Rodovia BR 470, km 71, n 1.040, Bairro Benedito Caixa postal n 191 - CEP: 89.130-000. lndaial-sc Fone: (0xx47) 3281-9000/3281-9090 Home-page: www.uniasselvi.com.br Nivelamento de Matemática Centro Universitário Leonardo da Vinci Organização Cristiane Bonatti Reitor da UNIASSELVI Prof. Herminio Kloch Pró-Reitora de Ensino de Graduação a Distância Prof ª. Francieli Stano Torres Pró-Reitor Operacional de Ensino de Graduação a Distância Prof. Hermínio Kloch Diagramação e Capa Davi Schaefer Pasold Revisão: Diógenes Schweigert José Rodrigues Marina Luciani Garcia Todos os direitos reservados à Editora Grupo UNIASSELVI - Uma empresa do Grupo UNIASSELVI Fone/Fax: (47) 3281-9000/ 3281-9090 Copyright Editora GRUPO UNIASSELVI 2011. Proibida a reprodução total ou parcial da obra de acordo com a Lei 9.610/98.
3 A PRESENTAÇÃO Neste Curso de Nivelamento em Matemática você perceberá como a matemática está presente em nosso dia a dia, e, ao mesmo tempo, renovará os conhecimentos sobre alguns conteúdos de matemática, vistos no ensino fundamental, de maneira instrutiva e de fácil compreensão. Esse curso lhe ajudará em várias disciplinas da sua Graduação, aprimorando seus conhecimentos sobre conteúdos que envolvam números inteiros, números racionais, equações, regra de três e porcentagem. Portanto, esse curso de nivelamento servirá como base de aprendizagem, e, com isso, você se sentirá mais seguro para responder às questões do cotidiano. Objetivos da Disciplina: - relembrar conteúdos da linguagem matemática básica, alguns conceitos imprescindíveis ao estudo da matemática; - utilizar essa linguagem matemática como instrumento para a resolução de problemas; - aplicar os conceitos matemáticos em situações relacionadas ao seu cotidiano.
4 Programa do Curso ETAPA 1 NÚMEROS INTEIROS Relembrar os conceitos relacionados aos conjuntos numéricos. Relacionar conceitos com o cotidiano. ETAPA 2 NÚMEROS RACIONAIS Conhecer e relacionar os principais conceitos em relação aos números racionais, sendo que eles podem ser representados por frações ou números decimais. ETAPA 3 EQUAÇÕES DO 1º GRAU Resolver situações-problema que envolvam equação, inequações e sistemas. ETAPA 4 REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM Determinar as grandezas proporcionais e inversas. Verificar onde encontramos essas situações no dia a dia. Em todas as etapas você encontrará atividades que o ajudarão a melhor compreender as aplicações dos conteúdos apresentados, proporcionando uma aprendizagem significativa e importante para o posterior estudo de outras disciplinas em seu curso de graduação a distância.
5 Números Inteiros (Z) Vamos retomar o que aprendemos nas séries iniciais com os conjuntos dos números naturais. Você lembra quem são eles? Pois bem, eles são todos os números inteiros positivos que conhecemos, lembrando que eles surgiram pela necessidade que as pessoas sempre tiveram de contar. Com o passar do tempo, estas pessoas sentiram a necessidade de ampliar esse conjunto. Além de expressar quantidades, temos situações em que os números indicam, por exemplo, saldo positivo ou negativo, temperatura acima e abaixo de zero. E, para situações como estas, foram criados os números negativos. Assim, surgiu o conjunto dos números inteiros, a união dos positivos e dos negativos. Para compreender melhor a representação desses números e sua utilização nas operações fundamentais, acompanhe os estudos a seguir. O símbolo dos números inteiros Z é a inicial da palavra Zahl, que significa número em alemão. Chamamos de números inteiros aos elementos do seguinte conjunto: Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5,...}
6 As reticências (...) à direita significam infinitos positivos, à esquerda significam infinitos negativos. Podemos dividir o conjunto dos números inteiros em dois subconjuntos disjuntos, isto é, sem elementos em comum: Conjunto dos números inteiros não negativos (Z+) Z+ = {0, +1, +2, +3, +4, +5,...} Conjunto dos números inteiros não positivos (Z-) Z- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0} Reunindo o conjunto dos inteiros não negativos com o conjunto dos números inteiros não positivos mais o número 0 (zero), obtemos o conjunto dos números inteiros: Quando nos referimos a um número positivo, não precisamos escrever o sinal de (+): as representações +2 ou 2 têm o mesmo significado. Portanto, os números naturais correspondem aos números inteiros positivos, com o zero, ou seja, Z+ U {0} = N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}. E quando temos a exceção do zero representamos os conjuntos pelo Z* Z* = {... -3, -2, -1, 1, 2, 3,...} e * Z = {...-4, -3, -2, -1} e * Z + ={1, 2, 3, 4, 5,...}
7 Representações dos números inteiros em uma reta Podemos representar os números inteiros na reta numérica da seguinte forma: Observe que existe o ponto de Origem correspondente ao número 0 (zero) e que para o sentido da direita temos os números positivos e para o sentido da esquerda os números negativos. Cada ponto destacado com um número inteiro na reta é chamado de abscissa do ponto. NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS Observem na reta numérica a seguir três pontos: Podemos observar que os números -5 e 5 estão à mesma distância do zero (ponto de origem), mas em lados opostos da reta em relação ao 0 (zero). Com isso, podemos dizer que -5 e 5 são números opostos ou simétricos.
