Parte 1. Conjuntos finitos, enumeráveis e

Parte 1 Conjuntos finitos, enumeráveis e não-enumeráveis Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1818) Rússia. A descoberta de que há diversos tipos de infinito deve-se a Georg Cantor. Mas, para os objetivos do nosso curso, será necessário distinguir os conjuntos, quanto ao número de elementos, apenas em três categorias: os conjuntos finitos; os conjuntos enumeráveis e os conjuntos não-enumeráveis. A noção de conjunto enumerável, como veremos, está estritamente ligada ao conjunto N dos números naturais. Por isso iniciamos o curso com uma breve apresentação da teoria dos números naturais a partir dos axiomas de Peano, que exibem os números naturais como números ordinais, isto é, objetos que ocupam lugares determinados numa sequência ordenada. Depois, empregaremos os números naturais para a contagem dos conjuntos finitos, mostrando que eles podem ser considerados como números cardinais. Para saber mais sobre os números cardinais, consulte: Halmos, Paul R., Teoria Ingénua dos Conjuntos, Editora Polígono, São Paulo, 1970. Giuseppe Peano (1858-1932) Itália. Dedekind definiu o conjunto N dos números naturais a partir da teoria dos conjuntos e demonstrou os axiomas de Peano (ver [Halmos]). Do ponto de vista de Peano, os números naturais não são definidos. É apresentada uma lista de propriedades (axiomas) que eles satisfazem e tudo o mais decorre daí. Não interessa o que os números são, mas apenas as suas propriedades. Julius Wihelm Richard Dedekind (1831-1916) Braunschweig, hoje Alemanha. Instituto de Matemática - UFF 1

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Os números naturais 1. Os números naturais Toda a teoria dos números naturais pode ser deduzida dos três axiomas abaixo, conhecidos como axiomas de Peano. São dados, como objetos não-definidos, um conjunto, que se designa pela letra N, cujos elementos são chamados números naturais, e uma função s : N N. Para cada n N, o número natural s(n) é chamado o sucessor de n. A função s satisfaz aos seguintes axiomas: (I) s : N N é injetiva, ou seja, se s(m) = s(n), então m = n. (II) N s(n) consiste de um único elemento, ou seja, existe um único número natural que não é sucessor de outro número natural. Este número, chamado um, é representado pelo símbolo 1. Assim, s(n) 1 para todo n N e, se n 1, existe um único m N tal que s(m) = n. (III) (Princípio de Indução) Se X N é tal que 1 X e, para todo n X tem-se s(n) X, então X = N. Uma demonstração na qual o axioma (III) é empregado, chama-se uma demonstração por indução. Ver exemplo 1.1. Exemplo 1.1 Demonstrar por indução que s(n) n para todo n N. Solução: Seja X = {n N s(n) n}. (1) 1 X, pois, pelo axioma (II), s(n) 1 para todo n N. Em particular s(1) 1. (2) Seja n X, ou seja, s(n) n. Como s é injetiva, pelo axioma (I), s(s(n)) s(n). Isto é, s(n) X. Então, pelo princípio de indução, axioma (III), X = N, ou seja, s(n) n para todo n N. As definições por indução baseiam-se na possibilidade de se iterar uma função f : X X um número arbitrário, n, de vezes. Mais precisamente, sejam X um conjunto e f : X X uma função. A cada n N podemos associar, de modo único, uma função f n : X X tal que: Não menos importante do que demonstrar proposições usando o princípio de indução é saber definir objetos por indução. Instituto de Matemática - UFF 3

Análise na Reta Numa exposição sistemática da teoria dos números naturais, a existência do n ésimo iterado f n de uma função f : X X é um teorema, chamado Teorema da Definição por Indução. A operação de adição de números naturais é uma função que a cada par de números naturais (m, n) N N faz corresponder o número natural s n (m) designado m + n e chamado a soma de m e n. Isto é, + : N N N (m, n) m + n = s n (m) f 1 = f e f s(n) = f f n. Usando as iteradas da função s : N N vamos definir por indução a adição de números naturais. Definição 1.1 Sejam m, n N. O número natural s n (m) é chamado a soma de m e n e é designado por m + n. Isto é, m + n = s n (m). A operação que consiste em somar números naturais é denominada adição, e é designada pelo símbolo +. Assim, m + 1 = s(m) (somar m com 1 significa tomar o sucessor de m). m + s(n) = s s(n) (m) = s(s n (m)) = s(m + n), ou seja, m + (n + 1) = (m + n) + 1. Proposição 1.1 A adição de números naturais possui as seguintes propriedades: (a) Associatividade: m + (n + p) = (m + n) + p. (b) Comutatividade: m + n = n + m. (c) Tricotomia: dados m, n N, exatamente uma das seguintes três alternativas ocorre: ou m = n, ou existe p N tal que m = n + p, ou existe q N tal que n = m + q. (d) Lei de cancelamento: m + n = m + p = n = p. (a) Sejam m, n N números naturais arbitrários e seja X = {p N m + (n + p) = (m + n) + p}. Então 1 X e se p X, tem-se que m + (n + s(p)) = m + s(n + p) = s(m + (n + p)) = s((m + n) + p) = (m + n) + s(p). Logo, s(p) X e, portanto, X = N, ou seja, m + (n + p) = (m + n) + p, quaisquer que sejam m, n, p N. 4 J. Delgado - K. Frensel

