Resumo Existem fundamentos de Matemática que são imprescindíveis nas diversas formações profissionais. Médicos, arquitetos, engenheiros, administradores, gestores e tantos outros profissionais utilizam a Matemática para resolver, diariamente, problemas pessoais e profissionais. Esta aula tratará, dessa forma, dos principais conceitos de matemática básica que são fundamentais para a sua formação. Fundamentos da Matemática Eduardo Araújo* Equação do 1.º grau Chamamos de equação do 1.º grau na incógnita x toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero. Vamos entender a definição? Equação: é toda sentença composta por uma (ou mais) incógnita(s) e uma igualdade. Incógnita: é o que desejamos descobrir (em geral representada por uma letra). Grau: é dado pelo maior expoente da incógnita. O valor da incógnita, que torna uma equação verdadeira, recebe o nome de zero ou raiz da equação. Mestre em Ensino de Ciências e Matemática Ulbra. Especialista em Educação a Distância Senac. Graduado em Matemática Ulbra.
8 Matemática para Negócios e Finanças Em igualdades matemáticas, podemos adicionar, multiplicar, subtrair ou dividir elementos iguais aos dois membros dessa igualdade que a identidade se mantém. É claro, se fizermos as mesmas operações, com os mesmos valores, o resultado tem de permanecer o mesmo. Dessa forma, para resolvermos equações do primeiro grau, utilizaremos operações matemáticas de ambos os lados da igualdade até que a incógnita fique isolada. Vamos ver um exemplo: 2x + 10 = 18 Para isolarmos o termo 2x, iniciaremos subtraindo 10 unidades de cada lado da igualdade. Veja: 2x + 10-10 = 18-10 2x + 0 = 8 2x = 8 Para eliminarmos o valor 2 que multiplica nossa incógnita, dividiremos ambos os lados da igualdade por 2, e ficamos com: 2x 2 = 8 2 x = 4 Dessa forma, sempre que realizarmos as mesmas operações em ambos os membros da igualdade com os mesmos valores, a igualdade permanecerá verdadeira. Como nosso objetivo sempre é isolar a incógnita, podemos eliminar esses termos conforme nossa necessidade. Veja outro exemplo: y 3 + y 2 =15 2y+3y = 90 6 6 5y=90 5y 5 = 90 5 y=18 (nesse caso fizemos o MMC entre 3 e 2) Uma maneira simplificada de resolver equações dessa forma é passando termos semelhantes de um lado para o outro da igualdade, invertendo, sempre, a operação matemática que está sendo realizada (lembre-se: adição é o inverso de subtração e multiplicação é o inverso de divisão). Observe: Se 3x + 4 =19, qual é o valor de x que resolve essa equação? Solução: 3x = 19-4 (enviando o elemento 4 e invertendo a operação de adição) 3x = 15 (resolvendo 19-4) x = 15 3 x = 5 (enviando o elemento 3 e invertendo a operação de multiplicação)
Fundamentos da Matemática 9 Veja outros exemplos: Ex: -3x + 5 = -7 Solução: -3x = -7-5 -3x = -12 x = -12-3 x = +4 Testando a resposta encontrada: -3. 4 + 5 = -7-12 + 5 = -7-7 = -7 Ok! Ex: 4-2k = 4k - 8 Solução: -2k - 4k = -8-4 -6k = -12 k= -12-6 k = +2 Como você pode perceber, resolver equações do primeiro grau é bastante simples. O método simplificado permite apenas enviar elementos de um lado a outro da igualdade, invertendo a operação que estamos realizando, até que tenhamos nossa incógnita isolada. Razão A palavra razão é derivada do latim ratio e significa divisão. Ou seja, para obtermos a razão entre dois termos quaisquer basta dividirmos um pelo outro. Imagine que, em um condomínio com 40 apartamentos, 12 sejam de 3 dormitórios, 18 sejam de 2 dormitórios e 10 de 1 dormitório. Qual será a razão entre o número de apartamentos de 3 e de 2 dormitórios? Razão entre o número de apartamentos de 3 e de 2 dormitórios 12:6 2 = 18:6 3
10 Matemática para Negócios e Finanças Isso quer dizer que, para cada 2 apartamentos de 3 dormitórios, há 3 apartamentos de 2 dormitórios. Razão entre o número de apartamentos de 3 dormitórios e o total de apartamentos: 12: 4 = 3 40: 4 10 Portanto, essa razão será: para cada 10 apartamentos do edifício, 3 são de 3 dormitórios. Esse conceito de razão, que nada mais é do que a divisão entre dois elementos, será fundamental para que possamos entender o conceito de proporção que veremos a seguir. Proporção Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Podemos dizer que 1/2 e 2/4, por exemplo, formam uma proporção, pois representam uma mesma quantidade. Então, quando falamos que duas coisas são proporcionais, estamos dizendo que elas formam uma proporção entre si. Veja um outro exemplo: 2 8 e 3 12 Propriedade: representam a mesma quantidade, pois ambas se referem a 0,25 ou 1/4. Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, ou seja: Se a b = c (ou ainda, a b = c d), sempre será verdadeiro que: d a b = c d a. d = b. c Vamos aplicar a propriedade acima nos exemplos anteriores? Se 2 8 e 3 formam uma proporção, então 2. 12 tem de ser igual a 8. 3, e são, pois ambos 12 geram o mesmo resultado, que é 24. Podemos, ainda, calcular o termo desconhecido em uma proporção, veja: Se x 4 = 3 2 então: 2x = 3. 4 2x = 12 x= 12 2 =6 O conceito de razão foi importante para entendermos o de proporção. O conceito de proporção, que agora estudamos, será a base para compreendermos o conceito de regra de três, nosso próximo tema.
Fundamentos da Matemática 11 Regra de três A regra de três é, possivelmente, um dos conceitos básicos de Matemática mais utilizados hoje em dia. Ela trata de uma simples relação linear na qual conhecemos três elementos, relacionados entre si, e queremos descobrir o quarto elemento dessa proporção. Como você pode notar, regra de três e proporções são conceitos totalmente relacionados. Na verdade, uma regra de três nada mais é do que uma proporção, que pode ser direta ou inversa. Vamos ver como devem ficar dispostos os dados em uma regra de três: :: os dados devem ficar dispostos como em uma tabela, cujos valores de mesmo tipo ficam na mesma coluna; :: para analisarmos se a proporção é direta ou inversa, seguiremos os seguintes critérios: :: se, ao aumentarmos o valor de uma variável, a outra também aumentar seu valor (ou viceversa), a relação será direta e resolvemos o problema como em uma proporção: trata-se de uma regra de três direta; :: se, ao aumentarmos o valor de uma variável, a outra diminuir (ou vice-versa), a relação será inversa. Nesse caso, invertemos a posição dos elementos de uma das razões e resolvemos o problema como em uma proporção: trata-se de uma regra de três inversa. Para podermos aplicar as definições vistas, vamos ver alguns exemplos em que a regra de três é utilizada? Ex: Se um corretor de imóveis roda em média 60 quilômetros em 3 horas de trabalho, quanto, em média, ele deverá ter rodado em 8 horas trabalhando? Solução: Quanto mais horas de trabalho, mais quilometragem o corretor rodará, portanto, a regra é direta: km h 60 3 x 8 3x = 60. 8 x= 480 3 = 160 km Ex: Imagine agora que, esse mesmo corretor, dirigindo a uma velocidade média de 60 km/h, consiga percorrer certa distância em 20 minutos. Caso ele tenha apenas 15 minutos, com que velocidade ele deverá dirigir? Solução: Quanto mais velocidade, menos tempo, portanto a relação é inversa. Dados do problema: Vel. t 60 20 x 15
12 Matemática para Negócios e Finanças Invertendo uma das razões (já que a regra é inversa): 60 x = 15 20 15x = 60. 20 15x = 1200 x= 1200 15 =80km/h Como você pode perceber, realizar cálculos com regra de três é bastante simples: basta identificarmos os elementos envolvidos, montarmos a tabela e verificarmos se a relação é direta ou inversa. No caso da direta, tratamos como uma proporção; no caso da inversa, invertemos uma das razões e tratamos, novamente, como uma proporção normal. Função do 1.º grau Veremos agora algumas noções de função do primeiro grau. Para tanto, partiremos da definição e, em seguida, entenderemos cada um de seus elementos. Chama-se função polinomial do 1.º grau qualquer função f de IR em IR, dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, em que a e b são números reais quaisquer e a 0. Na função f(x) = ax + b, a é chamado de coeficiente de x e o b é chamado termo constante. Uma função, dessa forma, pode ser entendida simplificadamente como uma relação entre dois valores. Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1.º grau: f(x) = 5x em que = 5 e b = 0 f(x) = -2x -7 em que = -2 e b = -7 As funções do primeiro grau são separadas em três tipos: linear, afim e constante. Veja qual a definição de cada uma delas: Função linear É um tipo de função do 1.º grau em que o termo b é nulo (y = ax). Um exemplo de função linear é a primeira das duas anteriores, (f(x) = 5x). Função afim É um tipo de função do 1.º grau na qual o termo b não é nulo (y = ax + b). Um exemplo de função afim é a segunda das anteriores f(x) = -2x - 7.
