AULA 3: CONHECIMENTOS NUMÉRICOS: PORCENTAGEM E JUROS Disciplina: Matemática Professores: Lucas Lopes e Fábio Henrique I) PARTE: JUROS E PORCENTAGENS 1) Porcentagem Definição: É uma fração que indica a participação de uma quantidade sobre um todo. Por facilidade de cálculo e convenção, utiliza-se uma fração com base no denominador igual a 100, daí o nome porcentagem. Trata-se então de um modo de expressar uma PROPORÇÃO ou uma RELAÇÃO entre 2 valores a partir de uma FRAÇÃO cujo denominador comum é 100. Escrevemos porcentagem da seguinte forma: P = n Total Por exemplo: Uma loja de esportes possui 150 camisetas de times de futebol, sendo 30 do time A, 45 do time B, 15 do time C e 60 do time D. Qual a porcentagem que cada time representa na quantidade de camisetas? Times Total de Camisetas Porcentagem A 30 30 / 150 = 0,2 = 20/100 ou 20% B 45 C 15 D 60 Total 150 Como podemos calcular porcentagens? Podemos calcular utilizando a famosa Regra de Três. A partir do exemplo anterior, podemos calcular da seguinte forma: 150 camisetas no total ----------- 100% 30 camisetas Time A ------------ P P * 150 camisetas no Total = 30 camisetas Time A * 100 % P = (30 camisetas Time A / 150 Camisetas no Total) x 100% P = 20% de camisetas do Time A Cálculo percentual: Em linhas gerais e simplificadas, calcular o percentual sobre uma determinada quantidade é sempre equivalente a multiplicar esta quantidade pela fração equivalente em porcentagem. Exemplos: Quanto é 30 % de 190? Quanto é 25% de 320? Descontos e Acréscimos: É muito comum nos depararmos com lojas que cedam descontos em seus
produtos de 10%, 20% etc. Neste tópico aprenderemos a lidar com essas porcentagens de descontos. Também abordaremos o aumento dos preços, por exemplo, para aprendermos a lidar com essa situação igualmente. Exemplo: Suponhamos que uma bolsa custe R$ 150,00, porém a loja esta oferecendo um desconto de 20%. Qual seria o valor desta bolsa com o devido desconto? Para isso, precisamos extrair 20% do valor total da bolsa. Vamos fazer uma Regra de 3 para descobrirmos esse valor: 100% -------------- R$ 150,00 20% ---------------------- > x Após efetuada a conta, chegamos em x= R$ 30,00. Com isso, o preço Pr final da bolsa seria Pr = R$ 150,00 R$ 30,00 = R$ 120,00 Vamos tentar achar uma equação para calcular o valor final em uma única conta a partir da equação anterior. Sabemos que R$ 150,00 corresponde a 100% do valor e 30% corresponde a 20% do valor. Com isso, podemos reescrever do seguinte modo: Colocando os R$ 150,00 em evidência, temos: Pr = 100% * R$ 150,00 20% * R$ 150,00 Pr = (100% - 20%) * R$ 150,00 Pr = 80% * R$ 150,00 = R$ 120,00 Por recorrência, podemos estabelecer que, para DESCONTOS, devemos subtrair a porcentagem do desconto dos 100% total. Ou seja: Pr = (100% - P%) * total Para acréscimo, o raciocínio utilizado segue a mesma linha. Caso essa bolsa estivesse com um aumento de 20%, ao invés de subtrairmos essa porcentagem devemos somá-la à porcentagem de 100%, chegando numa equação do seguinte tipo: Pr = (100% + P%) * total No caso da bolsa ter um aumento de 20%, teríamos que o novo preço seria igual a: Exercícios para fixação: Pr = (100% + 20%) * R$ 150,00 Pr = R$ 180,00 1) Em uma loja, um comerciante segue a seguinte regra: a. Para pagamentos em dinheiro, concede um desconto de 10%, b. Para pagamentos no cartão, concede um acréscimo de 5% para cobrir as suas taxas. Considerando que um cliente realizou uma compra no valor de R$300,00: a) Quanto pagará o cliente se optar por pagamento em dinheiro? b) Quanto pagará o cliente se optar por pagamento no cartão 2) Um jogador de futebol, durante um campeonato, cobrou 75 faltas, sendo que 8% das cobranças resultaram em gols. Quantos gols esse jogador marcou através das cobranças de faltas?
