EQUILÍBRIO DE NASH No equilíbrio de Nash, nenhum jogador se arrepende de sua estratégia, dadas as posições de todos os outros. Ou seja, um jogador não está necessariamente feliz com as táticas dos outros jogadores, apenas está feliz com a tática que escolheu em face das escolhas dos outros. No filme Uma Mente Brilhante sobre a vida de John Nash popularizou-se o termo e levou ao conhecimento do público a Teoria dos Jogos, mas infelizmente, como o economista James Miller coloca, a única indicação sobre o assunto no filme está errada. No filme, cinco garotas, dentre elas uma especialmente atraente entram em um bar, e Nash tem a idéia de, junto com três amigos, ir conversar com as quatro garotas e evitar tanto a competição pela mais bonita quanto o ciúme das outras garotas. No filme está subentendido que essa seria a base do equilíbrio de Nash. O problema é que o equilíbrio de Nash ocorre quando não há arrependimento, e vendo a mulher mais bonita do bar sair sozinha, alguém poderia se arrepender de não ter ido conversar com ela em primeiro lugar. O equilíbrio de Nash se daria se um dentre os quatro fosse conversar com a mais bonita e os outros evitassem a competição partindo cada um para uma garota diferente. O que percebemos é que a genialidade do equilíbrio de Nash vem da sua constância sem os jogadores estarem cooperando. Por exemplo, seja uma estrada de cem quilômetros, de movimento igual nas duas direções, representada por uma linha graduada de 0 a 100. Coloquem-se nessa estrada dois empreendedores procurando um local para abrir cada qual um posto de gasolina. Pode-se assumir que cada motorista irá abastecer no posto mais próximo de si. Se A coloca seu posto no quilometro 40, e B exatamente no meio, B ficará com mais clientes que A. O jogo ainda não está em equilíbrio, pois B pode se arrepender de não estar mais perto de A, roubando mais clientes. O equilíbrio de Nash será A =X+1 e B =X-1. Se um posto estiver um pouco fora do centro, seu competidor vai ganhar mais da metade dos consumidores, colocando-se ao seu lado, mais próximo ao centro. A Teoria dos Jogos consegue explicar por que, nos grandes centros urbanos, farmácias, locadoras e outros competidores da mesma indústria tendem a ficar próximos uns aos outros. Sempre que um jogador se encontra em uma situação em que até poderia estar melhor, mas está fazendo o melhor possível dada a posição de seus competidores, existirá um equilíbrio de Nash. Em 1964, o cineasta Stanley Kubrick Lançava Dr. Strangelove. Nele, um oficial americano ordena um bombardeio nuclear à União Soviética, cometendo suicídio em seguida
e levando consigo o código para cancelá-lo. O presidente americano busca o governo soviético na esperança de convencê-lo de que o evento é um acidente e por isso não deve haver retaliação. É então informado de que os soviéticos programaram uma arma de fim do mundo (uma rede de bombas nucleares subterrâneas), que funciona automaticamente quando o país é atacado ou quando alguém tenta desarmá-la. O Dr. Strangelove, estrategista do presidente, aponta uma falha: se os Soviéticos dispunham de tal arma, por que a guardavam em segredo? Por que não contar ao mundo? A resposta do inimigo: a máquina seria anunciada na reunião do partido na próxima segunda-feira. Podemos analisar a situação criada no filme sob a ótica da Teoria dos Jogos: uma bomba nuclear é lançada pelo país A ao país B. A política de B consiste em rebater com todo seu arsenal, capaz de destruir a vida no planeta, se atacado. O raciocínio que levou B a tomar essa decisão é bastante simples: até o país mais fraco do mundo está seguro se criar uma máquina de destruição do mundo, ou seja, ao ter sua sobrevivência seriamente ameaçada, o país destrói o mundo inteiro (ou, em seu modo menos drástico, apenas os invasores). Ao elevar os custos para o país invasor, o possuidor dessa arma garante sua segurança. O problema é que de nada adianta um país possuir tal arma em segredo. Seus inimigos devem saber de sua existência e acreditar na sua disposição de usá-la. O poder da máquina do fim do mundo está mais na intimidação do que em seu uso. Atualmente nos temos o caso do Irã (TEERÃ (AFP) O ministro iraniano da Defesa, Mostafá Mohamad Najar, anunciou nesta terça-feira( 22/11/07) que seu país construiu um novo míssil balístico com um alcance de 2.000 quilômetros, denominado "Ashura", em um clima de forte tensão com os países ocidentais devido às ambições nucleares de Teerã. O novo míssil, batizado