A EXPRESSÃO GRÁFICA NO ENSINO POR MEIO DO SOFTWARE DE GEOMETRIA DINAMICA CaRMetal

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1 A EXPRESSÃO GRÁFICA NO ENSINO POR MEIO DO SOFTWARE DE GEOMETRIA DINAMICA CaRMetal Anderson Roges Teixeira Góes Universidade Federal do Paraná - Departamento de Expressão Gráfica; e Secretaria Municipal de Educação de Araucária/PR Tecnologia Educacional, Brasil. artgoes@ufpr.br Heliza Colaço FAE Centro Universitário Franciscano; e Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e em Matemática/UFPR, Brasil helizacol@hotmail.com Jeferson Rieffel Silveira, Marco Antonio da Cunha Universidade Federal do Paraná Programa Licenciar Departamento de Expressão Gráfica, Brasil. jefferieffel@hotmail.com, manc@ufpr.br RESUMO O presente artigo relata o minicurso Possibilidades de Ensino com o software de Geometria Dinâmica C.a.R.Metal ofertado no Programa de Verão da Universidade Federal do Paraná no ano de Esperamos que com a utilização da Geometria Dinâmica no ensino, o professor tenha mais uma ferramenta para aprimorar sua metodologia, não se atendo apenas aos livros e explorando assim a Expressão Gráfica que precisa ser resgata. Palavras-chave: Geometria Dinâmica, Expressão Gráfica, Matemática. RESUMEN Este artículo reporta el cursillo "Posibilidades de enseñanza con el software de Geometría Dinámica C.a.R.Metal", ofertado en el curso de verano de la Universidade Federal de Paraná en Esperamos que con el uso de la Geometría Dinámica en la enseñanza, el profesor tenga otra herramienta para mejorar su metodología, no sólo recoger a los libros y así explorar la Expresión Gráfica que necesita ser rescatada. Palabras clave: Geometría Dinámica, Expresión Gráfica, Matemáticas.

2 1 Geometria Dinâmica O surgimento da Expressão Gráfica se confunde com invenção da escrita, pois há milhares de anos foram realizadas as primeiras tentativas de comunicação e os primeiros registros de linguagem escrita tinham a forma de desenhos, as chamadas pinturas rupestres, encontrados nas paredes de antigas cavernas que traziam a representação simbólica da forma de viver do homem primitivo, seus conhecimentos, seus medos e suas divindades. Ao longo dos anos houve uma evolução no sentido da simplificação da linguagem, até chegarmos à escrita atual, mas nem por isso a Expressão Gráfica (o Desenho) perdeu a sua importância como meio de comunicação e de expressão, sendo sempre utilizado paralelamente à escrita. Muitas vezes os desenhos, conseguem obter melhores resultados que a escrita ou a fala na transmissão de uma mensagem ou pensamento/ideia. Quem já não recorreu ao gesto ou ao desenho para reforçar uma idéia, uma mensagem ou uma explicação a alguém, estimulando assim o diálogo? Assim, podemos afirmar que o desenho nada mais é do que uma útil e indispensável ferramenta na comunicação entre pessoas, inclusive no ambiente escolar. No entanto, com a introdução da informática no ensino, muitos professores deixaram de lado a Expressão Gráfica realizada com lápis e papel e começaram realizá-la diretamente no computador. Com esta nova forma de execução de desenho as propriedades das figuras foram esquecidas uma vez que os softwares trazem comandos prontos como, por exemplo: mediatriz, bissetriz, retas paralelas, entre outros. Uma solução para este problema nas aulas de Matemática é utilizar a Geometria Dinâmica (GD), pois ela é exploratória e interativa, despertando assim, a atenção e a curiosidade do aluno. Com a introdução da GD o professor pode iniciar o conhecimento pela geometria e passear por todas as áreas da matemática através de atividades que explorem o desenho e resolução de problemas. Deve-se popularizar o uso deste tipo de software para que o professor tenha mais uma ferramenta e com isso efetivar o ensino e aprendizado criando possibilidades com metodologias investigativas. Em educação, os softwares educacionais estão sendo incorporados ao processo de ensino e aprendizagem como ferramenta de mediação entre o indivíduo e o conhecimento. Estes permitem a exploração, visualização e experimentação do que praticamente seria impossível sem seu auxílio. No entanto, isto requer profissionais preparados, dispostos a pesquisar e a inovar e, sobretudo, convictos da importância da educação escolar para a inclusão digital e social. (BARCELOS, BATISTA e AFONSO, p. 5, 2005) Segundo Borges Neto (2009) não se pode esquecer os conceitos espontâneos dos alunos, podando sua possibilidade de construção, pois através da interação entre o conhecimento científico e o espontâneo se dá a evolução do pensamento real. O professor deve estar aberto para entender os conceitos prévios dos alunos possibilitando que estes interajam com o meio, analisando, explorando e construindo a atividade proposta,