Os números naturais (b) Seja X = {m N m + 1 = 1 + m}. Então, 1 X e se m X, tem-se 1 + s(m) = s(1 + m) = s(m + 1) = s(s(m)) = s(m) + 1, ou seja, s(m) X. Logo, X = N, isto é, m + 1 = 1 + m, qualquer que seja m N. Seja Y = {m N m + n = n + m}, onde n N. Então, pelo provado acima, 1 Y. E se m Y, tem-se que n + s(m) = s(n + m) = s(m + n) = m + s(n) = m + (n + 1) = m + (1 + n) = (m + 1) + n = s(m) + n, ou seja, s(m) Y. Logo, Y = N, isto é, m + n = n + m quaisquer que sejam m, n N. (c) Seja m N e seja X = {n N n e m satisfazem a propriedade de tricotomia }. (1) 1 X. De fato, ou m = 1 ou m 1 e, neste caso, m é o sucessor de algum número n 0 N, ou seja, existe n 0 N tal que 1 + n 0 = n 0 + 1 = s(n 0 ) = m. (2) Seja n X. Então, ou n = m, ou existe p N tal que n = m + p, ou existe q N tal que m = n + q. Vamos provar que s(n) X. De fato, se n = m = s(n) = s(m) = m + 1. se n = m + p = s(n) = s(m + p) = (m + p) + 1 = m + (p + 1). se m = n + q = ou q = 1 ou q 1. Se q = 1, m = n + 1, ou seja, s(n) = m. Se q 1, existe q 0 N tal que q 0 + 1 = q. Logo, m = n + q = n + (q 0 + 1) = n + (1 + q 0 ) = (n + 1) + q 0 = s(n) + q 0. Em qualquer caso, provamos que ou s(n) = m, ou existe r N tal que s(n) = m + r, ou existe l N tal que m = s(n) + l. Logo, X = N, ou seja, dados m, n N temos que, ou m = n, ou existe p N tal que m = n + p, ou existe q N tal que n = m + q. Exercício 1: Para provar que vale exatamente uma das três alternativas ao lado, verifique antes que n + p n quaisquer que sejam n, p N. Instituto de Matemática - UFF 5

Análise na Reta (d) Sejam m, n, p N tais que m + n = m + p. Pela propriedade de tricotomia, temos que ou p = n ou existe q N tal que n = p + q, ou existe l N tal que p = n + l. Então, se p n, temos que: n = p + q = m + (p + q) = m + p = (m + p) + q = m + p, o que é uma contradição (ver o exercício 1 acima). ou p = n + l = m + n = m + (n + l) = (m + n) + l que é também uma contradição. Logo, p = n. A relação de ordem no conjunto dos números naturais é definida em termos da adição. A notação m n significa que m é menor do que ou igual a n. Definição 1.2 Dados m, n N, dizemos que m é menor do que n (ou que n é maior do que m) e escrevemos m < n (ou n > m) se existir p N tal que n = m + p. Proposição 1.2 A relação < possui as seguintes propriedades: (a) Transitividade: se m < n e n < p, então m < p. (b) Tricotomia: dados m, n N, ocorre exatamente uma das alternativas seguintes: m = n, ou m < n, ou n < m. (c) Monotonicidade: se m < n então m + p < n + p para todo p N. (a) Se m < n e n < p, existem q 1 N e q 2 N tais que n = m + q 1 e p = n + q 2. Logo, p = n + q 2 = (m + q 1 ) + q 2 = m + (q 1 + q 2 ). Então, m < p. (b) Sejam m, n N. Então, ocorre exatamente uma das seguintes alternativas: 6 J. Delgado - K. Frensel

Os números naturais ou m = n; ou existe p N tal que m = n + p, ou seja n < m; ou existe q N tal que n = m + q, ou seja m < n. (c) Sejam m, n, p N. Se m < n, existe q N tal que n = m + q. Logo, n + p = (m + q) + p = m + (q + p) = m + (p + q) = (m + p) + q, ou seja, m + p < n + p. Definiremos, agora, a multiplicação de números naturais. Definição 1.3 Para cada m N, seja f m a função definida por f m : N N p f m (p) = p + m. O produto de dois números naturais é definido por: m 1 = m, m (n + 1) = (f m ) n (m). Assim, multiplicar um número m por 1 não o altera, e multiplicar m por um número maior que 1, ou seja, por um número da forma n + 1, é iterar n vezes a operação de somar m, começando com m. A operação de multiplicação é a função que a cada par de números naturais associa o seu produto: : N N N (m, n) m n Multiplicar dois números naturais significa calcular o produto entre eles. O produto de m e n é designado por m n ou por m n. Por exemplo: m 2 = f m (m) = m + m; m 3 = (f m ) 2 (m) = f m (f m (m)) = f m (m + m) = m + m + m. Observação 1.1 Pela definição acima, temos que m (n + 1) = m n + m, m, n N De fato, se n = 1, então m n + m = m 1 + m = m + m = (f m ) 1 (m) = m (1 + 1). Se n 1, existe n 0 N tal que s(n 0 ) = n. Logo, m n + m = m (n 0 + 1) + m = (f m ) n 0 (m) + m = f m ((f m ) n 0 )(m) = (fm ) s(n0) (m) = (f m ) n (m) = m (n + 1). Instituto de Matemática - UFF 7

Análise na Reta Proposição 1.3 A multiplicação de números naturais satisfaz as seguintes propriedades: (a) Distributividade: m (n+p) = m n+m p e (m+n) p = m p+n p. (b) Associatividade: m (n p) = (m n) p. (c) Comutatividade: m n = n m. (d) Monotonicidade: m < n = m p < n p. (e) Lei de cancelamento: m p = n p = m = n. (a) Sejam m, n N e seja X = {p N m (n + p) = m n + m p}. Já vimos que 1 X. Suponhamos que p X. Então, m (n + (p + 1) = m ((n + p) + 1) = m (n + p) + m 1 = (m n + m p) + m = m n + (m p + m) = m n + m (p + 1), ou seja, p + 1 X. Logo, X = N. Isto é, m (n + p) = m n + m p quaisquer que sejam m, n, p N. Seja, agora, Y = {p N (m + n) p = m p + n p}. Então, 1 Y, pois (m + n) 1 = m + n = m 1 + n 1. Se p Y, temos: (m + n) (p + 1) = (m + n) p + (m + n) = m p + n p + m + n = m p + m + n p + n = m (p + 1) + n (p + 1), ou seja, p + 1 Y. Logo, Y = N, isto é, (m + n) p = m p + n p quaisquer que sejam m, n, p N. (b) Sejam m, n N e seja X = {p N m (n p) = (m n) p}. Então, 1 X, pois m (n 1) = m n = (m n) 1. Se p X, temos m (n (p + 1)) = m (n p + n) = m (n p) + m n = (m n) p + m n = (m n) (p + 1), ou seja, p + 1 X. Logo, X = N, isto é, m (n p) = (m n) p quaisquer que sejam m, n, p N. 8 J. Delgado - K. Frensel

