CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS No conjunto dos números naturais operações do tipo 9-5 = 4 é possível 5 5 = 0 é possível 5 7 =? não é possível e para tornar isso possível foi criado o conjunto dos números inteiros representados por Z. Z = {..., - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4,... } Imagine uma equipe de futebol que faz 5 gols e leva 3 ela ganha o jogo com saldo positivo de 2 gols indicamos por +2. Imagine agora que este mesma equipe de futebol faz 3 gols e leva 3 gols, neste caso o jogo é empate e o saldo de gols é zero, ou seja, nulo. Agora se esta equipe de futebol faz 2 gols e leva 5 gols ela perde o jogo com saldo negativo de 3gols representado por 3,é o mesmo que 2 5 = - 3. O conjunto dos números inteiros é composto por três tipos de números: Positivos ( 1, 2, 3, 4,...) Nulo ( 0 ) Negativos (..., - 4, - 3, - 2, - 1 ) Subconjuntos dos inteiros ( Z ) Observe o conjunto Z = {..., - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4,... } Subconjuntos são conjuntos com elementos que pertencem a Z. Para dar nome aos subconjuntos vamos sempre nos referir apenas a um dos nomes, positivo, negativo ou nulo. Z* o asterisco indica a ausência do zero, logo nesse conjunto vai ter dois tipos de números, positivos e negativos se tem dois tipos de números vamos dar nome usando o que não tem que é o nulo, assim. Z* é conjunto dos números inteiros não-nulos {..., - 3, - 2,- 1, 1, 2, 3,... } Z + significa que nesse conjunto terá o zero e os números positivos, veja tem dois tipos de números, então o nome é dado pelo que não tem que os negativos.assim Z + é conjunto dos números inteiros não-negativos { 0, 1, 2, 3,... } Z - significa que nesse conjunto terá o zero e os números negativos, veja tem dois tipos de números, então o nome é dado pelo que não tem que os positivos.assim
Z - é conjunto dos números inteiros não-positivos {..., - 3, - 2, - 1, 0 } Z* + significa que não tem o zero e nem número negativo, portanto nesse conjunto só tem números positivos, só tem um tipo de número, nesse caso o conjunto recebe o nome com esse tipo de número. Z* + é conjunto dos números inteiros positivos { 1, 2, 3,... } Z* - significa que não tem o zero e nem número positivo, portanto nesse conjunto só tem números negativos, só tem um tipo de número, nesse caso o conjunto recebe o nome com esse tipo de número. Z* - é conjunto dos números inteiros negativos { -1,- 2, -3,... } Podemos verificar se um elemento está ou não no conjunto através dos símbolos de pertence ( ) ou não pertence ( ). EXs: 2 Z + No conjunto Z + tem (números nulo e positivos) como 2 é positivo então. 3 Z * + no conjunto Z * + só tem número positivo, como -3 é negativo então. Podemos verificar se um conjunto está ou não dentro do outro,utilizando os símbolos de contido ( ) ou não contido ( ). EXs: { 0,1,2,3,...} Z - Note que 0 é nulo e 1,2,3 é são positivos e Z - só tem números negativos então { 0,1,2,3,...} não pode está contido no conjunto que tem números negativos. { 1, 2,3...} Z + Note que 1,2,3,... são positivos e que Z + representa números positivos como { 1, 2,3...}é conjunto positivo ele está contido em Z + que também tem números positivos. Reta numérica Podemos representar os elementos do conjunto dos números inteiros na reta numérica, marcamos o ponto de origem que é o zero para a esquerda escrevemos os números negativos e para a direita os números positivos. Observe na reta que 2 é maior que 1, o 4 é maior que 3, isso dar a você a noção de que o número maior é aquele que está a direita do outro, assim 0 é maior que -1,e 3 é maior que 4, os números negativos crescem numericamente para a esquerda em termo de valor quanto mais ele cresce menos ele vale, assim 35 é maior que 58.
