UNIDADE V I I I geometria CAPÍTULO 5 Poliedros 1 (UEL PR) Um retângulo é inscrito no triângulo eqüilátero de lado a, de modo que a base do retângulo está contida na base do triângulo, como ilustra a figura abaixo. Banco de questões (UEL PR) Considere o cubo de aresta cm e vértices ABCDEFGH. Considere o ponto P situado no prolongamento da aresta EA, de modo que PA = 5 cm, como está estabelecido na figura. Se a altura do retângulo é a, então a área do retângulo em função do lado do triângulo é dada por: a ) A = a 9 7 b ) A = a 9 + 7 c ) A = a 9 18 d ) A = a 9 + 18 e ) A = a (UEL PR) Um engenheiro deseja projetar um bloco vazado, cujo orifício sirva para encaixar um pilar. O bloco, por motivos estruturais, deve ter a forma de um cubo de lado igual a 80 cm e o orifício deve ter a forma de um prisma reto de base quadrada e altura igual a 80 cm, conforme as figuras seguintes. É exigido que o volume do bloco deva ser igual ao volume do orifício. É correto afirmar que o valor L do lado da base quadrada do prisma reto corresponde a: a ) 0 cm b ) 40 cm c ) 50 cm d ) 60 cm e ) 80 cm A maior e a menor aresta lateral da pirâmide PEFGH medem, respectivamente: a ) 8 cm e 8 cm b ) 8 cm e 4 cm c ) 4 cm e 8 cm d ) 0 cm e 10 cm e ) 1 cm e 8 cm 4 (UEPB PB) A figura seguinte apresenta um retângulo ABCD e um triângulo eqüilátero ECD. A área da região sombreada será: a ) 5 m b ) m c ) m d ) 5 m e ) 4 m 5 (UEPB PB) Aumentando 5 unidades o número de lados de um polígono, o número de diagonais aumenta 40 unidades. Esse polígono é o: a ) heptágono b ) pentágono c ) hexágono d ) octógono e ) eneágono
6 (UEPB PB) A área total do sólido obtido através da rotação da figura plana ABCD em torno de AD, é igual a: médios dos lados da base ABCD, conforme figura abaixo. a ) 60π cm b ) 88π cm c ) 104π cm d ) 14π cm e ) 5π cm 7 (UEPB PB) Seja V o conjunto dos vértices de uma pirâmide de base pentagonal. O número de triângulos cujos vértices estão em V será: a ) 10 b ) 0 c ) 0 d ) 40 e ) 10 8 (Uespi PI) Os triângulos ABC e DEF, representados na figura abaixo, são eqüiláteros de mesma área, e o hexágono central é regular. Considere A H e A T como sendo as áreas do hexágono central e do triângulo ABC, respectivamente, e P H e P T os perímetros do hexágono central e do triângulo DEF, respectivamente. Nessas condições, é correto afirmar que: a ) P H é igual à terça parte de P T Na face PQV 1 foi feita no vidro, uma abertura de área igual a 6 m, para possibilitar o acesso do público. Na construção da parte lateral da pirâmide PQRSV 1, sem a porta, foram gastos, em vidro, o equivalente a, x metros quadrados. Nessas condições, é correto afirmar que o inteiro mais próximo do valor mínimo de x é: (Considere = 5, 74.) a ) 146 m b ) 196 m c ) 4 m d ) 97 m e ) 15 m 10 (UFAM AM) Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces é 6480. O número de vértices deste prisma é igual a: a ) b ) 10 c ) 8 d ) 1 e ) 0 11 (UFES ES) Um terreno em forma de um quadrado de 4 m de lado deve ser aproveitado na construção de um shopping center com quatro lojas triangulares e uma praça de alimentação em forma de um trapézio, conforme mostra a figura abaixo. Nessa figura, x representa o valor do lado de uma das lojas para o qual a área da praça de alimentação é máxima. Para esse valor de x, o perímetro da praça, em metros, é: 10m b ) P H é igual à metade de P T c ) P T é o triplo de P H d ) A H é igual à terça parte de A T e ) A H é igual a dois terços de A T 9 (Uespi PI) Para a exposição dos quadros de um famoso pintor do século XVI, num salão de forma piramidal regular, de base quadrada medindo AB = 0 m e altura VH = 6 m, em que H situa-se no meio do quadrado da base ABCD, foi montada uma nova pirâmide PQRSV 1, agora de vidro, também regular, com altura igual a da altura do salão e os pontos P, Q, R e S situados nos pontos x a ) 5 + 4 b ) 46 + 7 c ) 40 + 40 d ) 4 + 4 e ) 8 + 46 x 10m