Os números naturais (c) Seja X = {m N m 1 = 1 m}. Então, 1 X e se m X temos que (m + 1) 1 = m 1 + 1 1 = 1 m + 1 1 = 1 (m + 1), ou seja, m + 1 X. Logo, X = N, isto é, m 1 = 1 m, m N. Seja, agora, Y = {m N m n = n m}, onde n N. Então, pelo que acabamos de provar acima, 1 Y. Se m Y, temos (m + 1) n = m n + 1 n = n m + 1 n = n m + n = n (m + 1), ou seja, m + 1 Y. Logo, Y = N, ou seja, m n = n m quaisquer que sejam m, n N. (d) Sejam m, n N tais que m < n. Então, existe q N tal que n = m+q. Logo, n p = (m + q) p = m p + q p, ou seja, m p < n p. (e) Sejam m, n, p N tais que m p = n p. Então, m = n, pois, caso contrário, teríamos que: m < n = m p < n p (absurdo), ou n < m = n p < m p (absurdo). Definição 1.4 Seja X N. Dizemos que p X é o menor elemento de X, ou o elemento mínimo de X, se p n para todo n X. Observação 1.2 1 é o menor elemento de N, pois se n 1, existe n 0 N tal que n 0 + 1 = n. Então, n > 1. Se X N e 1 X, então 1 é o menor elemento de X. O menor elemento de um conjunto X N, se existir, é único. De fato, se p e q são menores elementos de X, então p q e q p. Logo, p = q. Existe X N sem menor elemento? Definição 1.5 Seja X N. Dizemos que p X é o maior elemento de X, ou o elemento máximo de X, se p n para todo n X. Instituto de Matemática - UFF 9

Análise na Reta Observação 1.3 Nem todo subconjunto de N possui um maior elemento. Por exemplo, N não tem um maior elemento, pois se n N, então n + 1 = s(n) N e n + 1 > n. Se existir o maior elemento de um conjunto X N, ele é único. Teorema 1.1 (Princípio da Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio A N possui um elemento mínimo. Seja X = {n N {1,..., n} N A}. Se 1 A, então 1 é o menor elemento de A. Se 1 A, então 1 X. Como A e X N A, temos que X N. Logo, pelo princípio de indução, existe n 0 X tal que n 0 + 1 X, ou seja, 1,..., n 0 A e n 0 + 1 A. Assim, n 0 + 1 n, para todo n A. Outra demonstração. Suponha, por absurdo, que A não tem um menor elemento. Seja X = {p N p n, n A}. Então: (1) 1 X, pois 1 n n N. (2) Seja p X, ou seja, p N e p n n A. Como A não tem um menor elemento, temos que p A. Logo, p < n para todo n A, ou seja, para todo n A existe q n N tal que n = p + q n. Então, p < p + q n = p + 1 p + q n = n, n A = p + 1 X. Pelo princípio de indução, temos que X = N, o que é um absurdo, pois, como A, existe n 0 A. Sendo X = N, n 0 + 1 X e, portanto, n 0 + 1 n 0. Teorema 1.2 (Segundo Princípio de Indução) Seja X N um conjunto com a seguinte propriedade: dado n N, se X contém todos os números naturais m tais que m < n, então n X. Nestas condições, X = N. 10 J. Delgado - K. Frensel

Os números naturais É obvio que 1 X, pois, caso contrário, existiria algum número natural n X tal que n < 1. Suponha que n X. Vamos provar que n + 1 X. De fato, se n + 1 X, existe p 0 < n + 1 tal que p 0 X. Seja A = {q N q < n + 1 e q X}. Então, como A, A possui um menor elemento q 0 q 0 < n + 1 e q 0 X. A, ou seja, Se p < q 0, temos que p X, já que p < q 0 < n + 1 e q 0 é o menor elemento não pertencente a X com esta propriedade. Logo, como p < q 0 implica que p X, temos, pela hipótese, que q 0 X, o que é uma contradição. Assim, se n X, temos que n + 1 X. Então, pelo Primeiro Princípio de Indução, X = N. Outra demonstração. Seja A = N X. Se X N, então A. Pelo Princípio da Boa Ordenação, existe p A tal que p n para todo n A. Assim, se q < p, temos que q A, ou seja q X. Pela hipótese, p X, o que é uma contradição. Logo, X = N. Exemplo 1.2 Um número natural p é chamado primo quando p 1 e não pode se escrever na forma p = m n com m < p e n < p. O Teorema Fundamental da Aritmética diz que todo número natural maior do que 1 se decompõe, de modo único, como um produto de fatores primos. Podemos provar a existência desta decomposição utilizando o Segundo Princípio de Indução. De fato, dado n N, suponhamos que todo número natural m < n pode ser decomposto como um produto de fatores primos ou m = 1. Se n é primo, não há nada a provar. Instituto de Matemática - UFF 11