3 pois desta forma a aprendizagem se dará mais significativamente e ainda desenvolverá a autonomia do pensamento. Esta metodologia assusta muitos professores, sabe-se que não são só os professores de Matemática de países em desenvolvimento, por exemplo, que fogem da geometria; o temor da geometria também aflige os professores dos países desenvolvidos. (LINDQUIST e SHULTE apud. ISOTANI e BRANDÃO, 2001) Com a GD tem-se a possibilidade de explorar uma construção geométrica/matemática, ou seja, alterar um objeto construído preservando sua construção. Assim, tem-se 1-construção e n-testes, ao contrário da construção tradicional com régua e compasso em que se tem 1- construção e 1-teste. O tempo para realizar uma variedade de figuras à mão a fim de explorar vários casos de uma forma geométrica está além do que a maioria dos alunos está disposta a passar em tal atividade. A Geometria Dinâmica torna o tempo de execução do desenho mais rápido, permitindo assim que o aluno (ou o professor), ao invés de gastar o seu tempo com detalhes de construção repetitivos, se concentre na associação existente entre os objetos. (JANZEN, 2007) Esta é a grande vantagem da utilização da GD, pois nela o aluno é desafiado a propor e analisar soluções, além de elevar o nível de concentração, favorecer situações para uma aprendizagem mais individualizada e desenvolver: a criatividade, a autonomia e o trabalho em grupo (uma vez que a solução obtida por um aluno pode e deve ser meio de discussão). (BORGES NETO, 2009) Muitos são os softwares de GD, como exemplo: Cabri Geometry, Cinderela, Régua e Compasso (Compass and Ruler), GeoGebra e Geometer s Sketchpad. No entanto, poucos são gratuitos como o Régua e Compasso que não gera custos a escola, professores ou alunos. Assim, o presente artigo é relato de experiência do minicurso Possibilidades de ensino com o software de Geometria Dinâmica C.a.R. Metal ofertado no programa de Verão da Universidade Federal do Paraná (Departamento de Matemática) no ano de 2010, cujo objetivo é apresentar possibilidades de ensino com o auxílio do software exemplificando sua utilização em sala de aula. 2 O minicurso Dentre todas as tecnologias existentes no ambiente escolar, vemos que o uso da informática em sala de aula é cada vez mais comum nos planejamentos dos professores. No entanto, a vivência mostra que os profissionais da área de matemática são os que utilizam os laboratórios com menor freqüência, talvez pelas especificidades da disciplina que exige softwares onde o aluno possa criar e apropriar-se do conhecimento. As atividades do minicurso que aqui relataremos mostram que o professor pode iniciar o conhecimento pela Geometria e com isso desenvolver as técnicas algébricas. O objetivo do minicurso foi apresentar as ferramentas do software C.a.R (Régua e Compasso) versão Metal (Windows e Linux) para que o professor possua mais uma ferramenta no processo de ensino e aprendizagem. Para isto dividimos o minicurso em 4 etapas, que

4 serão descritas a seguir. 2.1 Apresentação do software. O C.a.R. Metal (Compass and Ruler versão Metal) é um software de Geometria Dinâmica derivado do C.a.R.. Este último foi desenvolvido por René Grothmann, no ano de 1989, professor de matemática na Universidade Católica de Eichsätt na Alemanha. Este software, além de ser open source, possui numerosos benefícios, como interface agradável (figura 01), possibilidades de trabalhar com geometria plana e espacial e funções. Figura 01 Interface CaRMetal Esta nova versão foi desenvolvida pelo professor de matemática Eric Hakenholz. Sua grande característica é o fato de fornecer acesso direto e imediato a uma série de ações que antes necessitavam de ações intermediárias. No site podem-se obter informações, tutoriais, instalação, exemplos de exercícios, artigos relacionados, entre outros materiais disponíveis. 2.2 Exercícios de exploração do software. Após a apresentação do software aos participantes, durante as próximas 3h30min, findando o primeiro dia, foram destinadas a exploração do CaRMetal. Algumas destas atividades de exploração do software são apresentadas no quadro 01. Os participantes não tiveram dificuldades na execução destas atividades, pois já conheciam algum software de Geometria Dinâmica, e por estes serem muito parecidos logo encontraram as ferramentas.

