Otimização. Otimização e Teoria dos Jogos. Paulo Henrique Ribeiro Gabriel Faculdade de Computação Universidade Federal de Uberlândia

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1 Otimização Otimização e Teoria dos Jogos Paulo Henrique Ribeiro Gabriel phrg@ufu.br Faculdade de Computação Universidade Federal de Uberlândia 2016/2 Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 1 / 26

2 Conteúdo 1 Motivação 2 Jogos com Dois Jogadores e Soma Zero 3 Jogos de Estratégia Mista Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 2 / 26

3 O Dilema do Prisioneiro Problema: Dois suspeitos, A e B, são presos pela polícia. A polícia não possui provas suficientes para condená-los, mas, separando os prisioneiros, oferece a ambos o mesmo acordo: se um dos prisioneiros, confessando, testemunhar contra o outro e esse outro permanecer em silêncio, o que confessou sai livre enquanto o cúmplice silencioso cumpre 20 anos de sentença. Se ambos ficarem em silêncio, a polícia não pode condená-los. Se ambos traírem o comparsa, cada um leva 5 anos de cadeia. Cada prisioneiro faz a sua decisão sem saber que decisão o outro vai tomar e nenhum tem certeza da decisão do outro. Questão: Como cada prisioneiro vai reagir? Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 3 / 26

4 O Dilema do Prisioneiro Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 4 / 26

5 Conceitos Básicos Um jogo representa uma situação de competição entre dois ou mais jogadores Um jogador pode ser um time composto por mais de uma pessoa Cada jogador tem um certo número de escolhas, chamadas estratégia Cada jogador escolhe sua estratégia sem conhecimento da estratégia dos demais jogadores A partir das escolhas, obtém-se o resultado do jogo Cada jogador deseja otimizar o resultado Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 5 / 26

6 Conceitos Básicos Exemplos de Jogos Jogos de salão (cartas, tabuleiro, etc.) Competição econômica (concorrência entre empresas, mercado de ações) Conflitos militares (estratégias em guerras) Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 6 / 26

7 Classificação dos Jogos Tipo de Saída 1 Determinada: sabemos o resultado, dadas as estratégias 2 Probabilística: sabemos a probabilidade de um resultado, dadas as estratégias 3 Indeterminada: sabemos as possíveis saídas, porém desconhecemos suas probabilidades Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 7 / 26

8 Classificação dos Jogos Número de Jogadores 1 Um jogador: jogos contra a natureza, ou seja, decisões tomadas dependendo do ambiente 2 Dois jogadores: jogos mais comuns 3 n > 2 jogadores Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 8 / 26

9 Classificação dos Jogos Natureza do Pagamento 1 Soma zero: o ganho (pagamento) de um jogador é igual à perda de outro 2 Soma constante: a soma de todos os pagamentos é constante e diferente de zero 3 Soma variável: não há relação entre os pagamentos dos jogadores Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 9 / 26

11 Dois Jogadores e Soma Zero É o tipo mais comum de jogo Temos dois jogadores (denotador por J 1 e J 2 ), cada um escolhendo uma estratégia Temos, também, uma tabela de pagamentos Desejamos saber quanto J 1 ganhará (pagamento) se J 1 e J 2 adotarem determinadas estratégias Como é soma zero, o que J1 ganhar será perdido (pago) por J 2 Além disso, cada jogador pode adotar apenas uma estratégia Nesse caso, dizemos que a estratégia é fixa Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 11 / 26

12 Exemplo Considere que J 1 pode adotar uma dentre três estratégias: A, B ou C Por outro lado, J 2 pode adotar uma entre quatro estratégias: D, E, F ou G O ganho de J 1 é dado pela tabela a seguir: D E F G A B C Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 12 / 26

13 Exemplo A tabela deve ser interpretada da seguinte maneira: Se J 1 adotar a estratégia A e J 2 a estratégia E, J 1 ganhará 2 e, portanto, J 2 perderá 2 Analogamente, se as estratégias adotadas forem, respectivamente, B e G, J 1 ganhará (e J 2 perderá) 8 Valores negativos significam que J1 perderá aquela quantia No caso, se J 1 adotar C e J 2 F, J 1 perderá (pagará) 4 Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 13 / 26

14 Estratégia Maxmini É possível observar que temos um conflito de interesses : J 1 quer maximizar seus ganhos J2 quer minimizar suas perdas Dessa maneira, o melhor cenário para J 1 corresponde ao pior cenário de J 2, que ocorre quando esses adotam, respectivamente, as estratégias A e F Nesse caso, J1 ganharia 9 Logo, é arriscado para J 2 adotar a estratégia F Além disso, caso J 2 adotar E, J 1 terá um lucro pequeno (no caso, apenas 2) Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 14 / 26

15 Estratégia Maxmini Para tratar esse conflito, adotamos a chamada Estratégia Maxmini Em vez de J 1 maximizar seu lucro, ele buscará o melhor dentre os piores cenários Ou seja, um cenário no qual ganhará menos que o máximo, porém ainda terá um ganho significativo Evita, assim, a perda Além disso, J 2 acaba tendo um prejuízo menor que o maior prejuízo possível Para isso, o jogador analisa a tabela e, para cada linha, seleciona o menor valor possível Ou seja, sabemos o mínimo que J 1 receberá para cada estratégia adotada (A, B ou C) Analogamente, para cada coluna, seleciona-se o maior valor possível, que representa o máximo que J 2 deveria pagar, caso adotasse uma de suas estratégias (D, E, F, ou G) Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 15 / 26