Análise na Reta Se n não é primo, existem p < n e q < n tais que n = pq. Pela hipótese de indução, p e q são produtos de fatores primos. Logo, n = pq é também um produto de fatores primos. Pelo Segundo Princípio de Indução, obtemos que todo número natural, n > 1, é produto de números primos. Teorema 1.3 (Definição por Indução) Para ver uma prova do Teorema de Definição por Indução, consulte Fundamentals of Abstract Analysis de A.M. Gleason, p. 145. Seja X um conjunto qualquer. Suponhamos que nos seja dado o valor f(1) e seja dada também uma regra que nos permite obter f(n) a partir do conhecimento dos valores f(m), para todo m < n. Então, existe uma, e somente uma função f : N X que toma esses valores. Exemplo 1.3 Dado a N, definamos uma função f : N N por indução, pondo f(1) = a e f(n + 1) = a f(n). Então, f(2) = a f(1) = a a, f(3) = a f(2) = a a a etc. Logo, f(n) = a n. Definimos, assim, por indução, a n ésima potência do número natural a. Exemplo 1.4 Seja f : N N a função definida indutivamente por f(1) = 1 e f(n + 1) = f(n) (n + 1). Então, f(1) = 1, f(2) = 1 2, f(3) = f(2) 3 = 1 2 3 etc. Assim, f(n) = 1 2... n = n! é o fatorial de n. A multiplicação de uma n úpla de números naturais pode ser definida, também, por indução como fazemos para a adição no exemplo ao lado. Exemplo 1.5 Definir por indução a soma de uma n úpla de números naturais. Solução: Seja X o conjunto das funções tomando valores em N e seja f : N X a função definida indutivamente por f(1) : N N tal que f(1)(a) = a, e f(n + 1) : N n+1 N tal que f(n + 1)(a 1,..., a n+1 ) = f(n)(a 1,..., a n ) + a n+1. Então, f(1)(a) = a, f(2)(a 1, a 2 ) = f(1)(a 1 )+a 2 = a 1 +a 2, f(3)(a 1, a 2, a 3 ) = f(2)(a 1, a 2 ) + a 3 = a 1 + a 2 + a 3 etc. Assim, f(n)(a 1,..., a n ) = f(n 1)(a 1,..., a n 1 )+a n = a 1 +...+a n 1 +a n. 12 J. Delgado - K. Frensel

Conjuntos finitos e infinitos 2. Conjuntos finitos e infinitos Definição 2.1 Seja I n = {p N 1 p n} = {1, 2,... n}. Um conjunto X chama-se finito quando é vazio ou quando existe uma bijeção ϕ : I n X, para algum n N. No primeiro caso dizemos que X tem zero elementos, e no segundo caso, dizemos que X tem n elementos. Observação 2.1 Intuitivamente, uma bijeção ϕ : I n X significa uma contagem dos elementos de X. Pondo ϕ(1) = x 1, ϕ(2) = x 2,...,ϕ(n) = x n, temos X = {x 1, x 2,..., x n }. Observação 2.2 Cada conjunto I n é finito e possui n elementos. Se f : X Y é uma bijeção, então X é finito se, e só se, Y é finito. Para verificar que o número de elementos de um conjunto está bem definido, devemos provar que se existem duas bijeções ϕ : I n X e ψ : I m X, então n = m. Considerando a função f = ψ 1 ϕ : I n I m, basta provar que se existe uma bijeção f : I n I m, então m = n. Podemos supor, também, que m n, ou seja I m I n. Teorema 2.1 Seja A I n um subconjunto não vazio. Se existe uma bijeção f : I n A, então A = I n. Provaremos o resultado por indução em n. Se n = 1, I 1 = {1} e A {1}. Logo A = {1} = I 1. Suponhamos que o teorema seja válido para n e consideremos uma bijeção f : I n+1 A. A restrição de f a I n fornece uma bijeção f : I n A {f(n + 1)}. Se A {f(n+1)} I n, temos, pela hipótese de indução, que A {f(n+1)} = I n. Instituto de Matemática - UFF 13

Análise na Reta Então, f(n + 1) = n + 1 e A = I n+1. Se, porém, A {f(n + 1)} I n, então n + 1 A {f(n + 1)}. Neste caso, existe p I n tal que f(p) = n + 1, e f(n + 1) = q I n. Definimos, então, uma nova bijeção g : I n+1 A pondo g(x) = f(x) se x p e x n + 1, g(p) = q e g(n + 1) = n + 1. Agora, a restrição de g a I n nos dá uma bijeção g : I n A {n + 1}. Como A {n+1} I n, temos, pela hipótese de indução, que A {n+1} = I n, ou seja A = I n+1. Corolário 2.1 Se existir uma bijeção f : I m I n então m = n. Conseqüentemente, se existem duas bijeções ϕ : I n X e ψ : I m X então m = n. Se n m, temos que I n I m. Logo, m = n, pelo teorema anterior. Se n m, temos que f 1 : I n I m é uma bijeção tal que I m I n. Portanto, I m = I n. Corolário 2.2 Não existe uma bijeção f : X Y de um conjunto finito X sobre uma parte própria Y X. Sendo X finito, existe uma bijeção ϕ : I n X para algum n N. Seja A = ϕ 1 (Y). Então, A é uma parte própria de I n e a restrição de ϕ a A fornece uma bijeção f : A Y. ϕ X f I n g Y ϕ A composta g = (ϕ ) 1 f ϕ : I n A seria então uma bijeção de I n sobre sua parte própria A, o que é uma contradição pelo teorema anterior. Logo, não existe a bijeção f : X Y. A 14 J. Delgado - K. Frensel

