Lista 4 de exercícios

Lista 4 de exercícios 1. (MORETTIN, 2010) Na leitura de uma escala, os erros variam de -1/4 a ¼, com distribuição uniforme de probabilidade. Calcular a média e a variância da distribuição dos erros. 2. (COSTA NETO; CYMBALISTA, 2006) Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue distribuição exponencial com vida média de 100 horas. Cada fusível tem custo de R$ 10,0 e, se durar menos de 200 horas, existe um custo adicional de R$ 8,0. a. Qual a probabilidade de um fusível durar mais de 150 horas? b. Foi proposta a compra de uma outra marca que tem uma vida média de 200 horas e um custo adicional de R$ 15,0. Considerando também a incidência do custo adicional, deve ser feita a troca de marcas? 3. (MONTGOMERY; RUNGER, 2012) Suponha que as conexões a uma rede de computadores sigam um processo de Poisson, com média de 3 contagens por minuto. a. Qual é o tempo médio entre as contagens? b. Qual é o desvio padrão do tempo entre as contagens? c. Determine x tal que a probabilidade de no mínimo um contagem ocorre antes do tempo x minutos seja de 0,95. 4. (MONTGOMERY; RUNGER, 2012) A vida de reguladores de voltagem para automóveis tem uma distribuição exponencial, com uma vida média de seis anos. Você compra um automóvel com seis anos de uso, com um regulador de voltagem funcionando, e planeja ficar com o carro por seis anos. a. Qual é a probabilidade de que o regulador de voltagem falhe durante o período em que você possui o carro? b. Se o regulador falhar depois de você possuir o carro por três anos, ao ser trocado, qual o tempo médio até a próxima falha? 5. (COSTA NETO; CYMBALISTA, 2006) Uma companhia fabrica lâmpadas com duração média de 100 horas e distribuição exponencial. 1/8

a. Qual deve ser a garantia do fabricante para repor apenas 5% da produção? b. Qual a probabilidade de uma lâmpada durar de 163 a 185 horas? 6. (MONTGOMERY; RUNGER, 2012) O período de permanência em uma emergência específica em Fênix, Arizona, teve uma média de 4,6 horas. Suponha que o período de permanência seja distribuído exponencialmente. a. Qual o desvio padrão do período de permanência? b. Qual a probabilidade de um período de permanência maior do que 10 horas? c. Que período de permanência é excedido por 25% dos pacientes? 7. (MORETTIN, 2010) Uma variável aleatória X é normalmente distribuída com média 60 e variância 64. Determine: a. ( 74); b. ( 60 8); c. ( 60 5). 8. (ANDRADE; OGLIARI, 2013) Em indivíduos sadios, o consumo renal de oxigênio tem distribuição normal com média 12 cm 3 /min e desvio padrão 1,5 cm 3 /min. a. Determine a proporção de indivíduos sadios com consumo: inferior a 10 cm 3 /min; superior a 8 cm 3 /min; entre 9,4 e 13,2 cm 3 /min; igual a 11,6 cm 3 /min. b. Determinar o valor do consumo renal que é superado por 98,5% dos indivíduos sadios. c. Determinar uma faixa simétrica em torno do valor médio que contenha 90% dos valores do consumo renal. 9. (MORETTIN; BUSSAB, 2013) A distribuição dos pesos de coelhos criados numa granja pode muito bem ser representada por uma distribuição normal, com média de 5 kg e desvio padrão de 0,8 kg. Um abatedouro comprará 5.000 coelhos e pretende classificá-los de acordo com o peso, do seguinte modo: 20% dos leves como pequenos, os 55% seguintes como médio, os 15% seguintes como grandes e os 10% mais pesados como extras. Quais os limites de peso para cada classe? 2/8

10. (ANDRADE; OGLIARI, 2013) A observação dos pesos, X, de um grande número de espigas de milho mostrou que essa variável é normalmente distribuída com média de 90 g e desvio padrão de 7 g. Num programa de melhoramento, entre outras características, uma linhagem de satisfazer a condição 78 g < X < 104 g. Nessas condições, em um programa de melhoramento com 100 linhagens, pergunta-se: a. Qual a probabilidade de uma linhagem qualquer ser aceita? b. Qual o número esperado de linhagens que continuará participando do programa de melhoramento? 11. (ANDRADE; OGLIARI, 2013) Sabe-se que o comprimento de pétalas em uma população de plantas da espécie X é normalmente distribuída com média 3,2 cm e desvio padrão de 1,8 cm. Que proporção na população espera-se que tenha comprimento de pétalas: a. Maior que 4,5 cm? b. Entre 2,9 e 3,6 cm? c. Determine o valor do comprimento de pétalas que é superado por 65% das plantas. 12. (COSTA NETO; CYMBALISTA, 2006) A duração de certo tipo de pneu, em quilômetros rodados, é uma variável normal com duração média de 60.000 km e desvio padrão de 10.000 km. a. Qual a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso durar mais de 75.000 km? b. Qual a probabilidade de um pneu durar entre 63.500 e 70.000 km? c. Qual a probabilidade de um pneu durar entre 50.000 e 70.000 km? d. Qual a probabilidade de um pneu durar exatamente 65.555,3 km? e. O fabricante deseja fixar uma garantia de quilometragem, de forma tal que, se a duração do pneu for inferior à garantia, o pneu seja troca. De quanto deve ser essa garantia para que somente 1% dos pneus sejam trocados? 13. (MORETTIN; BUSSAB, 2013) Uma enchedora automática de garrafas de refrigerante está regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de 1.000 cm 3 e o desvio padrão de 10 cm 3. Pode-se admitir que a variável seja normal. a. Qual a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 990 cm 3? 3/8

