CÁLCULO E ANÁLISE VETORIAL E TENSORIAL

CÁLCULO E ANÁLISE VETORIAL E TENSORIAL José Vasconcelos Doutor em Ciências Licenciado em Música

2 Prefácio do Autor O grande mérito do presente livro, acreditamos, está em apresentar de maneira clara e direta os mais variados teoremas da Física Matemática. Escrevemos este tratado pensando no físico e no engenheiro. Não o escrevemos com aquele rigor da linguagem dos e dos tão querida dos matemáticos. Sempre que definimos um novo conceito preocupamonos logo em seguida em apresentar um ou mais exemplos, a fim de que a idéia exposta torne-se a mais clara possível. Por seu caráter eminentemente didático este livro dispensaria o instrutor. É um livro para o autodidata. Não obstante, pode muito bem ser usado como livro texto nos cursos de Cálculo e Análise Vetorial e Tensorial ou de Física Matemática. Temos certeza que fazemos desaparecer aquela auréola de inacessibilidade que reina em torno do conceito de tensor. Mostramos que não se trata de um bicho papão como correntemente se acredita. É tão somente um conveniente prolongamento do conceito de vetor... O cálculo e análise tensorial são ferramentas indispensáveis para aquele que deseja penetrar no domínio da Relatividade Geral. Qualquer crítica ou comentário sobre a presente obra será sempre muito bem aceita. Fortaleza, agosto de 2013 j.vascon@yahoo.com

Agradecimentos 3 Desejamos expressar nossos agradecimentos ao Arquiteto e Músico César Augusto Soares Mamede pela competente confecção dos desenhos da presente obra. Não podemos também de registrar esta ocorrência.temos o hábito de escrever ao mesmo tempo que ouvimos música erudita. Desejamos, por isto, agradecer aqui aos inumeráveis compositores de todas as épocas, que legaram para a humanidade suas obras maravilhosas. Ouvi-las minimiza nosso trabalho e fadiga de inúmeras revisões e edição no computador.

4 Dedicatória À Maria Stella, minha esposa e nossas duas filhas Eliana e Claudia com todo meu carinho e dedicação

Índice 5 Capítulo Um Calculo Vetorial 1.1 Escalares e Vetores./9 1.2 Sistema Ortogonal de Coordenadas./11 1.3 Operações Elementares com Vetores./15 1.4 Produto entre Vetores./18 1.4.1 Produto Escala.r/18 1.4.2 Produto Vetorial./21 1.4.3 Produto Misto./27 1.4.4 Produto Vetorial Múltiplo./30 1.5 Generalizações./33 1.5.1 Rotação de Sistemas de Coordenadas./33 1.5.2 Espaço Euclidiano a N Dimensões./35 1.5.3 Introdução ao Cálculo Matricial./40 1.6* Espaços Vetoriais./46 Problemas./49 Capítulo Dois Análise Vetorial 2.1 Derivada de um Vetor./54 2.2 Operadores Vetoriais em Coordenadas Cartesianas./61 2.2.1 Operador Gradiente./61 2.2.2 Operador Divergente./66 2.2.3 Operador Rotacional./67 2.2.4 Uso Combinado do Operador Nabla./71 2.3 Integrais de Vetores./75 2.3.1 Integral Ordinária./75 2.3.2 Integral de Linha./77 2.3.3 Teoria do Potencial./80

2.3.4 Integral de Superfície e de Volume./86 2.4 Equação de Continuidade. Teorema de Gauss./90 2.5 Teorema de Green./95 2.6* Equação de Poisson./96 2.7 Teorema de Stokes./104 2.8 Teorema de Helmholtz./108 Problemas./110 6 Capítulo Três Coordenadas Curvilíneas Ortogonais 3.1.Coordenadas Curvilíneas Ortogonais./116 3.2 Comprimento de Arco de Curva. Valor de uma Superfície e de um Volume./121 3.3 Operadores Vetoriais Diferenciais em Coordenadas Curvilíneas./124 3.3.1 Operador Gradiente./124 3.3.2 Operador Divergente./127 3.3.3 Operador Rotacional./129 3.3.4 Operador Laplaciano./132 3.4 Casos Particulares de Coordenadas Curvilíneas./132 3.4.1 Sistema de Coordenadas Cilíndricas./132 3.4.2 Sistema de Coordenadas Esféricas./136 3.4.3 Sistema de Coordenadas Parabólicas./138 3.5 Método de Separação de Variáveis./141 Problemas./142 Capítulo Quatro Álgebra Tensorial 4.1 Componentes Covariantes e Contravariantes de um Vetor./146. 4.2 Definição de Tensor./149 4.3 Tensor Métrico Fundamental./154 4.4 Álgebra Tensorial./157