com o nome da maior cerimônia de luto e penitência dos mulçumanos xiitas, tem em teoria o alcance suficiente para atingir as bases americanas da região e Israel, a cerca de 1.000 quilômetros do país. O conflito nuclear fornece um exemplo de uma das conclusões mais surpreendentes dentro da Teoria dos Jogos. O economista Thomas Schelling percebeu que, apesar do sucesso geralmente ser atribuído a uma maior inteligência, planejamento, racionalidade dentre outras características que retratam o vencedor como superior ao vencido, o que ocorre muitas vezes é justamente o oposto. Até mesmo o poder de um jogador, considerado no senso comum como uma vantagem, pode atuar contra seu detentor. Schelling criou o termo brinksmanship (de brink, extremo) à estratégia de deliberadamente levar uma situação às suas conseqüências extremas.
Um exemplo usado por Schelling é bem conhecido: O jogo do frango, que consiste em dois indivíduos acelerarem seus carros na direção um do outro em rota de colisão; o primeiro a virar o volante e sair da pista, é o perdedor. Pode-se ver na tabela a seguir os resultados desse jogo: MOTORISTA 2 RETO DESVIA MOTORISTA 1 RETO -100, -100 1,-1 DESVIA -1,1 0,0 Se ambos forem reto, os dois jogadores pagam o preço mais alto com sua vida. No caso de os dois desviarem, o jogo termina em empate. Se um desviar e o outro for reto, o primeiro será o frango e o segundo, o vencedor. Schelling propôs que um participante desse jogo deve retirar o volante de seu carro e atirá-lo para fora, fazendo questão de mostrá-lo a todas as pessoas presentes. Ao outro jogador caberia a decisão de desistir ou causar uma catástrofe. Um jogador racional optaria pela opção que lhe causasse menos perdas, sempre perdendo o jogo. O mesmo ocorre ao decidir invadir um país sem medo de usar armas nucleares. É possível ver no dumping entre concorrentes uma aplicação direta da máquina do fim do mundo. Uma empresa pode decidir vender com prejuízo caso seu concorrente ultrapasse determinados limites. O exemplo de Schelling fornece ainda uma instância em que, ao se retirar o volante, e, portanto, o poder de decidir, o jogador tem suas chances de ganhar aumentadas. Em situações de negociação é comum se abrir mão do poder e ainda assim sair ganhando. Muitas vezes advogados dizem que estão autorizados por seus clientes a ir somente até um valor, enquanto vendedores atribuem aos gerentes a decisão de não fornecer desconto. Se a outra parte acredita na limitação desses profissionais, o limite de preço imposto ganha credibilidade. Eliminar opções pode ser útil em situações como, por exemplo, negociar um aumento. Por que deveria um superior conceder um aumento caso acredite que seu empregado não possui outra opção melhor? Se o empregado ameaçar ir embora caso não receba um aumento, pode-se simplesmente dizer não, pois a ameaça não é confiável. Uma forma de o empregado tornar a ameaça digna de crédito seria espalhar a notícia de que, caso não receba um aumento, sairá da firma, a todos que trabalham na empresa. O objetivo do empregado é tornar a sua estada na firma sem um aumento totalmente humilhante, obrigandoo a pedir demissão. Agora sua ameaça faz efeito, e o chefe será obrigado a conceder um
aumento ou procurar outro para o serviço. Ao arriscar sua própria credibilidade com os colegas, o empregado aumenta as chances de um resultado favorável. Limitar as opções pode significar simplesmente cortar as comunicações. Durante as negociações, para convencer um vendedor a aceitar um preço, um comprador pode fazer uma oferta e em seguida tornar-se propositalmente indisponível. Ao não aceitar ligações, estar sempre em reuniões ou em viagens, o comprador aumenta a credibilidade de sua ameaça. Uma ligação atendida sinaliza interesse e pode fazer com que a ameaça seja ignorada. Quando pensaram em utilizar os jogos de estratégia para analisar o mundo social, Von Neumann e Morgenstein retornaram a uma prática milenar para entender e estudar o mundo. Ao fazer isso, criaram uma ciência com uma grande capacidade de generalização e precisão matemática. A Teoria dos Jogos promete tornar-se um prisma cada vez mais poderoso sob o qual as relações humanas podem ser analisadas. Praticantes e acadêmicos de administração, rodeados rotineiramente pelos conflitos e complexidade da sociedade somente tem a ganhar com essa visão. Ou, como disse certa vez o fundador da Atari, Alan Bushnell: A área de negócios é um bom jogo muita competição e um mínimo de regras.