8 Exemplos: Lembre-se de que os números opostos ou simétricos representam a mesma distância do ponto de origem, ou seja, eles também podem ser representados em módulo. MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO INTEIRO Módulo é a representação de unidades, ou seja, a quantidade, e é representado entre barras.
9 Exemplo: -4 e +4 Os dois valores representam 4 unidades. Nesse caso -4 representa quatro unidades no sentido negativo e o +4 representa quatro unidades no sentido positivo. Exemplo: A distância do ponto A até a origem 0 (zero) é representada por -4 é de 4 unidades. A distância do ponto B até a origem 0 (zero) é representada por +4 é de 4 unidades. COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS Comparar dois números signifi ca dizer se o primeiro é maior (>), menor (<) ou igual (=) ao segundo. Para fazer essa comparação de números inteiros, podemos usar como recurso a reta numérica.
10 Em relação aos números positivos, quanto mais próximo do zero (ponto de origem) o número estiver, menor é a quantidade que ele representa. Já em relação aos números negativos, quanto mais próximo do zero (ponto de origem) o número estiver, maior é a quantidade que ele representa. Por isso, tome cuidado, pois, quanto menor o número negativo for, mais distante do zero (ponto de origem) ele estará. Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} Observe alguns subconjuntos de Z: Z = {..., -100, -99, -98, -97, -96, -95, -94, -93, -92,...} (infi nitos negativos aos infi nitos positivos) Z* = {..., -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...} (infi nitos negativos aos infi nitos positivos menos o 0 (zero), o asterisco (*) em cima do Z signifi ca todos os inteiros menos o zero. Z = {..., 10, 20, 30, 40, 50,...} (infi nitos negativos aos infi nitos positivos numa escala de 10).
11 Z = {..., -40, -30, -20, -10, 0, 10, 20, 30, 40,...} (infi nitos negativos aos infi nitos positivos numa escala de 10). Dados alguns conjuntos acima, vamos fazer a comparação: Exemplo: -4 < -3-6 < -4 0 > -1-2 < 0-7 > -9-11 < -3 O menor número inteiro positivo é o número 1 e o maior número inteiro negativo é o número -1. OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS ADIÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS Cada termo da adição é chamado de parcela. E o resultado é chamado soma ou total.
12 Exemplo: 9 + 8 = 17 Somar dois inteiros positivos não tem mistério, pois o resultado será positivo, mas, quando envolvemos os inteiros negativos em uma operação, precisamos tomar cuidado. Para facilitar esse entendimento iremos utilizar a reta numérica. Vamos calcular (-2) + (+5): Partindo da origem (o ponto em que se encontra o número zero), o sinal (-) antes do número 2 indica que devemos nos deslocar duas unidades no sentido negativo (para a esquerda) da reta a partir do ponto de abscissa 0 (zero). O sinal (+), dentro dos parênteses, antes do número 5, indica que devemos nos deslocar cinco unidades no sentido positivo (para a direita) da reta a partir do ponto em que paramos.
