Matemática Para Negócios

PUC - ECEC - Escola de Ciências Exatas e da e Física Matemática Para Negócios 2016 GO, Março / 2016 Prof: Me Samuel Lima Picanço 1 Definição Uma função pode ser entendida como uma fórmula matemática usada para relacionar grandezas Como exemplo podemos analisar a seguinte situação: 11 Exemplos Primeiro Exemplo Um taxista cobra R$8, 00 de bandeirada mais R$1, 50 por quilômetro percorrido em seu táxi Ao final de uma corrida, quanto deverá pagar um cliente? Notas de Aula do Professor - Função de Primeiro Grau Outra observação importante a se fazer na tabela é que, na fórmula obtida para relacionar as grandezas x distncia e (y valor a pagar), o maior expoente que aparece na grandeza x é 1 Isso dá o nome a esta função de Função de Primeiro Grau No nosso exemplo, a fórmula obtida por meio da observação foi y = 8 + 1, 50x Note que o número que multiplica o x é a mesma quantidade que faz variar a grandeza valor a pagar, quando a distância varia 1 km Este número pode ser chamado de taxa de variação, e no caso da função de primeiro grau é constante De um modo geral, uma função de primeiro grau é toda função que puder ser escrita na forma A resposta que parece mais plausível para responder esta pergunta pode começar com a palavra "depende" Depende da distância percorrida pelo cliente, certo? Isso mesmo As grandezas envolvidas no problema são distância percorrida (medida em quilômetros) e o valor da corrida (medida em Reais) A situação descrita pode ser relatada na tabela a seguir: distância (km) cálculos valor (em Reais) 1 8 + 1 1, 50 9,50 2 8 + 2 1, 50 11,00 3 8 + 3 1, 50 12,50 x 8 + x 1, 50 y = 8 + 1, 50x Na tabela podemos observar o seguinte: cada unidade que a grandeza distância percorrida aumenta faz aumentar R$1, 50 no valor da corrida, e esse aumento é sempre o mesmo, independente de qual distância seja percorrida Em outra palavras, sempre que aumentarmos 1 km na distância percorrida, o valor da corrida de táxi aumenta R$1, 50 Esta é uma característica própria para este tipo de função y = ax + b ou f(x) = ax + b O número que aparece multiplicando o x (variável independente) é a taxa de variação e também pode ser chamado de coeficiente angular O número que aparece "sozinho"na expressão (b) é chamado de valor fixo, ou valor inicial, ou ainda coeficiente linear da função No nosso exemplo do táxi (novamente), o a vale 1,50 e indica que, cada vez que o x aumentar 1 unidade, o y aumentará 1,50 (Faça o teste você mesmo) Outra observação que podemos fazer é que, se a distância percorrida aumentar, o valor da corrida também aumenta Em termos matemáticos, se a variável x aumentar (variável independente), a variável y (variável dependente) também aumentará Funções com esta característica são chamadas de funções crescentes Observe ainda que se alguém entrar no táxi e por algum motivo desistir de fazer a viagem, deverá pagar 1

