MÓDULO MATEMÁTICA RECADO AO ALUNO As matérias desta apostila foram reunidas e consolidadas para estudo dos alunos Instituto Marconi. A leitura e estudo deste conteúdo não exclui a consulta a outras fontes que possam enriquecer e oferecer maior abrangência aos tópicos solicitados em editais de concursos públicos e outras formas de seleção.
VI - EQUAÇÕES Equação é uma sentença matemática aberta (porque não conhecemos inicialmente os valores de todos os termos) que representa a igualdade de duas expressões (membros). Veja: coeficientes termo independente 5 x + y x + y + º membro º membro incógnitas ou variáveis EQUAÇÕES DO º GRAU São todas as equações da forma ax + b 0, onde x é o valor a ser determinado (variável ou incógnita). Em outras palavras, é toda equação em que o maior expoente de x é. O grau de uma equação é dado pelo maior expoente da incógnita x + 0 (Equação de º grau) x + 5x 0 (Equação de º grau) x x + x + 8 0 (Equação de º grau) Resolução de equações do º grau O º passo é agrupar os termos com variáveis no mesmo membro da equação e os termos independentes no outro membro. Na prática: tudo que tem x para um lado, tudo que não tem x para o outro lado. Para isso, podemos lançar mão dos seguintes mecanismos: - Pode-se somar, subtrair, multiplicar, dividir, etc, todos os termos da equação por um mesmo número, que o resultado não se altera. Veja: ( ) e ( + + ) Somamos aos dois membros da equação e ela continua verdadeira, ou seja, continua expressando uma igualdade. Se tivermos (x + 0), podemos subtrair dos dois membros e chegaremos ao valor de x Veja: x + 0 x + 0 - Logo: x -
Na prática, dizemos: passar para o outro lado da equação, quando mudamos os termos dos membros. Neste caso: invertemos o sinal : x + 0 x - Também na prática, dizemos: o que está multiplicando de um lado, passa para o outro lado dividindo. Veja: 8 8 Nota: na verdade, dividimos os dois membros pelo número. Muitas vezes é necessário preparar a equação para realizarmos as operações inversas, aplicando outras propriedades da matemática, tais como, propriedade distributiva ( + x ) x ( x ). +.x.x -.x.x + 8x 6x - x Aplicando a inversão de operações, temos: x + 8x -6x - Note que trocamos o sinal Enfim, temos: x + x - Neste caso, chegamos a uma equação de segundo grau. Nota: Para resolver a equação acima, devemos seguir outros passos que mais adiante veremos. - Nunca esqueça: uma das partes mais importantes da resolução de problemas em matemática é a construção correta da equação. Vamos agora resolver passo a passo a seguinte equação: [ - ( + ) ] Primeiro: equacionar o que estiver dentro dos parênteses. Neste caso, extraímos os números, mas trocando o sinal.
[ - ] Em seguida, fazemos as operações possíveis dentro dos colchetes (subtraímos os coeficientes de x) e trocamos o sinal para extrair o conteúdo dos colchetes. Como no passo anterior, o sinal do lado de fora dos colchetes é negativo: [ - - ) ] + - Podemos multiplicar em cruz, isto é, multiplicar o denominador do º membro pelo numerador do º, e o denominador do º pelo numerador do º (o que equivale a dizer que estamos multiplicando os dois membros tanto por (x+) quanto por, conforme a regra descrita acima). Teremos: ( + ) ( ) Aplicando a propriedade distributiva: +.. + 8 Agrupando os termos com variáveis do º membro e os termos independentes no º (sem esquecer de trocar o sinal na passagem), temos: - 8-9 Passamos o coeficiente de x para o outro membro, realizando a operação inversa (divisão): 9 - Atenção: Resolver uma equação significa encontrar um valor que, colocado no lugar da incógnita, torna a sentença verdadeira. Portanto, se você tiver tempo durante a execução da prova, substitua na equação o valor encontrado e confira o resultado. Agora que já sabemos o valor da incógnita (x), que é (-), podemos conferir a equação que acabamos de resolver: [ ( + )] [ (-) ((-) + )] ( ) [ (-) (-6 + )] [ (-) ( )] [-+ ] (c.q.d., ou seja, como queríamos demonstrar)
