Åaxwell Mariano de Barros

ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÓÅ Ö Ò Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÒØÖÓ Ò Ü Ø Ì ÒÓÐÓ ÆÓØ ÙÐ ¹¼ ÐÙÐÓÎ ØÓÖ Ð ÓÑ ØÖ Ò Ð Ø Åaxwell Mariano de Barros ¾¼½½ ËÓÄÙ ¹ÅA

ËÙÑ Ö Ó 1 Vetores no Espaço 2 1.1 Bases......................................... 2 1.1.1 Exercícios.................................. 7 1.2 Produto Escalar................................... 8 1.2.1 Exercícios.................................. 12 Referências Bibliográficas 14

Ë Ç½º½ ÐÙÐÓÎ ØÓÖ Ð ÓÑ ØÖ Ò Ð Ø ÆÇÌ Ë ÍÄ ¹¼ Î ØÓÖ ÒÓ Ô Ó O que estudamos sobre os vetores, até momento, nos dão informações puramente geométrica sobre os mesmos. Nosso objetivo agora, é o de fazer esses estudo, associando vetores e números reais, os quais chamaremos de coordenadas do vetor. Como anteriormente, denotaremos por V 3 o conjunto de todos os vetores no espaço munido das operações estudadas nas seções anteriores. Chamaremos de uma base ordenada de V 3 a todo conjunto de vetores ordenado LI, com tres elementos. Assim sendo, se três vetores formam uma base de V 3, os mesmo não possuem representantes em um mesmo plano. O primeiro resultado importante sobre base dev 3 é seguinte: Proposição 1.1.1. Se { u 1, u 2, u 3 } é uma base de V 3, então qualquer vetor v V 3 é uma combinação linear de u 1, u 2 e u 3, isto é, existe números reais a 1, a 2 e a 3 tais que v = a z u 1 + a 2 u 2 +a 3 u 3. Demonstração. Dado um pontop, escolhemos pontosa,b,c ed tais que u 1 = PA, u 2 = PB, u 3 = PC e v = PD.

Vetores no Espaço 3 C D P 4 B P 2 P 1 P A P 3 Como u 1, u 2 e u 3 são LI, os seguimentos orientados [P,A], [P,B] e [P,C] não estão em um mesmo plano. Logo, a reta paralela a [P,C] que passa pelo ponto D determina um ponto P 1 no plano que contém os pontos P,A, e B. Pelo mesmo motivo, as retas que passa por P 1 paralelas a [P,A] e a [P,B] determinam, respectivamente, os pontos P 2 e P 3 nas retas que contém os segmentos [P,B] e[p,a]. O plano que passa pelo pontode é paralelo ao plano que contém os pontosp,aeb, determina na reta que contém o segmento [P,C] um ponto P 4 (ver figura acima). Como [P,A] e [P,P 3 ] são paralelos, podemos escrever PP 3 = a 1PA = a1 u 1. Como [P,B] e [P,P 2 ] são parelelos, existe um número real a 2 tal que PP 2 = a 2 PB = a2 u 2. De maneira análoga, existe a 3 tal que PP 4 =a 3 PC = a3 u 3. Logo, v = PD = PP3 + PP 2 + PP 4 =a 1 u 1 +a 2 u 2 +a 1 u 3. A proposição 1.1.1 nos garante que, se B = { u 1, u 2, u 3 } é uma base ordenada dev 3 e se v é um vetor, existem números reaisa 1, a 2 ea 3 tais que v = a1 u 1 +a 2 u 2 +a 3 u 3. O seguinte resultado, mostrar que esses números são unicamente determinados. Proposição 1.1.2. Sejam X = { u 1, u 2, u 3 } uma base dev 3 e v um vetor. Se v = a1 u 1 +a 2 u 2 +a 3 u 3 e v = b1 u 1 +b 2 u 2 +b 3 u 3, entãoa 1 = b 1, a 2 = b 2 e a 3 = b 3.