Conjuntos finitos e infinitos Teorema 2.2 Se X é um conjunto finito então todo subconjunto Y X é finito. Além disso, o número de elementos de Y é menor do que ou igual a o número de elementos de X e é igual se, e somente se, Y = X. Seja f : I n X uma bijeção e seja f : A Y a restrição de f a A = f 1 (Y) I n. Designaremos por #(A) o número de elementos de um conjunto A. Se provarmos que A é finito, que #(A) é menor do que ou igual a n e é igual a n se, e somente se, A = I n, teremos que Y é finito, que #(Y) = #(A) é menor do que ou igual a #(I n ) = #(X), e é igual se, e somente se A = I n, ou seja, se, e somente se, Y = X. Basta, então, provar o teorema no caso em que X = I n. Se n = 1, então Y = ou Y = {1}. Assim, #(Y) 1 e #(Y) = 1 se, e só se, Y = {1} = I 1. Suponhamos que o teorema seja válido para I n e consideremos um subconjunto Y I n+1. Se n + 1 Y, então Y I n. Logo, pela hipótese de indução, Y é um conjunto finito com #(Y) n e, portanto, #(Y) < n + 1. Se, porém, n + 1 Y, temos que Y {n + 1} I n. Logo, Y {n + 1} é um conjunto finito com p elementos, onde p n. Se Y {n + 1}, existe uma bijeção ψ : I p Y {n + 1}. Definimos, então, a bijeção ϕ : I p+1 Y pondo ϕ(x) = ψ(x) para x I p e ϕ(p + 1) = n + 1. Segue-se que Y é finito e que #(Y) = p + 1 n + 1. Resta, agora, mostrar que se Y I n tem n elementos então Y = I n. Se #(Y) = n, existe uma bijeção f : I n Y. Como Y I n temos, pelo Teorema 1.4, que Y = I n. Corolário 2.3 Seja f : X Y uma função injetiva. Se Y é finito, então X também é finito, e o número de elementos de X não excede o de Y. Sendo f : X Y injetiva, temos que f : X f(x) é uma bijeção. Instituto de Matemática - UFF 15

Análise na Reta Como f(x) Y e Y é finito, temos que f(x) é finito e #(f(x)) #(Y). Logo, o conjunto X é finito e #(X) = #(f(x)) #(Y). Corolário 2.4 Seja g : X Y uma função sobrejetiva. Se X é finito, então Y é finito e o seu número de elementos não excede o de X. Designamos por I A : A A a função identidade do conjunto A. Exercício 2: Prove que dada uma função f : X Y injetiva, existe uma função g : Y X tal que g f = I X, ou seja, f possui uma inversa à esquerda. Verifique, também, que se g f = I X, então g é sobrejetiva. Como g : X Y é sobrejetiva, existe uma função f : Y X tal que g f = I Y, ou seja, g possui uma inversa à direita. De fato, dado y Y, existe x X tal que g(x) = y. Definimos, então, f(y) = x. Além disso, como g f(y) = y para todo y Y, temos que se f(y) = f(y ) então y = y, ou seja, f é injetiva. Então, pelo corolário anterior, Y é um conjunto finito e o seu número de elementos não excede o de X. Definição 2.2 Um conjunto X é infinito quando não é finito. Ou seja, X e seja qual for n N, não existe uma bijeção ϕ : I n X. Exemplo 2.1 O conjunto dos números naturais é infinito. De fato, dada qualquer função ϕ : I n N, n > 1, tome p = ϕ(1) +... + ϕ(n). Então, p N e p > ϕ(j) para todo j = 1,..., n. Logo, p ϕ(i n ), ou seja, ϕ não é sobrejetiva. Outra maneira de verificar que N é infinito é considerar o conjunto dos números naturais pares P = {2 n = n + n n N} e a bijeção ϕ : N P dada por ϕ(n) = 2 n. Como P é um subconjunto próprio de N, temos, pelo corolário 2.2, que N é infinito. Observação 2.3 Como consequência dos fatos provados acima para conjuntos finitos, segue que: se X é infinito e f : X Y é injetiva, então Y é infinito. 16 J. Delgado - K. Frensel

Conjuntos finitos e infinitos se Y é infinito e f : X Y é sobrejetiva, então X é infinito. se X admite uma bijeção sobre uma de suas partes próprias, então X é infinito. Segue da observação ao lado que os conjuntos Z e Q, dos números inteiros e dos números racionais, respectivamente, são infinitos, pois ambos contêm N. Definição 2.3 Um conjunto X N é limitado se existe p N tal que n p para todo n X. Teorema 2.3 Seja X N não-vazio. As seguintes afirmações são equivalentes: (a) X é finito; (b) X é limitado; (c) X possui um maior elemento. (a)= (b) Seja X = {x 1,..., x n } e seja a = x 1 +... + x n. Então a > x i para todo i = 1,..., n, ou seja, X é limitado. (b)= (c) Como X é limitado, existe a N tal que a n para todo n X. Então, o conjunto A = {p N p n n X} é não-vazio. Pelo Princípio da Boa Ordenação, existe p 0 menor elemento de A. A que é o Se p 0 X, temos que p 0 > n n X e p 0 > 1, pois X. Logo, existe q 0 N tal que p 0 = 1 + q 0. Assim, p 0 n + 1 n X, ou seja, q 0 + 1 n + 1 n X. Então q 0 n n X, ou seja, q 0 A, o que é absurdo, pois q 0 < p 0 e p 0 é o menor elemento de A. Logo, p 0 X e p 0 n n X, ou seja, p 0 é o maior elemento de X. (c)= (a) Seja p o maior elemento de X. Então, p X e p n n X. Logo, X I p e é, portanto, finito. Observação 2.4 Um conjunto X N é ilimitado quando não é limitado, ou seja, para todo p N existe n X tal que n > p. Note que: pelo teorema 2.3, anterior, X é infinito se, e somente se, X é ilimitado. Instituto de Matemática - UFF 17