Atenção: Com a prática, e após resolver muitos exercícios, muitas passagens podem ser feitas mentalmente. Mesmo assim, cuidado! Às vezes um pequeno equívoco - com um sinal, por exemplo, põe a perder toda a questão! Vamos treinar! Procure resolver as equações propostas, antes de verificar a resoluções que as acompanham: a) + b) + 5 + c) 8 6 + Resoluções: a) x - + x - x x + x + x + 7x 7 + 5 b) + ( + ) ( ) 5 + ( + ) + ( ) 5 + + 6 5 + 8 5 ( + 8) ( 5) + 8 0 8 0 ou x Atenção: Nesta resolução, optamos por encontrar o MMC apenas das frações do º membro (MMC (, )). Também poderíamos extrair o MMC dos dois membros da equação em conjunto e depois eliminá-lo. Este é um procedimento que você pode adotar, sempre que tiver equações em que os dois membros apresentam frações. 5
Veja como fazer: + 5 + ( + ) + 6( ) ( 5) MMC(,,) Vamos eliminar os denominadores (equivale a multiplicar os dois membros por ) e aplicar a propriedade distributiva: x + 6 + 8 6x 8x 0 x 6x 8x - 0 6 8 x c) 8 6 + (x + ) 6 (x 8) x + 6 6x 8 x 6x - 8 6 - x - 5 x - 5 - x 8 Dica: Nas situações em que o coeficiente de x é negativo, pode-se multiplicar por (-) os dois membros, para não haver confusão com os sinais. Veja: [ - x - 5 ]. ( - ) x 5 x 8 Não esqueça: Sempre que possível, volte à equação original e substitua o valor encontrado, para conferir o resultado. 6
8 6 + 8 8 6 8 + 0 0 6 0 0 : : Atenção: Boa parte das questões das provas se compõe da resolução de problemas de primeiro grau. Por isso, será útil que você desenvolva a habilidade de traduzir as informações dos enunciados para o matematiquês. Problemas com Equações do º Grau. Nota: Tente resolvê-los sozinho, antes de consultar a resolução que apresentamos. Problema - Determine o número que, somado a sua terça parte, equivale à diferença entre seu triplo e 0. Resolução: A questão é clara. Temos que achar um número que desconhecemos, isto é, uma incógnita. Para prosseguir, vamos chamar essa incógnita de x. Representando a terça parte de x, temos: x/ Seu triplo: x O número desconhecido somado à sua terça parte: A diferença entre seu triplo e 0 > 0 + O número somado à sua terça parte equivale à diferença entre seu triplo e 0, então: + 0 Essa é a equação do problema! A próxima etapa é resolver a equação: + 0 x (x 0) x 9x - 0. x 9x - 0-5x - 0 Resposta: O número é 6 0 5 6 Problema Distribuir R$ 0,00 entre Paulo, José e Otávio, de modo que Paulo receba R$5,00 a menos que José, e este receba R$5,00 a mais que Otávio. Quanto receberá cada um? Nota: Este tipo de questão é muito comum nos concursos. Por isso grave bem a forma de resolvê-la. 7
Resolução: De início, precisamos nomear com x uma das quantias, pois elas guardam relações entre si. Escolhendo a quantia de Otávio para nomear com x, temos: Nome Elementos do problema Expressão Otávio Sua quantia será a incógnita, ou x x José Recebe 5 a mais que Otávio x + 5 Paulo Recebe 5 a menos que José (x+5) 5, ou, x + 0 Além destas relações mantidas entre si, há uma outra que nos permite montar a equação: As três quantias somadas resultam no total a ser distribuído, que é 0. Assim, temos: x + x + 5 + x + 0 0 Essa é a equação do problema. Atenção: Ainda precisamos achar o valor de x para saber a quantia que Otávio receberá e depois achar a quantia dos outros. Às vezes resolvemos o problema inteiro e erramos na hora da resposta, porque nos confundimos quanto ao que pede o problema! Para acharmos o valor de x, basta resolver a equação encontrada, que é bem simples: x + x + 5 + x + 0 0 x + 5 0 x 0 5 x 05 05 x 5 Identificado o valor da nossa incógnita (x 5), é só voltar ao enunciado do problema, ou ao quadro anterior, para calcular quanto receberá cada um: Nome Expressão matemática Quantia Otávio x 5 R$ 5,00 José x + 5 5 + 5 60 R$ 60,00 Paulo x + 0 5 + 0 R$ 5,00 Pronto, está resolvido o problema. Problema A soma de quatro números inteiros consecutivos é 8. Qual o maior destes números? Resolução: Sendo os números consecutivos, estão distantes entre si por uma unidade. Exemplo: (, 5, 6 e 7) são números consecutivos, isto é, (5 +), (6 5 +) e (7 6 + ). Na resolução de problemas como este, nomeamos com x (incógnita), o menor dos números, e somamos a cada número consecutivo. Veja: º número x º número x + º número (Muita atenção!) > É formado pelo º número mais a unidade. Ou seja: (x + ) + ou, (x + ) º número: O terceiro mais, ou seja, (x++) x + 8