Vetores no Espaço 4 Demonstração. Como v = a 1 u 1 +a 2 u 2 +a 3 u 3 e v = b 1 u 1 +b 2 u 2 +b 3 u 3, temos que a 1 u 1 +a 2 u 2 +a 3 u 3 =b 1 u 1 +b 2 u 2 +b 3 u 3, e portanto, (a 1 b 1 ) u 1 +(a 2 b 2 ) u 2 +(a 3 b 3 ) u 3 = 0. Assim, como X é LI, segue da proposição?? que a 1 b 1 = 0, a 2 b 2 = 0 e a 3 b 3 0, ou seja, a 1 = b 1, a 2 = b 2 e a 3 = b 3. Em resumo, temos que, dado uma base B = { u 1, u 2, u 3 } de V 3, se v é um vetor, então existem e são unicos, números reais a 1, a 2 e a 3 tais que v = a 1 u 1 +a 2 u 2 + a 3 u 3. Tais números são chamados de coordenadas do vetor v na base B e será indicado por (a 1,a 2,a 3 ) B. Logo, dizer que um vetor v tem coordenadas (a 1,a 2,a 3 ) na base B = { u 1, u 2, u 3 }, significa dizer que v = a 1 u 1 +a 2 u 2 +a 3 u 3. Logo, conhecendo a base, podemos identificar o vetor v com suas coordenadas, o que nos permite usar a notação v = (a 1,a 2,a 3 ) B. É importante observar que as coordenadas de um vetor depende da escolha da base. Além disso, como uma base é um conjunto ordenado, a ordem na qual os números a 1, a 2 e a 3 aparecem na tripla (a 1,a 2,a 3 ) B é muito importante. Por exemplo, se a 1 a 2, as triplas(a 1,a 2,a 3 ) B e (a 2,a 1,a 3 ) B estão associadas a vetores diferentes. Usando as propriedades de soma de vetores e de produto de números reais por vetores, é facil verificar que são verdadeiras as seguintes igualdades: 1. (a 1,a 2,a 3 ) B +(b 1,b 2,b 3 ) B = (a 1 +b 1,a 2 +b 2,a 3 +b 3 ) B. 2. α(a 1,a 2,a 3 ) B = (αa 1,αa 2,αa 3 ) B, qualquer que seja o número real α. Proposição 1.1.3. Dois vetores u = (a 1,a 2,a 3 ) B e v = (b 1,b 2,b 3 ) B não nulos são LD se, e somente se existeα Rtal que a 1 = αb 1, a 2 = αb 2 e a 3 =αb 3. Demonstração. A prova é consequência imediata do fato de que dois vetores são LD se, e somente se, são paralelos.

Vetores no Espaço 5 Usando a proposição??, temos o seguinte resultado: Corolário 1.1.1. Dois vetores u = (a 1,a 2,a 3 ) B e v = (b 1,b 2,b 3 ) B não nulos são LD se, e somente se, as matrizes a 1 a 2 b 1 b 2 possuem determinantes nulos., a 1 a 3 b 1 b 3 e a 2 a 3 b 2 b 3 Proposição 1.1.4. Três vetores u = (a 1,a 2,a 3 ) B, v = (b 1,b 2,b 3 ) B e w = (c 1,c 2,c 3 ) B são LD se, e somente se, a matriz tem determinante nulo. a 1 a 2 a 3 A= b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 Demonstração. Sabemos que tres vetores são LD se, e somente se, um deles é combinação linear dos outros. Podemos supor, sem perda de generalidade, que u é uma combinação linear dos vetores v e w. Assim sendo, existem α,β R tais que u = α v +β w. Portanto, (a 1,a 2,a 3 ) = (αb 1 +βc 1,αb 2 +βc 2,αb 3 +βc 3 ),, ou seja, a 1 = αb 1 +βc 1, a 2 = αb 2 +βc 2 e a 3 =αb 3 +βc 3. Logo a 1 a 2 a 3 αb 1 +βc 1 αb 2 +βc 2 αb 3 +βc 3 A= b 1 b 2 b 3 = b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 c 1 c 2 c 3. É facil verificar, através das operações elementares sobre as linhas de uma matriz, que a matrizaépode ser transformada em uma matrizm que tem umas das linhas nula, isto é, numa matriz não inversível. Logo, pela proposição??, A não é inversível, o portanto, deta=0. Vamos agora, introduzir o conceito de vetores ortogonais, fazendo uso do conceito geométrico de ortogonalidade entre segmentos. Dados dois vetores não nulos u e v