Número oposto ou simétrico São números que ficam a uma mesma distância do zero na reta numérica. Ex: 1 e 1, 3 e 3, 7 e 7, 25 e 25 na prática oposto é o mesmo número com sinal contrário. Valor absoluto Valor absoluto de um número é a idéia de quantidade que ele representa,ou seja, não consideramos o sinal de + ou de -. Ex: +3 valor absoluto 3-5 valor absoluto 5 + 14 valor absoluto 14-24 valor absoluto 24 Comparação entre números inteiros A comparação de números inteiros e feita utilizando os símbolos ( menor ou igual ), ( maior ou igual ), < ( menor ) e > ( maior ). Não esqueça de que o número que está a direita do outro na reta é sempre maior. Ex: 4 > 2, - 2 > - 5, 0 < 5 Veja outras aplicações dos sinais acima. Ex: Escreva os elementos do conjunto { x z / x < 4} { x z / x < 4} Lê-se x pertence ao conjunto dos inteiros tal que x é menor que 4 Veja menor que 4 são todos os elementos que estão a esquerda de 4, assim {..., - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 } Ex: Escreva os elementos do conjunto { x z / x > 2} { x z / x > 2} Lê-se x pertence ao conjunto dos inteiros, tal que x é maior que 2
Veja maior que 2 são todos os elementos que estão a direita de -2, assim { - 1, 0, 1, 2, 3, 4,... } Ex: Escreva os elementos do conjunto { x z / x 6} { x z / x 6} Lê-se x pertence ao conjunto dos inteiros, tal que x é menor ou igual a 6 Menor ou igual a 6 são os elementos que estão a esquerda de 6 e o próprio 6, assim {..., - 10, - 9, - 8, - 7, - 6 } Ex: Escreva os elementos do conjunto { x z / x 3} { x z / x 3} Lê-se x pertence ao conjunto dos inteiros, tal que x é maior ou igual a 3 Menor ou igual a 3 são os elementos que estão a direita de 3 e o próprio 3, assim { 3, 4, 5, 6,... } Ex: Escreva os elementos do conjunto { x z / 2 < x < 6} { x z / 2 < x < 6} Lê-se x pertence ao conjunto dos inteiros, tal que x é maior que 2 e menor que 6 Maior que 2 é quem está a direita e menor que 6 é quem está a esquerda, na prática x está entre 2 e 6, assim { 3, 4, 5 } Ex: Escreva os elementos do conjunto { x z / 4 < x < 0} { x z / 4 < x < 0} Lê-se x pertence ao conjunto dos inteiros, tal que x é maior que 4 e menor que 0
Maior que 4 é quem está a direita e menor que 0 é quem está a esquerda, na prática x está entre 4 e 0, assim { - 3, - 2, - 1 } Ex: Escreva os elementos do conjunto { x z / 5 x 2} { x z / 5 x 2} Lê-se x pertence ao conjunto dos inteiros, tal que x é maior ou igual a 5 e menor ou igual a 2. Maior ou igual 5 é quem está a direita e menor ou igual - 2 é quem está a esquerda, na prática x está entre 5 e 2 incluindo também o 5 e o 2, assim { - 5, - 4, - 3, -2 } Adição e subtração Para somar ou subtrair números inteiros é necessário aprender duas regrinhas que facilitarão em muito o calculo das operações. 1 Quando dois ou mais números inteiros tem o mesmo sinal somamos e conservamos o mesmo sinal. Ex: + 2 + 3 = + 5 5 4 = - 9 + 2 + 3 + 4 = + 9 2 3 1 2 4 = 1 2 + 2 + 8 + 1 + 4 + 2 = +17 OBS: o sinal de + nos resultados não é obrigatório. Poderia ser: + 2 + 3 = 5 + 2 + 3 + 4 = 9 2 Quando dois números inteiros têm sinais diferentes subtraímos ( maior menor )valor absoluto e conservamos o sinal do número de maior valor absoluto. Ex: + 2 3 subtraímos 3 2 que dar 1 e conservamos o sinal do número de maior valor absoluto que é 3, assim + 2 3 = 1 Ex: - 5 + 3 subtraímos 5 3 que dar 2 e conservamos o sinal do número de maior valor absoluto que é 5, assim 5 + 3 = 2 Ex: + 8 3 subtraímos 8 3 que dar 5 e conservamos o sinal do número de maior valor absoluto que é 8, assim + 8 3 = 5 sinal de + no resultado não precisa colocar. Calcule o valor de 2 + 3 4 6 + 8 + 4