Sendo assim, a seqüência pode ser expressa da seguinte forma: x, x+, x+, x+ Atenção: O enunciado do problema informa que o valor da soma dos quatro números é 8. Falta, então, descobri-los. Para isso, basta montar e resolver a equação respectiva: x + x + + x + + x + 8 x + 6 8 x 8 6 x x 8 Cuidado! Se a questão da prova tiver uma alternativa com o valor 8, e você estiver desatento, poderá indicar essa resposta e errar. Veja bem: Ainda não achamos a resposta! Encontramos apenas o valor da incógnita. Não é isso o que pede o problema. De acordo com o enunciado, é preciso achar: Qual é o maior número da seqüência. Já sabemos que o valor da incógnita (o menor dos números), é ( 8 ). Logo, o maior dos números é: (x + ), ou seja, 8 +, que é igual a. Portanto, a resposta é. Está resolvido o problema. Problema Um avô tem 60 anos e seu neto 5. Ao final de quantos anos a idade do avô será o dobro da idade do neto? Resolução: Temos que saber o número de anos que se passarão até que ocorra a situação mencionada pelo enunciado. Vamos representar esses anos (a incógnita), por x. Para montar a equação, verificamos que há uma relação determinada pelo problema: daqui a x anos, o avô terá o dobro da idade do neto. Também temos uma relação entre as idades, que se mantém constante: se hoje o avô tem 60 anos e o neto tem 5, o avô tem 5 anos a mais que o neto. Uma coisa é certa: O avô sempre terá 5 anos a mais que o neto. Mas, temos uma questão: Daqui a x anos, quantos anos terão o avô e o neto respectivamente? Conclusão: 60 + x e 5 + x Voltando ao enunciado do problema: É preciso encontrar o número de anos (x) que se passarão até que a idade do avô (que terá 60 + x) seja igual ao dobro da idade do neto (que terá 5 + x). Sabemos que, daqui a x anos, a idade do avô será igual ao dobro da idade do neto. Então: 60 + x. (5 + x) Acabamos de montar a equação do problema! 9
Atenção: Procure encontrar relações entre os fenômenos que aparecem nos problemas, como a idade, por exemplo, e que estão escondidas, ou subentendidas. Raciocinando com atenção, sempre descobrimos que sabemos mais do que pensamos! Montada a equação, já podemos resolvê-la: 60 + x ( 5 + x ) 60 + x.5 +. x 60 + x 0 + x x x 0 60 - x - 0 x 0 A resposta, portanto, é 0 De fato, daqui a 0 anos o avô terá 90 anos (60 + 0). O que será o dobro da idade do neto: 5 anos (5 + 0). Está resolvido o problema. Problema 5 - Numa fração, o denominador excede o numerador em 5. Se aumentarmos o numerador em unidades, a fração ficará aumentada em /. Determine esta fração. Resolução: Este é um problema que, para solucionar, precisamos montar uma equação. Vamos iniciar: Chamando de x o numerador, o denominador será ( x + 5). A fração inicial é, portanto: + 5 A nova fração, em que o numerador tem unidades a mais, é + + 5 A relação entre elas é que a nova é um quarto a mais que a inicial, ou seja, (nova inicial + /). Temos assim a equação: + + MMC ( + 5) + 5 + 5 ( + ) ( + 5) + ( + 5) ( + 5) ( + 5) x + 8 x + x + 5 x - x - x 5-8 - x - x O problema solicitou a fração inicial, então: + 5 + 5) 8 Resposta: A fração é /8. Está resolvido o problema 5 0
Neste ponto, você deve praticar sozinho a solução de alguns exercícios. É o melhor método para exercitar a construção e regras de resolução das equações. Questões: ) Qual é o número que adicionado a seu triplo e a 5 é igual o seu quíntuplo? ) Um número, somado com seu dobro, mais a sua quarta parte, é igual à soma entre seus três quartos, seu quíntuplo, e. Qual é esse número? ) A idade de João é o dobro da idade de seu irmão Pedro. Sabendo-se que a idade do avô de ambos (50 anos) é o triplo da idade do neto mais novo somada à idade de João, qual a idade de Pedro? ) Oficial de Promotoria MP SP 00. Em uma sala há três lâmpadas iguais, um televisor e um aparelho de ar condicionado. A TV consome / dos quilowatts-hora (kwh) que uma das lâmpadas consome. O aparelho de ar condicionado consome 5 vezes o que consome uma lâmpada. Quando estão todos ligados ao mesmo tempo, o consumo total é de.00 kwh. Portanto o televisor consome: a) kwh b) kwh c) 0 kwh d) 8kWh e) 6kWh 5) Oficial de Promotoria MP SP 00. Uma parede com 8 m de área está pintada com cores: a de cor amarela corresponde a /5 da área total, a de cor azul corresponde a / da área amarela. Então, a área pintada em azul é de: a), m b),0 m c) 0,8 m d) 7, m e),6 m 6) Oficial de Promotoria MP SP 00. Um pai tem hoje 5 anos e seus quatro filhos têm juntos 9 anos. A idade do pai será igual à soma das idades de seus filhos daqui a:
a) 5 anos. b) 8 anos. c) 0 anos. d) anos. e) 5 anos. Dica: a cada ano que o pai faz, os filhos somam quatro anos. 7) Técnico Previdenciário 005. Um prêmio em dinheiro foi dividido entre três pessoas: a primeira recebeu / do valor do prêmio, a segunda recebeu / e a terceira ganhou R$.000,00. Então, o valor desse prêmio, em reais, era de: a).00,00 b).00,00 c).00,00 d).800,00 e).00,00 8) Técnico Previdenciário 005. Um motorista pára em um posto para abastecer seu caminhão com óleo diesel. Ele pagou com uma nota de R$ 00,00 e recebeu R$ 5,75 de troco. Se o litro de óleo diesel custava R$,5, quantos litros ele comprou? a) 55 b) 58 c) 65 d) 75 e) 78 9) Escrevente Judiciário 00. Um reservatório contém álcool até /5 de sua capacidade total e necessita de 5 litros para atingir 7/0 da mesma. Qual é a capacidade total (em litros) desse reservatório? a) 0 b) 5 c) 0 d) 5 e) 50 Concluídos os seus cálculos, confira as respostas dos nove problemas: 5; -/5; 0 anos; C; 5D; 6A; 7A; 8C; 9E. Sistemas de duas equações do º grau com duas variáveis Um sistema simples do º grau com duas variáveis corresponde a um conjunto de duas equações com duas incógnitas. Isso equivale a duas expressões que podem ser formadas contendo dois dados que desconhecemos, mas que mantêm relações entre eles. Vejamos um exemplo: Duas pessoas juntas possuem um capital de R$ 6.000,00. Sabendo-se que uma possui o dobro do capital da outra, determine a quantia de cada uma.
Resolução: Chamemos o capital da primeira de x e o capital da segunda de y. Sabemos que a soma dos dois capitais é 6.000, então já temos a primeira equação: x + y 6.000 O enunciado também nos informa que um capital (podemos assumir que é o capital x) é igual ao dobro do outro, ou seja: x y Reunindo as duas equações em um sistema (assim chamado porque os valores de x de y em uma equação devem fazer com que a outra equação seja verdadeira), temos: + Y 6000 Y Resolver um sistema desse tipo é determinar o conjunto de pares ordenados (x, y) que satisfaça as duas equações ao mesmo tempo. Vamos diretamente à reposta, substituindo as incógnitas pelos respectivos valores, apenas para demonstrar que este sistema tem solução. (Mais adiante, e após novas explicações, faremos a resolução detalhada). Neste caso, o valor de x é 000 e de y é000. Verificando: a) Sabemos que x + y 6000. b) Substituindo x por 000 e y por 000, temos: c) 000 + 000 6000 d) Sabemos que x y e) Substituindo: 000 (. 000) 000 Como o importante é saber resolver, passemos a essa etapa. Métodos de resolução de Sistemas do º grau com duas variáveis. Há, basicamente, dois métodos de resolução de um sistema: Método da Substituição e Método da Adição ou Subtração. º) Método da Substituição: Consiste em isolar uma das incógnitas em uma equação e substituí-la na outra. Em outras palavras, operamos de forma a deixar no primeiro membro de uma equação apenas uma das incógnitas, revelando quanto ela vale (qual a relação de uma unidade desta incógnita) em relação à outra. Tomemos o seguinte sistema como exemplo: x + y 6 x - y (equação I) (equação II) Na equação I podemos isolar x, enviando y para o segundo membro (trocando-lhe o sinal, como você já sabe): x + y 6 x 6 y (equação III) Substituindo o valor de x na equação II, temos: x - y 6 y - y Já podemos encontrar o valor de y, pois esta é uma equação com apenas uma variável:
6 y y - y 6 - y - - y y / y O próximo passo é retornarmos com o valor de y à relação que encontramos quando isolamos x (equação III): x 6 y x 6 x Logo, os valores de x e y são, respectivamente, e. Podemos, ainda, dar a resposta na forma de conjunto verdade ( V ) V {(, )} º) Método da Adição ou Subtração Consiste na eliminação de uma das incógnitas, adicionando ou subtraindo as duas equações, membro a membro, para obtermos uma nova equação com apenas uma incógnita. Para eliminá-la, é necessário que seu coeficiente na segunda equação seja o oposto de seu coeficiente na primeira equação. Exemplo: x + y 6 (equação I) 5x -y 9 (equação II) Somando as duas equações, membro a membro, temos: x + y 6 (+) 5x - y 9 9x - y 5 A nova equação encontrada ainda mantém duas variáveis. Portanto, não resolve o nosso problema. Atenção: Precisamos somar as equações originais de forma a obtermos coeficientes opostos em uma das variáveis. Então, temos que preparar as equações para esta soma. Para isso, vamos multiplicá-las por valores adequados. Tentemos eliminar a variável y, sabendo que seus coeficientes são: () na primeira equação e ( ) na segunda. Para torná-los coeficientes opostos, devemos proceder da seguinte forma: x + y 6 (vamos multiplicar essa equação por, que é o coeficiente de y na segunda equação). 5x - y 9 (vamos multiplicar essa equação por, que é o coeficiente de y na primeira equação) Então: (x + y 6). () x + 6y 8 (5x - y 9). () 0x - 6y 8
Veja que os novos coeficientes de y são (6) e ( 6), ou seja, números opostos que, quando somados, terão zero como resultado, eliminando a variável y da nova equação. Façamos a soma: x + 6y 8 (+) 0x - 6y 8 x + 0y 66 x 66 x 66/ x Encontrado o valor de (x), já que a equação que resultou da soma tinha apenas uma variável, é só substituí-lo em qualquer uma das duas equações originais e teremos o valor de (y). Por exemplo: x + 6y 8. + 6y 8 6 + 6y 8 6y 8 6 6y y /6 y Logo, já temos a reposta: V {(, )} Este método pode parecer complicado, mas não é. Na verdade, facilita a resolução de problemas. A chave está em saber por quanto devemos multiplicar uma, ou as duas equações, para encontrar coeficientes opostos para uma das incógnitas. Outros exemplos: x + y 6 x - y x 8 Com coeficientes opostos em y, bastou somar as equações. x + y x + y ( x + y 5 ). ( -) - x - y - 5 x 6 (x y ). ( ) 8x y x + y 7 x + y 7 x Perceba como as equações (grafadas em azul), que saem da soma, são de fácil resolução. Neste ponto, já resolver o sistema determinado pelo exemplo que demos mais acima: Duas pessoas possuem juntas um capital de R$6.000,00. Sabendo-se que uma possui o dobro do capital da outra, determine a quantia de cada uma. Havíamos construído o seguinte sistema: x + y 6000 x y Aplicando a substituição direta na primeira equação, pois a segunda equação já traz a incógnita x isolada: 5
y + y 6000 y 6000 y 6000/ y.000 Substituindo o valor de y na segunda equação: x y x. 000 x.000 Então: V {(.000,00 ;.000,00)}, como tínhamos afirmado. Para fixar os conceitos, acompanhemos a resolução de outros problemas. Problema - Calcule a área de um terreno retangular, sabendo-se que seu perímetro tem 60m e o comprimento tem o dobro da largura. Resolução: A área é o produto do comprimento pela largura; como não sabemos nenhum dos dois dados, temos que encontrá-los a partir do problema. Vamos nomear as medidas que queremos encontrar: x comprimento y largura O perímetro, que vale 60m, é a soma dos lados, ou seja, dois comprimentos mais duas larguras. Traduzindo : 60 x + y Como o comprimento é o dobro da largura, segundo o enunciado, já temos o sistema: x y x + y 60 x y Substituindo em : (y) + y 60, E resolvendo: y + y 60 6y 60 y 60/6 y 0 Portanto: a largura do terreno mede 0m. Falta descobrir o comprimento, não é mesmo? Vamos lá: Substituindo o valor em : x y; x.0; x 0 Portanto: O comprimento mede 0m. Sabendo as medidas da largura e do comprimento, é só calcular a área para solucionar o problema. Como a área (A) é dada por ( x. y), então: (A 0x0) A 00m Resposta: A área do terreno tem 00m². 6
