UMA VERSÃO INTERATIVA DA ENCICLOPÉDIA DOS CENTROS DO TRIÂNGULO Humberto José Bortolossi, Lis Ingrid Roque Lopes Custódio, Suely Machado Meireles Dias Na escola aprendemos que as três medianas de um triângulo sempre se encontram em um mesmo ponto: o baricentro do triângulo. Outros pontos conhecidos desde a Grécia Antiga são o ortocentro, o circuncentro e o incentro. Com o passar do tempo, uma série de propriedades, lugares geométricos e centros do triângulo foram descobertos. Nas últimas décadas, usando coordenadas baricêntricas, o pesquisador Clark Kimberling criou uma enciclopédia com mais de 3000 destes pontos especiais, listando suas propriedades algébricas, mas sem figuras. Neste trabalho apresentamos uma versão visual e interativa desta enciclopédia, construída com o auxílio do software de geometria dinâmica gratuito Régua e Compasso. OS CENTROS DO TRIÂNGULO Apesar de ser o mais simples dos polígonos, o triângulo guarda propriedades surpreendentes. Por exemplo, as três medianas de um triângulo sempre se encontram em um mesmo ponto: o baricentro do triângulo (o ponto G na Figura 1). Também são concorrentes as três alturas (o ponto de concorrência é o ortocentro do triângulo, o ponto H na Figura 1) e as três mediatrizes (no circuncentro do triângulo, o ponto O na Figura 1). Figura 1: Três centros clássicos do triângulo: o baricentro G, o ortocentro H e o circuncentro O.
Com o passar do tempo, mais propriedades, lugares geométricos e centros foram descobertos e, nas últimas décadas, o professor norte-americano Clark Kimberling vem catalogando estes pontos (Kimberling, 1994, 1998) e disponibilizando uma lista das suas propriedades algébricas na internet (Kimberling, 2008). A Figura 2, gerada pelo nosso sistema (Bortolossi, Custódio & Dias, 2008), exibe 2000 destes pontos especiais. Figura 2: 2000 centros do triângulo. Atualmente, a comunidade de geometria está estudando de que maneira estes pontos estão distribuídos ou se eles estão relacionados de algum modo. Por exemplo, as Figuras 3 e 4 (também geradas pelo nosso sistema) exibem, respectivamente, os 111 centros sobre a reta de Euler e os 256 centros sobre o circuncírculo do triângulo. Figura 3: Os 111 centros sobre a reta de Euler.
Figura 4: Os 256 centros sobre o circuncírculo. COORDENADAS BARICÊNTRICAS Todos os centros são catalogados através de suas coordenadas baricêntricas. Basicamente, as coordenadas baricêntricas de um ponto P especificam pesos x, y e z que devem ser atribuídos a cada vértice de forma que a média com estes pesos resulte justamente no ponto P: x A + y B + z C P =. x + y + z Por exemplo, atribuindo-se peso 1 ao vértice A e peso 0 aos outros vértices, obtemos o próprio vértice A. Atribuindo-se peso 1 aos vértices A e B e peso 0 ao vértice C, obtemos o ponto médio do lado AB. As coordenadas do baricentro G são obtidas dando-se peso 1 aos três vértices. Os pesos x = (b 2 c 2 ) 2 a 4, y = (c 2 a 2 ) 2 b 4 e z = (a 2 b 2 ) 2 c 4 produzem o ortocentro do triângulo, enquanto que x = a 2 (a 2 b 2 c 2 ) 2, y = b 2 (b 2 c 2 a 2 ) 2 e z = c 2 (c 2 a 2 b 2 ) 2 definem seu circuncentro (Yiu, 2000). Aqui, a, b e c representam as medidas dos lados BC, AC e AB do triângulo, respectivamente. É possível mostrar que as coordenadas baricêntricas de um ponto P podem ser calculadas através das áreas com sinal dos triângulos PBC, PCA e PAB (Figura 5). Mais precisamente, se P = (x P, y P ), A = (x A, y A ), B = (x B, y B ) e C = (x C, y C ) são, respectivamente, as coordenadas cartesianas dos pontos P, A, B e C, então xp yp 1 xp yp 1 xp yp 1 1 1 1 x = det xb yb 1, 2 y = det xc yc 1 xc yc 1 2 e z = det xa ya 1. xa ya 1 2 xb yb 1
Figura 5: As coordenadas baricêntricas x, y e z do ponto P são proporcionais às áreas com sinal dos triângulos PBC, PCA e PAB. UMA VERSÃO INTERATIVA DA ENCICLOPÉDIA DOS CENTROS DO TRIÂNGULO Como a enciclopédia original (Kimberling, 2008) não apresenta figuras, existia uma demanda dos geômetras por um sistema que permitisse ver e manipular o triângulo e seus centros. Em nosso trabalho, construímos uma versão dinâmica e interativa da enciclopédia original tendo como alicerce o programa C.a.R. (Figura 6). Figura 6: Tela do software de geometria dinâmica gratuito C.a.R (http:www.z-u-l.de).