13 Note que a posição fi nal na reta corresponde ao número 3. Assim: (-2) + (+5) = +3 Agora vamos calcular (-3) + (-5) Partimos da origem (o ponto em que se encontra o número zero). O sinal (-) antes do número 3 indica que devemos nos deslocar três unidades no sentido negativo (para a esquerda) da reta a partir do ponto de abscissa 0 (zero). O sinal (-) antes do número 5 indica que devemos nos deslocar mais cinco unidades no sentido negativo (para a esquerda) da reta a partir do ponto em que paramos, pois estamos adicionando um valor negativo.
14 Note que a posição fi nal na reta corresponde ao número (-8). Assim: (-3) + (-5) = -8 PROPRIEDADES DA ADIÇÃO Comutativa Em uma adição de números positivos e negativos, podemos trocar a ordem das parcelas que a soma não se altera. Exemplo: (-4) + (+8) = +4 ou (+8) + (-4) = +4 Associativa Em uma adição de números positivos e negativos, podemos associar as parcelas de maneiras diferentes que a soma não se altera. Exemplo: (-9) + (+3) + (-4) Podemos resolver de duas maneiras:
15 1ª Maneira: Calculamos primeiramente (-9) + (+3) e em seguida adicionamos (-4) ao resultado: (-9) + (+3) + (-4) (-6) + (-4) -10 2ª Maneira: Calculamos primeiramente (-9) + (-4) e em seguida adicionamos (+3) ao resultado: (-9) + (+3) + (-4) (-13) + (+3) -10 ELEMENTO NEUTRO A adição de um número positivo ou negativo com zero é sempre igual ao próprio número, ou seja, o zero é o elemento neutro da adição de números inteiros.
16 Exemplos: (a) (b) (c) (-12) + 0 = -12 (+7) + 0 = +7 0 + (+17) = 17 PROPRIEDADE DO CANCELAMENTO (DE NÚMEROS OPOSTOS) Esta é uma propriedade importante, pois pode facilitar o cálculo de adições que apresentam muitas parcelas. Exemplo: 8 4 5 + 6 + 2 6 + 4 + 1 + 8 + 11 2 = Aplicando as propriedades já descritas, podemos alterar a ordem dos números anulando aqueles que são iguais em módulo, mas têm sinais diferentes, ou seja, os números opostos ou simétricos. Então 8 4 5 + 6 + 2 6 + 4 + 1 + 8 + 11 2 = 8 + 8 4 + 4 5 + 6 6 + 2 2 + 1 + 11= 8 + 8 4 + 4 5 + 6 6 + 2 2 + 1 + 11= 0 + 0 5 + 0 + 0 + 1 + 11 = 5 + 1 + 11 = 4 + 11 = 7
17 SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS Vamos relembrar primeiramente os números naturais onde a subtração é impossível, ou seja, quando o primeiro termo (minuendo) é menor do que o segundo (subtraendo). No conjunto dos números inteiros isso é possível, pois temos os valores negativos. Exemplo: (+13) minuendo ( 76) subtraendo 63 total (resultado) Exemplo: 5 9 Veja a situação: Na cesta de frutas da sua casa há 5 maçãs, e sua mãe pede que você tire 9 de lá. Impossível, não é? Ou seja, essa subtração é impossível para os números naturais. Agora, outra situação: A sua mãe foi ao mercado e descobriu que só tem 5 reais para pagar uma compra de 9 reais. Como ela conhece o gerente, trouxe as compras, mas fi cou devendo 4 reais.
18 Então: 5 9 é equivalente a (+5) (+ 9) = +5 9 = 4 O sinal (+) antes do número 5 indica que devemos nos deslocar mais cinco unidades no sentido positivo (para a direita) da reta, a partir do ponto de abscissa 0 (zero). O sinal (-) antes do número 9 indica que devemos nos deslocar mais nove unidades no sentido negativo (para a esquerda) da reta, a partir do ponto em que paramos, pois estamos subtraindo. Note que a posição fi nal na reta corresponde ao número (-4). Assim: (+5) - (+9) = 5-9 = - 4 A subtração, na verdade, nada mais é do que a adição por um inteiro negativo. Veja esse exemplo:
19 Em um determinado dia, a temperatura da cidade de Paranaguá é de 6 ºC e na cidade de Palmas é 3 ºC. Observando as temperaturas, percebemos que a diferença entre elas é de 3 ºC. Isto é 6 ºC 3 ºC = 3 ºC. Agora, se a temperatura de Paranaguá fosse -1 ºC e a de Curitiba -4 ºC, qual seria a diferença das temperaturas? Quando se pede para calcular a diferença, a operação realizada é a subtração. 1 (-4) = -1 + (+4) = +3 oposto Subtrair -4 é o mesmo que adicionar + 4. Podemos dizer que em Paranaguá a temperatura está + 3 ºC em relação a Curitiba. Assim, para calcular a diferença entre dois números inteiros, basta adicionar o primeiro ao oposto do segundo. Se a e b são números inteiros, a adição a + (-b) é equivalente à subtração a b.