vamos resolver de dois em dois 2 + 3 4 6 + 8 + 4 sinal contrário, subtrair e conserva sinal do maior = +1 +1 4 6 + 8 + 4 sinal contrário, subtrair e conserva sinal do maior = - 3 3 6 + 8 + 4 mesmo sinal, soma e conserva o mesmo sinal = - 9 9 + 8 + 4 sinal contrário, subtrair e conserva sinal do maior = - 1 1 + 4 sinal contrário, subtrair e conserva sinal do maior 3 o sinal de + não precisa colocar OBS: fazer de dois em dois fica muito extenso, podemos fazer de uma forma mais prática, veja abaixo o mesmo calculo feito de maneira mais prática. Calcule o valor de 2 + 3 4 6 + 8 + 4 Pelo método prático vamos somar e conservar o sinal de todos os números positivo e somar e conservar o sinal de todos os números negativos. 2 + 3 4 6 + 8 + 4 positivos +3+8+4 = +15 e negativos 2 4 6 = 12 12 + 15 sinal contrário subtrai e conserva sinal do maior valor absoluto + 3 Calcule o valor de 6 + 4 5 6 + 2 + 1 4 + 3 6 + 4 5 6 + 2 + 1 4 + 3 positivos +4+2+1+3 = +10 e negativos 6 5 6 4 = 21 + 10 21 sinal contrário subtrai e conserva o sinal do maior valor absoluto 11 OBS: quando a expressão começar com número positivo não é necessário colocar o sinal de +, Ex: + 10 21 basta escrever 10 2 1 Adição e subtração que envolvem ( ), [ ] e { } Para resolver operações que envolvem parênteses, colchetes e chaves, devemos eliminar pela ordem ( ), [ ] e depois { }que vão está precedido de sinal mais ( + ) ou de menos ( - ) se for: Precedido de sinal mais ( + ) eliminamos o parêntese e o sinal que o precede conservando todos que estão dentro dos parentes com seus sinais. Ex: + ( 2 + 3 4 + 5 ) elimina ( ) e o + que está antes, só escrevemos o que está no ( )
2 + 3 4 + 5 Ex: + ( 5 3 5 + 6 )elimina ( ) e o + que está antes, só escrevemos o que está no ( ) 5 3 5 + 6 o sinal de + do 5 só não aparece porque ele está no inicio Ex: + ( 2 + 3 ) + ( 6 +4 ) o 6 não aparece sinal de +,quando sair do ( ) ai tem que aparecer já que antes dele vai ter o 3. 2 + 3 + 6 + 4 Precedido de sinal menos ( ) eliminamos o parêntese e o sinal que o precede trocando o sinal de todos que estão dentro dos parentes. Ex: ( 6 + 3 4 + 2 ) elimina ( ) e o que está antes, e trocamos o sinal de cada número dentro do parêntese. +6 3 + 4 2 Ex: ( 5 + 1 5 + 2 ) elimina ( ) e o que está antes, e trocamos o sinal de cada número dentro do parêntese. 5 1 + 5 2 Ex: ( 3 + 5 ) ( 8 + 4 ) elimina ( ) e o que está antes, e trocamos o sinal de cada número dentro do parêntese. 3 5 + 8 4 Calcule o valor de ( + 5 6 3 ) + ( 1 + 3 + 4 8 ) ( + 5 6 3 ) + ( 1 + 3 + 4 8 ) os números que estão dentro do 1 parêntese trocam de sinal e os que estão dentro do 2 parêntese ficam com o mesmo sinal. O sinal de menos antes do 1 parêntese e o sinal de mais antes do 2 parêntese, serão eliminados. 5 + 6 + 3 1 + 3 + 4 8 soma positivos +6+3+3+4=+16 e negativos 5 1 8= 14 +16 14 subtrai e conserva o sinal do maior valor absoluto + 2 Calcule o valor de [ 2 + ( 5 + 4 3 )] ( + 4 2 + 1 ) [ 2 + ( 5 + 4 3 )] ( + 4 2 + 1 ) elimina os parêntese e os sinais que estão antes [ 2 5 + 4 3 ] 4 + 2 1 não tem sinal antes do colchete é porque é de + 2 5 + 4 3 4 + 2 1 soma os positivos +4+2=+6 e os negativos 2 5 3 4 1= 15 +6 15 subtrai e conserva o sinal do maior valor absoluto 9