5 Quadro 01: Atividades aplicadas no minicurso Atividade 01 Crie um segmento de reta AB. Nomeie as extremidades de A e B. Meça o segmento AB. Obtenha M, ponto médio de AB. Calcule a distância entre A e M. Crie o segmento AM e depois meça-o. Crie o segmento MB e depois meça-o. Movimente A ou B e observe as medidas dos segmentos AM e MB. Elimine o ponto M. Crie um segmento CD concorrente com o segmento AB. Crie o ponto onde os segmentos AB e CD se interceptam. Use interseção de dois objetos para criar o ponto. Nomeio-o de P. Crie um ponto Q sobre o segmento AB. Movimente A ou B e veja se o ponto Q permanece sobre o segmento AB. Movimente o ponto Q. Atividade 06 Construir um triângulo qualquer ABC. Obter os pontos notáveis: Circuncentro O, Baricentro G, Incentro I e Ortocentro H. Modifique a posição dos vértices A, B e C. Verifique a posição dos pontos notáveis em relação ao triângulo ABC. Algum pode estar fora do triângulo? Sobre um dos lados? Coincidindo com algum vértice? Feche o arquivo. Atividade 07 Construir um triângulo ABC qualquer e seu Incentro. Utilize a ferramenta Macro para construir uma macro com o nome INCENTRO. Construa um triângulo qualquer JKL e aplique a Macro. (opcional) Salve o arquivo dentro do diretório C:\GeoDin2009\. Feche o arquivo. Atividade 08 No canto superior esquerdo vamos criar três barras deslizantes para números, um abaixo do outro. Para executar este passo proceda como segue: Selecione a ferramenta Expressão Aritmética na barra de ícones. Crie uma expressão para a, b e c com valores variando de 0 a 10. Utilizando o botão deslizante. Construa um segmento com uma das medidas dadas, por exemplo, c. Chame o segmento de AB (se você optou por c ). Com a ferramenta Circunferência de raio fixo construa um círculo de raio a e centro em B e outro círculo de raio b e centro em A. Construa o ponto de interseção dos círculos e chame-o de C. Você conseguiu obter o ponto C? Sempre é possível achar o ponto C? Qual propriedade de triângulos que podemos verificar com este exercício? Atividade 09 Crie uma circunferência com raio fixo de 4cm, nomeie o centro de A. Crie outra circunferência com raio fixo de 4cm, nomeie o centro de B. Edite o centro A prendendo-o a circunferência de centro B. Crie o ponto C na intersecção das circunferências. Crie os segmentos AB, BC e AC exibindo seus valores. Com o auxílio da ferramenta polígonos, construa o triângulo ABC. Qual o tipo do Triângulo ABC? Movimente os vértices do triângulo e verifique se ele altera sua forma. Torne o centro A livre e movimente os vértices do triângulo. O que acontece com o triângulo ABC? O triângulo sempre existirá? 2.3 Apresentação de aplicações O segundo e terceiro dia de minicurso foram destinados à apresentação de atividades. No total foram 12 possibilidades de utilização do software no nível Ensino Fundamental e/ou Médio. Neste artigo relataremos uma das atividades (determinação da solução de um sistema de equações com 2 equações e 2 incógnitas) e indicamos o artigo de Góes e Colaço (2009) que apresenta mais uma das atividades de forma detalhada sobre o ensino das relações trigonométricas por meio de software de Geometria Dinâmica. A atividade escolhida para relatar neste trabalho refere-se à determinação da solução de

6 um sistema de equações através de método gráfico, conteúdo geralmente ministrado no 7º ano do Ensino Fundamental. Muitos professores desconhecem esta forma de obtenção da solução de um sistema de equações, mas cabe salientar aqui que o aluno precisa conhecer o software antes do professor aplicar a atividade, ou seja, o professor deve explorar com os alunos todas as ferramentas. Ainda para a realização desta atividade, sugerimos que exercícios de localização de pontos no plano cartesiano e representação e equações do 1º grau sejam trabalhados previamente com os alunos Método Gráfico de resolução de um sistema de equações com 2 equações e 2 incógnitas Cada equação de um sistema de equações de 2 equações e 2 incógnitas pode ser representada como uma reta no plano cartesiano. Através do método gráfico o aluno pode determinar a solução do sistema e vivenciar assim os métodos algébricos que sem uma atividade desta se torna algo totalmente abstrato. Como forma de ilustração vamos determinar a solução do sistema de equações x + y = 2 x y = 1 Ao iniciar a atividade os alunos (aqui nos referimos a alunos, pois descrevemos a atividade pensando em uma sala de aula) devem utilizar a ferramenta Exibir Grades para determinar o plano cartesiano (figura 02) e em seguida solicite que representem a equação x+y+2=0 determinando dois pontos quaisquer que satisfaçam a equação, por exemplo, A(2,-4) e B(-3,1) exibindo suas coordenadas e nomeando a reta obtida por r (figura 03). Figura 02 Exibição do Plano Cartesiano

