1ª PARTE NÍVEL 1 SOLUÇÕES QUESTÃO 1 Numa sala de aula, os estudantes participam da seguinte brincadeira. Um dos alunos conta em voz alta os números inteiros de 1 até 100, enquanto todos os outros batem palma toda vez que é dito um número múltiplo de 3 ou um número que termina em 3. Ao término do jogo, quantas vezes os estudantes bateram palma? a) 43 vezes, pois existem 33 múltiplos de 3 e 10 números que terminam em 3 entre 1 e 100. b) 33 vezes, pois entre os múltiplos de 3 já existem números que terminam em 3. c) 39 vezes. d) Mais de 40 vezes. e) 36 vezes. De 1 a 100 existem 33 múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12,..., 93, 96, 99. De 1 a 100 existem 6 números que terminam em 3 e não são múltiplos de 3: 13, 23, 43, 53, 73, 83. Portanto, os estudantes bateram palma 33 + 6 = 39 vezes. Resposta correta, letra C. QUESTÃO 2 O menor inteiro positivo n para o qual a diferença n n 1 fica menor que 0,01 é: a) 4900. b) 2500. c) 2501. d) 3600. e) 2499. Devemos ter então n n 1 < 0,01 n 0,01 n 1. Elevando os dois termos ao quadrado: Portanto, o menor inteiro que satisfaz as condições é 2501.
Resposta correta, letra C. QUESTÃO 3 Um carro flex faz 15 Km com 1 litro de gasolina ou 10 Km com 1 litro de álcool. Se a gasolina custa R$ 2,50 o litro e o álcool R$ 1,80 o litro, para fazer uma viagem de 150 Km, o que compensa? A) Abastecer com álcool. B) Abastecer com gasolina. C) Não faz diferença. D) Abastecer metade com álcool, metade com gasolina. E) Abastecer com um quarto de gasolina e três quartos de álcool. Veremos o custo do quilômetro para o álcool e depois para a gasolina. P/ o álcool temos: 1,80 0,18, ou seja, 18 centavos/km. 10 P/ a gasolina temos: 2,50 0,16, ou seja, 0,16666... centavos/km. 15 Logo, compensa abastecer com gasolina. Resposta correta, letra B. QUESTÃO 4 Um grupo de alunos faz prova numa sala. Se saírem do recinto 10 rapazes, o número de rapazes e moças será igual. Se, em seguida, saírem 10 moças o número de rapazes se tornará o dobro do número de moças. Sendo r o número de rapazes e m o número de moças podemos afirmar que 2r+m é igual a: a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 110 r 10 = m (saindo 10 rapazes) e m 10 = r/2. Resolvendo o sistema temos:
r 10 = r/2 + 10 2r 20 = r + 20 r = 40 e m = 40 10 = 30. Assim, 2r + m = 2.40 + 30 = 110. Resposta correta, letra E. QUESTÃO 5 Observe o quadrado abaixo em que as letras representam números naturais distintos desde 1 até 9. Se a adição de três números de cada linha, de cada coluna ou de cada diagonal, desse quadrado, tem sempre o mesmo resultado, então a letra e representa o número: a)5 b)3 c)2 d)4 e)1 A soma de todos os números é (1 + 9).9/2 = 45. Assim: cada coluna, cada linha e cada diagonal deverá somar 45/3 = 15. Como 1 + 2 = 3, 1 + 3 = 4 e 1 + 4 = 5, os algarismos 1, 2, 3 e 4 não podem ocupar a posição e pois pelo menos dois deles estariam na mesma linha, ou mesma coluna ou mesma diagonal e nestes casos a soma não atingiria o valor 15. Assim, das 5 opções, a única que poderia ocupar a posição e é o 5. Ou ainda, a + e + i = 15 c + e + g = 15 b + e + h = 15 d + e + f = 15 Donde, a + b + c + d + e + f + g + h + i + 3e = 60, mas como a + b + c + d + e + f + g + h + i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, temos que: 3e = 15, onde e = 5.
