LISTA DE EXERCÍCIOS IV TEORIA DOS JOGOS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS DEPARTAMENTO DE ECONOMIA Disciplina ECO0208 Teoria Microeconômica II Professor Sabino da Silva Porto Junior Estágio de docência Cristian Rafael Pelizza LISTA DE EXERCÍCIOS IV TEORIA DOS JOGOS 1 - Considere duas empresas que estão disputando parcelas de mercado. A primeira empresa, a empresa Alfa, tem a possibilidade de lançar 4 tipos diferentes de produto, que chamaremos de produtos A, B, C e D. A segunda empresa, a empresa Beta, pode lançar também quatro tipos diferentes de produtos: X, W, Y e Z. Cada empresa só pode lançar um produto de cada vez. A forma estratégica a seguir nos informa as parcelas de mercado ganhas pela Empresa Alfa para cada combinação de lançamentos de produtos: Pode-se identificar se há algum ponto de sela nessa matriz de recompensa e, portanto, se há alguma solução pelo método minimax-maximin? 2 Dados um batedor de pênaltis e um goleiro, suponha que as chances de que o gol seja marcado sejam dadas pela forma estratégica a seguir, de acordo com o lado que o batedor e o goleiro escolham: Pede-se: a. Verificar se esse é um jogo estritamente competitivo (soma zero). b. Verificar se há algum equilíbrio pelo método minimax-maximin. c. Verificar se há algum equilíbrio em estratégias mistas.

2 d. Representar graficamente as funções de melhor resposta do batedor e do goleiro, indicando o equilíbrio se houver. 3 - Considere o seguinte jogo conhecido como a batalha dos sexos. Neste jogo, Ele prefere ir ao futebol e Ela ao shopping. Porém, entre a opção de desfrutarem do lazer sozinhos ou acompanhados, ambos preferem estar acompanhados. Com base na teoria dos jogos, julgue as afirmativas. Shopping Ele Futebol Ela Shopping 3, 2 0, 0 Futebol 0, 0 2, 3 O Como para todos os jogos não cooperativos, a solução deste jogo envolve um equilíbrio de estratégias dominantes. 1 Este jogo caracteriza-se por possuir dois equilíbrios de Nash em estratégias puras. 2 O equilíbrio de Nash em estratégias mistas para este jogo é para Ela (Shopping: 3/5; Futebol: 2/5) e para Ele (Shopping: 2/5; Futebol: 3/5). 3 Se ao invés deste jogo simultâneo, Ele e Ela jogassem um jogo sequencial em que Ela fosse a primeira a jogar, a solução do jogo seria invariavelmente: {Shopping, Shopping}. 4 Um equilíbrio de Nash pode envolver uma situação em que um dos jogadores, dadas as escolhas dos demais, encontraria incentivo para mudar sua escolha unilateralmente. 4 - Com base no jogo acima, julgue as afirmações: O Trata-se de um jogo do tipo dilema dos prisioneiros. 1 O jogador 1 tem uma estratégia estritamente dominante. 2 O jogo tem um equilíbrio em estratégias mistas em que os participantes jogam cada uma de suas estratégias com 50% de probabilidade. 3 O jogo somente pode ser analisado na forma extensiva. 4 O jogador 2 não tem estratégia estritamente dominante.

3 5 O equilíbrio de Nash em estratégias mistas observado no Jogo Batalha dos Sexos pode depender do valor numérico dos payoffs. Assuma o jogo dado: Com K 1. Mostre que o equilíbrio de Nash em estratégias mistas depende de K. 6 - Considere o seguinte jogo com 2 jogadores: jogador 1 e jogador 2. Jog. 1 A (1,1) Jog. 2 U B (0,10) R D (7,0) Jog. 1 Jog. 1 (8,8) L (3,3) Analise as questões abaixo: O Neste jogo há somente 2 equilíbrios de Nash em estratégias puras. 1 Todos os equilíbrios de Nash em estratégias puras deste jogo são também equilíbrios perfeitos em subjogos. 2 Em qualquer equilíbrio perfeito em subjogos, a estratégia U não é jogada pelo jogador 2. 3 O par de estratégias {RA, D} é um equilíbrio perfeito em subjogos. 4 O payoff (1,1) resulta de estratégias que constituem um equilíbrio de Nash.