Calcule o valor de 6+ { 5 + 2 [ 4 + 5 +2 + ( 1 + 2 4 )+ 2] 1 } 6+ { 5 + 2 [ 4 + 5 +2 + ( 1 + 2 4 )+ 2] 1 } eliminamos 1 o parêntese e o sinal de +, quem tá dentro fica do mesmo jeito. 6 + { 5 + 2 [ 4 + 5 + 2 1 + 2 4 + 2 ] 1 } eliminamos 2 o colchete e o sinal de -, quem tá dentro troca de sinal. 6 + { 5 + 2 + 4 5 2 + 1 2 + 4 2 1 } eliminamos 3 a chave e o sinal de +, quem tá dentro fica do mesmo jeito. 6 5 + 2 + 4 5 2 + 1 2 + 4 2 1 Somamos os positivos 6+2+4+1+4 = 17 e negativos 5 5 2 2 2 1 = 17 +17 17 sinal contrário, subtraímos 17 17 como é zero não tem sinal 0 Calcule o valor de { 2 + 1 [ 3 + 5 + ( 3 4 ) + 1] 3 } { 2 + 1 [ 3 + 5 + ( 3 4 ) + 1] 3 } eliminamos o parêntese { 2 + 1 [ 3 + 5 + 3 4 + 1 ] 3 } eliminamos o colchete { 2 + 1 + 3 5 3 + 4 1 3 } não tem sinal antes da chaves então é + 2 + 1 + 3 5 3 + 4 1 3 positivos 1 + 3 + 4 = +8 e negativos 2 5 3 1 3 = 14 + 8 14 sinal contrário subtrai e conserva sinal do maior valor absoluto 6 Multiplicação de números inteiros Para multiplicar dois ou mais números inteiros, multiplicamos os algarismos e o sinal do resultado será: Positivo se os dois fatores tiverem o mesmo sinal. Ex: ( + 2 ). ( + 3 ) = + 6 e ( 5 ). ( 2 ) = + 10 Negativo se os dois fatores tiverem sinais diferentes. Ex: ( + 3 ). ( 4 ) = 12 e ( 5 ). ( + 4 ) = 20 Pelo método prático, multiplicamos os algarismos e fazemos o que chamamos de jogo de sinal que vale para multiplicação e divisão. ( + ) por ( + ) = + ( ) por ( ) = +
( + ) por ( ) = ( ) por ( + ) = É muito importante você dominar bem o jogo de sinal. Ex: ( 2 ). ( + 3 ). ( 4 ) multiplicamos 2 vezes 3 e fazemos o jogo de sinal ( 6 ). ( 4 ) multiplicamos 6 vezes 4 e fazemos o jogo de sinal + 24 Ex: ( + 5 ). ( 3 ). ( 2 ). ( + 4 ) multiplicamos 5 vezes 3 e fazemos o jogo de sinal Pelo método prático ( 15 ). ( 2 ). ( + 4 ) multiplicamos 15 vezes 2 e fazemos o jogo de sinal ( + 30 ). ( + 4 ) multiplicamos 30 vezes 4 e fazemos o jogo de sinal 120 não precisa colocar sinal de + Ex: ( 2 ). ( + 3 ). ( 4 ) multiplicamos 2. 3. 4 =24 e fazemos o jogo de sinal por + que dar fazemos esse por + que dar -, assim, ( 2 ). ( + 3 ). ( 4 ) = 24 Ex: ( + 5 ). ( 3 ). ( 2 ). ( + 4 ) multiplicamos 5. 3. 2. 4 = 120 e fazemos o jogo de sinal em sequencia + por = por = + por + = +, logo ( + 5 ). ( 3 ). ( 2 ). ( + 4 ) = + 120 Divisão de números inteiros Dividimos os algarismos e fazemos o jogo de sinal. Ex: ( 8 ) : ( + 2 ) dividimos 8 por 2 e fazemos o jogo de sinal - 4 Ex: ( 12 ) : ( 3 ) dividimos 12 por 3 e fazemos o jogo de sinal + 4 Ex: ( 20 ) : ( + 10 ) : ( 2 ) dividimos 20 por 10 e fazemos o jogo de sinal ( 10 ) : ( 2 ) dividimos 10 por 2 e fazemos o jogo de sinal + 5 Podemos ter exemplos envolvendo multiplicação e divisão, neste caso resolveremos a operação que vier primeiro.
