Terceira Lista - Potencial Elétrico

Terceira Lista - Potencial Elétrico FGE211 - Física III Sumário Uma força F é conservativa se a integral de linha da força através de um caminho fechado é nula: F d r = 0 A mudança em energia potencial associada a uma força conservativa F atuando em um objeto entre os pontos A e B é B U = U B U A = F d r A A diferença de potencial V entre dois pontos A e B imersos em um campo elétrico E é V = V B V A = U q 0 B = E d r. A Essa grandeza representa a quantidade de trabalho realizado por unidade de carga. O potencial elétrico devido a uma carga pontual Q a uma distância r da carga é V = 1 Q 4πɛ 0 r. Para um conjunto de cargas, usando o princípio da superposição, V = 1 4πɛ 0 A energia potencial associada a duas cargas q 1 e q 2 separadas por uma distância r 12 é U = 1 q 1 q 2 4πɛ 0 r 12 i Q i r i 1

Partindo do potencial elétrico, obtemos o campo elétrico tirando o gradiente do potencial: E = V Em coordenadas cartesianas E x = V x, E y = V y, E z = V z O potencial elétrico devido a uma distribuição contínua de cargas é V = 1 dq 4πɛ 0 r As propriedades gerais de superfícies equipotenciais são: 1. As linhas de campo elétrico são sempre perpendiculares as equipotenciais e apontam do potencial maior para o potencial menor. 2. Por simetria, as superfícies equipotenciais de uma carga pontual formam uma família de esferas concêntricas e as superfícies equipotenciais de um plano infinito uma família de planos infinitos paralelos ao plano. 3. A componente tangencial do campo elétrico ao longo de uma superfície equipotencial é sempre nula. Caso contrário, trabalho teria de ser realizado para mover uma carga ao longo de uma superfície. 4. Nenhuma trabalho é necessário para mover uma carga ao longo de uma superfície equipotencial. Estratégia para resolução de problemas: cálculo do potencial elétrico O potencial elétrico pode ser calculado a partir de distribuições discretas ou contínuas de carga fazendo uso das expressões fornecidas na seção anterior. O procedimento para computar o potencial elétrico, apesar de análogo ao para computar o campo elétrico, é mais simples já que o potencial é uma grandeza escalar e não vetorial. Os passos abaixo podem ser úteis para calcular o potencial elétrico. 1. Comece com dv = k dq r. 2. Rescreva o elemento de carga dq como λdl (comprimento) dq = σda (area) ρdv (volume) 2

3. Substitua dq na expressão de dv. 4. Rescreva dv em termos das variáveis de integração. 5. Complete a integração obtendo V. Usando o potencial, é possível calcular o campo elétrico tirando o gradiente do potencial. A precisão do resultado pode ser facilmente testada em casos onde a distribuição de carga é finita. Para isso, cheque se no infinito a distribuição se assemelha a de uma carga pontual e cai com 1 /r 2. Questões conceituais Qual a diferença entre energia potencial eletrostática e o potencial elétrico? Um campo elétrico uniforme é paralelo ao eixo dos x. Em que direção uma carga pode ser movida nesta região de tal forma que nenhum trabalho seja realizado pelo campo elétrico? É seguro ficar em um automóvel feito de metal durante uma tempestade? Porque superfícies equipotenciais são sempre perpendicular ao campo elétrico? O campo elétrico dentro de uma esfera oca carregada é zero. implica que o potencial lá dentro também é? Isso 1 Potencial de configurações discretas de carga 1.1 Potencial de duas cargas Considere o sistema de duas cargas descrito na figura 1. Calcule o potencial elétrico em um ponto arbitrário do eixo x e grafique seu resultado. Figura 1: Duas cargas 3

1.2 Três cargas Considere o sistema descrito na figura 2 onde q = 3 10 18 C, q 1 = 6 10 6 C e a = 60cm. Figura 2: Três cargas (a) Qual a força total exercida na carga q devido as outras duas cargas? (b) Qual o campo elétrico na origem devido as duas cargas q 1? (c) Qual o potencial elétrico na origem devido as duas cargas q 1? 2 Distribuições contínuas de carga: integração direta do potencial Nesta seção o objetivo é calcular o potencial a partir de distribuições contínuas de carga por integração direta. Estes problemas são iguais aos resolvidos na primeira lista. Note como calcular o potencial é significativamente mais simples que calcular o campo elétrico. 2.1 Anel carregado Considere um anel de raio R carregado com uma carga Q como mostra a figura 3. (a) Calcule o potencial elétrico em um ponto P sobre o seu eixo de simetria e e grafique o seu resultado. (b) Para testar a validade dos seus calculos, calcule E z e compare com o resultado obtido na primeira lista. 2.2 Disco carregado Considere um disco de raio R carregado com uma densidade superficial de carga σ como mostra a figura 4. Calcule o potencial em um ponto sobre o seu eixo de simetria e grafique o resultado. 4

