Lista Considere um jogo dinâmico de informação completa(e perfeita) jogado por três jogadores,1,2e3,nessaordem.

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1 EPGE/FGV Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Competição Estratégica e Organização de Mercados Prof.: Pedro Cavalcanti Ferreira Monitor: Guilherme Hamdan(hamdan@fgvmail.br) Lista 3 1. Considere um jogo dinâmico de informação completa(e perfeita) jogado por três jogadores,1,2e3,nessaordem. (a) Defina jogo dinâmico de informação completa. Descreva as informações contidas na forma conveniente de representar esse tipo de jogo. (b) Qual o método utilizado para solucionar esse tipo de jogo? Descreva-o da forma mais clara possível. 2. Defina (a) conjunto de informação, (b) subjogo, (c) equilíbrio de Nash perfeito em subjogos. (d) Explique o que você entendeu por informação imperfeita, deixando claro a diferença entre indução retroativa e equilíbrio de Nash perfeito em subjogos. 3. Discuta as consequências da representação de um jogo dinâmico na forma normal. 4. Qual o nosso objetivo específico ao estudarmos jogos repetidos? Construa seu argumento a partir da noção de credibilidade dos jogadores. 5. Seja um jogo simultâneo que possui nove resultados possíveis e três deles constituem Equilíbrios de Nash. Suponha que ele seja jogado cinco vezes. É possível que algum dos seis resultados que não são equilíbrios no jogo simultâneo seja o resultado de algum estágio de um equilíbrio de Nash perfeito em subjogos no jogo repetido? Discuta as possibilidades. 1

2 6. Considere o seguinte jogo: jogador 2 d e f a 2,1 3,2 3,3 jogador1 b 8,0 1,0 0,1 c 5,5 1,1 0,6 Responda: (a) qualoequilíbriodenashdojogo? (b) Determine qual resultado desse jogo que é Pareto-superior aos equilíbrios de Nash no jogo não repetido. Chame esse resultado de resultado de cooperação e - supondo que o jogo seja repetido infinitamente- enuncie uma estratégia de disparo ( trigger ) para os jogadores que gere o resultado de cooperação em todos os estágios do jogo. (c) Verifique se a estratégia de disparo acima referida constitui um equilíbrio de Nash perfeito em subjogo, isto é, verifique que fator de desconto gera esse resultado. 7. jogador 2 C T P C 5,5 0,6 2, 2 jogador1 T 6,0 1,1 2, 2 P 2, 2 2, 2 1, 1 Construa um equilíbrio perfeito em subjogos para o jogo acima repetido 100 vezes, em que nas 99 primeiras rodadas o resultado cooperativo(c, C) seja obtido. (Dica: sabese que, na última rodada, necessariamente um equilíbrio de Nash precisa ser jogado emqualquersubjogo;mas(p,p)tambéméumequilíbriodenash). 8. Considereduasfirmas(1e2,onde1éafirmalídere2aseguidora)competindoem ummercadoàlastackelbergonde,lembremos,avariáveldeescolhaéaquantidadee as escolhas são sequenciais. Sabemos que P(Q)=a Q,Q=q1 +q 1 C i (q i )=c i q i,ondec 1 c 2 2

3 Determine: (a) asinformaçõesqueojogonosfornece, (b) o resultado do jogo por indução retroativa(que nesse caso equivale à perfeição em subjogos na medida em que há informação perfeita). Comente as implicações de as firmas possuírem custos marginais(tecnologia) diferenciados. (c) Qualéopreçodemercado. 9. Explique o que você entendeu por um jogo repetido infinito. Defina estratégia de disparo( trigger ). Discuta a possibilidade de cooperação nesse contexto enfatizando o papel da história(memória) do jogo para o alcance de resultados eficientes. Discuta também a taxa de desconto intertemporal e explique porque ela deve ser entendida também como uma informação sobre a crença do agente quanto a possibilidade de o jogo acabar no próximo estágio. 10. Duas empresas, 1 e 2, que produzem bens diferenciados mas substitutos, concorrem pormeiodeescolhadepreço. Suasfunçõesdedemandasão q 1 =20 p 1 +p 2 eoscustossãonulos. q 2 =20+p 1 p 2 (a) Suponha que as duas firmas determinem seus preços simultaneamente. Descubra o equilíbrio de Nash. Para cada uma das empresas, quais serão, respectivamente, opreço,aquantidadevendidaeoslucros? (b) Suponhaqueafirma1determineseupreçoemprimeirolugaresomentedepoisa empresa2estabeleçaoseu. Qualopreçoquecadaumadasfirmascobrará? Qual seráaquantidadequecadafirmavenderá? Qualseráolucrodecadaumadelas? (c) Suponhaquevocêfosseodonodeumadessasfirmasequehouvessetrêsformas possíveis de jogar essa partida: (i) Ambas as empresas determinam seus preços simultaneamente. (ii) Você determina o seu preço em primeiro lugar. (iii) Seu concorrente determina o preço em primeiro lugar. Qual opção você escolheria? 3

4 11. Três oligopolistas operam em um mercado com demanda inversa dada por P(Q)=a Q,Q= 3 i=1 q i ondeq i,i=1,2,3éaquantidadeproduzidapelai-ésimafirma. Cadafirmapossuium customarginal deproduçãoconstante, c, enão hácusto fixo. Asfirmaescolhemas suasofertascomosesegue: (1)afirma1escolheq 1 0;(2)asfirmas2e3observam e então escolhem simultaneamente q 2 e q 3, respectivamente. Qual é o resultado de subjogo perfeito? 12. Considereduasfirmas,1e2,quecompetememummercadoqualquerproduzindodois bens não perfeitamente substitutos. Trata-se de um ambiente dinâmico, onde a firma 1éalídereafirma2aseguidora;noentanto,diferentedomodelodeStackelberg,as variáveis de escolha das firmas são os seus respectivos preços(como se fosse um modelo de Bertrand, só que agora as escolhas são sequenciais).sabe-se que o custo das firmas énulo,porhipótese,equeasdemandaspelosbenssãotaisque q 1 =10 0.5p p 2 Determine: q 2 =5 0.8p p 1 (a) o equilíbrio de Nash perfeito em subjogo, (b) olucrodasfirmasemequilíbrio. 13. Considereduasfirmas(1e2)quecompõemumduopóliodeCournotemummercado cuja demanda, inversa, é dada por p(q 1,q 2 )=50 2(q 1 +q 2 ) As funções de custo das firmas são, respectivamente, C 1 (q 1 )=0.5q 2 1 C 2 (q 2 )=0.4q 2 2 (a) Derive a função de reação de cada firma e represente-as graficamente. 4

5 (b) Encontre o Equilíbrio de Nash do modelo. (c) Calcule o lucro de cada firma em equilíbrio estratégico. (d) Encontreasoluçãoótimacomaformaçãodecartel. (e) Explique porque a solução acima não corresponde a um Equilíbrio de Nash. (f) Calculeataxadedescontolimitanteparacadafirmaafimdequeaformaçãode cartel seja um Equilíbrio de Nash em jogos repetidos infinitamente. 5