16 Estratégia Maxmini Voltando ao exemplo, temos D E F G Mínimos A B C Máximos No caso de J 1, o maior valor mínimo (maxmini, que representa o menor ganho) é 5 (ou seja, o maior valor da última coluna) Já no caso de J 2, o menor valor máximo (minimax, que representa a menor perda) também é 5 (ou seja, o menor valor da última linha) Como o valor maxmini é igual ao valor minimax, temos que B é a estratégia para J 1 Assim, seu ganho não será o maior possível (9) porém não será tão pequeno quanto 2 nem teremos um prejuízo ( 4) Analogamente, J 2 deverá adotar a estratégia E, pois, assim, tem um prejuízo menor Não terá que pagar 9, por exemplo, embora também não terá lucro Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 16 / 26

17 Estratégia Maxmini Solução Para o exemplo anterior, dizemos que a solução do jogo é: O jogador J 1 deve adotar a estratégia B e o jogador J 2 deve adotar a estratégia E; nesse caso, J 1 ganha 5 (resultado do jogo). Observações: Quando o valor minimax é igual ao maxmini, dizemos que o jogo tem um ponto de sela (no caso, o valor 5) Jogos cuja solução está em um ponto de sela são chamados de jogos de estratégia pura (ou fixa) Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 17 / 26

18 Exemplo Duas emissoras de TV concorrentes (e que dominam praticamente toda a audiência) estão decidindo quais programas exibirão no horário das 21h A emissora Mega dispõe de duas opções: uma novela (estratégia A) e um noticiário (estratégia B) A emissora Plus deve decidir entre outros dois programas: um seriado (estratégia D) e um desenho animado (estratégia E) A emissora Mega encomendou uma pesquisa Ibope, para verificar quanto ganhará de audiência da emissora Plus para cada cenário possível O resultado da pesquisa está na tabela a seguir Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 18 / 26

19 Exemplo D E A B Determine o ponto de sela, ou seja, a estratégia que a emissora Mega deve adotar Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 19 / 26

21 Estratégia Mista Nos exemplos anteriores, o jogador J 1 deveria adotar uma única estratégia (estratégia pura) para obter ganhos Uma vez definida a estratégia (obtida pelo ponto de sela), teríamos uma previsão do menor lucro possível Porém, diversos jogos não possuem ponto de sela Assim, não é possível adotar uma única estratégia: é necessário alternar-se entre uma ou outra, com determinada frequência Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 21 / 26

22 Estratégia Mista: Exemplo Considere o seguinte jogo (novamente, temos J 1 e J 2 e queremos analisar o ganho de J 1 ) C D A 3 2 B 0 7 O valor minimax é igual a 3 enquanto o maxmini é 2 Dessa maneira, não temos um ponto de sela e, consequentemente, J 1 não pode adotar apenas uma estratégia Caso adotasse A, poderia ter um ganho pequeno (2) no pior caso Caso adotasse B, poderia não ter ganho algum (0) É necessário, portanto, definir com que frequência adotará cada uma das estratégias Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 22 / 26

23 Estratégia Mista Nesses casos, definimos uma as probabilidades p 1, p 2,..., p m de J 1 adotar cada uma das suas m estratégias No exemplo anterior, como temos apenas duas estratégias, devemos considerar as probabilidades p 1 (adotar a primeira estratégia, A) e p 2 = (1 p 1 ) (adotar a segunda estratégia, B) Note que ambas são complementares, ou seja, se adotar A não poderá adotar B (por isso p 2 = 1 p 1 ) Podemos, agora, computar o ganho de J 1 caso J 2 adote a estratégia C (primeira coluna da tabela): g C = 3p 1 + 0(1 p 1 ) = 3p 1 Isso significa que, se J 2 adotar a estratégia C, o ganho de J 1 será de 3p 1 Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 23 / 26

24 Estratégia Mista O mesmo raciocínio se aplica à segunda coluna da tabela, ou seja, caso caso J 2 adote a estratégia D Assim, o ganho de J 1 caso J 2 adote a estratégia D é: g D = 2p 1 + 7(1 p 1 ) Isso significa que, se J 2 adotar a estratégia D, o ganho de J 1 será de 5p Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 24 / 26

25 Estratégia Mista Resta, agora, encontrar o valor de p 1 (e, consequentemente, p 2 ) Como temos apenas duas equações, podemos simplesmente igualá-las: 3p 1 = 5p Assim, temos: p 1 = 7 8 p 2 = (1 p 1 ) = 1 8 Isso significa que, a cada 8 jogos, o jogador 1 deve adotar a estratégia A 7 vezes e a estratégia B 1 única vez Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 25 / 26

26 Estratégia Mista Finalmente, o ganho obtido por J 1 é dado substituindo-se o valor de p 1 em qualquer uma das duas equações g = 3p 1 = = 21 8 = Note que esse valor está entre o valor maxmini (no caso, 2) e o minimax (no caso, 3), ou seja: 2 g 3 De fato, é possível demonstrar que o ganho obtido com a estratégia mista é limitado inferiormente por maxmini e superiormente por minimax Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU) GSI /2 26 / 26