20 Sendo assim, a subtração é sempre possível em números inteiros. MULTIPLICAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS Ao indicar a multiplicação 6 x 3 (o número seis três vezes) por 6 + 6 + 6 significa que o termo multiplicando é indicado pelo número 6 e o termo multiplicador pelo número 3. Ao conjunto desses dois termos, multiplicando e multiplicador, denominamos de fatores. Por isso é que dizemos que a ordem dos fatores não altera o produto. O termo produto é indicado para o resultado da multiplicação. Exemplo: 6 multiplicando X 3 multiplicador 18 produto Fatores Os sinais de multiplicação podem ser representados por meio da letra x (-2) x (+5), ou por meio de um ponto. (-2). (+5).
21 NÚMERO POSITIVO MULTIPLICANDO NÚMERO POSITIVO FATORES COM SINAIS IGUAIS, PRODUTO POSITIVO Quando multiplicamos dois fatores positivos, o produto sempre será um número positivo. Exemplo: (+5) (+5) = 25 Lembre-se de que uma das propriedades da multiplicação é a soma de parcelas iguais, ou seja, a multiplicação pode ser representada também na forma de adição de parcelas iguais: Representação na reta numérica (+4) (+2) = +8 ou (+4) + (+4) = +8 ou (+2) + (+2) + (+2) + (2) = +8 NÚMERO POSITIVO MULTIPLICANDO NÚMERO NEGATIVO FATORES COM SINAIS DIFERENTES, PRODUTO NEGATIVO Em uma multiplicação de dois fatores em que um dos fatores é um número positivo e o outro um número negativo,
22 o produto é um número negativo. Exemplo: (+7) (-6) = -42 Representação na reta numérica (+3) (-2) = -6 ou (-2) + (-2) + (-2) = -6 NÚMERO NEGATIVO MULTIPLICANDO NÚMERO NEGATIVO FATORES COM SINAIS IGUAIS, PRODUTO POSITIVO Para entender esse cálculo, podemos partir da ideia de algumas multiplicações já conhecidas. Observe a sequência das multiplicações: 4 (-4) = -16 3 (-4) = -12 2 (-4) = -8 1 (-4) = -4 0 (-4) = 0 Essa sequência tem um padrão, onde o primeiro fator vem decrescendo 1 unidade, o segundo fator é constante (-4) e o produto vem crescendo 4 unidades. Se seguirmos essa
23 ideia e mantivermos o padrão, saberemos qual o resultado das próximas multiplicações. -1 (-4) = +4-2 (-4) = +8-3 (-4) = +12-4 (-4) = +16-5 (-4) = +20 De acordo com o que acabamos de ver, podemos concluir que a multiplicação de dois números negativos será sempre um número positivo. Multiplicação com zero em um dos fatores Na multiplicação de dois fatores, em que um deles for zero, o resultado sempre será zero. Exemplos: (+5) (0) = 0 (0) (+7) = 0 (-9) (0) = 0 (0) (-6) = 0 A MULTIPLICAÇÃO COM O NÚMERO 1 (UM) E -1 EM UM DOS FATORES A multiplicação de um número positivo ou negativo com
24 (+1) um positivo sempre será igual ao próprio número. Exemplo: 87 1 = (+87) (+1) = +87 Já quando um dos fatores for (-1) um negativo, precisamos verifi car o sinal do outro fator, pois vamos lembrar das regras anteriormente citadas. Fatores com sinais diferentes, produto com sinal negativo. (+9). (-1) = -9 ou (-1). ( +9) = -9 Fatores com sinais iguais, produto positivo. (-8). (-1) = +8 ou (+1). (+8) = +8
25 DIVISÃO DOS NÚMEROS INTEIROS A multiplicação e a divisão são operações inversas. Dessa forma, em relação aos sinais, divisão e multiplicação se comportam da mesma maneira. Exemplo: (-136) 4 = -34 Quociente Divisor Portanto, se (-136) 4 = -34, Então: (-136) = -34. 4 Dividendo Essas operações podem ser interpretadas assim: dividindo uma compra de 136 em 4 parcelas iguais, cada parcela corresponderá a uma dívida de 34. Assim a divisão de um número negativo por um número positivo resultará em um quociente negativo.