Ex: ( 2 ). ( + 15 ) : ( + 5 ). ( 3 ) : ( +6 ) multiplica 2 vezes 15 e faz o jogo de sinal Potênciação em Z ( 30 ) : ( + 5 ). ( 3 ) : ( + 6 ) divide 30 por 5 e faz o jogo de sinal ( 6 ). ( 3 ) : ( + 6 ) multiplica 6 vezes 3 e faz o jogo de sinal ( + 18 ) : ( + 6 ) divide 18 por 6 e faz o jogo de sinal + 3 Já vimos a potência nos números naturais, ela vai está presente em cada conjunto que agente estudar, a forma de resolução será sempre a mesma. O expoente indicará quantas vezes a base será multiplicada por ela mesma. Ex: 3 4 o expoente 4 indica que a base 3 será multiplicada por Lea mesma 4 vezes 3. 3. 3. 3 = 81 Ex: ( 3 ) 2 o expoente 2 indica que a base ( 3) será multiplicada por Lea mesma 2 vezes ( 2 ). ( 2 ) multiplicamos e fazemos o jogo de sinal 4 Ex: ( 5 ) 3 o expoente 3 indica que a base ( 5) será multiplicada por Lea mesma 3 vezes ( 5 ). ( 5 ). ( 5 ) multiplicamos e fazemos o jogo de sinal 125 Importante: Toda base elevada a zero é sempre 1. Ex: ( + 3 ) 0 = 1 e ( 3 ) 0 = 1 Toda base elevada a 1 é igual a ela mesma. Ex: ( + 2 ) 1 = 2 e ( 4 ) 1 = 4 Para base 1 devemos ter um certo cuidado. Veja os exemplos: Ex: ( + 1 ) 2 = ( + 1 ). ( + 1 ) = + 1 ( 1 ) 4 = ( 1 ). ( 1 ). ( 1 ). ( 1 ) = + 1 Note que se o expoente É PAR o resultado será positivo Ex: ( + 1 ) 5 = ( + 1 ). ( + 1 ). ( + 1 ). ( + 1 ). ( + 1 ) = + 1 ( 1 ) 5 = ( 1 ). ( 1 ). ( 1 ). ( 1 ). ( 1 ) = 1 Note que se o expoente É IMPAR o resultado terá o mesmo sinal da base
Quando a base é 1 é necessário saber essa regrinha, pois o 1 multiplicado por ele mesmo é sempre 1. Ex: ( + 1 ) 1000 não vamos colocar a base +1 mil vezes, como 1 multiplicado por ele mesmo é sempre 1 e expoente par o resultado é positivo, então ( + 1 ) 1000 = + 1 Ex: ( 1 ) 1028 não vamos colocar a base 1 mil e vinte e oito vezes, como 1 multiplicado por ele mesmo é sempre 1 e expoente par o resultado é positivo, então ( 1 ) 1000 = + 1 Ex: ( + 1 ) 223 não vamos colocar a base +1 duzentas e vinte e três vezes, como 1 multiplicado por ele mesmo é sempre 1 e expoente impar leva para o resultado o sinal da base, então ( + 1 ) 223 = + 1 Ex: ( 1 ) 223 não vamos colocar a base 1 duzentas e vinte e três vezes, como 1 multiplicado por ele mesmo é sempre 1 e expoente impar leva para o resultado o sinal da base, então ( + 1 ) 223 = 1 Propriedades As propriedades de potências são sempre válida para qualquer base. Multiplicação