4.4.1 Soma e Subtração de Tensores./157 4.4.2 Produto Tensorial./157 4.4.3 Contração de Índices (Produto Interno)./158 4.4.4 Regra do Quociente./159 4.4.5 Tensores Associados./161 4.5 Tensores Relativos e Tensores Absolutos./162 4.6 Alguns Tensores Usados na Física./164 4.6.1 Tensor de Inércia./164 4.6.2 Tensor de Tensão e Deformação./167 Problemas./169 7 Capítulo Cinco Análise Tensorial 5.1 Derivada Ordinária de um Tensor./173 5.2 Símbolos de Christoffel./175 5.3 Segunda Lei de Newton em um Sistema Geral de Coordenadas./181 5.4 Equação da Geodésica./182 5.5 Derivada Covariante de um Tensor./186 5.6 Deslocamento Paralelo de um Vetor./189 5.7 Tensor Campo Eletromagnético./191 Exercícios./195 5.8 Equações de Maxwell sob Forma Tensorial./195 Exercícios./197 5.9 Tensor Matéria-Energia./197 5.10 Tensor de Riemann-Christoffel./200 5.11* Equações de (Hilbert) Einstein para o Campo Gravitatório./203 Problemas./205 Bibliografia./206

8 Capítulo Um Cálculo Vetorial

9 1.1 Escalares e Vetores. Existem grandezas físicas que para serem completamente caracterizadas necessitam apenas de um atributo algébrico, acompanhado freqüentemente de uma unidade conveniente. Tais grandezas são chamadas de escalares. Entre outros podemos citar como exemplo de escalar: a massa de um corpo, a pressão que um fluido isotrópico exerce sobre as paredes do recipiente que o contém, a temperatura de um corpo, o volume, a carga elétrica, a energia de um corpo. Do ponto de vista matemático um escalar é caracterizado apenas por um número do corpo dos racionais. A diferença do ponto de vista da física é que geralmente adotamos uma unidade. Por exemplo, a massa de um corpo pode ser de 15 gramas. Certas grandezas físicas para serem devidamente caracterizadas necessitam além de um atributo aritmético um outro atributo de natureza geométrica. Este atributo geométrico caracteriza a direção e o sentido. Grandezas deste tipo são chamadas de vetores. No decorrer de nosso estudo especificaremos melhor este conceito. Normalmente indicamos um vetor por meio de um segmento de reta orientado. Comumente o comprimento deste segmento é proporcional ao número aritmético que caracteriza a grandeza do vetor. A este número, damos o nome de módulo do vetor. Na fig.(1.1.1) indicamos diversos vetores por meio de segmentos orientados.

10 fig.(1.1.1) Como se representam vetores num espaço a duas dimensões. Normalmente representamos um vetor por meio de uma pequena flecha colocada sobre uma determinada letra. Assim a, que se lê: vetor a. Existem outras diversas maneiras de se representar um vetor. Por exemplo, podemos usar um símbolo em negrito, a. O módulo de um vetor será indicado pela letra que o designa, sem a flecha, ou sem o caractere negrito, assim a a (1.1.1) Observando a fig.(1.1.1) podemos ver que os segmentos de retas que caracterizam os vetores a e b são paralelos. Dizemos por isto, que a e b são vetores paralelos. Podemos também observar que o sentido do vetor a é oposto ao sentido do vetor b. (O sentido é dado pela orientação do segmento de reta). Vetores que têm mesmo módulo, são paralelos e têm sentidos contrários, são chamados de opostos. Têm a mesma correspondência que os números algébricos a e -a. A direção de um vetor é dada pela reta suporte que contém o segmento orientado que caracteriza o vetor. Vetores paralelos têm a mesma direção não importando se têm sentidos opostos. Observando ainda a fig.(1.1.1), podemos constatar ainda que os vetores c e d são perpendiculares, pois as retas suportes de c e d se encontram formando ângulos retos.