Necessitamos de um conceito mais geral de solução de jogos simultâneos, que permita tratar tanto de jogos que possuem estratégias estritamente dominadas e que, portanto, podem ser resolvidos pela eliminação iterativa de estratégias c~tritamente dominadas, corno tarnbern de jogos nos quais não é possível identificar stratégias dominadas. Esse conceito é o chamado equilíbrio de Nash: [ T~J Diz -se que uma combinação de estratégias constitui um equilíbrio de Nash quando cada estratégia é a melhor resposta possível às estratégias dos demais jogadores, e isso é verdade para todos os jogadores. Vimos anteriormente que uma dada estratégia ~ de um jogador i é considerada a melhor resposta desse jogador i a uma dada estratégia $_ dos demais jogadores se: it~ (s, s~) _,t~ (s, s~) para algum s_ e todos _ s isto é, se não há outra estratégia disponível para o jogador i que produza uma recompensa mais elevada do que s~, quando uma dada combinação de estratégias s~ é jogada pelos demais jogadores. O que a definição que apresentamos do equilíbrio de Nash está exigindo éque todas as estratégias adotadas por todos os jogadores sejam as melhores respostas às estratégias dos demais. Em termos um pouco mais formais, para que uma dada combinação de estratégias seja considerada um equilíbrio de Nash é necessário que, para cada estratégia sí que pertença à combinação> tenhamos: ~rt~ (s,sl) _ ~ (s,, si) para todo s~ e todo i Onde, como sempre, ~u 1 representa a função de recompensas de um jogador i, s, é uma dada estratégia do jogador i, s~ é uma dada estratégia dos demais jogadores que não i, e o sinal de asterisco indica que a estratégia faz parte de um equilíbrio de Nash. Vejamos um exemplo para melhor visualizarmos as características de um equilíbrio de Nash. Nesse caso, nosso exemplo será o jogo de prevenção de entrada no mercado nacional, que analisamos anteriormente como um exemplo de jogo que não possui equilíbrio em estratégias estritamente dominantes, e que reproduzimos novamente: Nesse jogo, a visualização do equilíbrio de Nash não é imediata. Por exemplo, se a empresa Dominante não investe, a melhor resposta para a Entrante Potencial é {Exporta em Larga Escala}. Contudo, a recíproca não é verdadeira: {Não Investe} não é a melhor resposta a {Exporta em Larga Escala} {Não Investe} resulta em uma recompensa de 1 para a empresa Dominante caso a Entrante Potencial jogue {Exporta em Larga Escala}, enquanto {Investe} resultaria em uma recom Figura 3.4 O Jogo de Prevenção da Entrada no Comércio Nacional E1SEV~R Jogos Simultâneos 95 pensa de O na mesma situação. Assim, a condição do equilíbrio de Nash não é satisfeita.