Problema Um investidor possui 000 ações de uma empresa, entre nominativas e ao portador. Suas cotações nominativas valem R$ 60,00, e ao portador, R$ 70,00. Quantas ações ele possui de cada modalidade sabendo-se que, se as vendesse hoje, apuraria R$ 66.000,00? Resolução: Vamos nomear as nossas incógnitas: x número de ações nominativas y número de ações ao portador Se ele tem 000 ações no total, então: (x + y 000). Temos o total do valor das ações hoje: (66000). Esse total equivale ao valor das ações nominativas, multiplicado pelo número destas ações, mais o valor das ações ao portador, multiplicado pelo número destas ações. A equação que expressa esse raciocínio é: 60x + 70y 66000 (Sem as casas decimais) Nosso sistema, então, é: x + y 000 60x + 70y 66000 Resolvendo pelo Método da Adição: Temos (+60x) na segunda equação, logo, precisamos (-60x) na primeira. Como o coeficiente de x na primeira equação é, vamos multiplicar a equação por ( 60) (x + y 000). (-60) 60x + 70y 66000 Efetuando a multiplicação e somando membro a membro: - 60x - 60y - 60000 60x + 70y 66000 0y 6000 y 6000/0 então, y 600 Substituindo o valor de y na primeira equação: x + y 000 x + 600 000 x 000 600 x 00 Resposta: O investidor possui 00 ações nominativas e 600 ações ao portador. Problema Dorival possui R$.000,00 em duas contas bancárias. Sabendo-se que /5 do saldo da primeira excede o saldo da segunda em R$ 0,00, quais valores ele tem em cada conta? Resolução: 7
x o que possui na primeira conta y o que possui na segunda conta Temos que: x + y 000 (total das duas contas) Também temos: /5x 0 + y Montando e resolvendo o sistema: + Y 000 0 + Y 5 Pelo método da substituição, vamos definir y na primeira equação e substituir na segunda, ficando: y 000 x Substituindo: 0 + 000 5 Resolvendo, vamos somar os termos independentes e enviar x para o primeiro membro: 5 + 0 Aplicamos o MMC ao primeiro membro para somarmos os coeficientes de x, e temos: 5 5 + 5 0 0 9 5 0 9.800 800 Como sabemos que (y 000 x), basta substituir e resolver: y 000 800 Logo: y.00 Resposta: O saldo de Dorival na primeira conta é de R$.800,00, e na segunda é de R$.00,00. Agora, você já pode praticar sozinho, resolvendo os sistemas a seguir: º) x - y x + y 5º) x + y 5x - y º) x + y 5 x + y º) x + y 5x y º) x + y 5 x + y 8
Agora, resolva os seguintes problemas: 6º) A diferença entre os capitais de duas pessoas é de R$.000,00. Se forem acrescidos R$00,00 a cada capital, um deles tornar-se-á o triplo do outro. Quais são estes capitais? 7º) Oficial de Promotoria MP SP 00 Certo veículo utilitário custa R$ 5.000,00 a mais que o modelo sedan da mesma marca. Se os dois juntos custam R$69.000,00, o utilitário custa: a) R$.000,00. b) R$.500,00. c) R$.000,00. d) R$.500,00. e) R$.000,00. 8º) Técnico Previdenciário 005 Geraldo devia R$ 55,00 a seu irmão e pagou a dívida com notas de R$ 5,00 e R$ 0,00. Se, ao todo, o irmão de Geraldo recebeu 7 notas, quantas eram as notas de R$ 0,00? a) b) c) d) 5 e) 6 Concluindo os exercícios, confira as respostas: {(, 0)}; {(-9, )}; {(, )}; {(, )}; 5{(, )}; 6R$800,00 e R$800,00; 7Alternativa C; 8Alternativa C. EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU São as equações em que o maior expoente da incógnita é e que se apresentam com a seguinte forma: ax + bx + c 0 Nessa equação, (a, b, c) são números reais e (a 0). Neste tipo de equação, x é o par de valores a ser determinado. As soluções das equações do º grau são chamadas de raízes. Vejamos um exemplo de equação de segundo grau: x x - 6 0 Nesta equação, (a ), (b - ) e (c - 6). Suas raízes são: (x - ) e (x ) Se substituirmos cada valor na equação, o resultado é zero. Verifiquemos: 9
Para: x - (-) (-) 6 0. + 6 0 6 6 0 () () 6 0.9 6 0 8 8 0 Para: x Importante: Não esqueça que o quadrado de um número negativo é sempre positivo. Memorize as regras de sinais na multiplicação de números inteiros. Resolvendo Equações do º grau Há dois tipos de equações de º grau: as incompletas e as completas. Somente nas completas é necessário encontrar o (delta). Vejamos como se resolvem esses dois tipos de equação. ) Equações incompletas: A) Quando: b 0 ax + c 0 Resolução: Isolamos a variável x, da mesma forma como procedemos nas equações de primeiro grau. Exemplo: x 8 0 x 8 x 8/ x x e x - Observação importante: tanto (+) quanto ( ), quando elevados ao quadrado, resultam em (+). Portanto, muita atenção com isso! Outro exemplo: x 7 0 x 7 x 7/ x 9 x 9 x + e x Agora, outro exemplo, que exige uma atenção especial: x + 6 0 x -6 x 6 conjunto vazio Muita Atenção! Esta equação não tem solução no conjunto dos números reais, no qual não existe raiz quadrada de número negativo. Portanto, a resposta é conjunto vazio ou, não há resposta. B) Quando: c 0 ax + bx 0 0