11 O espaço que usualmente adotado em nossas experiências diárias é o espaço euclidiano, sem curvatura, a três dimensões. Neste espaço podemos deslocar um vetor paralelamente a si mesmo, de um ponto a outro, sem alterar em nada todas as grandezas que caracterizam o vetor, fig.(1.1.2). Este transporte paralelo de um vetor de um ponto a outro do espaço é chamado de equipolência. fig.(1.1.2) Operação de equipolência. O vetor a estava inicialmente colocado no ponto A. Transportamos paralelamente este vetor até o ponto B. No Capítulo Quatro estudaremos um ente mais geral do que um escalar ou um vetor o qual será chamado de tensor. Lá também daremos algumas aplicações deste novo ente na Física. 1.2 Sistema Ortogonal de Coordenadas. Quando queremos localizar um ponto no espaço euclidiano a três dimensões podemos proceder da seguinte maneira: Elegemos um ponto arbitrário do espaço que adotamos como sendo o ponto de interseção ortogonal de três eixos orientados. A exigência de ortogonalidade é somente para simplificar nossas considerações iniciais. Veremos em outras ocasiões como trabalhar também com sistemas de eixos não ortogonais. Normalmente convencionamos que o ponto de encontro dos três eixos orientados seja a origem dos

12 mesmos. Isto é também uma norma simplificadora, fig.(1.2.1). fig.(1.2.1) Como localizar um ponto no espaço. Tendo este sistema de eixos podemos projetar ortogonalmente o ponto P sobre um dos planos coordenados (no caso da fig.(1.2.1) o plano XY). Desta projeção traçam-se retas paralelas a OX e OY. A interseção com o eixo OX chamamos de x e a interseção com o eixo OY chamamos de y. A altura do plano XY ao ponto P chamamos de z. Os três números (x, y, z), conjuntamente, são chamados de coordenadas do ponto P. Isoladamente cada um destes números tem as seguintes denominações: x é a abscissa, y a ordenada e z é a cota. Se for conhecida a posição do ponto P pode-se conhecer univocamente três números x, y, z que são as coordenadas do ponto P e se forem conhecidos estes três números, pode-se determinar univocamente o ponto P no espaço a três dimensões. Portanto a correspondência entre um ponto no espaço a três dimensões e suas três coordenadas é biunívoca. Consideremos agora dois sistemas de coordenadas de mesma origem, tendo um deles sofrido uma rotação com relação ao outro, como mostrado na fig.(1.2.2). Por simplicidade e clareza admitiremos um espaço a duas dimensões.

13 fig.(1.2.2) Coordenadas de um ponto em dois sistemas de coordenadas. Os triângulos OAB e ODC são semelhantes, dai tiramos as seguintes relações: AB CD x y cos cos Por outro lado, observando a figura acima, podemos escrever: AB x y sen e CD y xsen isto é: x cos x y sen y y cos x sen Usando a segunda destas equações para eliminar y' na primeira e encontramos finalmente x x cos y sen (1.2.1). y x sen y cos Conhecendo-se as coordenadas de um ponto P num sistema de coordenadas, pode-se determinar os valores das coordenadas deste mesmo ponto em um outro sistema de coordenadas que sofreu uma rotação de um ângulo com relação ao primeiro usando-se a eq.(1.2.1). Vejamos agora como podemos projetar um vetor sobre os três eixos ortogonais. Nosso procedimento agora é muito semelhante ao caso anterior, só que teremos que projetar dois pontos do segmento orientado que caracteriza o vetor.

14 Comumente escolhemos os pontos extremos deste segmento, fig.(1.2.3). Vamos escolher sobre cada eixo um vetor de módulo unitário, isto é, um vetor cujo comprimento do segmento orientado que o representa tem uma unidade de comprimento. Vetores com esta característica são chamados de versores. fig.(1.2.3) Projeção de um vetor sobre os eixos coordenados. Sejam i, j e k os versores segundo as direções OX, OY e OZ respectivamente. Sejam ax, ay e a z os valores das projeções orientadas de a sobre os eixos coordenados. Usando a biunivocidade anteriormente citada podemos escrever a ax ay az (1.2.2) Naturalmente podemos sempre escrever ax ax i ay ay j az az k (1.2.3) e portanto a eq.(1.2.2) se escreve a ax i ay j az k (1.2.4)

15 Esta é a maneira de expressarmos um vetor segundo suas componentes em um determinado sistema de coordenadas. 1.3 Operações Elementares com Vetores Vejamos agora como podemos somar e subtrair vetores. Naturalmente tendo o vetor um atributo geométrico, não podemos somar vetores somando simplesmente seus módulos. Somente quando os atributos geométricos são idênticos em todos os vetores parcelas, indicando assim que estes vetores são paralelos, é que podemos efetuar a soma dos módulos destes vetores. Por exemplo, para somar dois ou mais vetores paralelos, procedemos somando algebricamente os módulos destes vetores e damos ao vetor soma, a direção de uma das parcelas, fig.(1.3.1). O sentido será dado pelo sentido do vetor de maior módulo. fig.(1.3.1) Como somamos algebricamente dois vetores. Ao efetuarmos a soma ou subtração acima descrita, fizemos uso da operação de equipolência. Vejamos agora como somamos ou subtraímos dois vetores quaisquer. Dados dois vetores a e b, fig.(1.3.2),