26 Divisão com sinais diferentes quociente com sinal negativo. 1000 (-20) = -50 (-136) 4 = -34 Divisão com sinais iguais quociente com sinal positivo. 164 4 = 41 (-81) (-3) = 27 O ZERO NA DIVISÃO Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, resultará sempre zero. Exemplo: 0 (-13) = 0 0 87 = 0
27 É impossível dividir qualquer número por zero, pois não existe nenhum número que multiplicado por zero dê algum valor, vejamos: Exemplo: (-76) 0 =? É impossível, pois não existe nenhum número que multiplicado por zero dê -76. 654 0 =? É impossível, pois não existe nenhum número que multiplicado por zero dê 654. POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS Uma multiplicação de fatores iguais pode ser escrita na forma de potência expoente Exemplo: 3. 3. 3. 3 = 3 4 = 81 potência base Base: fator que se repete (fator que se multiplica); Expoente: indica quantas vezes o fator se repete (quantas vezes o fator se multiplica); Potência: resultado da potenciação (resultado da multiplicação).
28 Lembrando a leitura das potenciações: 2 0 = dois elevado ao expoente 9 1 = nove elevado à zero primeira potência 3² = três elevado ao quadrado 4³ = quatro elevado ao cubo 6 7 = seis elevado à sétima 0² = zero elevado ao potência quadrado De acordo com o que estudamos anteriormente, devemos observar os sinais e os parênteses que acompanham os números inteiros. BASE POSITIVA Observe as potências a seguir: (+8) = +8 (+7)² = (+7) (+7) = +49 (+2)³ = (+2) (+2) (+2) = +8 (+1) 4 = (+1) (+1) (+1) (+1) = +1 Sempre que a base for positiva o resultado será positivo. BASE NEGATIVA Observe as potências a seguir: - 6² = 6 6 = -36 (-6)² = (-6) (-6) = +36
29 (-6)³ = (-6) (-6) (-6) = -216 Por que essa diferença nas multiplicações? Veja: No primeiro exemplo, quem está elevado ao quadrado é somente o número 6, então 6 multiplicado por 6 é igual a 36, mas não se esqueça do sinal que está na frente, ele acompanha o resultado. No segundo exemplo, quem está elevado ao quadrado é o -6 e multiplicações de dois números inteiros negativos resultam números positivos, assim -6 multiplicado por -6 é igual a + 36. No terceiro exemplo, observe que é o -6 que está sendo multiplicado e, como vimos anteriormente, o sinal multiplica com o valor numérico. Assim, -6 multiplicado por -6 é igual a +36, e este multiplicado por -6 é a multiplicação de um número positivo por um negativo e, lembrando que a multiplicação de um número positivo por um negativo é igual ao resultado negativo, assim +36 multiplicado por -6 é igual a -216. Para resolvermos multiplicação e divisões de potência, utilizamos alguns recursos que as propriedades de potência nos oferecem.
30 PROPRIEDADES DE POTÊNCIAS PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE Um produto de potências de mesma base pode ser reduzido a uma única potência, conservando a base e somando o expoente. Exemplo: Escrever o produto de 2 5 2 4 usando uma única potência. 2 5 2 4 = (2.2.2.2.2) (2.2.2.2) = 2 9, 5 fatores iguais multiplicando mais quatro fatores iguais ou 2 5 2 4 = (2.2.2.2.2.2.2.2.2) = 2 9, multiplicação de 9 fatores iguais Como você pode observar, as propriedades da potência nos facilitam em determinados cálculos. QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE Uma divisão composta por duas potências de mesma base, não nula, pode ser reduzida a uma única potência, conservando a base e diminuindo os expoentes, na ordem em que aparecem.
