ITÂNI TOI quipe SI, pensando em você, preparou este artigo contendo uma breve teoria com exemplos para auxiliá-lo nos estudos. 1. apacitância de um condutor isolado O aluno, para continuar lendo esse artigo, deverá saber que o potencial elétrico de um condutor esférico de raio isolado e carregado com carga, adotando-se o referencial de potenciais no infinito, é o mesmo em todos os pontos e vale: onde: 1 = 4πε Isolando a carga na eq. (i), vem: V =, (i) = V (ii) { cons tan te Observe que a carga é diretamente proporcional ao potencial elétrico da esfera condutora. odemos generalizar essa propriedade para qualquer condutor isolado e dizer que todo condutor isolado possui uma capacidade de acumular cargas. odemos escrever então: = V (iii) onde é uma constante positiva denominada capacitância do capacitor. No Sistema Internacional de Unidades, a unidade de capacitância é o farad, cujo símbolo é F. omo: 1coulomb = 1 farad 1 F 1 / V V = 1volt = (iv) omo veremos mais adiante na maioria das vezes as capacitâncias assumem valores muito menores do que 1 F. or isso utiliza-se com freqüência os seguintes submúltiplos do farad: 1 microfarad = 1 mf = 1-6 F 1 nanofarad = 1 nf = 1-9 F 1 picofarad = 1 pf = 1-1 F 1.1 xemplo 1. (SI) Um condutor isolado tem potencial V 1 = 3 V quando eletrizado com carga 1 = µ. Se aumentarmos o potencial desse condutor para V = 45 V, qual será a carga desse condutor? Solução V 45 = = = = µ V V V 3 1 1 1 1 = 3µ
. apacitância de um condutor esférico onsidere um condutor esférico de raio isolado e carregado com carga. etomando a eq. (ii), temos: = V omo = V, a capacitância do condutor esférico é dada por: = (iv) Se utilizarmos o fato de que 1 =, a eq. (iv) se torna: 4 πε.1 xemplo = 4πε (v) ssa expressão é conveniente para mostrarmos um modo de escrevermos a unidade da permissividade elétrica: [ ] [ ].[ ] [ ] =ε ε = unidade ε = F / m. (U S) Se a Terra for considerada um condutor esférico de raio = 64 km e situada no vácuo, sua capacitância será aproximadamente: () 5 µf () 4 µf () 7 µf (D) 6 µf () µf Solução [ ] [ ] 6 6,4.1 = = 7 µ F 9 9.1 Observe que mesmo um condutor esférico de mesmas dimensões que nosso planeta possui capacitância muito menor do que 1 F. 3. nergia elétrica rmazenada onsidere um condutor isolado inicialmente neutro. Imagine que queiramos carregá-lo positivamente. ara isso, devemos retirar elétrons desse condutor. onforme formos retirando os elétrons, esse processo fica cada vez mais difícil devido às forças elétricas de atração da carga positiva que o condutor já possui e o novo elétron a ser retirado. recisamos então realizar um trabalho para vencer essas forças elétricas, que ficará armazenado sob a forma de energia potencial elétrica. onsidere que o condutor possua capacitância e será carregado com carga. omo =.V, temos que V =, portanto V =. Desta maneira, o gráfico de V em função de
energia potencial elétrica adquirida pelo condutor é numericamente igual à área entre o gráfico e o eixo horizontal. Desta maneira: omo e V possuem sempre o mesmo sinal, a eq. (vi) se torna:.v = (vi) V = (vii) Utilizando =.V e V =, a eq. (vii) pode se tornar: V = (viii) = (ix) 3.1 xemplo 3. (IT) Um capacitor de capacitância igual a,5.1-6 F é carregado até um potencial de 1,.1 5 V, sendo então descarregado até,4.1 5 V num intervalo de tempo de,1 s, enquanto transfere energia para um equipamento de raios X. carga total,, e a energia,, fornecidas ao tubo de raios X, são mais bem representadas respectivamente por () =,5 e = 1.5 J () =,5 e = 1.5 J () =,5 e = 1.5 J (D) =,15 e = 1.5 J () =,15 e = 1.5 J Solução - Opção Letra álculo da carga inicial 1 do capacitor: =.V =, 5.1.1.1 =, 5 6 5 1 1 1 álculo da carga final do capacitor: =.V =,5.1.,4.1 =,1 6 5 álculo da energia potencial elétrica inicial 1 do capacitor: 5.V 1 1, 5.1.1 = = = 15 J 1 1
álculo da energia potencial elétrica final do capacitor: 5.V, 1., 4.1 = = = J 1 álculo da carga fornecida ao tubo de raio X: = =,5,1 =,15 forn 1 forn álculo da energia elétrica fornecida ao tubo de raio X: = = 15 = 15 J forn 1 forn 4. ondutores em equilíbrio eletrostático onsidere três condutores isolados, e de capacitâncias respectivamente iguais a, e, carregados com cargas iniciais respectivamente iguais, e e com potenciais iniciais respectivamente iguais a V, V e V., V, V, V Se esses condutores forem interligados por um fio de capacitância desprezível haverá uma redistribuição de cargas entre os condutores até que o potencial dos três sejam iguais. uando isso ocorre dizemos que os condutores atingiram o equilíbrio eletrostático. ' ', V ', V ', V onsideremos que após atingirem o equilíbrio eletrostático os condutores possuem mesmo potencial V e cargas iguais as indicadas na figura acima. elo rincípio da onservação das argas létricas, temos: (x) ' + ' + ' = + + Usando a definição de capacitância, podemos escrever: ' ' ' = V (xi) = V (xii) = V (xiii)
Substituindo as eq. (xi), (xii) e (xiii) na eq. (x), vem: V+ V+ V= + + + + V = + + (xiv) Usando novamente a definição de capacitância, podemos escrever: = V (xv) = V (xvi) = V (xvii) Substituindo as eq. (xv), (xvi) e (xvii) na eq. (xiv), vem: V + V+ V V = + + (xviii) om o valor de V determinado podemos calcular as novas cargas através das seguintes equações: ' ' ' = V (xix) = V (xx) = V (xxi) 4.1 xemplo 4. (IT) Uma esfera metálica isolada, de 1, cm de raio, é carregada no vácuo até atingir o potencial U = 9,V. m seguida, ela é posta em contato com outra esfera metálica isolada, de raio = 5,cm. pós atingido o equilíbrio, qual das 1 alternativas abaixo melhor descreve a situação física? É dado que = 9,. 1 9 Nm /. 4πε () esfera maior terá uma carga de,66 1-1. () esfera maior terá um potencial de 4,5 V. () esfera menor terá uma carga de,66 1-1. (D) esfera menor terá um potencial de 4,5 V. () carga total é igualmente dividida entre as esferas. Solução Opção Letra Vamos considerar que a esfera menor encontra-se inicialmente neutra. capacitância de um condutor esférico é dada por =, logo: = e = onde é a esfera maior e a menor. Substituindo as expressões acima na eq. (xviii), vem: V V = +
1 + 1+ 5 V = V = 9 V = 6 V álculo da carga da esfera (utilizando a eq. (xix)): 1.1 9.1 1 ' = V = V =.6 ',66.1 9