). Feito isso, obtemos a altura aproximada da torre, que é de 59,4 metros. 5
Outros problemas semelhantes são apresentados aos alunos para que eles compreendam bem o procedimento. Até aí, nada de inovador. Apenas uma sucessão de exemplos e exercícios que visam à compreensão dos conceitos de trigonometria por meio da resolução de problemas. Retomo a ideia original de usar uma abordagem significativa e envolver o grupo de alunos numa atividade interessante e desafiadora. Lanço algumas perguntas para instigar a turma. Que tal sairmos da sala de aula para calcular uma medida real? Que tal medir a altura da escola? A resposta dos estudantes é sempre categórica: Sim! Utilizo como inspiração uma atividade proposta por Ledur, Enriconi e Seibert (2003, p. 21-22), em que é proposta a construção de um instrumento artesanal denominado quadrante, semelhante ao teodolito, que é usado na medida de ângulos na vertical. Os relatos e instruções abaixo são adaptações do modelo proposto pelas autoras, mas substituindo o quadrante pelos smartphones equipados com o aplicativo Smart Protractor. Então vamos ao pátio da escola. Reunidos em grupos de até quatro integrantes, os alunos escolhem uma região horizontal, tomam determinada distância do prédio da escola e apontam seus smartphones para o topo de uma das paredes externas. Enquanto um dos alunos faz a medição por meio do aplicativo, os demais fazem os registros. Anotados os valores encontrados, passam para o cálculo da altura do prédio. É importante que, além de medir a distância horizontal em relação ao prédio e o ângulo sob o qual é visualizado o topo, os alunos meçam também a altura de seus olhos em relação ao solo, para que esta seja somada à altura calculada. Feitas as primeiras considerações acerca da atividade, trago como exemplo uma das situações que foi resolvida pelo grupo de alunos: um aluno, posicionado a 5 metros de distância horizontal em relação ao prédio da escola, observou o topo do prédio a um ângulo de 52,4, conforme leitura 4 no aplicativo Smart Protractor de seu smartphone. Sabendo que a altura dos olhos do aluno em relação ao solo era de 1,51 m, o objetivo era calcular a altura aproximada do prédio da escola. Para ilustrar a situação, recorro novamente a um desenho: 4 É importante ressaltar que o aplicativo apresenta a leitura dos ângulos no sistema decimal, com uma casa de precisão, e não no sistema sexagesimal como é formalmente correto. Contudo, para cálculos trigonométricos através com uso de calculadoras científicas, o uso do sistema de numeração decimal na medida de ângulos tornase prático. 6
Figura 4: Interpretação da situação problema Fonte: Ilustração do autor. Passamos, em seguida, à resolução com base na definição da tangente no triângulo retângulo, pela qual a tangente resulta da razão da medida do cateto oposto ( ) pelo cateto adjacente (5 m) ao ângulo. m Somando-se a medida encontrada à altura dos olhos do aluno, temos que a altura aproximada do prédio da escola é metros. Os demais alunos também calcularam a altura do referido prédio, variando também a distância horizontal em relação à base do prédio. Alguns alunos tiveram dificuldade nos cálculos e foram auxiliados pelos demais colegas. Os resultados próximos de 8 metros levaram o grupo a presumir que a altura do prédio da escola de fato deveria ser esta, o que veio a ser confirmado posteriormente, após uma consulta ao diretor. Esta atividade evoluiu para a construção de maquetes de prédios importantes da cidade, usando o aplicativo Smart Protractor para calcular as alturas, bem como a câmera fotográfica dos smartphones para observar detalhes importantes a serem incorporados ao trabalho. 7