31 Exemplo: 21 9 21 6 = Difícil não? Ter que calcular 21 9, depois 21 6 e ainda fazer uma divisão com os resultados! Calma... Existe uma maneira mais simples de se resolver essa questão: é aplicando a propriedade anteriormente citada. Agora, simplifi camos essa fração dividindo numerador e denominador por 21. Fazemos isso seis vezes. Podemos observar que é muito mais fácil usarmos a propriedade, certo? Portanto, 21 9 21 6 = 21 9-6 = 21 3 = 926 POTÊNCIA DE POTÊNCIA Uma potência de potência pode ser reduzida a uma única potência, conservando a base da primeira e multiplicando os expoentes. Exemplo: (5 3 ) 5 = 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 = 5 3+3+3+3+3 = 5 15
32 ou (5 3 ) 5 = 5 3.5 = 5 15 Como podemos escrever a expressão (5 3 ) 5 = 5³ 5³ 5³ 5³ 5³ = 5 3+3+3+3 = 5 15, ou seja, o número 5³ se repete cinco vezes. Assim como vimos na propriedade de produto de mesma base, somamos os expoentes. E para tornarmos mais fácil, aplicamos a potência de potência onde multiplicamos os expoentes. PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE Um produto de mesmo expoente pode ser reduzido a uma única potência, multiplicando as bases e conservando o expoente comum. Exemplo: 2 7 6 7 = (2 6) 7 = 12 7 QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE Um quociente de mesmo expoente pode ser reduzido a uma única potência, dividindo a primeira pela segunda e conservando o expoente.
33 Exemplo: (a) 70 3 2 3 = 35 3 (b), lembrando que toda fração é uma divisão Para elevarmos uma fração a um expoente, basta elevar o numerador e denominador a esse expoente. Exemplo: EXPOENTE ZERO Por que qualquer número inteiro, diferente de zero, elevado ao expoente zero é igual a um? Veja: a 0 = para a 0 Podemos usar uma das propriedades da potenciação para justifi car essa propriedade. Se a é um número inteiro diferente de zero e n é um número natural, temos: a n a n = a n-n = a 0
34 Então: Todo número diferente de zero dividido por ele mesmo dá 1, podemos escrever: a n a n = 1 Comparando essa igualdade, podemos dizer que: a 0 = 1 para a 0 POTÊNCIAS COM EXPOENTES INTEIROS No estudo das potências com expoente inteiro, iremos ampliar o estudo em relação aos números racionais, cujos expoentes são números inteiros negativos. A partir do estudo das potenciações, podemos observar as regularidades que existem e os resultados das potências com expoentes inteiros negativos. Exemplo: 3³ = 27 3² = 9 3¹ = 3 3 0 = 1 Seguindo esse raciocínio, podemos inferir que:
35 Realmente, a potência de uma base não nula e expoente negativo é igual ao seu inverso, conservando a base e trocando o sinal do expoente = um terço é o inverso de 3 elevado a -1. = um nono é igual a um terço elevado ao quadrado e é o inverso de três elevado a -2. POTÊNCIAS DE BASE 10 Quando obtemos uma potência de base 10 e no expoente um número natural, podemos resolver pelo seguinte processo prático. Exemplo: 10² = 10 10 = 100 (1 seguido de dois zeros) 10³ = 10 10 10 = 1000 (1 seguido de três zeros)
36 10 7 = 10 10 10 10 10 10 10 = 10000000 (1 seguido de sete zeros) 10 0 = 1 (1 seguido de nenhum zero) Para as potências com base 10 e expoente negativo temos o seu inverso. Exemplo: Observe que dez elevado a -1 é o mesmo que seu inverso, na forma de fração (um décimo), assim seu número decimal. Observe quatro casas depois da vírgula, 3 zeros seguido do um.
