A UUL AL A 5 Introdução à ágebra Na figura abaixo, a baança está em equiíbrio e as três meancias têm o mesmo peso. Nessas condições, qua é o peso (em ) de cada meancia? Para pensar 3 Uma barra de rapadura pesa 1 mais meia barra de rapadura. Quanto pesa a barra de rapadura? Hoje, Isabe tem 40 anos e seu fiho André tem anos. Daqui a quantos anos a idade de André será igua à metade da idade da mãe? Na Aua 44 você viu que, em inguagem matemática, podemos representar um número, uma quantidade ou até mesmo uma frase, usando etras. Na aua de hoje, vamos aprofundar um pouco mais esse assunto, estudando uma parte da Matemática chamada ágebra. A ágebra se caracteriza fundamentamente peo uso de etras e é uma ferramenta poderosa na soução de muitos probemas. Vamos começar com um exempo bem simpes. Nossa aua
A U L A EXEMPLO 1 A soma de dois números consecutivos é 13. Quais são esses números? Este é um probema com quantidades pequenas. Por isso, é possíve cacuar mentamente que os números são 6 e 7. Mas, como na vida rea nós nem sempre trabahamos com quantidades pequenas, vamos aprender a equacionar e a resover probemas como esse. Primeiro, vamos equacionar o probema: dois números consecutivos _ x e x + 1 sua soma é 13 _ x + (x + 1) = 13 Agora, vamos resover a equação: x + (x + 1) = 13 x + x + 1 = 13 Eiminando os parênteses e juntando os termos semehantes. x + 1 = 13 x + 1-1 = 13-1 Subtraindo 1 dos dois membros. x + 0 = 1 x = 1 x = 1 x = 6 Dividindo os dois membros por. Então, x = 6 e x + 1 = 7. Ou seja, os números procurados são 6 e 7. O que é uma equação? Um dos significados apresentados peo dicionário para a paavra equa- ção é este: quaquer iguadade entre seres matemáticos que só é satisfeita para aguns vaores. De um modo mais simpes, podemos dizer que toda equação tem: uma etra que indica um número desconhecido; um sina de iguadade (=). A etra é a incógnita da equação. Por exempo: na equação x + 5 = 1, a etra x é a incógnita, isto é, o termo desconhecido. A paavra incógnita significa desconhecida e a paavra equação significa iguadade (o prefixo -equa, em atim, quer dizer igua). Numa equação, a expressão que fica à esquerda do sina de igua é chamada de 1º membro e a que fica à direita é chamada de º membro. x + 5 = 1 { { 1º membro º membro
Resover uma equação sem perder o equiíbrio Podemos comparar uma equação a uma baança em equiíbrio. A U L A 10 Isso significa que os dois pratos devem estar em equiíbrio. Se aguma coisa for acrescentada a um dos pratos, um peso igua deve ser acrescentado ao outro prato, para não se perder o equiíbrio. E o mesmo deve ser feito quando aguma coisa é retirada de um dos pratos. Na baança da figura anterior, as abóboras mais um peso de somam um peso igua a 10. Isso pode ser escrito da seguinte maneira: x + = 10, onde x é a incógnita que representa o peso de cada abóbora. x + 10 Retirando o peso de de um dos pratos, temos que retirar um peso igua do outro prato, que ficará com. x x 4 + 4 Substituindo o peso de por dois de 4, podemos perceber que cada abóbora pesa 4. x 4 Portanto, x = 4.
A U L A Traduzindo para a inguagem matemática, fica assim: x + = 10 Subtraindo dos dois membros. x + - = 10-0 x = x = x = 4 Dividindo por os dois membros. Uma das etapas na soução de um probema é verificar se a resposta encontrada está correta. Para isso, devemos substituir na equação o vaor encontrado, no caso x = 4. x + = 10. 4 + = 10 + = 10 10 = 10 Um pouco de História A paavra ágebra tem origem na paavra árabe a-jabr (às vezes também escrita como a-gebr), títuo de um ivro escrito em Bagdá, por vota do ano 5, peo matemático árabe Mohammed A-Khowarizmi: Livro sobre as opera- ções a-jabr e qabaah. O termo a-jabr significa restauração e refere-se à transposição de termos para o outro ado da equação: 6x = x + 6x - x = Subtraindo x dos dois membros. O termo qabaah significa equiíbrio e refere-se à redução de termos semehantes: 6x - x = 4x = x = : 4 x = A-Khowarizmi resovia as equações de modo semehante a nós. A diferença é que tudo era expresso em paavras. O primeiro matemático a escrever as equações usando etras, por vota de 1590, foi François Viète. Por isso, ee é chamado de Pai da Ágebra. A partir de então, as equações passaram a ser interpretadas como as entendemos hoje: Equação é o idioma da ágebra.
Exercício 1 A soma de dois números consecutivos é 1.349. Quais são esses números? Exercício Resova as equações: Exercícios A U L A 5 a) 4x + = 14 b) 4(x - ) = 3 (x - 1) c) x - 1 = 6 Exercício 3 Uma caneta custa R$ 1,00 a mais que um ápis. Comprei canetas e 4 ápis e gastei R$ 3,0. a) Escreva uma equação que soucione o probema. b) Qua o vaor de cada caneta? c) Qua o vaor de cada ápis? Exercício 4 Somando 6 ao tripo de um número, o resutado é 4. Qua é esse número?