7 Figura 03 Representação da equação x+y+2=0 O mesmo deve ser realizado para a equação x-y+1=0, tomando por exemplo os pontos C(1,2) e D(-2,-1) e nomeando a reta de s (figura 04). Figura 04 Representação da equação x-y+1=0 Sempre que buscamos resolver um sistema de equações dizemos aos alunos que procuramos valores de x e y que satisfaçam as duas equações ao mesmo tempo. Assim, podemos visualizar esta fala, pois verificando a figura 05 onde vemos que o ponto E(-1,5, -0,5) pertence as duas retas, sendo x=-1,5 e y=-0,5 a solução do sistema descrito no inicio desta seção.

8 Figura 05 Determinação da solução (Ponto E) Após esta atividade o professor deve apresentar os métodos de solução algébrica (comparação, adição e subtração) formalizando e justificando o resultado obtido pelo método gráfico. Em outro nível de ensino podem ser explorados sistemas que possuem infinitas soluções (quando a representação das equações são retas coincidentes) e sistemas que não possuem solução (quando a representação das equações são retas paralelas). Este mesmo conceito pode ser expandido para sistemas de 3 equações e 3 incógnitas, onde teremos planos ao invés de retas. 2.4 Análise de atividades elaboradas pelos participantes Várias atividades foram desenvolvidas pelos participantes, como exemplo, entregar ao aluno um arquivo com vários triângulos e pedir a classificação quanto a lado ou quanto aos ângulos. A atividade acima é de extrema importância para que os alunos consigam explorar as propriedades das figuras, o que não é tão trabalhado em sala de aula, deixando assim muito vago o ensino, pois muitas vezes o professor pretende cumprir um currículo ao invés de consolidar o conhecimento do aluno. Também houve sugestão de atividade onde os alunos determinam a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono convexo. Esta atividade mostra o quão importante é a Expressão Gráfica no ensino, pois através das observações em figuras conseguimos deduzir uma fórmula, ou seja, partimos da Geometria para a Álgebra. Outra atividade que merece destaque foi desenvolvida baseada em Góes e Colaço (2009), onde um dos participantes expandiu o conceito trabalhado por estes autores para as relações trigonométricas cossecante, secante e cotangente. Com esta última atividade tivemos a satisfação de solidificar nossas afirmações em atividades acadêmicas: Não adianta trabalhar apenas a teoria com professores que não são professores-pesquisadores. Dê um exemplo de atividade a um professor e este conseguirá desenvolver outras..

9 3 Considerações Finais Acreditamos que a Expressão Gráfica deve ser regatada no ensino e que o conhecimento na área de Matemática não pode se apoiar apenas no livro didático. Por isso discutimos e divulgamos algumas propostas sobre o uso da Geometria Dinâmica em sala de aula para aprimorar o conhecimento dos professores. Os resultados que obtivemos durante a execução do minicurso firma que estamos no caminho certo, pois a melhoria da qualidade do ensino e, conseqüentemente, da prática docente, envolve a formação continuada de professores para o uso de novas tecnologias. Verificamos também a ansiedade dos participantes/professores pela busca de novas propostas e softwares que colaborem para uma metodologia mais eficaz. Cada etapa do trabalho foi em si mesma conclusiva e não apresenta somente a aplicação de metodologia, mas também, uma mudança de postura e atitude do professor em sala de aula. Logo deste tipo de trabalho não se deve esperar resultados numéricos e sim resultados atitudinais em relação à metodologia e conteúdos a explorar. Assim, concluímos que a metodologia apresentada aos professores propõe a utilização de recurso que gera possibilidades de novos caminhos para a aprendizagem, reestruturando o ensino da Geometria através da construção do conhecimento solidificado, criando possibilidades reais inseridas nos contextos individuais de cada um de seus educandos tendo como principal ferramenta a Expressão Gráfica. Referências BARCELOS, G. T.; BATISTA, S. C. F.; AFONSO, F. F. A. Estudando poliedros com auxílio de software educacional. In: XI Encontro Baiano de Educação Matemática. Salvador, 2005 BORGES NETO, H. Construindo conceitos matemáticos com o Cabri-Géomètre. Disponível em < Acessado em 01 de jun. de GOES, A. R. T. ; COLAÇO, H.. A Geometria Dinâmica e o Ensino da Trigonometria. Revista Varia Scientia (UNIOESTE), ISOTANI, S.; BRANDÃO, L. O. imática: ambiente interativo de apoio ao ensino de matemática via internet. In: XXI Congresso da Sociedade Brasileira de Computação, p Fortaleza, 2001 JANZEN, Elen Andrea. A. Geometria Dinâmica. UFPR