o valor da bandeirada, ou seja, R$8, 00 Este pode ser entendido matematicamente como valor inicial, ou fixo, porque é que se tem como resultado quando o x = 0 Segundo Exemplo Uma tanque tem capacidade para armazenar 10 000 litros de água e está completamente cheio Neste exato momento, é descoberto que existe um vazamento no fundo do tanque, e este deixa fluir 0,1 litros de água por hora Se alguém perguntar: quantos litros de água haverá no tanque? A resposta novamente será depende pois, a quantidade de água diminui com o tempo e enquanto o vazamento não for coberto, continuará saindo água à taxa de 0,1 litros por hora Podemos construir uma tabela, como foi feito no problema do táxi: tempo (h) cálculos volume de água (L) 1 10000 1 0, 1 9 999,9 2 10000 2 0, 1 9 999,8 3 10000 3 0, 1 9 999,7 10 10000 10 0, 1 9 999 x 10 x 0, 1 y = 10000 0, 1x A tabela nos mostra que, enquanto o tempo aumenta, a quantidade de água no tanque diminui a uma taxa de 0, 1 litros por hora O número que multiplica a variável x é negativo nesse caso A função em questão será decrescente pois, ao aumentarmos os valores de x, os valores de y diminuem Mais uma vez podemos estudar a expressão formadora da função e perceber que x é multiplicado por um número que indica a quantidade que a variável y variar, cada vez que x variar uma unidade Nesse caso, cada aumento de 1 unidade na grandeza tempo acarretará a uma redução de 0, 1 na grandeza volume O valor fixo, ou valor inicial, é a quantidade de água existente no tanque antes de começar a vazar, ou seja, 10 000 litros Vamos agora estudar algumas funções só com intenções matemáticas, sem nos preocuparmos por enquanto com aplicações para elas Terceiro Exemplo A função f(x) = 2x 4 é uma função crescente Como podemos comprovar esta afirmação? Observe que o número que multiplica a variável independente é positivo Isso já basta para ilustrar que uma função é crescente Mas se você é uma pessoa completamente incrédula, faça o seguinte: escolha qualquer valor para a variável x, qualquer que seja Por exemplo, irei escolher 8 Vamos agora calcular a imagem de 8 A imagem de 8 é obtida, na função, substituindose o valor de x por 8 f(8) = 2 8 4 Lembre-se de efetuar primeiro a multiplicação e depois a subtração f(8) = 16 4 f(8) = 12 Obs: Estou usando o símbolo para indicar multiplicação, bem diferente do x variável CUIDADO! Bem, vamos agora escolher um valor maior que 8 para calcular sua imagem, por exemplo, 9: f(9) = 2 9 4 f(9) = 18 4 = 14 Conclua agora: quando x aumentou de 8 para 9, f(x) aumentou de 12 para 14 Logo a função é crescente Cabe uma obervação importante aqui: esta conclusão só pode ser tomada porque se trata de uma função de primeiro grau 12 Raiz ou zero da função Ainda sobre a função f(x) = 2x 4, podemos explorar mais algumas coisas, como por exemplo, você já ouviu falar em raiz de uma função? Pois é, a raiz é um valor do x que zera aquela função Muitas pessoas também dizem "zero"da função Iremos nos referir então à raiz ou zero da função Todas as vezes que o problema for: determine o zero (ou a raiz) da função tal, você terá que descobrir dentre as inúmeras possibilidades existentes para a escolha do x, qual delas fará o resultado dar zero Mas não será preciso ficar testando, um por um, como você pensou Vamos então procurar qual a raiz 2

da função f(x) = 2x 4 Para responder a esta pergunta, basta igualar a expressão formadora da função a zero e resolver a equação (neste caso de primeiro grau) que será obtida: 2x 4 = 0 Lembre-se, objetivo aqui é isolar a variável x até determinarmos o seu valor Inicialmente vamos tirar o 4 do primeiro membro Ao ser levado ao segundo membro ele vai com a operação inversa (ou nesse caso oposta) à subtração que é a adição 2x = 4 Agora o 2 que está multiplicando o x vai dividindo o 4 (nada de mudar o sinal hein!) x = 4 2 Como a divisão é exata (e inteira nesse caso) x = 2 Qual a interpretação para esse 2? Significa, se você substituir o x por 2 na função f(x) = 2x 4, vai encontrar zero como resultado No exemplo do tanque com água, a raiz da função pode ser encarada como, o tempo que irá se passar até que o tanque fique completamente vazio Tente responder isto depois! 121 Exemplos 1 - Dada a função determine: a) f( 1) b) f(0) c) A raiz d) f(4) + f( 2) f(x) = 4x + 1 Resolução: a) Para calcular f( 1) basta substituir o x na função f por -1 f( 1) = 4 ( 1) + 1 Lembre-se de usar os parênteses para não misturar os sinais Façamos primeiro a multiplicação lembrando da regra dos sinais b) f( 1) = 4 + 1 = 5 f(0) = 4 0 + 1 Zero multiplicando qualquer valor é igual a zero f(0) = 1 c) A raiz Para calcular a raiz basta igualar a função a zero e resolver a equação de primeiro grau originada 4x + 1 = 0 4x = 1 x = 1 4 Na divisão de sinais iguais, resultado positivo x = 1 4 Significa que se na função x = 1 4, f = 0 Logo d) Para responder este item, podemos calcular separadamente f(4) e f( 2) e em seguida somar os resultados f(4) = 4 4 + 1 f(4) = 16 + 1 = 15 f( 2) = 4 ( 2) + 1 f( 2) = 8 + 1 = 9 Agora devemos somar os resultados: f(4) + f( 2) = 15 + 9 = 6 2 - Qual é a raiz da função f(x) = 3x + 9? Solução: Lembre-se: para calcular a raiz da função basta igualar a expressão a zero e resolver a equação de primeiro grau 3x + 9 = 0 3x = 9 x = 9 3 x = 3 Tente interpretar todas as vezes que você calcular a raiz o seguinte: o valor obtido, ao ser substituído na função gera como resultado zero Vamos conferir? f(3) = 3 3 + 9 f(3) = 9 + 9 = 0 3