Fundamentos da Matemática 13 De uma maneira simplificada, podemos representar graficamente funções do primeiro grau arbitrando valores para a variável x e calculando os correspondentes valores de y. Veja: y = 3x - 6 Construindo uma tabela e arbitrando valores para x : x -2-1 0 1 2 y = f(x) A partir dos valores arbitrados para x (falamos em arbitrados porque podem ser quaisquer valores), podemos obter os valores de y. Veja: A tabela fica com o seguinte formato: E a representação gráfica fica: x y = f(x) -2 y = 3. (-2) - 6 = -6-6 = -12-1 y = 3. (-1) - 6 = -3-6 = -9 0 y = 3. (0) - 6 = 0-6 = -6 1 y = 3. (1) - 6 = 3-6 = -3 2 y = 3. (2) - 6 = 6-6 = 0 x y = f(x) -2-12 -1-9 0-6 1-3 2 0
14 Matemática para Negócios e Finanças Podemos, ainda, arbitrar o valor zero para x e calcular y, arbitrar zero para y e calcular x, unindo esses pontos em uma reta. Veja: y = 3x - 6 Quando x = 0, teremos: Quando y = 0, teremos: y = 3. 0-6 0 = 3x - 6 y = 0-6 -3x = -6 y = -6 x = 2 E, portanto, o ponto (0, -6) E, portanto, o ponto (2,0) 2-6 E, unindo estes pontos, teremos: É a mesma representação gráfica anterior, uma vez que podemos prolongar infinitamente a reta em ambas as direções.
Fundamentos da Matemática 15 Atividades 1. Uma secretária precisa digitar 26 páginas de um arquivo. Se, em duas horas de serviço ela digitou 8 páginas, quanto tempo deverá levar para concluir sua tarefa? 2. Para se produzir 60 kg de uma certa liga metálica são necessários 16 kg de cobre. Se você tiver disponível 20 kg de cobre, quantos kg dessa mesma liga conseguirá produzir? 3. Para produzir 20 estribos, um certo ferreiro leva, em média, 16 minutos. Continuando nesse mesmo ritmo, em 20 minutos, ele deverá produzir quantos estribos? 4. Para construir uma ponte, 16 operários trabalham durante 120 dias. Se o prazo de entrega fosse de 80 dias, quantos operários seriam necessários? 5. Em um certo supermercado, o pacote de 2 kg de açúcar custa R$ 3,24. Quanto deverá custar, no máximo, o pacote de 5 kg? 6. Em geral, uma família de três pessoas consome, por dia, 300 g de gás de cozinha. Considerando um botijão com 13 kg, podemos escrever: (obs.: 300 g = 0,3 kg): Dias consumindo gás (x) Quantidade de gás no botijão (y) 0 dia 13 kg 1 dia 12,7 kg 2 dias 12,4 kg 3 dias 12,1 kg 4 dias 11,8 kg 5 dias 11,5 kg Considerando x como a quantidade de dias consumindo gás e y a quantidade de gás no botijão, responda às questões que seguem: a) A função matemática que explica essa situação é: b) No 12.º dia de consumo, quantos kg de gás há no botijão?