Análise na Reta Teorema 2.4 Sejam X, Y conjuntos finitos disjuntos, com m e n elementos respectivamente. Então, X Y é finito e possui m + n elementos. Sejam f 1 : I m X e f 2 : I n Y bijeções. Definamos a função f : I m+n X Y pondo f(x) = f 1 (x) se 1 x m f(m + x) = f 2 (x) se 1 x n. Como X Y =, é fácil verificar que f é uma bijeção. Logo, X Y é finito e possui m + n elementos. Exercício 3: Use o teorema 2.4 e o Princípio de Indução para provar o corolário 2.5, ao lado. Corolário 2.5 Sejam X 1,..., X k conjuntos finitos, dois a dois disjuntos, com n 1,..., n k elementos, respectivamente. Então X 1... X k é finito e possui n 1 +... + n k elementos. Corolário 2.6 Sejam Y 1,..., Y k conjuntos finitos (não necessariamente disjuntos) com n 1,..., n k elementos, respectivamente. Então Y 1... Y k é finito e possui no máximo n 1 +... + n k elementos. Para cada i = 1,..., k, seja X i = {(x, i) x Y i } e seja ϕ i : Y i X i a função definida por ϕ i (x) = (x, i). Como ϕ i é uma bijeção, temos que X i é finito e possui n i elementos, i = 1,..., k. Além disso, os conjuntos finitos X 1,..., X k são disjuntos dois a dois. Logo, pelo corolário anterior, X 1... X k é finito e possui n 1 +... + n k elementos. Seja f : X 1... X k Y 1... Y k a função definida por f(x, i) = x. Como f é sobrejetiva, X 1... X k finito e possui n 1 +... + n k elementos, temos que Y 1... Y k é finito e possui no máximo n 1 +...+n k elementos. 18 J. Delgado - K. Frensel

Conjuntos finitos e infinitos Corolário 2.7 Sejam X 1,..., X k conjuntos finitos com n 1,..., n k elementos respectivamente. Então o produto cartesiano X 1... X k é finito e possui n 1... n k elementos. Basta provar o corolário para k = 2, pois o caso geral segue por indução em k. Sejam X e Y conjuntos finitos com m e n elementos, respectivamente. Se Y = {y 1,..., y n }, então X Y = X 1... X n, onde X i = X {y i }, i = 1,..., n. Como X 1,..., X n são disjuntos dois a dois e todos possuem m elementos, temos que X Y é finito e possui m n elementos. Corolário 2.8 Sejam X e Y conjuntos finitos com m e n elementos respectivamente. Então o conjunto F(X; Y) de todas as funções de X em Y é finito e possui n m elementos. Seja ϕ : I m X uma bijeção. Então, a função H : F(X; Y) F(I m ; Y) f f ϕ é uma bijeção. De fato, a função L : F(I m ; Y) F(X; Y) g g ϕ 1 é a inversa da função H. Logo, basta provar que F(I m ; Y) é um conjunto finito e que possui n m elementos. Seja a função definida por F : F(I m ; Y) Y... Y (m fatores) F(f) = (f(1),..., f(n)). Como F é uma bijeção e Y... Y (m fatores) possui n m elementos pelo corolário anterior, temos que F(I m ; Y) é finito e possui n m elementos. Instituto de Matemática - UFF 19

Análise na Reta 3. Conjuntos enumeráveis Definição 3.1 Um conjunto X é enumerável quando é finito ou quando existe uma bijeção f : N X. Neste caso, X diz-se infinito enumerável e pondo-se x i = f(i), i N, tem-se uma enumeração de X: X = {x 1,..., x n,...}. Exemplo 3.1 O conjunto P dos números naturais pares e o conjunto I = N P dos números naturais ímpares são conjuntos infinitos enumeráveis. De fato, as funções ϕ 1 : N P são bijeções. n ϕ 1 (n) = 2 n e ϕ 2 : N I n ϕ 2 (n) = 2 n 1 Exemplo 3.2 O conjunto Z dos números inteiros é infinito enumerável. De fato, a função ϕ : Z N definida por 2 n se n 1 ϕ(n) = 2n + 1 se n 0 é uma bijeção. Logo, ϕ 1 : N Z é uma enumeração de Z. Teorema 3.1 Todo conjunto infinito X contém um subconjunto infinito enumerável. Basta provar que existe uma função f : N X injetiva, pois, assim, f : N f(n) é uma bijeção, sendo, portanto, f(n) um subconjunto infinito enumerável de X. Para cada subconjunto A não-vazio de X podemos escolher um elemento x A A. Vamos definir por indução uma função f : N X. Tome f(1) = x X e suponhamos que f(1),..., f(n) já foram definidos. Seja A n = X {f(1),..., f(n)}. 20 J. Delgado - K. Frensel

Conjuntos enumeráveis Como X não é finito, A n não é vazio. Defina, então f(n + 1) = x An. A função f : N X é injetiva. Com efeito, se m n, digamos m < n, então f(m) {f(1),..., f(n 1)} e f(n) {f(1),..., f(n 1)}. Logo, f(m) f(n). Corolário 3.1 Um conjunto X é infinito se, e somente se, existe uma bijeção f : X Y de X sobre uma parte própria Y X. Se uma tal bijeção existir, pelo corolário 2.2, X não é finito. Reciprocamente, se X é infinito, X contém um subconjunto infinito enumerável A = {a 1,..., a n,...}. Seja Y = (X A) {a 2, a 4,..., a 2n,...}. Então Y é uma parte própria de X, pois X Y = {a 1, a 3,..., a 2n 1,...}. Além disso, a função f : X Y definida por f(x) = x se x X A e f(a n ) = a 2n, n N, é uma bijeção de X sobre Y. Observação 3.1 Como consequência do teorema anterior, temos que: Um conjunto é finito se, e somente se, não admite uma bijeção sobre uma parte sua própria. Obtém-se, assim, uma caracterização dos conjuntos finitos que independe do conjunto N. Teorema 3.2 Todo subconjunto X N é enumerável. Se X é finito, então X é enumerável, por definição. Suponhamos que X é infinito. Vamos definir por indução uma bijeção f : N X. Tome f(1) =menor elemento de X, e suponha que f(1),..., f(n) foram definidos satisfazendo as seguintes condições: Instituto de Matemática - UFF 21