Se a empresa Entrante exporta em larga escala, a melhor resposta para a empresa Dominante é {lnveste}. Novamente, porém, {Exporta em Larga Escala} deixa de ser a melhor resposta para a Entrante Potencial, e mais uma vez a condição do equilíbrio de Nash não é satisfeita. Na verdade, há somente uma combinação de estratégias que satisfaz à condição do equilíbrio de Nash de serem as melhores respostas umas às outras: a combinação de estratégias formada pelo par ordenado (Investe, Não Exporta): se a empresa Dominante decidir investir, o melhor que a Entrante Potencial tem a fazer é não exportar, e uma vez que a Entrante Potencial tenha decidido não exportar, o melhor para a empresa Dominante é investir. Contudo, mesmo em uma forma estratégica relativamente simples como a da Figura 3.4, pode-se levar algum tempo para identificar se há algum equilíbrio de Nash. No. caso de.jogos envolvendo um maior número de estratégias, a identificação pode se tornar ainda mais demorada. Podç ser prático, portanto, adotar algum artifício que ajude a visualizar com maior rapidez se há algum equilíbrio de Nash em uma forma estratégica. A idéia do equilíbrio de Nash é a de que cada jogador está adotando a melhor resposta ao que os demais jogadores estão fazendo, e isso é válido para todos os jogadores ao mesmo tempo. Temos apenas de encontrar um meio mais rápido de identificar se há alguma combinação de estratégias que satisfaça a esse critério. Algo que poderia facilitar muito no momento de identificar o equilíbrio de Nash seria indicar, dada a estratégia adotada pelo outro jogador, qual a melhor escolha para o jogador em questão. Em seguida, repetiríamos o processo para o outro jogador, até que conseguíssemos identificar uma combinação de estratégias em que cada uma delas fosse a melhor resposta à outra e vice-versa. Uma das formas de fazer isso seria indicar a estratégia que resulta na maior recompensa ao jogador que está nas linhas, para cada uma das colunas da forma estratégica. Poderíamos fazer isso, por exemplo, colocando a letra 1 entre parênteses (1) ao lado da recompensa que corresponde à melhor resposta do jogador que está nas linhas para o que o jogador que está nas colunas está fazendo. Esse procedimento seria repetido para cada estratégia que o jogador representado nas colunas pode adotar. Isso foi feito na Figura 3.4 (a). N 96 TEORIA DOS JOGOS ELSE VIER.1 A indicação (1) na recómpensa para o jogador que está nas linhas (empresa Dominante) na combinação de estratégias (Investe, Não Exporta) significa que a melhor resposta da empresa Dominante para a estratégia {Não Exporta} da Entrante Potencial é {Investe}, pois essa escolha dá uma recompensa superior (no caso, 2) à recompensa resultante da adoção de {Não Investe} (no caso, 1). O mesmo raciocínio se aplica às combinações assinaladas: (Não Investe, Exporta em Pequena Escala) e (Investe, Exporta em Larga Escala). O passo seguinte no nosso artifício de determinação do equilíbrio de Nash consiste em proceder da mesma forma com as estratégias do jogador que se encontra nas colunas. Para isso, assinalamos com a letra c entre parênteses (c) a maior recompensa, para o jogador que está nas colunas, que corresponde a uma dada linha e
que identifica a melhor resposta do jogador que está nas colunas para uma dada estratégia do jogador que está nas linhas. O processo de identificação da melhor resposta é repetido, agora para cada uma das linhas. Com isso indicaremos as melhores respostas do jogador que está nas colunas para cada uma das estratégias que o jogador que se encontra nas linhas pode vir a escolher. A aplicação desse método ao Jogo de Prevenção da Entrada no Comércio Nacional pode ser visto na Figura 3.4 (b): Entrante Potencial Exporta em Exporta em Larga Não Exporta Pequena Escala Escala Investe (1) 2, 1 (c) 1, O (1) O, -1 Não.lnveste 1, O (1) 2, 1-1, 2 (c) Figura 3.4 (b) O Jogo de Prevenção da Entrada no Comércio Nacional A Melhor Resposta para a Entrante Potencial Assim, a indicação (c) na recompensa para o jogador que está nas colunas (Entrante Potencial) na combinação de estratégias (Investe, Não