2 Gráfico da Função de Primerio Grau Toda função, seja ela qual for, pode ser representada por meio de um gráfico Com a função de primeiro grau não seria diferente Utilizamos o sistema de coordenadas cartesianas, proposto por René Descartes (Leia Renê Decarte), filósofo e matemático (dentre outras coisas) francês do século XVI Ele propôs que todo ponto do plano pudesse ser representado por um par ordenado Entenda como um par ordenado um par de números (como o próprio nome diz) separados por vírgula, dentro de parênteses Nesse par, a ordem importa, por isso o nome ordenado, e indica que o segundo valor relaciona-se com o primeiro por meio de uma fórmula matemática Por exemplo, na função do táxi (lembra?) y = 8 + 1, 50x ou f(x) = 8 + 1, 50x, quando percorremos a distância de 2 quilômetros pagamos a importância de 11 reais Podemos representar isso pelo par (2,11) Neste par, o segundo número que é o 11 se relaciona com o primeiro que é o 2 por meio da fórmula matemática y = 8 + 1, 50x Mas você deve se perguntar: e o que tem a ver isto com ponto? Então,a resposta é simples Antes de respondê-la, observe a figura a seguir: deslocamento horizontal a partir do eixo vertical (y) tantas unidades conforme for o seu valor Se o valor positivo, deslocamento para a direita Se o valor for negativo, deslocamento para a esquerda No exemplo em questão, o par (2,11), x = 2 Vamos deslocar duas unidades horizontalmente para a direita, a partir do eixo vertical O segundo valor do par ordenado, nesse caso 11, irá representar um deslocamento vertical(y) de 11 unidades para cima, a partir do eixo horizontal (x) Este é o sistema de coordenadas cartesianas, usada por nós para, dentre outras coisas, representar gráficos de função Neste sistema, cada par ordenado representa um ponto (e vice versa) Sendo assim, o primeiro elemento do par (x) irá representar um No local do plano em que as retas tracejadas se interceptaram marcamos um ponto Este é o ponto que representa o par ordenado (2,11) 4

Vejamos como se comporta uma função de primeiro grau quando a representamos graficamente Vamos usar como exemplo a função f(x) = 2x 4 Sugestão: Construa uma tabela pequena e escolha alguns valores para a variável independente Não se prenda só nos números positivos Se a sua função não tiver aplicações práticas (na economia, ou na física por exemplo), você poderá escolher qualquer valor para o x, inclusive os negativos: Os pontos estão "miudinhos"mas da esquerda para direita aparecem A, B, C, D, E e F É fácil perceber que eles estão alinhados Podes comprovar isto colocando uma régua sobre o ponto A e o ponto F Vai verificar que a régua "toca"todos os demais pontos Sendo assim, você poderá representar este gráfico por meio de uma linha reta que contém todos estes pontos mencionados anteriormente x cálculos y -3 2 ( 3) 2-8 -2 2 ( 2) 2-6 -1 2 ( 1) 2-4 0 2 0 2-2 1 2 1 2 0 2 2 2 2 2 Você já conseguiu verificar um padrão nos números da terceira coluna? Isso mesmo!! Eles estão variando de 2 em 2 Lembra, se o número que multiplica o x é 2, ele então é de se esperar que a variação ocorrerá de 2 em 2 Vamos agora marcar estes pares ordenados no plano cartesiano Cada par ordenado, um ponto Você pode se perguntar: "que par ordenado?" Bem, os elementos da coluna da esquerda comporão o primeiro elemento do par e os da terceira coluna, o segundo elemento do par Sendo assim, os pares ordenados são: (-3,-8),(-2,-6), (-1,-4), (0,-2), (1,0) e (2,2) Vamos usar o procedimento ilustrado anteriormente para localizar estes pontos no plano cartesiano, como ilustra a figura a seguir: Observando o gráfico percebemos que a reta intercepta o eixo horizontal em x = 1 que é raiz para esta função O eixo vertical é interceptado em y = 2 que é o valor inicial, ou valor fixo desta função 5

Percebemos que o gráfico poderia ter sido construído com apenas dois dos pontos marcados (já que estão todos alinhados) Em todo gráfico representativo de função de primeiro grau você poderá proceder assim: escolha dois valores para a variável independente (x) e calcule as suas respectivas imagens Localize esses pontos no plano cartesiano e trace uma reta que passa por eles, como será feito no exemplo a seguir: Construa o gráfico da seguinte função Agora basta traçar uma linha reta que passa por estes dois pontos f(x) = 4x + 4 Resolução: Como foi dito, você poderá escolher quaisquer valores para a variável independente (x) Neste caso irei escolher 0 e 1 Observe que se você escolher o zero, terá de imediato o ponto (0, b), ou seja, o lugar onde o gráfico vai interceptar o eixo y Para x = 0 f(0) = 4 0 + 4 f(0) = 4 Para x = 1 f(1) = 4 1 + 4 f(1) = 0 Vamos localizar agora os pontos A(0,4) e B(1,0) Mais uma vez fica evidente que o gráfico intercepta o eixo x na raiz, ou seja, sem x = 1 Significa que se x = 1 na função, f(1) = 0 Outra observação importante no gráfico diz respeito à inclinação da reta Diferentemente do outro exemplo, esta reta tem inclinação para a esquerda A função é decrescente, ou seja, quando os valores de x aumenta, y diminui 3 Aplicações Vamos aqui mostrar algumas aplicações para função de primeiro grau na Economia 31 A Função Custo A função que fornece o custo total C da produção de uma quantidade x de um produto é chamada função custo Custos de Manufatura Considere uma empresa que produz rádios A fábrica e a maquinaria necessária para o início da produção constituem os custos fixos, os quais incorrem mesmo que não se produza rádio algum A mão de obra e as 6