Análise na Reta (a) f(1) < f(2) <... < f(n) ; (b) Se B n = X {f(1),..., f(n)}, tem-se x > f(n), para todo x B n. Como B n, pois X é infinito, seja f(n + 1) =menor elemento de B n. Então, f(n + 1) > f(n) e x > f(n + 1) para todo x B n+1 = X {f(1),..., f(n + 1)}. Como f : N X é crescente, f é injetiva. Além disso, f é sobrejetiva, pois se existisse algum x X f(n), teríamos que x X f(n) X {f(1,..., f(n)} = B n, para todo n N, e, portanto, x > f(n) para todo n N. Assim, f(n) N seria infinito e limitado, o que é absurdo. Exemplo 3.3 O conjunto dos números primos é infinito (fato conhecido) e enumerável. Corolário 3.2 Dado um subconjunto X N infinito, existe uma bijeção crescente ϕ : N X. Corolário 3.3 Um subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável. Corolário 3.4 Se f : X Y é uma função injetiva e Y é enumerável, então X é enumerável. Como f(x) Y é enumerável e f : X f(x) é uma bijeção, temos que X é enumerável. Corolário 3.5 Se f : X Y é uma função sobrejetiva e X é enumerável, então Y é enumerável. Como f : X Y é sobrejetiva, f possui uma inversa à direita, ou seja, existe g : Y X tal que f g = I Y. Então, g é injetiva. Logo, Y é enumerável. Teorema 3.3 Se X e Y são conjuntos enumeráveis, então o produto cartesiano X Y é enumerável. 22 J. Delgado - K. Frensel

Conjuntos não-enumeráveis Sendo X e Y finitos ou infinitos enumeráveis, existem funções f : X N e g : Y N injetivas. Seja f g : X Y N N definida por f g(x, y) = (f(x), g(y)). Como f e g são injetivas, f g também é injetiva. Basta, então, provar que N N é enumerável. Para isso, definimos a função h : N N N, pondo h(m, n) = 2 m 3 n. Pela unicidade da decomposição em fatores primos, f é injetiva e, portanto, N N é enumerável. Corolário 3.6 O conjunto Q dos números racionais é enumerável. Sabemos que Q = { p q }, p Z e q Z e que Z Z é enumerável. Designamos Z = Z {0}. Como a função f : Z Z Q, definida por f(p, q) = p q é sobrejetiva, segue-se do corolário 3.5 que Q é enumerável. Corolário 3.7 Sejam X 1, X 2,..., X n,... conjuntos enumeráveis. Então a reunião X = X n é enumerável. Ou seja, uma reunião enumerável de n=1 conjuntos enumeráveis é enumerável. Tomemos, para cada m N, uma função f m : N X m sobrejetiva, e definamos a função f : N N X pondo f(m, n) = f m (n). Como f é sobrejetiva e N N é enumerável, tem-se que X é enumerável. Observação 3.2 Uma reunião finita X = X 1... X k de conjuntos enumeráveis é enumerável. Observação 3.3 Se X 1,..., X k são conjuntos enumeráveis, seu produto cartesiano X 1... X k é enumerável. Porém, nem sempre, o produto cartesiano X = de conjuntos enumeráveis é enumerável. X n de uma seqüência n=1 Instituto de Matemática - UFF 23

Análise na Reta 4. Conjuntos não-enumeráveis Ao lado, estamos designando card(x) o número cardinal do conjunto X. Quando X é um conjunto finito, card(x) é o número de elementos de X, que anteriormente designamos #(X). Veremos, agora, que existem conjuntos não-enumeráveis. Mais geralmente, mostraremos que, dado qualquer conjunto X, existe sempre um conjunto cujo número cardinal é maior do que o de X. Não vamos definir o que é o número cardinal de um conjunto. Diremos, apenas, que card(x) = card(y) se, e somente se, existe uma bijeção f : X Y. Assim, dois conjuntos finitos têm o mesmo número cardinal, se, e somente se, têm o mesmo número de elementos. E se X é infinito enumerável, então card(x) = card(n) e card(y) = card(x) se, e somente se, Y é infinito enumerável. Dados os conjuntos X e Y, diremos que card(x) < card(y) quando existir uma função injetiva f : X Y, mas não existir uma função sobrejetiva g : X Y. Como todo conjunto X infinito contém um subconjunto enumerável, temse que card(n) card(x), ou seja, o número cardinal de um conjunto infinito enumerável é o menor dos números cardinais dos conjuntos infinitos. Para ver as demonstrações dos fatos citados ao lado e obter mais informações sobre números cardinais de conjuntos, veja o livro: Teoria Ingênua dos Conjuntos de Paul Halmos. Dados dois conjuntos A e B quaisquer, vale uma e somente uma, das seguintes alternativas: card(a) = card(b), card(a) < card(b), ou card(b) < card(a). Se existirem uma função injetiva f : A B e uma função injetiva g : B A, existirá também uma bijeção h : A B. Teorema 4.1 (Teorema de Cantor) Sejam X um conjunto arbitrário e Y um conjunto contendo pelo menos dois elementos. Então, nenhuma função ϕ : X F(X; Y) é sobrejetiva. Seja ϕ : X F(X; Y) uma função e seja ϕ x : X Y o valor da função ϕ no ponto x X. Construiremos uma função f : X Y tal que f ϕ x para todo x X. 24 J. Delgado - K. Frensel