Resposta correta, letra A. a) 149 b) 150 c) 148 d) 151 e) 152 QUESTÃO 6 O número de múltiplos de 12 compreendidos entre 200 e 2007 é igual a: 2007 Existem 167 múltiplos de 12 entre 0 e 2007. 12 200 Existem 16 múltiplos de 12 entre 0 e 200. 12 Então existem 167-16 = 151 múltiplos de 12 entre 200 e 2007. Resposta correta, letra D. QUESTÃO 7 Num sítio existem 21 bichos, entre patos e cachorros. Sendo 54 o total de pés desses bichos, a diferença entre o número de patos e o número de cachorros é: a) 3 b) 7 c) 9 d) 5 e) 11 O total de patos e cachorros é 21: P+C = 21 O total de pés é 54. Patos tem 2 patas e cachorros tem 4 patas. então: 2P+4C = 54 Portanto temos duas equações. Isolando P na primeira temos:
P = 21-C Substituindo na segunda equação temos: 2(21-C)+4C = 54 42-2C+4C = 54 2C = 54-42 2C = 12 C = 6 Agora basta encontrar o P: P = 21-C P = 21-6 P=15 Há 15 patos e 6 cachorros, portanto a diferença é 15-6 = 9. Resposta correta, letra C. QUESTÃO 8 Um número palíndromo é aquele que é igual quando lido de frente para trás e de trás para frente. Por exemplo, 171 é um número palíndromo. Existem 90 palíndromos de três dígitos. Quantos palíndromos de 5 dígitos existem? a) 900 b) 901 c) 990 d) 999 e) 910 Para o primeiro dígito temos 9 opções (não pode iniciar com zero). Para o segundo e o terceiro dígito podemos aceitar qualquer número entre 0 e 9 (ou seja, temos 10 opções). Para o quarto e o quinto dígito, só existe uma opção, já que eles devem ser iguais ao segundo e ao primeiro dígito, respectivamente. ABCBA = 9 x 10 x 10 x 1 x 1 = 900 Existem 900 números palíndromos de 5 dígitos! Resposta correta, letra A.
QUESTÃO 9 Quatro amigos vão ao museu e um deles entra sem pagar. Um fiscal quer saber quem foi o penetra: Eu não fui, diz o Benjamim. Foi o Pedro, diz o Carlos. Foi o Carlos, diz o Mário. O Mário não tem razão, diz o Pedro. Só um deles mentiu. Quem não pagou a entrada? a) Benjamim; b) Carlos; c) Mário; d) Pedro; e) Impossível dizer quem não pagou. Pedro não pagou! Mário e Carlos não podem ambos ter dito a verdade, pois somente um entrou sem pagar. Se Mário não falou a verdade, então o que os outros três afirmaram é correto. Concluise que Pedro entrou sem pagar. Se Mário tivesse dito a verdade, teríamos uma contradição: a afirmação de Pedro seria verdadeira, mas a de Carlos seria falsa. Resposta correta, letra D.
QUESTÃO 10 10. Em uma lanchonete, certo refrigerante é vendido de 4 formas, garrafas de 200 ml (caçulinha), copos de 300 ml, latas de 350 ml e garrafas de 600 ml. Seus preços são: R$ 0,60, R$ 0,85, R$1,10 e R$ 1,20. Em qual das embalagens compensa comprar o refrigerante? A) Caçulinha 200 ml. B) Copos de 300 ml. C) Latas de 350 ml. D) Garrafas de 600 ml. E) Não faz diferença alguma. Veremos quanto custa o ml do refrigerante para cada embalagem: 200 ml (caçulinha), R$ 0,003/ml; copos de 300 ml, R$ 0,002833333.../ml; latas de 350 ml, R$ 0,003142857142857.../ml; garrafas de 600 ml, R$ 0,002/ml. Compensa, então, comprar garrafas de 600 ml. Resposta correta, letra D.