Cap. 4- Interpolação Numérica 4.1. Definições Censos de BH População em BH (Habitantes,5,,, 1,5, 1,, 5, 194 196 198 Ano Ano 195 196 197 198 1991 1996 1 No. habitantes 5.74 68.98 1.5. 1.78.855..161.91.71.8.56.75.444 Qual o número de habitantes na cidade de Belo Horizonte em 1975? Interpolar Encontrar o valor da função para um ponto contido no intervalo dos dados experimentais. Extrapolar Tipos de interpolação Encontrar o valor da função para um ponto fora do intervalo dos dados experimentais (ex: população em BH no ano. Linear Polinomial Exponencial Logarítmica Trigonométrica Diferencial usada em programas de cálculo discretizado (elementos finitos, volumes finitos e diferenças finitas Spline usada para gerar curvas suaves a partir de pontos discretos Spline original Spline D = NURBS (Non Uniform Rational Basis Spline José Eduardo Mautone Barros 8//7 1/6
4.. Interpolação Linear Seja a função y= f x Cujos pontos conhecidos são Y, y, y 1 Deseja-se calcular y para um dado x entre e, usando interpolação linear. Considerando um polinômio interpolador de primeira ordem, temos, X e Assim, ou, x=a 1 xa = y = y 1 a 1 a = y a 1 a = y 1 a 1 = y y 1 / a = y a 1 O valor a ser interpolado é estimado usando o polinômio interpolador e os coeficientes acima determinados. y= f x x=a 1 xa Erros de interpolação Truncamento diferença entre o valor da função exata no ponto e o valor estimado pelo polinômio interpolador x= f x P n x Arredondamento proveniente de limitação de casas decimais nas operações algébricas até obter os resultados. Deve-se armazenas os coeficientes para cálculos das estimativas com o maior número de casas decimais possíveis. José Eduardo Mautone Barros 8//7 /6
4.. Interpolação Linear (cont. População Ano Habitantes 197 15 1975 y 198 178855 Usando as fórmulas: Calculando usando a regra de três: (1975 = 1.57.94 habitantes a 1 = (15-178855/(197-198 = 54.58 a = 15-5458*197 = -16.9.495 (1975 = 5458*1975-169495 = 1.57.94 habitantes 4.. Interpolação Quadrática Usa-se um polinômio interpolador de segunda ordem: Y P P x=a x a 1 xa Agora são necessários pontos para encontrar os coeficientes de P (x,, y,, y 1 e x, y Portanto, X a a 1 a = y a a 1 a = y 1 a x a 1 x a = y Resolvendo este sistema linear, obtemos a o, a 1 e a. Calcular f(π/5 por interpolação quadrática. A função de interpolação passa pelos pontos dados! f (x= sen x x+ 1 x sen(x f(x π/6 1/,8 π/4 /,56 P (= a + a 1 + a o = P (π /6=,74 a +,54 a 1 + a =,8 P (π /4=,617 a +,785 a 1 + a =,56 José Eduardo Mautone Barros 8//7 /6
4.. Interpolação Quadrática (cont. Valor interpolado Valor real Erro na interpolação Solução a = ; a 1 =,45 ;a =, P (π /5=,(π /5 +,45(π /5=,415 f (π /5= sen (π /5 =,44 π /5+ 1 E i (π /5= f (π /5 P (π /5=,9=9x1 =O (1 4.4. Interpolação Cúbica (Spline Spline versus Interpolação Linear Y Usa-se um polinômio interpolador de terceira ordem: P x=a x a x a 1 xa P Portanto, seriam necessários 4 pontos para encontrar os coeficientes de P (x, mas a técnica utiliza apenas dois pontos e a informação de derivada nas extremidades do segmento considerado. X, y e, y 1 Derivadas primeira e segunda do polinômio de terceira ordem (cúbica. dp (x =a dx x + a x+ a 1 d P (x =6 a dx x+ a José Eduardo Mautone Barros 8//7 4/6
4.4. Interpolação Cúbica (cont. Sistema linear para encontrar os coeficientes. P ( =a x + a x + a 1 + a = y( P ( =a x 1 + a x 1 + a 1 + a = y( d P ( = a dx x + a + a 1 = y ' ( d P ( =a dx x 1 + a + a 1 = y ' ( As derivadas primeira são calculadas numericamente usando os pontos adjacentes ao segmento a ser interpolado. o x A=[ 1 1 1 B=[ 1 ] y y 1 y' ( y' ( ] População em BH (Habitantes,5,,, 1,5, 1,, 5, 194 196 198 Ano Spline Natural Neste tipo de spline, as derivadas segunda do polinômio nas extremidades do segmento são igualdas a zero. P ( =a + a + a 1 + a = y( P ( =a + a + a 1 + a = y( d P ( dx =6 a + a = d P ( dx =6 a + a = José Eduardo Mautone Barros 8//7 5/6
4.4. Interpolação Cúbica (cont. Spline Natural Sistema linear para encontrar os coeficientes. o A=[x 6 ] 6 1 1 y B=[y 1 ] Cap. 4 Exercícios Qual a população de Bh em 1975? Spline Spline Natural José Eduardo Mautone Barros 8//7 6/6