Geometria de Posição Conceitos primitivos Prof. Jarbas
Conceitos primitivos A partir do mundo real, matemáticos da antiguidade, como Euclides (séc. III a.c.) estabeleceram entes com os quais construíram a geometria. Três desses entes destacam-se por serem conhecidos intuitivamente. São eles: o ponto, a reta e o plano.
O Ponto Olhando-se a noite para um céu estrelado vêem-se as estrelas, que, intuitivamente, podem ser consideradas pontos. Em geometria, o ponto, elemento concebido sem dimensão, massa nem volume, é uma noção primitiva.
A Reta Suponha agora que fosse possível esticar, indefinidamente e nos dois sentidos, um fio de elástico. Em nossa imaginação, e apenas nela, visualizaríamos o que chamamos de reta. Em geometria, o conceito de reta concebido intuitivamente também é uma noção primitiva.
O Plano Considere o tampo liso de uma mesa, sem nenhum tipo de fresta ou ondulação. Esse tampo possibilitaria a visualização concreta de um plano. Entretanto, o conceito geométrico de plano implica que, por intuição, ele seja entendido ilimitadamente em todas as direções. Plano é uma noção primitiva.
Representando os conceitos de modo geométrico, temos, então: A ponto r reta α plano
A proposição usada por Hilbert (1862 1943), e normalmente adotada por nós, é a seguinte: Os pontos são indicados por letras maiúsculas (A, B, C etc.). As retas são indicadas por letras minúsculas (r, s, t etc.). Os planos são indicados por letras gregas (α,β,γ etc.).
POSTULADO: SÃO CONSTATAÇÕES QUE NÃO NECESSITAM SER PROVADAS PARA QUE SEJAM CONSIDERADAS VERDADEIRAS. TEOREMAS: PROPOSIÇÕES QUE PODEM SER DEMONSTRADAS, PARTINDO DE FATOS JUSTIFICÁVEIS.
Posições primitivas, postulados ou axiomas. Por um ponto passam infinitas retas. Postulados da existência P1 Em uma reta e fora dela existem infinitos pontos Observação: Os pontos pertencentes a uma mesma reta são chamados de Pontos colineares. F A C E r B P2 Em um plano e fora dele existem infinitos pontos E α A C B F D D Observação: Os pontos pertencentes a um mesmo plano são chamados de Pontos Coplanares.
P3 Postulados da determinação da reta Dois pontos distintos determinam uma única reta A P4 Postulados da determinação do plano Três pontos não-colineares(não alinhados) determinam um único plano; ou seja se A, B e C são três pontos não colineares, então existe um único plano ao qual os pontos A, B e C pertencem simultaneamente. B A r B α C
P5 Postulado da inclusão Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, a reta está contida (está inclusa) nesse plano. A B r α A B A α α r r α B r
P6 - "Por um ponto fora de uma reta só podemos traçar uma paralela a esta reta." O Postulado de Euclides é a base da geometria que estamos estudando, que por este motivo é denominada de Geometria Euclidiana. Segmentos de reta e semirreta Todo ponto de uma reta, separa-a em duas partes às quais ela pertence. A O B r OA e OB são semi-retas opostas de origem O.
Exercícios Resolvidos: 1- Classifique em verdadeiro(v) ou Falso(F). Sobre pontos, retas e planos. a) Por três pontos, passa uma única reta. b) Por três pontos, passa um único plano. F F c) Por um ponto passam pelo menos duas retas. V d) Duas retas que têm dois pontos distintos comuns são coincidentes. V e) Por um ponto passam infinitas retas. V f) Três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares. F
Segmentos Consecutivos: Dois segmentos de reta são consecutivos se, a extremidade de um deles é também extremidade do outro, ou seja, uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro. AB e BC são consecutivos MN e NP são consecutivos EF e GH não são consecutivos Segmentos Colineares: Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta. AB e CD são colineares MN e NP são colineares EF e FG não são colineares
Sobre segmentos consecutivos e colineares, podemos ter algumas situações: Os segmentos AB, BC e CD são consecutivos e colineares, mas os segmentos AB e CD não são consecutivos embora sejam colineares, mas os segmentos de reta EF e FG são consecutivos e não são colineares Segmentos Adjacentes: Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes, se possuem em comum apenas uma extremidade e não têm outros pontos em comum. MN e NP são adjacentes, tendo somente N em comum. MP e NP não são adjacentes, pois existem muitos pontos em comum.
Segmentos Congruentes: são aqueles que têm as mesmas medidas. No desenho ao lado, AB e CD são congruentes. A congruência entre os segmentos AB e CD é denotada por AB CD, onde " é o símbolo de congruência. Ponto médio de um segmento: M é o ponto médio do segmento de reta AB, se M divide o segmento AB em dois segmentos congruentes, ou seja, AM MB. O ponto médio é o ponto de equilíbrio de um segmento de reta. Medida de um segmento(comprimento do segmento): Medir um segmento é comparar este segmento com outro, não nulo, escolhido como padrão. A medida de um segmento AB será indicado por m( AB).
Operações com segmentos: Adição Operações com segmentos: Subtração
Exercícios Resolvidos: 1- Classifique em verdadeiro(v) ou Falso(F). Sobre pontos, retas e planos. a) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são colineares; b) Se dois segmentos são colineares, então eles são consecutivos; F F c) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são colineares; d) Se dois segmentos são colineares, então eles são adjacentes; F F e) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são consecutivos; f) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são adjacentes; V F
3) Em relação ao cubo acima responda: a) Quantas retas passam por um dos seus vértices? 7 b) Qual é o número de retas determinadas? 8x7/2 =28 c) Cite quatro planos que contém a diagonal AC da face superior?
Solução do item c : PL(ACB) = PL(ACD) = PL(ABCD) PL(ACE) = PL(ACG) = PL(ACEG) c PL(ACH) PL(ACF)
Atividades de Sala Postulados Ponto, reta e plano Teoremas
x
a)dentre as retas suportes das arestas da pirâmide, quantas passam pelo vértice da pirâmide? Três retas b) Dentre os planos determinados pelos vértices da pirâmide, está o plano da base,pl(abc). Quais são os outros planos determinados pelos vértices da pirâmide? PL(VBC), PL(VAC) e PL(VAB)
PL(ABC) e PL(ABG) 2 8x7/2 =28
5 faces + PL(VAC) + PL(VBD)= 7
FIM