Figura 3: Anel de raio R. Figura 4: Disco de raio R. 2.3 Potencial de um anel maciço carregado Considere um anel de raio interno a e raio externo b carregado com uma carga total Q como mostra a figura 5. (a) Calcule o potencial elétrico em um ponto sobre o seu eixo de simetria. (b) Estudo o limite a 0 e compare com o problema 2.2 2.4 Potencial elétrico de um fio finito Considere o fio mostrado na figura 6 que está carregado com uma densidade de carga constante λ. Calcule o potencial elétrico no ponto A. 5

Figura 5: Anel carregado com raio interno a e externo b. Figura 6: Fio carregado com densidade não constante 3 Cálculo de E a partir de V 3.1 Utilizando o gradiente (a) Suponha que em uma região do espaço há um potencial elétrico V (x, y, z) = V 0 E 0 z + E 0 a 3 z (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 /2, onde a é uma constante com dimensões de comprimento. Ache E x, E y e E z. (b) Suponha agora que V (x, y, z) = V 0 e k z cos(kx). Calcule o campo elétrico em todo o espaço. Faça um esboço das linhas de campo no plano x-z. 6

3.2 Graficamente Suponha que para um certo sistema o potencial elétrico varia em função de x na forma mostrada na figura 7. O potencial não varia nas direções y e z. Dos intervalos mostrados (ignorando o comportamento nas extremidades dos intervalos), determine em quais intervalos E x tem: (a) maior valor absoluto; (b) menor valor absoluto. (c) Faça um gráfico de E x como função de x. Figura 7: Potencial elétrico de um sistema em função de x. 4 Distribuições contínuas de carga: lei de Gauss Estes problemas correspondem a situações de alta simetria e portanto o campo elétrico pode ser obtido a partir da lei de Gauss. Obtenha o potencial a partir do campo. É um bom exercício refazer os cálculos do campo elétrico ao invés de copia-los da lista anterior. Ao terminar os exercícios reflita, comparando com os problemas da seção 2, sobre em quais problemas é mais simples calcular o potencial a partir do campo e em quais é mais simples calcular o potencial por integração direta. Além disso, quando terminar todos os problemas, verifique os seus resultados e observe como é a dependência de V com a carga do sistema Q. 4.1 Dois planos infinitos Considere dois planos infinitos separados por uma distância d e carregados com densidades superficiais de carga σ e σ. Suponha que eles se encontram paralelos ao plano xy nas posições z = d/2 e z = d/2 respectivamente. 7

(a) Qual a diferença de potencial entre as placas? (b) Qual placa tem maior potencial? (c) Esboce as linhas de campo e as superfícies equipotenciais deste sistema. 4.2 Esfera carregada Considere uma esfera de raio R carregada com carga Q. (a) Se a esfera for condutora, o campo dentro dela será nulo. Calcule o potencial elétrico em todo o espaço e grafique o seu resultado. Desenhe as linhas de campo e as superfícies equipotenciais deste sistema. (b) Considere agora o caso em que a esfera é isolante e a carga está distribuída uniformemente ao longo dela. Calcule novamente o potencial em todo o espaço e grafique o resultado. Esboce as linhas de campo e as superfícies equipotenciais, dentro e fora da esfera. 4.3 Cilindro infinito Considere um cilindro infinito que é maciço e isolante, tem raio R e está carregado com uma densidade volumétrica de carga ρ constante. Calcule o potencial elétrico em todo o espaço e esboce as linhas de campo junto com as superfícies equipotenciais. 5 O dipolo elétrico 5.1 Potencial elétrico de um dipolo Considere um dipolo elétrico como o da figura 8 onde duas cargas de mesma magnitude e polaridades opostas estão colocadas sobre o eixo dos y separadas por uma distância 2a. (a) Ache o potencial em um ponto P = (x, y, 0) do espaço. (b) Mostre que no limite r a o potencial se reduz a V = p cos θ 4πɛ 0 r 2 = onde p = 2aqĵ é o momento de dipolo. p ˆr 4πɛ 0 r 2, (c) Usando que, em coordenadas esféricas, o gradiente pode ser escrito como = r êr + 1 r θ êθ + 1 r sin θ φêφ, 8

mostre que E r = p cos θ 2πɛ 0 r 3, E θ = p cos θ 4πɛ 0 r 3, E φ = 0 Figura 8: Dipolo elétrico 5.2 Torque sobre um dipolo Considere o sistema da figura 9 onde um dipolo elétrico de momento p = 2aq é imerso em uma região de campo elétrico constante E = Eî. (a) Qual é a força resultante sofrida pelo dipolo? (b) Qual o torque sofrido pelo dipolo? (c) Escreva o vetor momento de dipolo em ternos do ângulo θ e mostre que τ = p E (d) Qual o efeito desse torque sobre o dipolo? Figura 9: Dipolo elétrico imerso em uma região de campo elétrico constante. 9