Estudo Dirigido - Desvendando a Geometria Analítica: Distância entre dois pontos Conteúdo: Plano Cartesiano Público-alvo: Alunos de Ensino Médio Competências; Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnicocientíficas, usando representações algébricas. Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela. Habilidades: Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional. Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas. O que é um aparelho de GPS? Você já usou um aparelho de GPS para se localizar? Quais são as aplicações do GPS? Como funciona o GPS? Conceitos iniciais Provavelmente você já ouviu falar do sistema de posicionamento global, normalmente chamado de GPS. Esse nome vem do inglês (Global Positioning System), uma vez que o GPS foi criado pelo governo dos Estados Unidos para fins militares e, depois, foi disponibilizado à população civil. Existem 24 satélites que circundam a Terra duas vezes por dia, a uma altitude de aproximadamente 20.000km. As órbitas dos satélites foram feitas de tal forma que, a qualquer
instante e em qualquer ponto da superfície do planeta, quatro satélites são sempre visíveis, ou seja, estão no céu em uma posição que permite que os sinais por eles emitidos possam ser captados. A partir do sinal emitido pelos satélites, um aparelho receptor é capaz de determinar sua posição e altitude na Terra, com uma margem de erro de até 2m. Para o sistema militar americano, a margem de erro é de 2 cm. Isso é possível porque os satélites emitem simultaneamente seus sinais, usando micro-ondas. O aparelho receptor é programado de tal forma que sabe quando o sinal foi emitido e, usando um relógio interno, ele descobre quanto tempo o sinal levou para sair do satélite e chegar até ele. Como a velocidade da onda também é conhecida, o receptor pode calcular sua distância até o satélite (d = v.t). O sinal do satélite mostra sua posição no espaço; usando um pouco de Geometria Analítica Espacial, o receptor consegue determinar as coordenadas de sua própria posição, ou seja, o receptor pode informar ao usuário onde ele está. Mas o que é a Geometria Analítica? A Geometria Analítica foi criada por René Descartes, por volta de 1630. O principal objetivo de seu criador era mostrar um novo modo de pensar, de analisar e resolver problemas de geometria. Assim, a Geometria Analítica não é um conteúdo em si, mas uma estratégia de resolução de problemas de geometria. Até a criação da Geometria Analítica, todos os problemas de geometria só eram resolvidos com os conhecimentos clássicos desse assunto: congruência ou semelhança de figuras, teoremas que permitiam o cálculo de áreas, volumes e comprimento de segmentos, relações de proporcionalidade entre segmentos e propriedades das figuras em geral. Descartes foi o primeiro a perceber que, além de todo esse arsenal, os problemas de geometria podiam ser atacados, usando-se a álgebra. A Geometria Analítica, então, é como um dicionário entre a Álgebra e a Geometria. Qualquer questão geométrica é traduzida em uma propriedade algébrica, sendo o problema resolvido do ponto de vista algébrico e sua resposta, traduzida de volta para a Geometria. Alguns problemas para ativar o pensamento... 1) A Terra é uma esfera de aproximadamente 6 300km de raio. Como foi dito no texto, os satélites GPS orbitam a Terra a 20 000km de altitude. Faça um desenho, em escala, mostrando a Terra e a órbita de um satélite GPS. Deixe claro, também, qual foi a escala utilizada. 2) Se apenas um satélite GPS for visível no céu, por que não é possível determinar a posição do receptor na superfície terrestre?