37 NOTAÇÃO CIENTÍFICA A notação científi ca é utilizada para expressar números muito grandes ou muito pequenos de uma maneira mais sucinta. Consiste em expressar o número através de uma multiplicação por potências de base 10. Exemplo: A distância média da Terra ao Sol é de aproximadamente 150 000 000 km ou, em notação científi ca, 1,5 10 8 km (a vírgula desloca-se 8 casas para a direita)
38 RAIZ QUADRADA DE NÚMERO INTEIRO Raiz quadrada de um número positivo é o número positivo cujo quadrado é igual ao número dado. Exemplo: A raiz quadrada de um número inteiro positivo pertence ao conjunto dos números naturais. a), pois 3² é igual a 3 3 = 9 ainda podemos escrever b), é impossível nos números inteiros, pois não existe número inteiro que, elevado ao quadrado, dê +10. (é uma raiz não exata) c), pois 0 0 = 0 que é igual a 0² = 0 A raiz quadrada de qualquer número inteiro negativo é impossível. Exemplo:, é impossível para os números inteiros, ou seja, não existe um número inteiro que elevado ao quadrado dê -81, pois - 9² = +81
39 QUANDO A RAIZ NÃO FOR EXATA A raiz quadrada de um número positivo não exata corresponde a um número irracional. Nesse caso podemos trabalhar por tentativa ou pela simplifi cação da raiz., por tentativa sabemos que é um valor entre 3 e 4 pois, está compreendido entre a raiz de e raiz de., nesse caso podemos simplifi car a raiz, pois a raiz pode ser escrita na forma porque a raiz de 4 pode ser extraída, sendo 2 e a raiz de 2 permanece, pois ela corresponde a um número irracional.
40 RESUMO DO TÓPICO Conjunto dos números inteiros Z Z = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4,...} Números opostos ou simétricos são números que representam a mesma distância do ponto de origem, ou seja, são representadas através do módulo -2 e +2. O menor número inteiro é aquele que se encontra mais à esquerda na reta numérica. O maior número inteiro é aquele que se encontra mais à direita na reta numérica. Números que se encontram no mesmo ponto da reta numérica são iguais.
41 OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS Adição Propriedades da Adição Comutativa: em uma adição de números positivos e negativos podemos trocar a ordem das parcelas que a soma não se altera. Associativa: em uma adição de números positivos e negativos, podemos associar as parcelas de maneiras diferentes que a soma não se altera. Subtração Se a e b são números inteiros, a adição a + (-b) é equivalente à subtração a b. Multiplicação Fatores com sinais diferentes, produto com sinal negativo. (+9) (-1) = -9 ou (-1) (+9) = -9 Fatores com sinais iguais, produto positivo. (-8) (-1) = +8 ou (+1) (+8) = +8 Divisão Divisão com sinais diferentes, quociente com sinal
42 negativo. 1000 (-20) = -50 (-136) 4 = -34 Divisão com sinais iguais, quociente com sinal positivo. 164 4 = 41 (-81) (-3) = 27 Potenciação Propriedades da Potenciação Produto de potência de mesma base: conserva-se a base e soma-se o expoente. Produto de potência de mesmo expoente: conservase o expoente e multiplica-se a base. Quociente de mesma base: conserva-se a base e subtrai-se o expoente. Quociente de mesmo expoente: conserva-se o expoente e divide-se a base. Potência de Potência: conserva-se a base e multiplicase o expoente.
43 Potência de expoente inteiro: a potência de uma base não nula e expoente negativo é igual ao inverso da potência, conservando a base e trocando o sinal do expoente. Radiciação A raiz quadrada de um número inteiro positivo e do zero equivale à raiz quadrada exata. Raiz quadrada de um número inteiro negativo é impossível nos números inteiros.
44 A UTOATIVIDADE 1. Os números na reta podem representar temperaturas de um termômetro: Nessa representação, os pontos A e B correspondem, respectivamente, aos números: a) -2,18 e 1,3. b) 2,18 e -1,3. c) -3,78 e 1,3. d) 3,78 e -1,3. 2. Qual a sentença verdadeira? a) -21 > -17. b) -21 < -17. c) 3 < -5. d) 0 < -6. 3. O saldo bancário de uma pessoa era de 300 reais negativos. Mesmo assim, fez uma retirada de trezentos e quarenta e sete reais. Para sabermos o novo saldo, assinale a alternativa correta:
45 a) - 300 + 347 = 47. b) - 300-347 = 647. c) - 300-347 = - 647. d) 300 + (- 347) = - 47. 4. Assinale a sentença verdadeira: a) (-15) (-3) = 5. b) (-15) (-3) = -5. c) (15) (-3) = 5. d) (-15) (-5) = -3. 5. Considere o segmento na reta numérica: Esse segmento é ampliado se for multiplicado por um número maior que 1 e é reduzido se for multiplicado por números entre 0 e 1. Com base na situação que descrevemos, é correto afi rmar que, multiplicando o segmento por: a) -2 e, a seguir, por -3, seu sentido não muda. b) 2 e, novamente, por -2, seu sentido, no fi nal, é igual ao do início. c) -2 e, depois, por -3, seu sentido, no fi nal, é o oposto ao do início.
