Representações Gráficas usando MS-Excel Antonio Martinetti Filho Mestre em Administração - UNIMARCO Professor do Centro Universitário Anhanguera - UNIFIAN e-mail: a.martinetti@unianhanguera.edu.br Resumo O presente artigo tem por objetivo mostrar ao leitor, que a planilha eletrônica MS-Excel é uma ferramenta bastante útil quando da representação gráfica de funções. Além da rapidez e facilidade na representação gráfica, possui um Auxiliar Gráfico muito útil e que de forma auto explicativa, muito auxilia nesse trabalho. É fundamental que os usuários deste software, tenham alguns conhecimentos básicos de matemática e use sua criatividade para montar seus gráficos, muito importante para apresentações. Palavras-chaves: Gráficos; funções; intervalos numéricos. Abstract The present article has as the objective to present show the reader, that the electronic spread sheet MS-Excel is a very useful tool when it refers to the graphical representation of functions. Besides the rapidity and easiness in the graphical representation, it possesses a very useful Graphical Assistant that, when used in an auto-explicative way, assists in this work a lot. It is necessary, that the users of this software, have some basic knowledge of mathematics and use their creativity to creat their graphics, very important for presentations. Key-words: Graphs; functions; numerical intervals. Introdução Muitos acadêmicos, principalmente os estudantes das áreas de ciências humanas e das áreas de saúde encontram dificuldades quando na apresentação de trabalhos escolares, de representações gráficas de seus objetos de estudo. É comum, depararmos com textos muito bem produzidos, mas quando existe a necessidade de visualizar por meio de gráficos, ou encontramos os tradicionais como gráfico de barras, colunas, pizza etc. ou os gráficos são produzidos sob a forma manual. Existe no mercado um grande número de softwares que traçam gráficos, alguns mais simples, outros com um pouco mais de sofisticação, mas nem sempre estão disponíveis nos computadores por serem produtos que devem ser adquiridos licença de uso ou se forem de domínio público, os chamados freeware, necessitam de uma boa prática pelo usuário. A planilha eletrônica MS-Excel, presente hoje na grande maioria dos computadores é uma ferramenta bastante eficaz para suprir tais dificuldades, entretanto existe a necessidade de se conhecer o seu funcionamento. O Auxiliar gráfico da planilha ajuda muito nessa tarefa, mas 109
Antonio Martinetti Filho 110 os estudantes que não estão habituados com tal ferramenta, necessitam de algumas informações extras principalmente de alguns conhecimentos básicos de Matemática, que aliados ao referido software proporcionam resultados bastante interessantes. Com a finalidade de trazer ao leitor informações de como representar graficamente funções que ilustrariam seus trabalhos, usando o MS-Excel procurarei demonstrar como executar tal tarefa, exemplificando algumas situações, muitas vezes encontradas no nosso dia-a-dia. Não pretendo esgotar tal assunto, apenas elucidar algumas situações que certamente poderão auxiliar os estudantes que tem tais dificuldades, a resolvê-las de uma maneira bastante simples e motivá-los a continuar pesquisando dentro do referido software as melhores opções para melhorar suas apresentações. Funções do 1º Grau A representação gráfica de uma função do 1º grau, usando a planilha eletrônica MS-Excel é bastante simples. É fundamental que se saiba que uma função do 1º grau tem como resultado gráfico uma reta, que ela pode ser definida como y = a*x ou y = a*x + b, x R e a R e seja diferente de zero, onde a representa o coeficiente angular da reta e b representa o coeficiente linear da reta, x é a variável e que existe a necessidade de conhecermos pelo menos 2 pontos distintos para traçarmos essa reta. A titulo ilustrativo, vamos considerar a função y = 2x + 5 definida de R em R. O primeiro passo será estabelecermos um intervalo numérico onde queremos visualizá-la graficamente, neste caso, vamos atribuir dois valores quaisquer para a variável x, por exemplo os valores -3 e 50 e encontrarmos as suas respectivas imagens (y). Observe que estamos visualizando tal função no intervalo numérico [-3 ; 50]. Abra uma planilha. Na célula A1 coloque x. Na célula B1 coloque y. Na célula A2 coloque -3. Na célula A3 coloque 50. Na célula B2 insira a fórmula = 2*A2 + 5 e tecle Enter. Selecione a célula B2, dirija o ponteiro do mouse até o cantinho inferior direito (quadradinho) na borda da seleção, clic e arraste até a célula B3. Selecione as células preenchidas A1 até B3. Na barra de ferramentas vá em auxiliar gráfico e clic no mesmo. Abrirá uma tela solicitando o tipo de gráfico. Clic em Dispersão (XY). Selecione um subtipo de gráfico, no nosso caso o subtipo 4 (linhas) e clic em avançar. Na próxima tela que se abrirá (etapa 2 de 4) marque a caixa séries em colunas e clic em avançar. Nesta tela (etapa 3 de 4) você poderá fazer suas opções de gráfico colocando o título, eixo, linhas de grade, posicionando a legenda, inserindo rótulo de dados.clicando em avançar a etapa 4 de 4 lhe posicionará o local do gráfi-