Vetores no Espaço 6 dizemos que u é ortogonal a v se existem representantes [A,B] e [C,D] de u e v respectivamente, que são ortogonais. O vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor. Usaremos a notação u v para indicar que u é ortogonal ao vetor v. É claro que, se u v então v u. B u v A u = AB v = CA C Como consequência do teorema de Pitágoras, temos o seguinte resultado: Proposição 1.1.5. Sejam u e v vetores não nulos. Então u e v são ortogonais se, e somente se, u + v 2 = u 2 + v 2. C v u + v B u A Uma baseb ={ u 1, u 2, u 3 } dita ser ortonormal se seus vetores são unitários e dois a dois ortogonais, isto é, B = { u 1, u 2, u 3 } é uma base ortonormal se: 1. u 1 = u 2 = u 3 = 1 e 2. u 1 u 2, u 1 u 3 e u 2 u 3 u 3 u 2 u 1 Base Ortonormal

Vetores no Espaço 7 Proposição 1.1.6. Se B = { u 1, u 2, u 3 } é uma base ortonormal e u = (a 1,a 2,a 3 ) B, então u 2 = a 2 1 +a2 2 +a2 3 Demonstração. Faremos a prova apenas para o caso em que a 1 > 0, a 2 > 0 e a 3 > 0 (ver figura abaixo). a 3 u 3 u 3 u B u 1 A u 2 a 2 u 2 D a 1 u 1 C a 1 >1, a 2 > 1, a 3 > 1 Observe que u é a hipotenusa do triângulo retângulo ACB cujos catetos são a 1 u 1 +a a u 2 e a 3 u 3. Logo, pelo teorema de Pitágoras, temos u 2 = a 1 u 1 +a 2 u 2 2 + a 3 u 3 2. (1.1.1) ComoB é ortonormal, os vetoresa 1 u 1 ea 2 u 2 são ortogonais. Portanto, pela proposição 1.1.5, temos que a 1 u 1 + a 2 u 2 2 = a 1 u 1 2 + a 2 u 2 2. Usando essa igualdade em (1.1.1) obtemos u 2 = a 1 u 1 2 + a 2 u 2 2 + a 3 u 3 2. (1.1.2) Por outro lado, para cada i {1,2,3}, a i u i = a i pois a i u i = a i u i e u i = 1 uma ½º½º½ vez B é uma base ortonormal. Assim sendo, segue de (1.1.2) que u 2 = a 1 Ü Ö Ó 2 + a 2 2 + a 3 2 =a 2 1 +a2 2 +a2 3. 1. SejaB uma base. Dados u =(1, 3,5) B e v =( 3,5 2) B encontre as coordenadas do vetor w na base B sabendo que w = 2 u 4 v.

Vetores no Espaço 8 2. Seja B uma base. Verifique se o vetor u = ( 1,3,9) B é uma combinação linear dos vetores v = (2, 1,5) B e w =( 1,1,3) B 3. Suponha que B = { u 1, u 2, u 3 } é uma base e sejam v 1 = u 1 + u 2 + u 3, v 2 = u 1 + u 2 e v 3 = u 3. Verifique se o conjunto B = { v 1, v 2, v 3 } é também uma base. 4. Suponha que B = { u 1, u 2, u 3 } é uma base e sejam v 1 = 2 u 1 u 2 + u 3, v 2 = u 2 u 3 e v 3 =3 u 3. (a) Prove que B ={ v 1, v 2, v 3 } é uma base. (b) Se u = (2, 1,1) B encontre x,y e z tais que u = (x,y,z) B. 5. Suponha queb é uma base ortonormal. Se u = (2, 1, 2) B encontre u. 6. Suponha queb é uma base ortonormal. Encontre um vetor unitário, isto é um vetor de norma 1, na mesma direção e sentido do vetor u = ( 2,0,3) B. 7. Sejam B uma base ortonormal, P o = (a,b,c) B um ponto no espaço e r um número real positivo. A esfera de raio r e centro no P o é o conjunto de todos os pontos o Ë Ç½º¾ espaço cuja a distância para o pontop o é igual ar. Mostre quep =(x,y,z) pertence a esfera de raior e centro emp ÈÖÓ ÙØÓ Ð Ö o se, e somente se (x a) 2 +(y b) 2 +(z c) 2 = r 2. Na seção anterior, definimos vetores ortogonais. Portanto, é razoável nos perguntar se podemos medir ângulos entre vetores. A resposta a essa pergunta é sim. Para isso, fazeremos uso de uma operação chamada de produto escalar. Porém, antes disso, é necessário definir ângulos entre dois vetores. Dados dois vetores u e v não-nulos e um pontop qualquer do espaço, sabemos que podemos escolher dois pontos A e B tais que u = PA e v = PB. O ângulo entre u e v é, por definição, o menor dos ângulo A PB e B PA. É claro que a medida de tal ângulo,