Resolução: Note que o valor x aparece nos dois elementos. Quando isso ocorre, podemos fatorar a expressão. Exemplo: Na equação: x 8x 0, vemos que: x x. x Então: x. x 8x 0 Colocando x em evidência: x.(x 8) 0 Se aplicarmos a propriedade distributiva, veremos que a expressão retorna à forma original. Veja: x. ( x - 8 ) x - 8x Agora, temos: x. ( x 8 ) 0. Mas, se o resultado da multiplicação de dois fatores é zero, pelo menos um dos fatores é zero, ou seja: x. ( x 8 ) 0 º fator º fator Logo, aqui cabem duas respostas, pois: Se o º fator é 0, então: x 0 Se o º fator é 0, então x 8 0 x 8 Assim, a resposta é: V {0, 8} Outro exemplo: x + x 0 x (x + ) 0 então: x 0 ou: x + 0 x - x - Logo: x 0 e x - V { 0, - } Nota: Nas equações deste tipo, uma raiz é sempre zero. Equações completas São aquelas em que a, b e c são diferentes de zero. x 5x + 8 0 Nesta equação: a, b -5 e c 8 Para resolver equações deste tipo, utilizamos a seguinte fórmula: b ± b ac a Onde: b ac Aplicando a fórmula à equação: 5 + 8 0 Temos: a
b - 5 c 8 Então: b ac ( 5) () (8) 5 7 Seguindo a fórmula, teríamos que extrair a raiz quadrada do delta, neste caso ( 7). Como isso não é possível no conjunto dos números reais, dizemos que não há raízes reais. Então, a resposta é conjunto vazio, que podemos expressar das seguintes formas: V { } ou φ Outro exemplo: x + x + 0 b ac () ()() 6 6 0 + 0 0 Apliquemos a fórmula para a ª raiz: Apliquemos a fórmula para a ª raiz: Como a raiz quadrada de zero é zero, as duas raízes são iguais, -. Neste caso, dizemos que as duas raízes são idênticas entre si e iguais a ( ). Veja a regra: Quando 0... Duas raízes idênticas (um só valor) Quando < 0... Não há raízes reais (nenhum valor para x) Quando > 0.... Duas raízes (dois valores para x) Resolvendo exemplos: º) x x + 0 ; a ; b -; c b ac ( ) ()() 6 6 0 (Sendo delta zero, encontraremos apenas um valor para x) ± 0 8 º) x 5x + 6 0 ; a ; b -5; c 6 b ac ( 5) ()(6) 5 5 + 6 5
V {, } º) > (x+6). (x ) 6x 7 Será esta uma equação do º grau? Aplicando a propriedade distributiva, vamos realizar as operações possíveis: ( x + 6 ). ( x - ) 6x - 7 x +6x 8 6x -7 Como temos x, então a equação é de º grau. x x + 6x 6x 8 +7 0 (Neste caso, trazemos os termos independentes para o primeiro membro) x x 0 ; a ; b -; c - Agora, já temos a forma necessária para resolvermos a equação. b ac ( ) ()(-) 9 + + + e Neste caso, não há como simplificar mais. + x + º) + Atenção com os denominadores, que nunca podemos dividir por zero. Logo, (x) não pode ser ( ) nem ( ), o que tornaria um dos denominadores zero. Portanto, esses valores estão excluídos da resposta. Para iniciar a resolução, antes é preciso encontrar o MMC, multiplicando os denominadores entre si: MMC (x + ) (x + ) (vamos aplicar e depois eliminá-lo): ( + ) ( + )( + ) + ( + ) ( + )( + ) ( + )( + ) ( + )( + ) Aplicamos a propriedade distributiva e temos: + + + + + + + - + + - - 0 Efetuando as operações: x 0 (Uma equação bem simples de resolver) x (Atenção! A raiz quadrada de pode ser + ou ) Logo, V {-, } Teste agora o seu entendimento, procurando resolver as equações e os problemas a seguir:
º) x + x 0 º) x - 0 º) x + x 0 º) 0 0 5º) A diferença entre um número natural e seu inverso é /5. Calcular este número. (Dica: você encontrará duas respostas, mas deve ficar apenas com a positiva, pois o enunciado pede um número NATURAL. E saiba que o inverso de x é /x). 6º) Calcular dois números naturais e consecutivos cujo produto é 0. (Dica: novamente, trata-se de números naturais na resposta. Lembre que representamos dois números consecutivos com x e x+). 7º) - Escrevente Judiciário 00. A diferença entre o quadrado e o triplo de um número inteiro é igual a. Qual é esse número? a) b) ou c) ou d) ou e) ou