b. Qual a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido não se desvia da média em mais de dois desvios padrões? c. O que acontecerá com a porcentagem do item b se a máquina for regulada de forma que a média seja 1.200 cm 3 e desvio padrão de 20 cm 3? 14. (MORETTIN, 2010) Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração normal com média de 150.000 km e desvio padrão de 5.000 km. Qual a probabilidade de que um carro, escolhido ao acaso, dos fabricados por essa firma, tenha um motor que dure: a. Menos de 170.000 km? b. Entre 140.000 km e 165.000 km? c. Se a fábrica substituir o motor que apresenta duração inferior à garantia, qual deve ser esta garantia para que a porcentagem de motores substituídos seja inferior a 0,2%? 15. (MORETTIN, 2010) Foi feito um estudo sobre a altura dos alunos de uma faculdade, observandose que ela se distribuía normalmente com média de 1,72 m e desvio padrão de 5 cm. Qual a porcentagem dos alunos dos alunos com altura: a. Entre 1,57 m e 1,87 m? b. Acima de 1,90 m? 16. (ANDRADE; OGLIARI, 2013) Sabe-se que o peso, em arrobas, de abate de bovinos, é normalmente distribuído com média 18 e variância 2,25. Um lote de 5.000 cabeças, com essa característica, foi destinado ao frigorífico que abate só a partir de um peso mínimo w. a. Qual o número esperado de bovinos com peso entre 17 e 18 arrobas? b. Qual o valor w, supondo que foram abatidas apenas 4.200 cabeças? c. Qual a ( < < 18)? 17. (MORETTIN; BUSSAB, 2013) O diâmetro de certo tipo de anel industrial é uma variável aleatória com distribuição normal, de média 0,10 cm e desvio padrão 0,02 cm. Se o diâmetro de um anel diferir da média em mais de 0,03 cm, ele é vendido por $5,00; caso contrário, é vendido por $10,00. Qual o valor médio de venda de cada anel? 4/8

18. (COSTA NETO, 2006) O número de pedidos para compra de certo produto que uma companhia recebe por semana distribui-se normalmente, com média 125 e desvio-padrão 30. Se em uma semana o estoque disponível é de 150 unidades, qual a probabilidade de que todos os pedidos sejam atendidos? Qual deveria ser o estoque para que se tenha 98% de probabilidade de que todos os pedidos sejam atendidos? 19. (MORETTIN, 2010) Um fabricante de máquinas de lavar sabe, por longa experiência, que a duração de suas máquinas tem distribuição normal com média de 1.000 dias e desvio padrão de 200 dias. Oferece a garantia de um ano (365 dias). Produz mensalmente 2.000 máquinas. Quantas espera troca pelo uso da garantia dada, mensalmente? 20. (COSTA NETO; CYMBALISTA, 2006) Num determinado processo industrial, as peças com mais de 22 kg e menos de 18 kg são consideradas defeituosas. O processo atual tem 30% de defeituosas. Foi proposta a troca por um processo com média de 21 kg e variância de 0,81 kg 2. Deve ser feita a troca. 21. (MORETTIN, 2010) O peso de um cigarro é a soma dos pesos do papel e do fumo, e vale em média 1,2 g e desvio padrão de 0,06 g. O peso médio do papel é 0,04 g com desvio padrão 0,02 g. Estes pesos têm distribuição normal. Os cigarros são feitos em uma máquina automática que pesa o fumo a ser usado, coloca o papel e enrola o cigarro. Determinar o peso médio do fumo em cada cigarro e o desvio padrão. Qual a probabilidade de que um cigarro tenha menos de 1,13g de fumo? 22. (COSTA NETO; CYMBALISTA, 2006) Os pneus de certa marca têm peso médio de 8,35 kg com desvio padrão 0,15 kg. Como a durabilidade relaciona-se com o peso, os fabricantes decidiram pagar uma indenização de R$ 50,0 por pneu fornecido com menos de 8 kg de peso. Quanto representa, em reais, essa indenização no custo médio por pneu? Se se resolver diminuir à metade esse custo adicional sem deixar de pagar a indenização, qual o novo limite de peso abaixo do qual a indenização seria paga? Supor normal a distribuição dos pesos. 5/8