3) O preço de venda de um CD é de R$ 28,00 e um comerciante decide reajustá-lo em 15%. Diante da insistência de um comprador, o comerciante concede sobre o novo valor um desconto de 15%. No final, podemos afirmar que: a) O preço do CD voltou a ser de R$ 28,00. b) O desconto deveria ser de 30% para que o preço voltasse ao valor de R$ 28,00. c) O desconto deveria ser de 7,5% para que o preço voltasse ao valor de R$ 28,00. d) O comerciante levou vantagem, pois o preço final foi maior que R$ 28,00. e) O comprador levou vantagem, pois o preço final foi menos que R$ 28,00. II) PARTE: MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA Conceitos Básicos Capital: O capital é o valor inicial que o investimento possui devido a alguma operação financeira como o investimento inicial em uma poupança, por exemplo. Geralmente, adota-se a simbologia C para representar o capital nas equações. Juros: Os juros, J, representam a remuneração do Capital investido em alguma atividade financeira. Os juros são divididos em Juros Simples e Juros Compostos. Discutiremos suas diferenças em breve. Montante: O montante, cujo símbolo mais comum é M, corresponde ao valor final que o investidor arrecada ao somar o capital inicial com os juros. Matematicamente, temos que M = C + J Taxa de Juros: Representada pela letra I, essa taxa indica qual remuneração será paga ao valor investido para um determinado período, sendo normalmente representada na forma percentual. Usando novamente o exemplo da poupança, a taxa de juros da poupança é de, em média, 0,5% ao mês. Juros Simples O regime de juros será simples quando o percentual de juros for aplicado apenas sobre o capital. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Em termos de progressão, a cada período de tempo indicado pela taxa de juros será adicionada a porcentagem também indicada pela taxa de juros sobre o capital. Por exemplo: Supondo que foram investidos R$ 1000,00 e a taxa de juros é corresponde a 5% ao mês. Sabemos calcular 5% de R$ 1000,00? Claro! J = (5% / mês) * R$ 1000,00 J = ( (5/100)/ mês) * R$ 1000,00 J = R$ 50,00 / mês Portanto, a cada mês que passar, haverá um acréscimo sobre o valor inicial de R$50,00. Podemos, então, montar nossa progressão: (R$ 1000,00 ; R$ 1050,00 ; R$ 1100,00 ; R$ 1150,00 ) É notório que com o passar de um mês há um acréscimo de R$ 50,00. Podemos, a partir do conteúdo já visto, descobrir uma fórmula para calcularmos os juros após um período de tempo longo? Vamos tentar! Sabemos que os juros são calculados a partir da taxa de juros aplicada sobre o capital da seguinte forma:
J = C * I No entanto, sabemos que a taxa de juros, I, relaciona-se com o tempo e teríamos a resposta para a nossa conta em função do tempo. Por isso, podemos multiplicar pela variável tempo, T, para obtermos o valor após um certo tempo. Com isso, nossa equação fica: J = C * I * T CONSEGUIMOS!! Com essa equação, podemos calcular os juros acumulados após um determinado período de tempo. Para descobrirmos o Montante, basta somarmos os Juros ao Capital da seguinte forma: M = C + J M = C + (C*I*T) M = C (1 + I * T) Com o conteúdo visto até agora, podemos colocá-los em prática nos exemplos a seguir: Exemplos: 1) Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Quanto pagaremos de Juros? 2) Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 1.200,00 no sistema de capitalização simples, quitando-o em uma única parcela, após 4 meses, no valor de R$ 1.260,00. A que taxa anual de correção este empréstimo foi concedido? a) 5% a.a b) 29% a.a c) 12% a.a d) 15% a.a e) 18% a.a 3) Uma quantia de R$ 8.000,00 aplicada durante um ano e meio, a uma taxa de juros simples de 2,5% a.m, renderá no final da aplicação um montante de: a) R$ 3.600,00 b) R$ 10.400,00 c) R$ 12.900,00 d) R$ 10.700,00 e) R$ 11.600,00 Juros Compostos O regime de juros compostos é o mais usado no dia-a-dia e no sistema financeiro. Os juros gerados a cada período são incorporados ao capital para o cálculo dos juros do período seguinte, ou seja: a taxa de juros é aplicada sobre o montante, lembrando que M = C + J. Por exemplo: Temos um capital de R$ 5.000,00 e uma taxa de juros de 5% a.m (ao mês). No primeiro mês teremos um juros (J) de: J = C * I * T J = R$ 5.000,00 * (5%/mês) * 1 mês J = R$ 250,00
Logo, nosso montante após 1 mês é: M = C + J = R$ 5.000,00 + R$ 250,00 M = R$ 5.250,00 No segundo mês de aplicação, a taxa de juros será aplicada sobre o novo montante, de R$ 5.250,00, calculado anteriormente, sendo esse valor o nosso novo capital. Assim sendo, temos que no segundo mês os juros serão de: J = C * T * T J = R$ 5.250,00 * (5%/mês) * 1 mês J = R$ 262,50 Com isso, temos que o montante do segundo mês é igual a: Com isso, podemos obter a seguinte progressão: M = C + J = R$ 5.250,00 + R$ 262,50 M = R$ 5.512,50 (R$ 5.000,00 ; R$ 5.250,00 ; R$ 5.512,50 ; ) A fórmula matemática que nos auxilia no calculo do novo montante após um determinado tempo t é a seguinte: M = C (1 + I) T, sendo C o capital inicial, I a taxa de juros e t o tempo corrido. Observação: Devemos prestar atenção às unidades utilizadas, pois elas devem ser sempre correspondentes. Caso a taxa de juros seja ao mês, o tempo deverá ser em meses, por exemplo. Exemplo 1) Calcule o montante de um capital de R$ 6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês. Dado: (1,035)^12 = 1,511 2) Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juros compostos de 1,7% a.m (ao mês), quanto receberei de volta após um ano de aplicação? Qual o juro obtido nesse período? Fim!