1 (UFES ES) A base de uma piscina de paredes verticais é formada por duas plataformas retangulares horizontais, situadas em níveis diferentes, as quais correspondem à parte rasa e à parte funda da piscina, além de uma rampa também retangular, interligando as plataformas, conforme mostra a figura abaixo. A largura da piscina é de 5 m, as duas plataformas têm comprimento de 4 m e 6 m, respectivamente, e o comprimento da piscina é 1 m. A água da piscina está em repouso, o nível de água na parte rasa é 0, 5 m e o nível da água na parte funda é 15, m. 0,5m 4m m 6m 5m 1,5m 0,15m Determine: a ) o volume da água da piscina, em litros b ) o volume de água, em litros, que é necessário despejar na piscina para elevar o nível da água em 10 cm 1 (UFMG MG) Na Figura I, está representado um retângulo, cuja base mede 5 cm e cuja altura mede 9 cm. Esse retângulo está dividido nas regiões α, β e γ. Sem que haja qualquer superposição delas, essas regiões podem ser reagrupadas, formando um quadrado, como mostrado na Figura II. Então, é correto afirmar que a área da região α mede: a ) 4 cm c ) 0 cm b ) 8 cm d ) cm 14 (UFMG MG) Nesta figura, estão representados o cubo ABCDEFGH e o sólido OPQRST: do cubo. Então, é correto afirmar que a área lateral total do sólido OPQRST mede: a ) 8 cm c ) 16 cm b ) 8 cm d ) 16 cm 15 (UFMG MG) As dimensões a, b e c, em cm, de um paralelepípedo retângulo são as raízes do polinômio p( x) = 6x 44x + 10x 77. 1. Calcule o volume desse paralelepípedo.. Calcule a soma das áreas das faces desse paralelepípedo.. Calcule o comprimento da diagonal desse paralelepípedo. 16 (UFMG MG) Nesta figura, está representado o prisma reto ABCDEF, cuja base é um triângulo retângulo, em que BAC é o ângulo reto: Sabe-se que: as arestas AB, AC e AD medem, respectivamente, 4 cm, 8 cm e cm; M e N são, respectivamente, os pontos médios dos segmentos EF e DF. 1. Calcule a área do quadrilátero ABMN.. Calcule o volume do sólido ABEDMN. 17 (UFRN RN) Tem-se uma folha quadrada, com lado medindo 1 metro. Cortando-se triângulos isósceles congruentes dos quatro cantos do quadrado, obtém-se uma folha na forma de um octógono regular, de área S, conforme a figura. Cada aresta do cubo mede 4 cm e os vértices do sólido OPQRST são os pontos centrais das faces O valor de S, em m, é: 1 a ) b ) c ) d )
18 (Unesp SP) Dado um poliedro com 5 vértices e 6 faces triangulares, escolhem-se ao acaso três de seus vértices. a ) π b ) π c ) 4 π d ) 5 π e ) 7 π A probabilidade de que os três vértices escolhidos pertençam à mesma face do poliedro é: a ) 10 c ) 5 e ) 6 5 1 (Fuvest SP) A figura representa um retângulo ABCD, com AB = 5 e AD =. O ponto E está em CD de maneira que CE = 1, e F é o ponto de interseção da diagonal AC com BE. Então, a área do triângulo BCF vale: b ) 1 6 d ) 1 5 19 (Unesp SP) Para calcularmos o volume aproximado de um iceberg, podemos compará-lo com sólidos geométricos conhecidos. O sólido da figura, formado por um tronco de pirâmide regular de base quadrada e um paralelepípedo reto-retângulo, justapostos pela base, representa aproximadamente um iceberg no momento em que se desprendeu da calota polar da Terra. As arestas das bases maior e menor do tronco de pirâmide medem, respectivamente, 40 dam e 0 dam, e a altura mede 1 dam. a ) 6 5 b ) 5 4 c ) 4 d ) 7 5 e ) Passado algum tempo do desprendimento do iceberg, o seu volume era de 100 dam, o que correspondia a do volume inicial. Determine 4 a altura H, em dam, do sólido que representa o iceberg no momento em que se desprendeu. 0 (Fuvest SP) Na figura, OAB é um setor circular com centro em O, ABCD é um retângulo, e o segmento CD é tangente em x ao arco de extremos A e B do setor circular. Se AB = e AD = 1, então a área do setor OAB é igual a: (Fuvest SP) A figura representa um trapézio ABCD de bases AB e CD, inscrito em uma circunferência cujo centro O está no interior do trapézio. Sabe-se que AB = 4, CD = e AC =. a ) Determine a altura do trapézio. b ) Calcule o raio da circunferência na qual ele está inscrito. c ) Calcule a área da região exterior ao trapézio e delimitada pela circunferência.