Representações Gráficas usando MS-Excel co, se na mesma planilha ou numa nova planilha. Feita a opção clic em Concluir e seu gráfico estará pronto de acordo com suas solicitações. Caso o leitor queira uma linha tracejada mais forte, na planilha MS-Excel, dê um duplo clic sobre a linha que representa a função, na tela que se abrirá, defina a espessura da linha desejada e OK. Os estudantes dos cursos de ciências contábeis, administração e economia muitas vezes necessitam construir gráficos que mostram o ponto de intersecção de duas retas, já que nesse ponto podem verificar um ponto de equilíbrio de mercado referente a um produto, o ponto que representa o preço e quantidade de um produto no seu ponto de equilíbrio etc. Tratase também de uma construção bastante simples conforme exemplo a seguir: O preço de equilíbrio de mercado para um determinado produto é o preço onde as que representam a demanda e a oferta de mercado desse produto se interseccionam. Vamos considerar as seguintes situações : Imaginemos que a demanda de mercado de um produto seja y = 10 0,2x e a oferta de mercado desse produto seja y = -11 + 0,5x, onde x corresponda ao preço desse produto. O preço de equilíbrio de mercado desse produto corresponde ao ponto de intersecção da função demanda y= 10 0,2x com a função oferta y = -11 + 0,5x, onde x representa o preço desse produto. Considerando que a oferta de um produto no mercado deve ser positiva, atribuimos valor 0 para y e encontramos o valor de x = 22 que representa o ponto inicial da represe ntação gráfica dessa função, isto é, ocorre oferta de produto no mercado a partir de um preço igual a R$ 22,00 se nossa unidade monetária for o Real. Considerando também que a demanda deve ser positiva e atribuindo valor 0 para y nessa função, o valor de x será 50 (nesse caso representando a quantidade de produtos). Com isso temos estabelecido um intervalo numérico de análise dessas funções ou seja [22 ; 50]. Vamos a construção do gráfico, com essas duas funções: Abrimos uma planilha, em A1 colocamos x, em B1 colocamos Demanda e em C1 colocamos Oferta. Em A2 colocamos 22 e em A3 colocamos 50 (intervalo [22 ; 50]. Em B2 inserimos a fórmula da demanda = 10 0,2*A2. Em C2 inserimos a fórmula da oferta = - 11 + 0,5*A2. Selecionamos as células B2 e C2 e copiamos e colamos em B3 e C3. Selecionamos as células de A1 a C3, clicamos em Auxiliar Gráfico. Etapa 1 de 4 - Tipo de Gráfico: selecionamos Dispersão XY e o subtipo 4 (gráfico de linhas) e avançar. Etapa 2 de 4 - Dados de Origem : clicamos em series em colunas e avançar. Etapa 3 de 4 - Opções de Gráficos: clicamos em título e no campo título do gráfico inserimos Preço de Mercado e Quantidade de Equilíbrio de Mercado, no campo eixo dos valores X colocamos preço e no campo eixo dos valores Y colocamos quantidade e clicamos em avançar. Etapa 4 de 4 - Local do Gráfico; escolhemos entre nova planilha ou na mesma planilha e clicamos em concluir. 111
Antonio Martinetti Filho 112 Observe que o preço de equilíbrio será R$ 30,00 e a quantidade de equilíbrio será 4 unidades. Função do 2º Grau Para representarmos graficamente funções do 2º grau usando a planilha MS-Excel é importante também algumas informações básicas da matemática: Toda função do 2º Grau obedece a forma y = ax 2 + bx + c, onde a, b, c são números reais, a deve ser diferente de 0 e x é a variável. Possui um ponto de máximo ou mínimo b representado pela abscissa do vértice. Para 2a a > 0 terá concavidade voltada para cima; para a < 0 a concavidade será voltada para baixo. Para > 0 haverá duas raízes reais distintas (pontos de intersecção com o eixo x), para = 0 haverá duas raízes reais iguais e para < 0 não existirá raízes reais. Vamos representar a função definida de R em R y = x 2. Conforme já conhecemos pelos estudos da Matemática, esta função possui duas raízes reais (x 1 e x 2 ) iguais a zero e discriminante ( ) também igual a zero. Logo o seu gráfico tem como ponto mínimo a origem do Sistema Cartesiano ou seja (0, 0). Nesse caso, basta determinarmos o intervalo numérico onde queremos visualizar tal função. Vamos estabelecer o intervalo [-2 ; 2]. Abra uma planilha, em A 1 coloque x e em B1 coloque y. Em A2 coloque -2; em A3 coloque -1, em A4 coloque 0; em A5 coloque 1 em A6 coloque 2. Intervalo [-2 ; 2]. É importante que dentro do intervalo numérico estabelecido sejam informados vários pontos já que não se trata de uma reta. Em B2 insira a fórmula = A2^2. Copie e cole a fórmula em B3 até B6. Agora clic em auxiliar gráfico. Etapa 1 de 4 - Tipo de gráfico: selecione Dispersão XY e subtipo 2 (linhas curvas), clic em avançar. Etapa 2 de 4 - Selecione séries em colunas e clic em avançar. Etapa 3 de 4 - No campo título do gráfico coloque Representação Gráfica da Função y = x ^2 definida de R em R no intervalo [ -