8º) - Escrevente Judiciário 00). Dado as afirmações: I. Toda equação do primeiro grau possui no máximo uma solução. II. Toda equação do segundo grau possui duas raízes diferentes. III. Toda equação do segundo grau possui como raízes números inteiros. IV. As equações do primeiro grau podem possuir como solução um número fracionário. Estão corretas apenas as afirmações: a) I e II b) I e IV c) IV e V d) II e III e) apenas a afirmação I 9º) - Escrevente Judiciário 00. Dada a equação x + 5x +, podemos afirmar que: a) suas raízes são e b) a soma de suas raízes é igual a 5 c) o produto de suas raízes é d) uma de suas raízes é e) esta equação não possui raízes Verifique agora as respostas corretas. /; V { - 9, 9 }; { -, }; V { -0, 6 }; 55; 60 e ; 7Alternativa B; 8Alternativa B; 9Alternativa D. Método de Resolução de Sistemas de Equações do º Grau O sistema do º grau admite pares de soluções, isto é, para cada valor de x corresponde um de y. Os métodos de resolução são os mesmos já descritos nos sistemas de º grau, devendo, para cada caso, ser empregado o mais adequado. De uso mais geral é o de substituição. Veja um exemplo: x + y x. y 0 Expressando o valor de x na primeira equação: (x + y ) Temos: x y Substituindo este valor na º equação: (x. y) 0 ( y). y 0 y y 0 -y + y 0 0 (a -, b, c - 0) Resolvendo esta equação do º grau: 5
b ac (-)(-0) 0, ONDE raiz de delta será. Logo: + + 0 Y 5 e Y 6 ( ) ( ) Sabemos que (x y); então devemos substituir os dois valores encontrados para y e encontrarmos os valores correspondentes de x. Vejamos: Para y 5, temos: x 5 6 Para y 6, temos: x 6 5 Conclusão: Como soluções para o sistema, encontram dois pares: (6, 5) e (5, 6). Atenção: Na resolução de problemas, muitas vezes não consideramos um dos pares (por exemplo, se o problema nos pede medidas, tempo, número de ocorrências de um evento, etc.) Para exercitar, tente resolver o problema a seguir, que já caiu em concurso. Faça isso antes de verificar a resolução que apresentamos. Técnico Judiciário do TRF -ª Região (00). Problema: Uma pessoa sabe que, para o transporte de 70 caixas iguais, sua caminhonete teria que fazer no mínimo x viagens, levando em cada uma o mesmo número de caixas. Entretanto, ela preferiu usar sua caminhonete três vezes a mais e, assim, a cada viagem ela transportou caixas a menos. Nessas condições, o valor de x é: a) 6 b) 9 c) 0 d) e) 5 Resolução: Na primeira situação, a pessoa fez x viagens carregando y caixas, totalizando 70 caixas. Traduzindo: (x. y 70) Na segunda situação, fez viagens a mais (o número de viagens foi (x + )) e carregou caixas a menos em cada viagem (portanto, carregou (y ) caixas em cada viagem), também totalizando 70 caixas Traduzindo, podemos representar assim: (x +). (y ) 70 Montando o sistema: x y 70 ( x + ) ( y ) 70 Se quisermos o valor de x, é melhor isolar o valor de y na primeira equação e substituí-lo na segunda: x y 70 70 y x Substituindo: 70 x ( x + ) 70 Apliquemos a propriedade distributiva: 70 70 x x + 6 70 x x 6
60 70 x + 6 70 x Perceba que temos 70 nos dois membros da equação. Antes de encontrarmos o MMC, vamos nos livrar deste valor: 60 x + 6 0 x Agora, vamos ao MMC (é o próprio x):basta multiplicar tudo por (-x) x 60 + 6x 0, ou x + 6x 60 0 Livramo-nos do denominador e realizamos as operações no numerador: Já poderíamos iniciar a resolução da equação de segundo grau, mas nota-se que os valores numéricos são múltiplos de! Então, podemos dividir todos os elementos por, mantendo a equação verdadeira. Sem isso, há mais trabalho nas contas. Então: x + x - 80 0, vemos (a, b, c -80) b ac ()(-80) 9 + 70 79 onde Raiz de Delta 7 logo: + 7 7 5 Conclusão: Encontramos os dois valores de x e descobrimos que: na primeira situação a pessoa fez viagens; na segunda situação fez 5 viagens. Como o problema nos pede o número de viagens na primeira situação, a resposta é. Portanto (D) é a alternativa correta. Comentando o Capítulo Em matemática, dificilmente uma questão é construída enfocando apenas um tópico. Freqüentemente os problemas requerem que sejam relacionados conhecimentos básicos de resolução de equações com outros, tais como: regra de três, porcentagem, divisão proporcional, sistema métrico, etc. Para conseguir resolvê-los, é importante saber identificar os conhecimentos que devem ser colocados em jogo. Da mesma forma, também é fundamental construir corretamente as equações necessárias para se chegar à resposta solicitada. 7