O aplicativo C.a.R. (Régua e Compasso), desenvolvido pelo professor René Grothmann da Universidade Católica de Berlim na Alemanha, é um software de geometria dinâmica plana gratuito (você pode usá-lo e distribuí-lo sem pagar nada por isto). Ele está escrito na linguagem Java, tem código aberto e roda em qualquer plataforma (Microsoft Windows, Linux, Macintosh, etc). Diferentemente do que ocorre com a régua e o compasso tradicionais, as construções feitas com o C.a.R. são dinâmicas e interativas, o que faz do programa um excelente laboratório de ensino e aprendizagem da geometria. O usuário pode testar suas conjecturas através de exemplos e contra-exemplos que ele pode facilmente gerar. Uma vez feita a construção, pontos, retas e círculos podem ser deslocados na tela mantendo-se as relações geométricas previamente estabelecidas (pertinência, paralelismo, etc.), permitindo assim que o usuário, ao invés de gastar o seu tempo com detalhes repetitivos de construção, se concentre na associação existente entre os objetos. Em nosso sistema, não implementamos os mais 3000 pontos um a um manualmente (o que seria uma tarefa extremamente árdua e demorada). O que fizemos foi usar um recurso do C.a.R. que permite ler construções na forma textual usando uma codificação XML. Por exemplo, a Figura 7 exibe o código XML necessário para se definir um ponto na forma textual. Detalhes sobre a sintaxe XML do C.a.R. podem ser encontrados em (Grothmann, 2008). Figura 7: Código XML que define textualmente um ponto no C.a.R.. Cada elemento geométrico do C.a.R. pode ser criado tanto da forma interativa quanto da forma textual. Desta maneira, escrevemos um script na linguagem Perl (Wall, 2008) que processou o arquivo HTML da enciclopédia original, extraiu os dados algébricos de cada centro e gerou arquivos textuais para o C.a.R.. Em nossa versão interativa (Bortolossi, Custódio & Dias, 2008), cada um dos mais de 3000 centros possui um arquivo HTML com os seguintes recursos:
(1) Um applet interativo feito com o C.a.R., onde o usuário pode ver e manipular o triângulo com o respectivo centro. O usuário pode também construir novos objetos, fazer medidas e, através do recurso macro, incluir outros centros relacionados. (2) As informações algébricas da enciclopédia original (com a autorização do autor), mas agora com recursos de hipertexto: o usuário pode facilmente navegar de um centro a outro com um clique do mouse. Gostaríamos de observar que, através da nossa versão interativa da enciclopédia dos centros do triângulo, conseguimos identificar um erro na enciclopédia original (que afirmava que um determinado centro estava sobre a reta de Euler e ele não estava), um erro no programa C.a.R. (que não conseguia representar adequadamente o centro de Euler infinito X 30 ) e um erro no verbete Isogonal Conjugate da renomada enciclopédia de matemática MathWorld. Como trabalho futuro, pretendemos expandir a funcionalidade da enciclopédia interativa, criando um pequeno dicionário interativo dos termos e construções geométricas relacionadas com a geometria moderna do triângulo. Referências Bortolossi, H. J., Custódio, L. I. R. L. & Dias, S. M. M. (2008). Triangle Centers with C.a.R.. http://www.uff.br/trianglecenters/. Grothmann, R (2008). Compass and Ruler: Dynamic Geometry Software. http://z-u-l.de. Kimberling, C. (1994). Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle. Mathematics Magazine, 67, 163-187. Kimberling, C. (1998). Triangle Centers and Central Triangles. Congressus Numerantium, 129, Winnipeg: Utilitas Mathematica Publishing, Inc. Kimberling, C. (2008). Encyclopedia of Triangle Centers (ETC). http://faculty.evansville.edu/ck6/ encyclopedia/. Wall, L. (2008). The Practical Extraction and Report Language (Perl). http://www.perl.org. Weinstein, E. W. (2008). MathWorld - A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com. Yiu, P. (2000). The Uses of Homogeneous Barycentric Coordinates in Plane Euclidean Geometry. International Journal Math Education Science Technology, 31, 569-578.