Teoria dos Conjuntos Fuzzy

Teoria dos Conjuntos Fuzzy Francisco Carpegiani Medeiros Borges Universidade Federal do Piauí Campus Parnaíba 27 de setembro de 2011 1 / 34

Sumário Como tudo começou! 1 Como tudo começou! 2 3 4 5 6 2 / 34

Como tudo começou! COMO ESSA HISTÓRIA DE FUZZY COMEÇOU? 3 / 34

Como tudo começou! O QUE SIGNIFICA A PALAVRA FUZZY? Fuzzy Palavra inglesa, que significa INCERTO, IMPRECISO, DIFUSO, NEBULOSO, SUBJETIVO, ETC. 4 / 34

Como tudo começou! A Teoria dos Conjuntos Fuzzy foi introduzida, em 1965, pelo matemático iraniano Lofti Asker Zadeh, com a publicação do artigo Fuzzy Sets, com a principal finalidade de dar um tratamento matemático a termos linguísticos subjetivos, tais como: aproximadamente, em torno de, baixo, etc. Esse seria um primeiro passo no sentido de se programar e armazenar conceitos vagos em computadores, tornando possível a produção de cálculos com informações imprecisas, a exemplo do que faz o ser humano. 5 / 34

Lofti Asker Zadeh Lotfali Askar-Zadeh(1921) Nasceu na cidade de Baki, no Azerbaijão. Imigrou para os Estados Unidos em 1944, devido à Segunda Guerra Mundial Mudou o nome para Mestrado em Eng. Elétrica pela Massachusetts Institute of Technology(MIT), em 1946 Doutorado em Eng. Elétrica pela Columbia University, em 1949 Professor da Universidade da Califórnia, Berkeley, desde 1959 Em 1973, propõe a Teoria da Lógica Fuzzy É referêncica nas áreas de Matemática Aplicada e Ciências da Computação 7 / 34

Função de Pertinência de um conjunto crisp (clássico) χ A (x) = { 1, se x A 0, caso contr ário 9 / 34

Conjunto Fuzzy Seja U um conjunto crisp. Um conjunto fuzzy A em U é caracterizado por uma função µ : U [0, 1], chamada função de pertinência do conjunto fuzzy A. Em outras palavras, um conjunto fuzzy A em U é expresso em conjunto de pares ordenados: A={(x,µ A (x)) x U} 10 / 34

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Conjunto crisp Conjunto fuzzy 12 / 34

Conjunto dos números naturais pequenos. F = {n N n é pequeno} Quem pertence a F? 0 está em F? 1000 está em F? Na teoria fuzzy, pode-se dizer que ambos pertencem a F, porém com graus de pertinência distintos, de acordo com a propriedade que o caracteriza. 14 / 34

Uma possibilidade para a função de pertinência de F é µ F (n) = 1 n + 1 Desse modo, µ F (0) = 1 e µ F (1000) = 0, 0011. 15 / 34

Outra possibilidade seria µ F (n) = e n Com isso, µ F (0) = 1 e µ F (1000) 5, 0759 10 435. A escolha da função que representará o conjunto fuzzy depende de fatores relacionados com o contexto do problema em questão. 16 / 34

Conjunto dos jovens de uma cidade. A cada indivíduo desta população podemos associar um número real correspondente à sua idade. Considere o conjunto universo das idades o intervalo U = [0, 120] x U é interpretado como a idade de um indivíduo. 17 / 34

O conjunto fuzzy J de U, dos jovens desta cidade, poderia ser caracterizado pelas seguintes funções de pertinência 1, se x 10 80 x µ J (x) = 70, se 10 < x 80 0, se x > 80 18 / 34

ou { ( 40 x ) 2 µ J (x) = 40, se 0 x 40 0, se 40 < x 120 19 / 34

= A adoção de U = [0, 120] está ligada ao fato de termos escolhido a idade para indicar o quanto um indivíduo é jovem. Se fosse adotada outra característica como o número de cabelos grisalhos, ou o número de filhos, ou de netos para indicar o grau de jovialidade, o conjunto universo U seria outro. 20 / 34

Conjunto dos números reais próximos de 2. P = {x R x é próximo de 2} Como identificar quais elementos pertencem a P? Será que 1,99 está em P? E o que dizer de 10? 21 / 34

Se considerarmos a seguinte função de pertinência µ P : R [0, 1] dada por { 1 x 2, se 1 x 3 µ J (x) = 0, caso contr ário Temos que µ P (1, 99) = 0, 99 e µ P (10) = 0, ou seja, neste caso, dizemos que x=1,99 é um número próximo de 2 com grau de proximidade 0,99 e x=7 não é próximo de 2. 22 / 34

Por outro lado, alguém poderia sugerir outra função de proximidade a 2. Por exemplo, se tal função fosse definida por µ P (x) = e (x 2)2, x R Teríamos então µ P (1, 99) = 0, 9999 e µ P (10) = 1, 6 10 28. 23 / 34

Algumas observações podem ser feitas: Nem sempre é imediato determinar o conjunto universo de um conjunto fuzzy A escolha da função que representará o conjunto fuzzy depende de fatores relacionados com o contexto do problema em questão Cada possibilidade da função de pertinência produz um conjunto fuzzy diferente 24 / 34

Inclusão Fuzzy A é dito um subconjunto fuzzy de B, e denotamos A B, se União de Conjuntos Fuzzy A(x) B(x) x U A união entre A e B é o conjunto fuzzy cuja função de pertinência é dada por (A B)(x) = max{a(x), B(x)}. x U 26 / 34

Interseção de Conjuntos Fuzzy A união entre A e B é o conjunto fuzzy cuja função de pertinência é dada por (A B)(x) = min{a(x), B(x)}. x U Complemento de Conjunto Fuzzy O complemento de A é um conjunto fuzzy A cuja função de pertinência é dada por A (x) = 1 A(x), x U 27 / 34

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Vejamos um exemplo com as operações. Suponha que o conjunto universo U seja composto pelos pacientes de um hospital, identificados pelos números 1,2,3,4 e 5. Sejam A e B os conjuntos fuzzy que representam os pacientes com dengue e virose, respectivamente. Paciente Dengue(A) Virose(B) A B A B A A A 1 0,7 0,6 0,7 0,6 0,3 0,3 2 1 1 1 1 0 0 3 0,4 0,2 0,4 0,2 0,6 0,4 4 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 5 1 0,2 1 0,2 0 0 29 / 34

PROPRIEDADES A B = B A A B = B A A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A A = A A A = A A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A = e A = A A U = A e A U = U (A B) = A B (A B) = A B 30 / 34

Na Teoria dos Conjuntos Fuzzy, não vale a Lei do Terceiro Excluído, isto é, A A =. Veja que na coluna A A, o valor 0,3 indica que o paciente 1 está tanto no grupo dos dengosos como no dos não-dengosos. Também não é válido que A A = U. 31 / 34

Laécio Carvalho de Barros & Rodney Carlos Bassanezi Tópicos de lógica fuzzy e biomatemática Campinas, SP: UNICAMP/IMECC, 2006. Biografia de Lotfi A. Zadeh http://en.wikipedia.org/wiki/lotfi A. Zadeh Acesso em: 21 de setembro de 2011. 33 / 34

OBRIGADO! 34 / 34