Lista 12: Oscilações NOME: Turma: Prof. : Matrícula: Importante: i. Nas cinco páginas seguintes contém problemas para se resolver e entregar. ii. Ler os enunciados com atenção. iii. Responder a questão de forma organizada, mostrando o seu raciocínio de forma coerente. iv. Analisar a resposta respondendo: ela faz sentido? Isso lhe ajudará a encontrar erros! 1. Sobre um trilho horizontal de ar, um corpo oscila na extremidade de uma mola ideal de constante elástica 2,50 N/cm. O gráfico da figura mostra a aceleração do corpo em função do tempo. Encontre: a) a amplitude de oscilação; b) a massa do corpo; c) a força máxima que a mola exerce sobre o corpo; d) escreva a equação para o deslocamento em função do tempo. 1
2. Um bloco de 1,0 kg está sobre uma superfície horizontal sem atrito e preso a uma mola ideal horizontal. É necessário aplicar uma força horizontal F = 20,0 N ao bloco para mantê-lo em repouso a 0,20 m de sua posição de equilíbrio. Cessada a aplicação da força F o bloco executa um MHS. Determine: a) O período e a freqüência do movimento, b) A aceleração máxima do bloco, c) A velocidade máxima do bloco, d) A energia cinética do bloco em função de sua posição x. 2
3. Um bloco de massa M repousa sobre uma superfície sem atrito e está preso a uma mola horizontal cuja constante elástica é k. A outra extremidade da mola está presa a uma parede. Um segundo bloco de massa m, repousa sobre o primeiro. O coeficiente de atrito estático entre os blocos é µ e. a) Faça o diagrama de corpo livre de cada bloco, na posição de equilíbrio; b) Faça o diagrama de corpo livre de cada bloco em uma posição à direita da posição de equilíbrio, c) Mostre que a amplitude máxima possível do MHS para o bloco m não deslizar sobre o bloco M é (M + m)µ e g/k. m M 3
4. Um bloco de massa m está sobre uma superfície horizontal e preso a uma mola ideal de constante elástica k. Outro bloco de massa M é encostado no bloco m, como mostra a figura, empurrando-os de modo a comprimir a mola de X. Nesta posição, o sistema é abandonado do repouso e desliza sobre a superfície sem atrito. a) A partir de qual posição um bloco perderá o contato com o outro? b) Qual a distância entre os blocos quando o bloco m atingir o repouso pela 2 a vez? Dados: X = 10,0 cm e M = 3m M m 4
5. Um cilindro sólido de massa M = 4,0 kg está sobre uma superfície horizontal, preso pelo seu eixo a uma mola ideal horizontal de constante elástica k = 2,70 N/cm. O cilindro é afastado de 20,0 cm de sua posição de equilíbrio e abandonado a partir do repouso. O cilindro rola sem deslizar. a) Mostre que o CM do cilindro executa um MHS com período de =23M 2. b) Calcule as energias cinéticas de translação e de rotação do cilindro quando este passar pela posição de equilíbrio, 5 Questões:
(A) Em um oscilador harmônico simples como é afetada, pela duplicação da amplitude, cada uma das seguintes grandezas: período, energia mecânica total, velocidade máxima e aceleração máxima? (B) Suponha que se dobre a massa da haste delgada do pêndulo de um relógio, sem alterar as suas dimensões. O que acontecerá com o tempo medido por este relógio? (C) Haveria alguma mudança na freqüência de oscilação de um pêndulo de torção, se ele fosse levado para a Lua? E se fosse um pêndulo simples? Um oscilador massa-mola? Um pêndulo físico? (D) Uma pessoa está em pé sobre uma balança de banheiro que está sobre uma plataforma suspensa por uma grande mola. A plataforma executa um movimento harmônico simples vertical. Descreva a variação de leitura da escala da balança durante um período. (E) Como se pode usar um pêndulo para traçar uma curva senoidal? 6 Exercícios e Problemas 1. Um bloco de massa M preso a uma mola de constante k descreve um movimento harmônico simples horizontal com amplitude A 1. No instante em que o bloco passa pela posição de equilíbrio, um pedaço de massa de vidraceiro, de massa m, cai verticalmente de uma pequena altura sobre o bloco e gruda nele. a)calcule a nova amplitude e o período. b) repita o item (a) supondo que a massa caia sobre o bloco no instante em que ele está na extremidade de sua trajetória. 