(UFG GO) No trapézio ABCD abaixo, AB mede a, DC mede b, M é o ponto médio de AD e N é o ponto médio de BC. Nestas condições, a razão entre as áreas dos trapézios MNCD e ABNM é igual a: a ) a + b a + b b ) a + b a + b c ) a + b a + b d ) a + b a + b e ) a + b a + b 4 (UFMS MS) A área de um retângulo de base com comprimento β u, inscrito num círculo de raio igual a u, sendo u a unidade de comprimento, é dada em função de β por: a ) β 16 β u b ) β 8 β u c ) β 4 β u d ) β β u e ) β ( β)u 5 (UFMS MS) A figura abaixo representa uma pirâmide quadrangular regular em que a base é o quadrado ABCD de lado 5u e a distância do vértice E ao plano da base é igual a u, sendo u a unidade de comprimento. Julgue em verdadeiras ou falsas as afirmativas abaixo. o volume da pirâmide é 5 u a área da base da pirâmide é 5 u 4 o comprimento de cada aresta lateral é u a distância do ponto D à reta que passa pelos 5 pontos A e C é igual a u o triângulo ABE é eqüilátero 6 (UFPB PB) Um agricultor possui um terreno plano retangular, medindo 00 m de largura por 600 m de comprimento, totalmente subdividido em quadrados de lado m. Em cada vértice desses quadrados, foi plantado um único pé de macaíba. Com base nessas informações, o número total de pés de macaíba plantados é: a ) 0000 b ) 18000 c ) 000 d ) 001 e ) 0100 7 (UFPI PI) Dentre as alternativas a seguir, há uma única na qual constam as medidas dos lados de um triângulo cujo perímetro, medido em cm, é numericamente igual a sua área, medida em cm. Assinale-a: a ) 14 cm, 11 cm e 6 cm b ) 1 cm, 10 cm e 5 cm c ) 1 cm, 1 cm e 5 cm d ) 14 cm, 1 cm e 6 cm e ) 1 cm, 11 cm e 6 cm 8 (UFPI PI) Assinale a alternativa na qual consta a área superficial, medida em cm, do poliedro regular cujos vértices são os centros das faces de um cubo cuja aresta mede a cm: a ) a b ) a c ) a d ) a e ) a 9 (UFPE PE) Um fazendeiro queria construir um cercado em forma de um retângulo para criar gado. Como o dinheiro que ele tinha era suficiente para fazer apenas 00 metros de cerca, resolveu aproveitar uma parte reta da cerca do vizinho para economizar e construiu, com apenas lances de cerca, um cercado retangular de área máxima. Qual é a área deste cercado? a ) 500 m b ) 500 m c ) 5100 m d ) 5000 m e ) 4900 m
0 (UFPE PE) Um pedaço de queijo tem a forma de um prisma triangular reto, tendo por base um triângulo com um dos lados medindo 8 cm, como ilustrado a seguir. O queijo deve ser dividido em dois pedaços de mesmo volume por um plano paralelo a uma das faces, como ilustrado acima. Qual o valor de x? 5 a ) cm 8 b ) cm c ) 4 cm 4 d ) cm e ) 5 cm 1 (UFPE PE) Nas ilustrações abaixo temos dois quadrados, ABCD e EFGH, inscritos em triângulos retângulos isósceles e congruentes. Se o quadrado EFGH tem lado medindo 6, qual é a área do quadrado ABCD? (UFPE PE) O tetraedro ABCD tem aresta AB medindo 1; a face ABD tem área 48, e a face ABC tem área 60. Se o ângulo entre as faces ABC e ABD mede 0, qual o volume do tetraedro? O volume do reservatório é aproximadamente 9, 54 m. O lado do cubo mede aproximadamente, 50 m. As diagonais das faces quadradas medem aproximadamente 6 cm. A diagonal do cubo mede aproximadamente 7 m. São necessários aproximadamente 7 m de cerâmica para revestir externamente o reservatório. 4 (UFPE PE) Em relação aos poliedros regulares, julgue em verdadeiras ou falsas as afirmações: são sempre poliedros estrelados possuem n ( n ) diagonais, sendo n o número de arestas do poliedro possuem F + V arestas, sendo F o número de faces e V o número de vértices tem por faces: triângulos eqüiláteros, quadrados, pentágonos e hexágonos regulares são superfícies limitadas pelo mesmo tipo de polígono regular 5 (UFS SE) Na figura tem-se o paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, que tem uma de suas bases apoiadas no plano α. Suas bases são quadrados, cujas diagonais medem cm cada, e sua altura é 5 cm. (UFPE PE) Uma caixa d água de forma cúbica foi projetada com uma das suas diagonais perpendicular ao plano do solo, de acordo com a ilustração a seguir, na escala 1. Considere o volume real da forma e julgue as afirmações em 50 verdadeiras ou falsas. Julgue em verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações. A área lateral desse sólido é 0 cm. O volume desse sólido é 10 cm. O maior círculo contido em uma de suas bases tem área de π cm. A reta traçada pelos pontos E e H e a reta traçada pelos pontos C e G são reversas. A reta t, contida em α, intercepta esse sólido no ponto E. A reta t e a reta EA determinam um plano que é perpendicular a α.