matérias primas são o custo variável, pois estas condições dependem de quantos rádios são fabricados Os custos fixos desta empresa totalizam R$24000, 00 e os custos variáveis R$7, 00 por rádio Vamos escrever a função que permite calcular o custo C das x unidades produzidas: Custos totais da empresa = Custo fixo + custo variável uma reta que passa pela origem e tem inclinação 15 Vejamos a figura C(x) = 24000 + 7x Vamos fazer um esboço (entenda esboço como um rascunho) do gráfico da função: Observe que o aumento de uma unidade no eixo horizontal equivale a um aumento de 15 no eixo vertical Isso ilustra o que foi falado várias vezes em sala (o número que multiplica a variável x na função de primeiro grau indica a variação da função quando esta variável aumenta em uma unidade) Vamos agora esboçar o gráfico das funções custo (C(x)) e receita (R(x)) no mesmo sistema de coordenadas C(x) = 24000 + 7x e R(x) = 15x 32 A Função Receita A função receita fornece a renda total R de uma empresa ao vender uma quantidade x de um produto Se o preço por unidade é p e a quantidade vendida é x, então Receita = Preço Quantidade, e, portanto, R = px Se o preço não depende da quantidade vendida, então p é constante e o gráfico da receita como função da quantidade é a reta que passa pela origem e tem inclinação p Vejamos um exemplo: Esboce o gráfico da função receita do fabricante de rádios, sabendo que cada rádio é vendido ao preço de R$15, 00 Indique o preço de um rádio no gráfico Resolução: Como R(x) = 15x, o gráfico da receita é 7

O ponto de equilíbrio indicado pelo gráfico indica a quantidade de rádios (fabricada e vendida) que faz a receita ser igual ao custo Para determinar este ponto, basta igualarmos a função custo e a função receita, como farei a seguir: C(x) = R(x) 24000 + 7x = 15x Lembre-se que para resolver esta equação, basta isolar variável de números Sendo assim, vamos deixar o 7x e o 15x do mesmo lado da igualdade 24000 = 15x 7x 24000 = 8x O 8 que está multiplicando vai dividindo x = 24000 8 x = 3000 Ou seja, 3000 rádios devem ser fabricados e vendidos para que o custo seja igual à receita O 7x e o 24 000 ficaram negativos devido à regra de sinal usada para a multiplicação L(x) = 8x 24000 Agora vamos esboçar o gráfico dessa função Vimos em sala que esse esboço pode ser feito localizando dois valores notáveis: o valor inicial (termos da função que não tem a variável x) e a raiz O valor inicial ou coeficiente linear vai ser o local que o gráfico interpretar o eixo vertical A raiz o local onde o gráfico intercepta o eixo horizontal O valor inicial é -24000 Para achar a raiz basta igualar a função a zero 8x 24000 = 0 8x = 24000 x = 24000 8 x = 3000 Está quase pronto! Basta localizarmos no eixo horizontal o 3000 e no vertical o -24000 Claro que iremos mudar a escala né? 33 A Função Lucro Mas se o custo for igual à receita, qual será o lucro? Bem, nesse caso o lucro seria nulo né? Concluímos então que, para que se tenha lucro nesse problema, a quantidade de rádios fabricados e vendidos deve ser maior que 3000 unidades Definimos a função lucro (L(x)) como a diferença entre a receita e o lucro Sendo assim: L(x) = R(x) C(x) Para finalizar vamos esboçar o gráfico da função lucroantes, vamos determinar uma fórmula para o lucro L(x) = 15x (24000 + 7x) Lembre-se de usar um parêntese nesse caso devido ao sinal de menos que irá aparecer antes da expressão do custo L(x) = 15x 24000 7x Vamos às interpretações do gráfico: se x = 0 o lucro é negativo em -24000, ou seja, nada foi fabricado e nada foi vendido Lembre-se que há um custo fixo de 24000 A raiz da função indica qual quantidade deve ser fabricada e vendida para que o lucro seja nulo Isso divide a função em parte positiva e parte negativa Para quantidades maiores que 3000, lucro positivo Quantidades menores que 3000, lucro negativo 8