de mesma base - Conservamos a base e somamos os expoentes. Ex: ( 2 ) 3. ( 2 ) 4 = ( 2 ) 3 + 4 = ( 2 ) 7 ( + 3 ) 5. ( + 3 ) 3 = ( + 3 ) 5 + 3 = ( + 3 ) 8 Divisão de mesma base Conservamos a base e subtraímos os expoentes. Ex: ( 7 ) 7 : ( 7 ) 4 = ( 7 ) 7 4 = ( 7 ) 3 ( + 1 ) 5 : ( + 1 ) 2 = ( + 1 ) 5 2 = ( + 1 ) 3 Potência de potência Conservamos a base e multiplicamos os expoentes. Ex: [ ( 3 ) 2 ] 6 = ( 3 ) 2. 6 = ( 3 ) 12 Produto ou quociente - Conservamos cada base e multiplicamos os expoentes. Ex: [ ( 2 ) 3. ( + 3 ) 2 ] 5 conservamos a base 2 e multiplicamos 3. 5,mantemos o sinal que separa as duas bases, depois conservamos a base + 3 e multiplicamos 2. 5. ( 2 ) 15. ( + 3 ) 10
Ex: [ ( 5 ) 4 : ( + 2 ) 5 ] 2 conservamos a base 5 e multiplicamos 4. 2,mantemos o sinal que separa as duas bases, depois conservamos a base + 2 e multiplicamos 5. 2. ( 5 ) 8 : ( + 2 ) 10 Expressões numéricas Para se resolver uma expressão algébrica, devemos obedecer a uma sequencia de resolução. 1 as potências, 2 multiplicações e/ou divisão e 3 adição e subtração. Obedecendo a ordem de parentes, colchetes e chaves. Ex: Resolva a expressão [ ( 2 ). ( 3 ) + 4 ] : ( + 5 ) ( + 7 ) [ ( 2 ). ( 3 ) + 4 ] : ( + 5 ) ( + 7 ) dentro do colchete fazemos a multiplicação [ + 6 + 4 ] : ( + 5 ) ( + 7 ) resolve o colchete 10 : ( + 5 ) ( + 7 ) resolve a divisão + 2 ( + 7 ) eliminamos o parêntese +2 7 sinal contrário subtrai e conserva o sinal do maior valor absoluto 5 Resolva a expressão ( 4 ) + [ ( 8 ) : ( 2 ). ( + 3 ) 4 ] + ( 2 ). ( 5 ) ( 4 ) + [ ( 8 ) : ( 2 ). ( + 3 ) 4 ] + ( 2 ). ( 5 ) Dentro do colchete tem a divisão e a multiplicação faz a que está 1 e a multiplicação fora do colchete também pode ser feita. ( 4 ) + [ ( + 4 ). ( + 3 ) 4 ] + ( + 10 )dentro do colchete faz a multiplicação ( 4 ) + [ + 12 4 ] + ( + 10 ) podemos eliminar o colchete e o parêntese 4 + 12 4 + 10 soma os positivos + 12 + 10 = + 22 e negativos 4 4 = 8 + 22 8 subtrai e conserva o sinal do maior valor absoluto 14 Resolva a expressão ( 2 ) 3 + [ ( 1 ) 5 + ( 2 ). ( + 5 ) ] ( 3 ) 2 ( 2 ) 3 + [ ( 1 ) 5 + ( 2 ). ( + 5 ) ] ( 3 ) 2 tendo potência, resolva 1 a potência ( 8 ) + [ ( 1 ) + ( 2 ). ( + 5 ) ] ( + 9 ) resolve a multiplicação do colchete ( 8 ) + [ ( 1 ) + ( 10 )] ( + 9 ) podemos eliminar todos os parênteses
8 + [ 1 10 ] 9 elimina o colchete 8 1 10 9 todos tem o mesmo sinal soma e conserva o mesmo sinal 28