O plano cartesiano A principal ideia da Geometria Analítica é o plano cartesiano. Considere um plano e nele marque duas retas perpendiculares entre si, no ponto O, chamado de origem. Essas retas são chamadas de eixos coordenados. A primeira reta (normalmente desenhada na horizontal) é chamada de eixo das abscissas ou eixo x e é representada por OX. A segunda reta (normalmente desenhada na vertical) é chamada de eixo das ordenadas ou eixo y e é representada por OY. Cada ponto dos eixos corresponde a um número real, de tal forma que o ponto O (comum aos dois eixos) representa o número zero. Normalmente representamos os números positivos do eixo x à direita de O e os números positivos do eixo y acima de O. Para indicar a posição dos números positivos de cada eixo, colocamos uma pequena seta na direita do eixo x e na parte superior do eixo y, como mostra a figura. Os eixos coordenados Embora seja muito comum, não é obrigatório que o eixo x seja horizontal e o eixo y seja vertical. Na realidade, basta que eles sejam perpendiculares e que para ir do lado positivo do eixo x para o lado positivo do eixo y, o ângulo de 90 o seja percorrido no sentido anti-horário. Eixos cartesianos posição válida
Dado um ponto qualquer P do plano cartesiano, traçamos uma reta perpendicular ao eixo x, passando por P e uma reta perpendicular ao eixo y, passando por P. Considere que essas retas cortam os eixos x e y, respectivamente, nos pontos A e B. Suponha, também, que aos pontos A e B correspondem, respectivamente, os números a e b. Dessa forma, dizemos que o ponto P possui coordenadas (a,b). O número a é chamado de abscissa de P e o número b é chamado de ordenada de P. Representação do ponto P de coordenadas (2,3) Como você pode perceber, o plano cartesiano não é uma novidade. Já o utilizamos na construção de gráficos de funções e também no ciclo trigonométrico, para definir o seno e o cosseno de um número real. Mais alguns problemas para você pensar... 1) Considere uma reta numerada e uma pessoa na origem (posição p = 0). A cada segundo, essa pessoa joga uma moeda para cima. Se o resultado é cara, ela anda uma unidade para a direita e, se o resultado é coroa, ela anda uma unidade para a esquerda. a) Faça alguns lançamentos de moeda e represente, em um desenho, o caminho seguido por essa pessoa, até o primeiro momento em que ela retorna à origem. b) Quantas vezes você teve que lançar a moeda, até retornar à origem? c) Qual o ponto mais afastado da origem que foi alcançado? d) Todos, na sua sala, conseguiram fazer um caminho que retorna à origem. Em média, isso foi feito com quantos movimentos? 2) Considere o plano cartesiano e uma pessoa na origem, com duas moedas, uma de R$ 0,25 e outra de R$ 1,00. A cada segundo, as duas moedas são lançadas e, de acordo com o resultado, ocorre uma ação, conforme a tabela:
Resultado do lançamento da moeda de R$ 0,25 Resultado do lançamento da moeda de R$ 1,00 Ação Cara Cara Ir uma unidade para a direita Cara Coroa Ir uma unidade para a esquerda Coroa Cara Ir uma unidade para cima Coroa Coroa Ir uma unidade para baixo a) Faça alguns lançamentos de moeda e represente, em um desenho, o caminho seguido por essa pessoa, até o primeiro momento em que ela retorna à origem.. b) Quantas vezes você teve que lançar a moeda, até retornar à origem? c) Qual o ponto mais afastado da origem que foi alcançado? d) Todos, na sua sala, conseguiram fazer um caminho que retorna à origem. Em média, isso foi feito com quantos movimentos? 3) A figura abaixo mostra o mapa de uma região do Brasil, na qual foram colocados os eixos cartesianos. Determine as coordenadas dos pontos correspondentes às cidades de: a) Belo Horizonte b) Salvador c) Brasília d) Curitiba
4) Uma formiga estava sobre uma mesa, na qual se definiram os eixos cartesianos. Inicialmente ela estava na origem, mas foi em linha reta até o ponto A(2,3). Ao chegar ao ponto A, ela fez uma curva e foi em linha reta até o ponto B(-3,-4). Faça uma figura representando a trajetória seguida por essa formiga. 5) Na figura abaixo estão representados um quadrado e um triângulo equilátero, ambos com lado 5. Determine as coordenadas dos vértices de cada um desses polígonos. 6) Dados os pontos A(2,3), B(5,7), C(-3,-4) e D(5,-3), represente no plano cartesiano os segmentos AB e CD. Esses segmentos são paralelos? 7) Você está no ponto A(5,-3) e deseja chegar ao ponto B(-6,4). Porém os segmentos CD, EF e GH são muros intransponíveis e você não pode atravessá-los. Considere C = (2,-5), D=(7,1), E = (1,2), F = (3,5), G = (-2,3) e H = (-7,-2). a) Faça um desenho representando essa situação e responda: para se ir em linha reta de A até B, quantos muros deveriam ser atravessados? b) Você decide, então, ir em linha reta de A, até um ponto J do terceiro quadrante e, depois, novamente em linha reta, ir de J até B, sem atravessar muro algum. Determine as coordenadas de um ponto J, com essas características. Fonte: Alves, Laurito e Alves, Cecília Geometria Analítica para todos. Edição Particular - 2013 BH.