As maquetes produzidas com diferentes materiais foram inicialmente apresentadas à turma e posteriormente expostas no saguão da escola para serem apreciadas pelos alunos das demais turmas e outros visitantes. 4. CONSIDERAÇÕES FINAIS A construção de conceitos por meio de estratégias inovadoras sempre foi e sempre será um desafio para os professores de qualquer área de conhecimento. Entendo que desafiar os alunos a resolverem situações diferentes das que são apresentadas em livros didáticos torna o aprendizado significativo. A atividade descrita neste texto visava aproveitar elementos de forte presença no cotidiano dos alunos (caso dos smartphones) e utilizá-los como aliados na resolução de situações desafiadoras. O interesse dos alunos durante a realização da atividade e seus relatos ao final dela dão conta de que este objetivo principal foi atingido. Em tese, a situação proposta é semelhante aos exemplos apresentados nos livros didáticos, como na questão resolvida neste texto. Porém, a simples resolução de questão que simula uma situação possível é muito distante da modelagem de uma situação real, com todas as variáveis que uma situação real acaba por acrescentar. Assim, a atividade aqui relatada enriqueceu sobremaneira o aprendizado dos alunos, na medida em que diversos novos aspectos tiveram que ser considerados. Primeiro, a atividade levava os alunos para fora da sala de aula, proporcionando que eles vivenciassem na prática a aplicação de um conteúdo estudado. Medições e registros corretos, organização e cuidados técnicos tiveram que ser observados. Os dados não estavam todos prontos como costumeiramente são apresentados nos livros didáticos e mesmo nas questões elaboradas pelo professor. Só este fato já tornaria a experiência marcante pela quebra da rotina da sala de aula. Outro fator enriquecedor está relacionado à utilização de uma tecnologia que permite maior precisão. Isto porque as medições dos ângulos realizadas com o aplicativo apresentaram leituras com medidas diferentes dos tradicionais 30, 45 e 60 que tanto são utilizados nos exercícios (inclusive no exemplo que ilustra este trabalho). Em alguns casos, sequer foram 8
obtidos ângulos com medidas inteiras, cujos senos, cossenos e tangentes aparecem em tabelas dos livros didáticos. Para dar conta destas medidas diferentes, os alunos utilizam calculadoras científicas, constituindo um terceiro aspecto que qualifica o aprendizado: o cuidado com os eventuais arredondamentos dos valores calculados. Em comparação com a atividade semelhante baseada no instrumento de medida de ângulos chamado de quadrante e que me serviu de inspiração, vejo vantagens na estratégia aqui apresentada. Já realizei a mencionada atividade com o quadrante em pelo menos três oportunidades anteriores e posso dizer que se fazem necessários pelo menos dois períodos de aula para a construção do instrumento. Na atividade proposta neste trabalho, com o uso dos smartphones, o tempo de preparação consiste apenas na instalação do aplicativo Smart Protractor. Com isso, há um ganho evidente no tempo de realização da tarefa, podendo-se detalhar melhor os passos necessários. Além disso, as medidas obtidas no aplicativo são mais precisas e de leitura mais simples do que no instrumento artesanal quadrante, o que configura outro ganho de qualidade na tarefa. Espero que esta atividade simples possa servir como sugestão para enriquecer e qualificar as aulas de meus colegas que, assim como eu, enfrentam todo dia a necessidade de apresentar a Matemática de forma marcante e significativa. E é importante agradecer aos meus alunos que contribuíram de maneira tão positiva para a realização desta atividade. REFERÊNCIAS: DANTE, Luiz Roberto. Projeto Teláris: Matemática. v. 4. São Paulo: Ática, 2012. LEDUR, B. S.; ENRICONI, M. H. S.; SEIBERT, T. E. A trigonometria por meio da construção de conceitos. São Leopoldo: Unisinos, 2003. RIO GRANDE DO SUL. Lei 12.884, de 3 de janeiro de 2008. Dispõe sobre a utilização de aparelhos de telefonia celular nos estabelecimentos de ensino do Estado do Rio Grande do Sul. Disponível em: <http://www.mprs.mp.br/infancia/legislacao/id3839.htm>. Acesso em: 20 mai. 2014. 9