Vetores no Espaço 9 independe da escolha do ponto P e da escolha dos segmentos orientados [P,A] e [P,B], com origem comum, representantes de u e v, respectivamente. Note que, seθ é o ângulo entre dois vetores quaisquer, então por definição,θ é o menor entre os ângulos A PB eb PA. Portanto 0 θ π. A P u θ v B Se u e v são vetores não nulos, o ângulo entre eles será denotado por ang( u, v ). Suponha que u = PA e v = PB. Usando a lei dos cossenos no triângulo APB (ver figura abaixo), obtemos a seguinte relação: uma vez que BA= u v. u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cosθ (1.2.1) A P u θ v B Então, Suponha queb é uma base ortonormal dev 3, que u =(a 1,a 2,a 3 ) B e v =(b 1,b 2,b 3 ) B. u v 2 = (a 1 b 1 ) 2 +(a 2 b 2 ) 2 +(a 3 b 3 ) 2 = (a 2 1 +a2 2 +a2 3 )+(b2 1 +b2 2 +b2 3 )+2(a 1b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 ) = u 2 + v 2 +2(a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 ). (1.2.2) Comparando (1.2.1) com (1.2.2), obtemos a seguinte relação: u v cosθ = a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3. (1.2.3)

Vetores no Espaço 10 Observe que a relação (1.2.3) nos permite calcular o cosseno entre dois vetores não nulos através de suas coordenadas. Dados dois vetores u e v, chamamos de produto escalar de u por v ao número real, denotado por u, v, que satisfaz: 1. u, v = 0 se u = 0 ou v = 0. 2. Se u 0 e v 0, então u, v = u v cosθ, onde θ = ang( u, v ). Algumas observações: 1. Segue da definição que, se u 0 e v 0, então onde θ = ang( u, v ). cosθ = u, v u v, 2. Além disso, temos que u = u, u. De fato, se u = 0, a igualdade ocorre trivialmente. Se u 0, temos que θ = ang( u, u) = 0, ou seja, cosθ = 1. Logo, usando a definição de produto escalar teremos: u = u, u 3. Se u v, então u, v =0(ver exercício ). 4. Segue de (1.2.3) que, se B é uma base ortonormal de V 3 e se u = (a 1,a 2,a 3 ) B, v = (b 1,b 2,b 3 ) B são vetores não nulos então u, v =a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3. 5. Segue dos itens 2. e 3. que, seb = { u 1, u 2, u 3 } é uma base ortonormal então, v 1, v 1 = v 2, v 2 = v 3, v 3 =1 e v 1, v 2 = v 1, v 3 = v 2, v 3 =0. A prova da proposição abaixo será deixada como exercício. Proposição 1.2.1. Sejam u, v e w vetores. As seguintes propriedades são verdadeiras:

Vetores no Espaço 11 1. Se u 0, então u, u >0 2. u, v = v, u. 3. u, v + w = u, v + u, w. 4. α u, v =α u, v, para todo α R. Proposição 1.2.2. Dados u e v valem as seguintes propriedades: 1. u + v 2 = u 2 +2 u, v + v 2. 2. u, v u v (Desigualdade de Schawarz). 3. u + v u + v (Desigualdade Triangular). Demonstração. 1. Note que u + v = u ( v ). Logo, por (1.2.1) temos u + v 2 = u ( v ) 2 = u 2 + v 2 u, v = u 2 + v +2 u, v, uma vez que v = v e pela proposição 1.2.1 (item 4.), u, v = u, v. 2. Note primeiro que, se u = 0 ou v = 0, vale a igualdade. Se u 0 e v 0 então, por definição cosθ = u, v u v onde θ = ang( u, v ). Com0 cosθ 1, segue que ou seja, u, v u v. u, v u v 1 A desigualdade triangular é consequência dos itens 1 e 2 e a prova da mesma será deixada com exercício. Dados dois vetores u e v. Suponha que v 0. Chamamos de projeção ortogonal de u sobre v ao vetor w, que satisfaz as seguintes condições:

Vetores no Espaço 12 1. w é paralelo a v e 2. w u é ortogonal a v. Normalmente, a projeção ortogonal de u sobre v é denotada por prj v u. u e v f prj v u prj f e Segue da definição de prj v u que existe α Rtal que prj v u = α v e prj v u u, v = 0. Logo, prj v u u, v = 0 α v u, v =0 α v, v u, v =0 ou seja, Portanto, temos que α = u, v v 2. prj v u = u, v v 2 v Exemplo 1.2.1. Suponha que B = { u 1, u 2, u 3 } é uma base ortonormal. Sejam u = (5,1,2) ½º¾º½ B e v =( 2, 2,1) B. Como u, v = 10 2+2 = 10 e v 2 = 4+4+1=9, temos que prj u, v v u = v = Ü Ö Ó 10 v 2 9 ( 2, 2,1) =(20 9,20 9, 10 9 ) B. 1. Prove a proposição 1.2.1. 2. Prove a desigualdade triangular.

Vetores no Espaço 13 3. Seja B uma base. Dados u = (a1,b 1,c 1 ) B, v = (a2,b 2,c 2 ) e w = (b1 c 2 c 1,a 2 c 1 c 2 a 1 a 1 c 2 a 2 c 2 ), calcule u, w e v, w. 4. Sejam B uma base e u = (a,b,c) B um vetor unitário tal que abc 0. Encontre α sabendo que os vetores v = ( αb,αb,0) B e w = ( αac,αbc, α 1 ) B e u formam uma base ortonormal. 5. É verdade que se u 1, u 2, u 3 e u 4 são quatro vetores no espaço um deles é combinação linear dos outros três? Justifique. 6. Seja B uma base ortonormal. Determine o valor de m de modo que os vetores u = (m+1,1,3) B e v = (m 1, 1, 2) B sejam ortogonais. 7. Sejam u, v e w vetores tais queang( u, v )=30 o,ang( u, w)=45 o eang( v, w)= 90 o. Prove que B ={ u, v, w} é uma base. 8. Prove que se B = { u 1, u 2, u 2 } é uma base ortonormal e se u = (a,b,c) B então a= u, u 1, b= u, u 2 e c = u, u 3. 9. Sejam u e v. Prove que: (a) 4 u, v = u + v 2 u v 2. (b) Se u v então u + v 2 = u v 2. (c) u + v 2 + u v 2 = 2 ( u 2 + v 2). 10. SejaB={ u 1, u 2, u 3 } uma base ortonormal. Dados u =(2, 2,1) B e v =(3, 6,0) B encontre a projeção ortogonal de v sobre u. 11. Seja B = { u 1, u 2, u 3 } uma base ortonormal, u um vetor não nulo e α 0. Prove que, para qualque vetor v, vale prj u v = prj α u v

Ê Ö Ò Ð Ó Ö [1] Camargo, I. de. e Boulos, P., Geometria Analítica: um tratamento vetorial, São Paulo, Prentice Hall, 2005. [2] Lima, E.L., Coordenadas no Plano, Coleção do Professor de Matemática, Rio de Janeiro, SBM, 1992. [3] Lima, E.L., Coordenadas no Espaço, Rio de Janeiro, SBM, 1993. [4] Reis, G.L. dos. e outros, Geometria Analítica, 2.ed.,Rio de Janeiro, LTC, 1987. [5] Santos, N.M. dos., Vetores e matrizes, Rio de Janeiro, LTC,1979.