4 7 - Entrante Não Entra Entra ( 0, 60 ) Empresa Estabelecida Não Luta Luta Entrante Entrante Pequena Escala Grande Escala Pequena Escala Grande Escala ( 8, 30 ) ( 15, 15 ) ( - 3, 0 ) ( - 12, - 6 ) Considere o jogo na forma extensiva apresentado acima. Avalie as afirmativas abaixo, com base em seus conhecimentos de Teoria dos Jogos: O Este jogo comporta mais de um equilíbrio de Nash. 1 Um equilíbrio perfeito em subjogos sempre implica que a combinação de estratégias selecionadas é ótima de Pareto. 2 O perfil de estratégias (Entra; Grande Escala, quando a empresa estabelecida não luta; Pequena Escala, quando a empresa estabelecida luta; Não luta) corresponde a um equilíbrio perfeito em subjogos. 3 Se antes do jogo ter início, a empresa estabelecida anunciasse sua disposição de adotar a estratégia de luta, a empresa entrante decidiria pela estratégia «não entrar». 4 A Empresa Estabelecida possui uma estratégia dominante no subjogo que tem início quando a Entrante decide entrar. 8 - Um jogo bastante famoso em teoria dos jogos é o Jogo da Centopeia, batizado assim pelo seu formato, que lembra o de uma centopeia. Nesse tipo de jogo, cada jogador tem sempre as mesmas duas ações possíveis: continuar no jogo, passando a vez para o outro jogador, ou sair do jogo. Considere um caso desse tipo de jogo, na figura a seguir:

5 Na figura anterior temos dois jogadores, A e B. As recompensas dos dois jogadores para cada combinação de estratégias se encontram assinaladas na figura. Pede-se então: a. Representar esse jogo na forma estratégica. b. Encontrar a solução do jogo por indução reversa. c. Confirmar a solução do jogo por indução reversa, determinando o equilíbrio perfeito desse jogo. d. Justificar por que considera-se que esse jogo apresenta um resultado paradoxal, uma vez que, se os jogadores forem racionais, o jogo nunca é jogado. 9 - Considere o jogo a seguir: Nele temos dois jogadores A e B. o Jogador A tem quatro possibilidades de ação: AE1 e AD1 quando em A 1, AE2 e AD2 quando em A 2. O jogador B tem duas possibilidades de ação: BE1 e BD1 se o jogo alcançar B 1. Pede-se: a. Identificar todos os equilíbrios de Nash que porventura existam. b. Identificar os subjogos presentes no jogo. c. Identificar que combinação de estratégias constitui equilíbrio de Nash perfeito em subjogos. d. Encontrar a solução do jogo aplicando indução reversa. e. Verificar se a solução em c. é ótimo de Pareto.

6 10 O seguinte jogo é uma versão do dilema dos prisioneiros: a. Verifique que o equilíbrio de Nash é o usual do dilema dos prisioneiros e que ambos os jogadores possuem estratégias dominantes. b. Suponha que esse jogo é repetido infinitas vezes. Calcule o fator de desconto necessário para que os suspeitos estejam aptos a cooperar, e ficar em silêncio em cada período. RESPOSTAS 1 (B,W) 2 a. É estritamente competitivo. b. Não possui ponto de sela. c. q = 0,5 e p = 0,4. d. 3-0-F, 1-V, 2-V, 3-F, 4-F

7 4-0-F, 1-F, 2-F, 3-F, 4-V 5 - Com s e r sendo as probabilidades, r = 1 K + 1 e s = K K F, 1-F, 2-V, 3-V, 4-F 7 0-V, 1-F, 2-V, 3-F, 4-V 8 a. b. 9 c. Equilíbrio perfeito em subjogos: (sai do jogo, sai do jogo). a. ((AE1, AE2),BD1), ((AE1, AD2), BD1) e ((AD1, AE2), BD2) b. c. ((AE1, AD2), BD1)

8 d. e. Não é ótimo de Pareto.