2. Um corpo oscila em MHS de acordo com a equação x = 6,12 cos[8,38 t + 1,92], t em s e x em m. Calcule para o instante t = 1,90 s: a) a posição; b) a velocidade; c) a aceleração d) a frequência e o período. 3. Em uma máquina de costura, a ponta da agulha executa um MHS com freqüência igual a 2,5 Hz. Em t = 0, a posição e a velocidade da ponta da agulha são respectivamente 1,10 cm e -15,0 cm/s. a) Qual a aceleração da agulha em t = 0? b) Escreva as equações em função do tempo para a posição, velocidade e aceleração da ponta da agulha. 4. Um oscilador consiste em um bloco preso a uma mola de constante elástica 456 N/m. Num dado instante o bloco passa pela posição 0,112 m, medida em relação a sua posição de equilíbrio, com velocidade de -13,6 m/s e aceleração de -123 m/s 2. Calcule a massa do bloco, a freqüência e a amplitude de oscilação. 5. Este processo tem sido realmente usado para pesar astronautas no espaço. Uma cadeira de 42,5 kg é presa a uma mola e deixada oscilar livremente. Quando vazia, a cadeira leva 1,30 s para completar uma oscilação. Mas, com uma astronauta sentada nela, sem apoiar os pés, no chão, a cadeira leva 2,00s para completar um ciclo. Qual é a massa da astronauta? 6. Uma bola de 0,150kg e outra de 0,200 kg são coladas uma na outra, a mais leve embaixo da mais pesada. A bola de cima é presa a uma mola vertical ideal de constante elástica igual a 165 N/m, e o sistema está vibrando verticalmente com uma amplitude de 15,0 cm. A cola usada para juntar as bolas é
velha e fraca, e cede de repente, quando as bolas estão na posição mais baixa de seu movimento. (a) Por que é mais provável que a cola ceda no ponto mais baixo e não em qualquer outro ponto do movimento? (b) Calcule a amplitude e a freqüência das vibrações depois que a bola houver se soltado. 7. Um disco de metal uniforme, de massa igual a 6,50 kg e diâmetro igual a 24,0 cm está na horizontal, suspenso pelo seu centro por um fio de metal. Você descobre que é preciso aplicar uma força horizontal de 4,23N tangente à borda do disco para girá-lo de 3,34 0, torcendo, assim, o fio de metal. A seguir você remove essa força e libera o disco a partir do repouso. (a) Qual é a constante de torção do fio de metal? (b) Qual é a freqüência e o período das oscilações de torção do disco? (c) Escreva a equação do movimento para θ(t) do disco. 8. Ao bloco de massa m conectam-se duas molas de constantes elásticas k 1 e k 2 como mostram as Figs.(a) e (b). Em cada caso, o bloco realiza um movimento periódico de pequena amplitude, sobre uma superfície horizontal sem atrito depois de ser deslocado da posição de equilíbrio e solto. Mostre que o período da oscilação no caso (a) é =2 e no caso (b) é2 Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 9. Um pêndulo é constituído por uma partícula de massa M pendurada na extremidade de uma barra fina de massa desprezível e comprimento L. Uma mola de constante elástica k é conectada a barra a uma distância h abaixo do ponto de suspensão, Fig. 2. Encontre a frequência angular do sistema para valores pequenos da amplitude θ. 10. Uma barra delgada e homogênea de massa M (Fig. 3) possui um pivô em uma das extremidades e na outra, uma mola vertical de constante elástica k. Mostre que a barra quando deslocada de um pequeno ângulo θ de sua posição de equilíbrio horizontal e liberada, realiza um movimento harmônico simples de freqüência angular 3 M. Respostas: 1)a) ; 2 ; b) ; 2 2)a) 3,27 m; b) 43,4 m/s; c)-229 m/s 2 ; d) 1,33 Hz e 0,749 s 3)a)-271 cm/s 2 ; b) x(t) =1,46cos(15,7.t + 0,717) e v(t) = -22,9 sen(15,7.t +0,717) 4) a)0,415 kg; 5,28 Hz; 0,425 m 5) 58,1 kg 6) b) 15,9 cm e 4,57 Hz 7) a) 8,71 Nm/rad; b) 2,17 Hz e 0,462 s; c) θ(t)=0,0583 cos(13,6.t) 9) 7