16 Matemática para Negócios e Finanças c) Após quantos dias consumindo gás a quantidade no botijão será de 7 kg? d) A partir da instalação do botijão, aproximadamente quantos dias o gás deverá durar? Ampliando conhecimentos Os conceitos vistos nesta unidade são fundamentais para sua formação. Dessa forma, procure retomar todos os conceitos estudados e só avançar após dirimir todas as suas dúvidas. É importante entender, por exemplo, que o valor encontrado em uma equação do primeiro grau significa o único número real que, ao ser substituído na equação, torna a igualdade verdadeira e que, em uma regra de três, se a relação for direta tratamos como uma proporção e se for inversa, precisa ter a proporção invertida. Auto-avaliação 1. Caminhando a passos largos, uma pessoa leva, em média, 20 minutos para percorrer 2,5 km. Para percorrer 4 km, quanto tempo deverá levar? 2. Um automóvel, andando a uma velocidade média de 80 km/h, leva 12 minutos para percorrer uma certa distância. Se ele andasse a 60 km/h, que tempo levaria para percorrer a mesma distância? 3. Um representante comercial vendeu 520 exemplares de seu produto e com isso lucrou R$ 546,00. Se em uma nova venda do mesmo produto ele lucrou R$ 420,00, quantos exemplares ele vendeu? 4. Um médico leva, em média, 20 minutos para atender um paciente em sua clínica. Em um dia inteiro de trabalho, esse médico consegue atender, no máximo, 24 pessoas. Para aumentar sua renda, ele pretende atender 30 pessoas por dia. Dessa forma, ele precisa que suas consultas durem quanto tempo? 5. Em um hemocentro foi constatado que, para coletar 200 ml de sangue, uma máquina leva, em média, 24 minutos. Quanto tempo essa mesma máquina levará para coletar 150 ml de sangue?
Fundamentos da Matemática 17 6. Associe cada função com sua possível representação gráfica: a) y = 4x - 4 b) y = 4x + 4 c) y = -4x - 4 d) y = -4x + 4 e) y = 4x f) y = -4x g) y = 4 h) y = -4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y 4 2 y 4 2-10 -8-6 -4-2 2 4 6 8 10 x -2-4 -6-10 -8-6 -4-2 2 4 6 8 10 x -2-4 -6
18 Matemática para Negócios e Finanças 7. Suponha que a quantidade de gasolina média (y) em um tanque cheio de combustível com relação à quantidade de quilômetros rodados (x) de um automóvel popular seja dado pela equação: y = 35-0,0625x a) Após percorrer 200 km, quanto haverá de gasolina no tanque? b) Estando com o tanque cheio, esse automóvel conseguirá percorrer 600 km? Por quê? c) Com que quilometragem deverá acabar o combustível? Referências ARAÚJO, Eduardo Muller; BERLIKOWSK, Márcia Elisa. Matemática: 6.ª série. Canoas: Editora da Ulbra, 2003.. Matemática: 8.ª série. Canoas: Editora da Ulbra, 2003. BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 1989. DANTE, Luiz Roberto. Matemática, contexto e aplicações. Livro 1. São Paulo: Ática, 1999.
Fundamentos da Matemática 19 Gabarito Atividades 1. 6,5h ou 6h 30min. 2. 75 kg. 3. 25 estribos. 4. 24 operários. 5. R$ 8,10. 6. a) y = 13-0,3x. b) 9,4 kg. c) 20 dias. d) 43 dias. Auto-avaliação 1. 32 minutos. 2. 16 minutos. 3. 400 exemplares. 4. 16 minutos. 5. 18 minutos. 6. ( c ) ( e )
20 Matemática para Negócios e Finanças ( h ) ( a ) ( b ) ( f ) ( d ) ( g ) y 4 2 y 4 2-10 -8-6 -4-2 2 4 6 8 10 x -2-4 -6-10 -8-6 -4-2 2 4 6 8 10 x -2-4 -6 7. a) 22,5 l. b) Não, pois ao substituirmos de x pelo valor 600, chegaríamos em uma quantidade negativa de gasolina, ou seja, faltaria gasolina. c) 560 km, que é quando o valor de y, gasolina, é zero.