Representações Gráficas usando MS-Excel 2 ; 2 ]. No campo valores de x coloque valores de x e no campo valores de y coloque valores de y e clic em avançar. Etapa 4 de 4 - Local do gráfico: escolha em nova planilha ou nessa planilha e em concluir. Vamos agora representar graficamente uma função do 2º grau completa. Consideremos a função definida de R em R y = - x 2 + 9x 20. Como se trata de uma função onde a é negativo ou seja menor que 0 a concavidade desta função será voltada para baixo. b A abscissa do vértice nos fornece o 2a ponto máximo desta função ou seja 9 = 4,5 2. (9*A2) 20. Selecione a célula B2 copie e cole em B3 até B6. Selecione as células de A1 a B6 e clic em Auxiliar Gráfico. Calculando o discriminante desta função temos = b 2 4ac, que nos dá = 9 2 4.(-1).(-20) = 81-80 = 1. Como > 0 a função terá duas raízes reais e diferentes cujo gráfico cortará o eixo dos x nesses pontos. Considerando ainda o ponto máximo igual a 4,5 podemos determinar o intervalo de visualização como [3 ; 6] Abra uma planilha e em A1 coloque x e em B1 coloque y. Em A2 coloque 3; em A3 coloque 4; em A5 coloque 5 e em A6 coloque 6 intervalo [3 : 6]. Em B2 insira a fórmula = - (A2 ^ 2) + Etapa 1 de 4 - Tipo de gráfico: selecione Dispersão XY e subtipo 2 (linhas curvas), clic em avançar. Etapa 2 de 4 - Selecione séries em colunas e clic em avançar. Etapa 3 de 4 - No campo título do gráfico coloque Representação Gráfica da Função 113
Antonio Martinetti Filho y = - (x ^2)+9x-20 definida de R em R no intervalo [ 3 ; 6 ]. No campo valores de x coloque valores de x e no campo valores de y coloque valores de y e clic em avançar. Etapa 4 de 4 - Local do gráfico: escolha em nova planilha ou nessa planilha e em concluir. 114 Vamos agora representar graficamente o comportamento mensal e acumulado mês a mês, durante o ano de 2.004 do IGP-M. O índice acumulado obedece a seguinte fórmula matemática: I = {[(1+i 1 )*(1+i 2 )*(1+i 3 )*...*(1+i n )] 1}* 100. onde i 1, i 2, i n representam as variações em cada mês. Abra uma planilha e em A1 coloque Meses, nas células A2 até A13 coloque os meses relativos ao ano em análise: Jan/Fev/ Mar/.../Dez. Na célula B1 coloque Índice do Mês e descreva nas células B2 a B13 os índices ocorridos em cada mês. Na célula C1 coloque Acumulado. Na célula C2 coloque = B2. Na célula C3 coloque = ((((C2/100)+1)*((B3/100)+1))-1)*100. e clic em enter. Selecione essa célula C3 direcione o ponteiro do mouse até o canto inferior esquerdo (quadradinho) clic e arraste até a célula C13. Pronto, estamos com os valores calculados na tabela. Selecione as células A1 até C13 e clic em auxiliar gráfico. Etapa 1 de 4 - Tipo de gráfico: selecione Dispersão XY e subtipo 2 (linhas curvas), clic em avançar. Etapa 2 de 4 - Selecione séries em colunas e clic em avançar. Etapa 3 de 4 - No campo título do gráfico coloque COMPORTAMENTO DO IGP-M
Representações Gráficas usando MS-Excel NO ANO DE 2004 - VARIAÇÕES MENSAIS E ACUMULADO. No campo valores de x coloque MESES JANEIRO A DEZEMBRO e no campo valores de y coloque VARIAÇÕES MENSAIS E ACUMULADAS e clic em avançar. Etapa 4 de 4 - Local do gráfico: escolha em nova planilha ou nessa planilha e em concluir. Conclusão A planilha eletrônica MS-Excel é uma ferramenta bastante útil para representação gráfica de funções. Também fornece opções para trabalharmos com variáveis discretas, nesse caso, em vez de uma linha teríamos pontos nas nossas representações. O leitor com as informações contidas neste artigo poderá usando sua criatividade e o Auxiliar Gráfico, traçar outros tipos de gráficos sejam nas áreas da matemática ou estatística, com isso, produzindo trabalhos e apresentações gráficas bastante interessantes. Referências Bibliográficas SILVA, S.M da.; SILVA, E.M.da; SILVA, E.M.da. Matemática: para os cursos de economia, administração e ciências contábeis - São Paulo: Atlas, 1999. MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Cálculo: Funções de uma e várias variáveis - São Paulo: Saraiva, 2003. NEUFELD, J.L. Estatística: Aplicada à Administração - usando Excel - São Paulo: Prentice Hall, 2003. 115