23. (MORETTIN, 2010) Um elevador tem o seu funcionamento bloqueado se sua carga for superior a 450 kg. Sabendo que o peso de um adulto é uma variável aleatória com distribuição normal, sendo a média igual a 70 g e o desvio padrão igual a 15 kg, calcule a probabilidade de ocorrer o bloqueio numa tentativa de transportar 6 adultos. 24. (MORETTIN, 2010) Um criador possui 5.000 cabeças de vacas de leiteiras. Sabendo-se que cada vaca produz em média 3 litros por dia, obedecendo a uma distribuição normal com desvio padrão de 0,5 litros, calcular a probabilidade de produzir, diariamente: a. Mais de 15.110 litros; b. Entre 14.910 e 14.960 litros. 25. (WALPOLE et al., 2009) Mudanças nos procedimentos em um aeroporto requerem um planejamento considerável. As taxas de chegadas de aeronaves são fatores importantes que devem ser levados em consideração. Suponha que pequenas aeronaves cheguem ao aeroporto de acordo com um processo de Poisson, com taxa de seis por hora. Então, o parâmetro de Poisson para chegadas em um período de horas será = 6. a. Qual é a probabilidade de que, exatamente, quatro pequenas aeronaves cheguem durante um período de uma hora? b. Qual é a probabilidade de que pelo menos quatro cheguem durante o período de uma hora? c. Para o período de 30 minutos, qual é probabilidade de que pelo menos duas aeronaves pequenas cheguem ao aeroporto? d. Para o mesmo período, qual o número esperado de aeronaves pequenas que cheguem ao aeroporto? 26. (MORETTIN; BUSSAB, 2013) O número de petroleiros que chegam a uma refinaria em cada dia ocorre segundo uma Distribuição de Poisson, com = 2. As atuais instalações podem atender, no máximo, a três petroleiros por dia. Se mais de três aportarem num dia, o excesso é enviado a outro porto. a. Em um dia, qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto? 6/8

b. De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a todos os navios que chegarem pelo menos em 95% dos dias? c. Qual o número médio de petroleiros que chegam por dia? 27. (WALPOLE et al., 2009) O diâmetro interno determinado de um anel de pistão é distribuído normalmente com média de 10cm e desvio padrão de 0,03cm. a. Qual a proporção de anéis que terão diâmetro interno excedendo 10,08cm? b. Qual a probabilidade de que um anel de pistão tenha diâmetro interno entre 9,97 e 10,03cm? c. Abaixo de qual valor do diâmetro interno estarão 15% dos anéis de pistão? 28. (MORETTIN, 2010) O custo de um produto A é determinado por custos fixos, mão de obra e matéria-prima. Sabemos que os custos fixos são de R$ 1.000,0 e o desvio padrão de R$ 80,0, com distribuição normal, e que o custo de mão de obra segue distribuição normal com média R$ 5.000,0 e desvio padrão de R$ 100,0. O custo da matéria-prima é o dobro do custo da mão de obra e também segue uma distribuição normal. Admitindo que o custo fixo, matéria-prima e mão de obra sejam independentes e que o custo do produto A tenha distribuição normal, determine: a. Qual a média e o desvio padrão do custo de A? b. Qual a probabilidade de A custar mais de R$ 16.500,0? c. Qual a probabilidade de que o custo de A esteja entre R$ 15.800,0 e R$ 16.900,0? Referências bibliográficas* ANDRADE, D.F. OGLIARI, P.J. Estatística para as ciências agrárias e biológicas: com noções de experimentação. 3. ed. rev. e ampl. Florianópolis: Ed. da UFSC, 2013. 478p. COSTA NETO, P.L.O.; CYMBALISTA, M. Probabilidades: resumos teóricos, exercícios resolvidos, exercícios propostos. 2.ed. ver. e ampl. São Paulo: Editora Blucher, 2006. 185p. MONTGOMERY, D.C.; RUNGER, G.C. Estatística e probabilidade aplicada para engenheiros. 5.ed. Rio de Janeiro, LTC, 2012. 523p. MORETTIN, L.G. Estatística básica: probabilidade e inferência. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 375p. MORETTIN, P.A.; BUSSAB, W.O. Estatística básica. 8.ed. São Paulo: Saraiva, 2013. 548p. 7/8

WALPOLE, R.E.; MYERS, R.H.; MYERS, S.L.; YE, K. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009. 491p. *Alguns exercícios foram adaptados em razão do conteúdo abordado nas disciplinas ofertadas pelo Departamento de Matemática e Estatística/DME. 8/8