46 d) 2 e, depois, por 3, inverte-se o sentido do segmento. 6. Efetuando a expressão, o resultado será: a) b) c) d) 7. Assinale a sentença correta: a) b) c) d) 8. Observe as sentenças a seguir. I)
47 II) III) é impossível em Z IV) De acordo com as sentenças, é correto afi rmar que: ( ) Todas as sentenças são verdadeiras. ( ) Somente as sentenças II, III e IV são verdadeiras. ( ) Somente a sentença IV é verdadeira. ( ) Somente as sentenças III e IV são verdadeiras. 9. Assinale a alternativa correta: a) (-2)³ = +8. b) (-2)³ = -8. c) -2³ = +6. d) -2³ = -6. 10. Subtrair um número negativo (A) de um número positivo (B) é o mesmo que: a) B A. b) A B. c) +B (-A). d) + A + B.
48 G ABARITO 1. Colocamos números na reta, como se fossem temperaturas de um termômetro: Nessa representação, os pontos A e B correspondem, respectivamente, aos números: a) -2,18 e 1,3. b) 2,18 e -1,3. c) -3,78 e 1,3. d) 3,78 e -1,3. 2. Qual a sentença verdadeira? a) -21 > -17. b) -21 < -17. c) 3 < -5. d) 0 < -6. 3. O saldo bancário de uma pessoa era de 300 reais negativos. Mesmo assim, fez uma retirada de trezentos e quarenta e sete reais. Para sabermos o novo saldo, assinale a alternativa correta: - 300 + (-347) = 47-300 347 = - 647 assim a alternativa C é correta a) - 300 + 347 = 47. b) - 300-347 = 647. c) - 300-347 = - 647. d) 300 + (- 347) = - 47. 4. Assinale a sentença verdadeira: a) (-15) (-3) = 5. b) (-15) (-3) = -5.
49 c) (15) (-3) = 5. d) (-15) (-5) = -3. 5. Considere o segmento na reta numérica: Esse segmento é ampliado se for multiplicado por um número maior que 1 e é reduzido se for multiplicado por números entre 0 e 1. Com base na situação que descrevemos, é correto afi rmar que, multiplicando o segmento por: a) -2 e, a seguir, por -3, seu sentido não muda. b) 2 e, novamente, por -2, seu sentido, no fi nal, é igual ao do início. c) -2 e, depois, por -3, seu sentido, no fi nal, é o oposto ao do início. d) 2 e, depois, por 3, inverte-se o sentido do segmento. 6. Efetuando a expressão, o resultado será: Resposta: a) b)
50 c) d) 7. Assinale a sentença correta: a) b) c) d) 8. Observe as sentenças a seguir. I) II) III) é impossível em Z IV) De acordo com as sentenças, é correto afi rmar que: ( ) Todas as sentenças são verdadeiras. (x) Somente as sentenças II, III e IV são verdadeiras. ( ) Somente a sentença IV é verdadeira. ( ) Somente as sentenças III e IV são verdadeiras.
51 Desenvolvimento a) Impossível pois 5 5 = + 25 ou 5² = 25 b) correto, pois (- 5) (- 5) = +25 ou (- 5)² = 25 c) correto, pois não existe raiz de número negativo para o conjunto dos números inteiros. d) correto, pois 5 5 = 25 ou 5² = 25 9. Assinale a alternativa correta: a) (-2)³ = +8. b) (-2)³ = -8. c) -2³ = +6. d) -2³ = -6. (-2)³ = (-2) (-2) (-2) = -8 assim a sentença verdadeira é a letra B. 10. Subtrair um número negativo (A) de um número positivo (B) é o mesmo que: a) B A. b) A B. c) +B (-A). d) + A + B. +B (-A) = B + A assim a sentença verdadeira é a letra C.