GEOMETRIA MOMENTO 03

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1 CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA 4 DE ABRIL DE 2017 GEOMETRIA MOMENTO 03 Humberto José Bortolossi Universidade Federal Fluminense 1

2 UMA FIGURA AJUDA OU ATRAPALHA?

3 FIGURAS: PODERES E LIMITAÇÕES UMA FIGURA AJUDA OU ATRAPALHA? A seguir temos cinco passos de uma demonstração errada para o seguinte teorema falso: todo triângulo é isósceles'. Quais passos estão errados? Quais passos estão corretos? Separem-se em três grupos: o primeiro grupo tentará responder a estas perguntas só com o enunciado (cabe aos alunos deste grupo decidirem se farão ou não uso de uma figura por eles desenhados com lápis, régua e compasso); o segundo grupo tentará respondê-las com uma figura fornecida pelo professor; o terceiro grupo fará a atividade construindo a figura usando o GeoGebra. PASSO 1. No triângulo ABC, seja O o ponto de interseção da mediatriz FO do lado AB com a bissetriz CO do ângulo ACB. PASSO 2. Construa os segmentos OE perpendicular ao lado AC e DO perpendicular ao lado BC, respectivamente. PASSO 3. Os triângulos retângulos CEO e CDO são congruentes e, portanto, EO = DO e EC = DC. PASSO 4. Como AO = BO, o triângulo retângulo AEO é então congruente ao triângulo retângulo BDO e, assim, AE = BD. PASSO 5. isósceles. Consequentemente, AC = AE + EC = BD + DC = BC e o triângulo ABC é

4 FIGURAS: PODERES E LIMITAÇÕES UMA FIGURA AJUDA OU ATRAPALHA? A seguir temos cinco passos de uma demonstração errada para o seguinte teorema falso: todo triângulo é isósceles'. Quais passos estão errados? Quais passos estão corretos? Separem-se em três grupos: o primeiro grupo tentará responder a estas perguntas só com o enunciado (cabe aos alunos deste grupo decidirem se farão ou não uso de uma figura por eles desenhados com lápis, régua e compasso); o segundo grupo tentará respondê-las com uma figura fornecida pelo professor; o terceiro grupo fará a atividade construindo a figura usando o GeoGebra.

5 FIGURAS: PODERES E LIMITAÇÕES Imagem extraída de um livro didático: o gráfico da função g é uma parábola?

6 FIGURAS: PODERES E LIMITAÇÕES Imagem extraída de um livro didático: parábola?

7 FIGURAS: PODERES E LIMITAÇÕES Imagem extraída de um livro didático: algo de errado?

8 FIGURAS: PODERES E LIMITAÇÕES

9 FIGURAS: PODERES E LIMITAÇÕES

10 FIGURAS: PODERES E LIMITAÇÕES

11 FIGURAS: PODERES E LIMITAÇÕES UMA FIGURA AJUDA OU ATRAPALHA?

12 FIGURAS: PODERES E LIMITAÇÕES UMA FIGURA AJUDA OU ATRAPALHA? PIRÂMIDE DE HUFFMAN

13 INTERLÚDIO HISTÓRICO : MORTE E RENASCIMENTO DA GEOMETRIA (DIEUDONNÉ, BOURBAKI, COXETER)

14 DIEUDONNÉ, BOURBAKI, COXETER

15 ATÉ QUE PONTO FIGURAS PODEM SER USADAS EM DEMONSTRAÇÕES MATEMÁTICAS?

16 TEMA DE MONOGRAFIA

17 FIGURAS PROTOTÍPICAS: COMPONENTE FIGURAL COMPONENTE CONCEITUAL

18 COMPONENTE FIGURAL COMPONENTE CONCEITUAL 18

19 COMPONENTE FIGURAL COMPONENTE CONCEITUAL 19

20 COMPONENTE FIGURAL COMPONENTE CONCEITUAL Os exemplos e exercícios propostos são, em geral, aqueles cujas soluções são baseadas em operações aritméticas do tipo calcule ou em equações determine o valor de x. 20

21 COMPONENTE FIGURAL COMPONENTE CONCEITUAL Assim, para os alunos, a posição relativa do desenho quanto a borda da página, o traçado particular do segmento, a operação aritmética ou a equação utilizada passam a fazer parte das características do objeto estabelecendo desequilíbrios na formação dos conceitos. 21

22 COMPONENTE FIGURAL COMPONENTE CONCEITUAL A operação de multiplicação substitui o conceito de área, a soma substitui o conceito de perímetro, o Teorema de Tales e a semelhança de triângulos se escondem em equações complicadas e o Teorema de Pitágoras acaba se reduzindo a uma pura aplicação da equação de segundo grau. 22

23 COMPONENTE FIGURAL COMPONENTE CONCEITUAL O aspecto de construção dos objetos geométricos raramente é abordado; dificilmente encontramos no livro escolar a instrução construa, e no entanto está é uma das atividades que leva o aluno ao domínio de conceitos geométricos. Mais difícil ainda é encontrar questões do tipo o que podemos dizer nesta situação? ou que regularidades percebemos?, onde estratégias de investigação devem ser estabelecidas. (Gravina, 1996, p. 2) 23

24 GEOMETRIA DINÂMICA No sentido de evitar que características de representação sejam confundidas com as propriedades matemáticas dos objetos geométricos, devemos passar para um tratamento de desenhos em movimento onde particularidades da representação desapareçam quando impomos ao desenho movimentos de translação, rotação, entre outros. Neste contexto, os softwares de geometria dinâmica são especialmente convenientes. 24

25 GEOMETRIA DINÂMICA De fato: uma construção geométrica feita no papel com lápis, régua e compasso ou no quadro com giz é estática e, desta maneira, uma vez feita, ela não pode ser modificada. Para gerar outros exemplos, o professor ou o aluno deverá repetir o mesmo procedimento da construção com outros dados iniciais, o que é tedioso e toma um tempo precioso de sala de aula com uma atividade repetitiva. 25

26 GEOMETRIA DINÂMICA Em um software de geometria dinâmica, por outro lado, a construção é feita apenas uma única vez, com mais precisão e de tal modo que os elementos geométricos da construção podem ser alterados para gerar uma quantidade grande de exemplos. 26

27 GEOMETRIA DINÂMICA Mais ainda: ao mover os elementos geométricos da construção, as relações geométricas (pertinência, paralelismo, etc.) entre estes elementos são mantidas. Com isto, ao interagir com um software de geometria dinâmica, o aluno encontrará um ambiente propício à visualização, análise e dedução informal das relações geométricas da construção a partir do qual deduções formais e rigorosas podem ser construídas posteriormente. 27

28 DISSERTAÇÃO DO EDILSON MACHADO Uma seleção de exercícios, organizados por nível de dificuldade, onde o aluno deve: (1) implementar a construção sugerida no exercício, (2) estudá-la movendo os elementos livres da construção, (3) formular uma conjectura para o invariante geométrico da construção e (4) provar sua conjectura. Vamos praticar? 28

29 O QUE É GEOMETRIA? POR QUE ENSINÁ-LA NA ESCOLA?

30 GEOMETRIA: O QUE É? POR QUE ENSINAR?