6 (UFT TO) Para fabricar uma caixa em forma de paralelepípedo, com 8 m de comprimento e com a altura igual à largura, ambas medindo x metros de comprimento, utilizou-se uma chapa metálica cuja área mede m. Considerando-se essas informações, é correto afirmar que o volume dessa caixa é de: a ) 00 m b ) m c ) 9 m d ) 400 m 7 (Unifor CE) Os lados de um octógono regular são prolongados até que se obtenha uma estrela. A soma das medidas dos ângulos internos dos vértices dessa estrela é: a ) 180 b ) 60 c ) 540 d ) 70 e ) 900 8 (FGV SP) A área do quadrado ABCD é 4 cm. Sobre os lados AB e AD do quadrado são tomados dois pontos: M e N, tais que AM + AN = AB. a área do triângulo de vértices D, E, F é: a ) 9 8 b ) 9 4 c ) 4 d ) 8 9 e ) 9 41 (Ufal AL) Na figura abaixo tem-se o cubo ABCDEFGH, cuja aresta mede cm. Desse modo, o maior valor que pode assumir a área do triângulo AMN é: a ) 1 4 cm b ) cm c ) 1 cm d ) 4 cm e ) 1 8 cm 9 (FGV SP) Um fio de 10 metros é cortado em dois pedaços, de forma que o primeiro defina o perímetro de um quadrado e o segundo, de um triângulo eqüilátero. Determine o tamanho de cada um dos pedaços, de modo que a área do quadrado seja igual à área do triângulo multiplicada por 17,. 40 (Udesc SC) A altura do triângulo eqüilátero de vértices A, B, C, representado pela Figura n. 1, é h =. Sejam D, E, F os pontos médios dos segmentos AB, BC, CA, respectivamente; então, Se BM = BN = 1 cm e P é ponto médio de MN, julgue em verdadeiras ou falsas as afirmações seguintes: O cubo é um poliedro de Platão. O plano determinado por H, D e P é perpendicular a MN. O perímetro do triângulo HMN é ( 11+ 1). O volume do sólido HDMN é igual a 15. O ângulo θ formado pelo plano da face ABCD e o plano determinado por H, M e N é tal que 45 <θ < 60. 4 (UFC CE) ABCDA B C D é um paralelepípedo 1 1 1 1 reto-retângulo de bases ABCD e A B C D, com 1 1 1 1 arestas laterais AA 1, BB 1, CC 1 e DD 1. Calcule a razão entre os volumes do tetraedro A BC D e do 1 1 paralelepípedo ABCDA B C D. 1 1 1 1
4 (UFMT MT) Na figura abaixo, o triângulo ABC é eqüilátero de lado. a ) Calcule as medidas de x e y, admitindo a medida do lado do hexágono que forma a cabeça do parafuso igual a cm. b ) Considere λ como um arco de circunferência cujo centro é o ponto médio do segmento de comprimento y, indicado no projeto da ferramenta. Sendo a medida do lado do hexágono que forma a cabeça do parafuso e r a medida do raio de λ, determine r em função de. Sendo E, F e G os pontos médios dos lados desse triângulo e D o ponto médio de AE, pode-se afirmar que a área do polígono DEFG é: a ) 16 b ) 5 c ) 18 d ) e ) 9 44 (UFRJ RJ) Tangram é um antigo quebra-cabeça chinês formado por um quadrado decomposto em sete peças: cinco triângulos, um paralelogramo e um quadrado, como mostra a figura A. A figura B é obtida a partir da figura A por meio de translações e rotações de seis dessas peças. Determine a razão da área da figura A para a área da figura B. 45 (Ufscar SP) O projeto de uma ferramenta prevê que ela se encaixe perfeitamente em um parafuso de cabeça hexagonal regular, como indica a figura.
Respostas do capítulo 5 1 a b a 4 e 5 a 6 e 7 c 8 e 9 c 10 e 11 a 1 a ) 65000 litros b ) 6000 litros 1 c 14 d 15 1. V = 77 6 cm 9 4,6 m e 5,4 m 40 b 41 V, V, F, F, F 4 1 4 d 44 8 7 45 a ) x = cm e y = cm b ) r =. S = 10 cm. D = 175 16 1. 15 cm. 0 cm 17 d 18 c 19 H = dam 0 c 1 b a ) h = b ) r = 5 c ) S = 5π 9 c 4 a 5 V, V, V, F, F 6 d 7 c 8 d 9 d 0 a 1 81 80 V, F, F, F, V 4 F, F, V, F, V 5 V, F, F, V, V 6 c 7 d 8 c cm