Exporta) sig Figura 3.4 (a) O Jogo de Prevenção da Entrada no Comércio Nacional A Melhor Resposta da Empresa Dominante Jogos Simultáneos 97 nifica que a melhor resposta da Entrante Potencial para a estratégia {Investe} da empresa Dominante é {Não Exporta}. {Não Exporta} é a melhor resposta da Entrante Potencial para a estratégia {Investe} da empresa Dominanté porque essa escolha dá uma recompensa superior (no caso, 1) à recompensa resultante da adoção de {Exporta em Pequena Escala} (no caso, O) e ainda maior do que {Exporta em Larga Escala} (no caso, 1). O mesmo raciocínio se aplica quando consideramos a melhor reposta da Entrante Potencial à adoção, pela empresa Dominante, da estratégia {Náo Investe}: assinalamos a opção de exportar em larga escala que fornece uma recompensa melhor do que exportar em pequena escala, e melhor ainda do que n~io exportar. Observando a Figura 3.4 (b), vemos que a combinação de estratégias que satisfaz à condição do equilíbrio de Nash de serem as melhores respostas umas às outras, ou seja, a combinação de estratégias formada pelo par ordenado (Investe, Não Expoita) é a única que se encontra assinalada tanto com um (1) como com um (c). Assim, encontramos nosso método de identificação déequilíbrios de Nash. Após aplicarmos o método de assinalar com (1) a melhor resposta do jogador nas linhas para cada estratégia do jogador nas colunas, e assinalar com um (c) a melhor resposta do jogador nas colunas para cada estratégia do jogador nas linhas, sempre que uma combinação de estratégias estiver assinalada simultaneamente com (1) e (c), essa combinação de estratégias será um equilíbrio de Nash. BOX 3.2 Equilíbrio de Nash no Mercado Internacional de Petróleo Em seu artigo An EconomicAnalysis of Aspects of Petroleum and Military Security in the Persian Gulf (Contemporary Economic Polky, vol. 19, n~ 4, October 2001, p. 37 1-381), Duane Chapman e Neha Khanna propõem explicar a estabilidade do preço internacional do petróléo entre 1986 e 1999, quando este se situou de forma estável entre US$15 e US$20. Os autores afirmam que o custo de produção do petróleo nos países produtores de baixo custo (Arábia Saudita e lraque, principalmente) muito provavelmente se situa em torno de US$5. Assim, se o mercado internacional de petróleo fosse um mercado competitivo no período por eles analisado, o preço se situaria em torno desse valor. Por outro lado, pelos cálculos de Chapman e Khanna, se o mercado fosse um mercado monopolizado, o preço internacional do petróleo se situaria em tomo de US$30. No entanto, o preço se manteve por todo aquele período em um valor intermediário entre o preço competitivo e o preço de monopólio.
Chapman e Khanna apresentam uma explicação para essa estabilidade. Segundo eles, essa faixa de preço que se manteve estável entre US$15 e US$20 corresponde- 98 TEORIA DOS JOGOS ELSEVIER ria, no período que vai de 1986 a 1999, a um equilíbrio de Nash: uma situação em que nenhuma parte conseguiria melhorar sua situação alterando sua estratégia. De acordo com Chapman e Khanna, esse equilíbrio de Nash era a melhor resposta possível tanto para os países desenvolvidos quanto para os países produtores do Oriente Médio. Para os países desenvolvidos, a faixa de preço entre US$15 e US$20 representava um preço suficientemente alto para evitar que a produção nos Estados Unidos e no Mar do Norte fosse abandonada, sem ser tão elevado a ponto de gerar uma inflação indesejável Segundo Chapman e Khanna, o custo da produção de Petróleo nos Estados Unidos e no Mar do Norte é pelo menos três vezes maior do que em um produtor do Golfo Pérsico de baixo custo, e um preço do petróleo muito baixo ínviabilizaria a prodüção nessas áreas, além de aumentar o consumo e com isso a dependência desses países. Já para os países produtores, um preço do petróleo entre US$1 Se US$20 seria suficientemente alto para financiar seus gastos militares, dada a instabilidade da região. Um preço mais elevado enfrentaria resistência dos países desenvolvidos, e um preço mais baixo não permitira a esses países investirem o necessário em sua segurança.