Conjuntos não-enumeráveis Para cada x X, seja f(x) Y tal que f(x) ϕ x (x), o que é possível, pois Y tem pelo menos dois elementos. Assim, f ϕ x para todo x X, pois f(x) ϕ x (x) para todo x X. Logo, f ϕ(x), ou seja, ϕ não é sobrejetiva. Observação 4.1 Sejam y 1, y 2 Y tais que y 1 y 2, e seja ψ : X F(X; Y) a função definida por ψ x (x) = y 1 e ψ x (z) = y 2 se z x. Então ψ é injetiva. Logo, card(x) < card(f(x; Y)). Provamos, assim, que dado qualquer conjunto X, existe sempre um conjunto cujo número cardinal é maior do que o de X Corolário 4.1 Sejam X 1, X 2,..., X n,... conjuntos infinitos enumeráveis. Então, o produto cartesiano X i não é enumerável. i=1 Basta considerar o caso em que todos os X n são iguais a N. De fato, para cada n N, existe uma bijeção f n : N X n. Então, a função F : i=1 N i i=1 (x 1, x 2,..., x n,...) (f 1 (x 1 ), f 2 (x 2 ),..., f n (x n ),...), é uma bijeção, onde N i = N, para todo i N. Como a função H : N i F(N; N) i=1 x = (x 1,..., x n,...) h x : N N i x i é uma bijeção e F(N; N) não é enumerável pelo teorema anterior, o conjunto N i não é enumerável. i=1 O argumento usado na demonstração do teorema acima, chama-se método da diagonal de Cantor, devido ao caso particular X = N. X i Os elementos de F(N; Y) são as seqüências de elementos de Y. Para provar que nenhuma função ϕ : N F(N; Y) é sobrejetiva, escre- Instituto de Matemática - UFF 25

Análise na Reta vemos ϕ(1) = s 1, ϕ(2) = s 2,... etc., onde s 1, s 2,... são seqüências de elementos de Y, ou seja, s 1 = (y 11, y 12, y 13,...) s 2 = (y 21, y 22, y 23,...) s 3 = (y 31, y 32, y 33,...).. Para cada n N, podemos escolher y n Y tal que y n y nn, onde y nn é o n ésimo termo y nn da diagonal. Então a seqüência s = (y 1, y 2, y 3,...) s n para todo n N, pois o n ésimo termo y n da seqüência s é diferente do n ésimo termo da seqüência s n. Assim, nenhuma lista enumerável pode esgotar todas as funções em F(N; Y). Exemplo 4.1 Seja Y = {0, 1}. Então, o conjunto {0, 1} N = F(N; Y) das seqüências cujos termos são 0 ou 1 não é enumerável. Seja P(A) o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos do conjunto A. Vamos mostrar que existe uma bijeção ξ : P(A) F(A; {0, 1}). Para cada X A, consideremos a função característica de X: ξ X : A {0, 1} 1, se x X x ξ X (x) = 0, se x X A função ξ : P(A) F(A; {0, 1}) X ξ X é uma bijeção, cuja inversa associa a cada função f : A {0, 1} o conjunto X dos pontos x A tais que f(x) = 1. Como {0, 1} tem dois elementos, segue-se do teorema 4.1 que nenhuma função ϕ : A F(A, {0, 1}) é sobrejetiva. Logo, nenhuma 26 J. Delgado - K. Frensel

Conjuntos não-enumeráveis função ψ : A P(A) é sobrejetiva. f : A P(A) definida por f(x) = {x}. Mas existe uma função injetiva Então, card(a) < card(p(a)) para todo conjunto A. No caso particular em que A = N, temos que card(n) < card(p(n)) ou seja, P(N) não é enumerável. Instituto de Matemática - UFF 27

Parte 2 O conjunto dos números reais Neste capítulo, adotaremos o método axiomático para apresentar os números reais. Isto é, faremos uma lista dos axiomas que apresentam o conjunto R dos números reais como um corpo ordenado completo. Mas surge, naturalmente, uma pergunta: Existe um corpo ordenado completo? Ou melhor: partindo dos números naturais, seria possível, por meio de extensões sucessivas do conceito de número, chegar à construção dos números reais? A resposta é afirmativa e a passagem crucial é dos racionais para os reais. Por exemplo: Dedekind construiu o conjunto dos números reais por meio de cortes (de Dedekind), cujos elementos são coleções de números racionais; e Cantor obteve um corpo ordenado completo cujos elementos são as classes de equivalência de seqüências de Cauchy de números racionais. Provada a existência, surge uma outra pergunta relevante: será que existem dois corpos ordenados completos com propriedades diferentes? A resposta é negativa, ou seja, dois corpos ordenados completos diferem apenas pela natureza de seus elementos, mas não pela maneira como os elementos se comportam. A maneira adequada de responder a questão da unicidade é a seguinte: Dados K e L corpos ordenados completos, existe um único isomorfismo f : K L, ou seja, existe uma única bijeção f : K L tal que f(x+y) = f(x)+f(y) e f(x y) = f(x) f(y). Como, além disso, o fato de f preservar a soma implica que x < y f(x) < f(y), K e L são indistinguíveis no que diz respeito as propriedades de corpos ordenados completos (ver exercícios 55 e 56). Instituto de Matemática - UFF 29

Corpos 1. Corpos Um corpo é um conjunto K munido de duas operações: Adição + : K K K (x, y) x + y Multiplicação : K K K (x, y) x y, que satisfazem as seguintes condições, chamadas axiomas de corpo: Axiomas de corpo para a adição: (1) Associatividade: (x + y) + z = x + (y + z), para todos x, y, z K. (2) Comutatividade: x + y = y + x, para todos x, y K. (3) Elemento neutro: existe um elemento designado 0 K e chamado zero, tal que x + 0 = x, para todo x K. (4) Simétrico: para todo x K existe um elemento designado x K e chamado o simétrico de x, tal que x + ( x) = 0. Observação 1.1 0 + x = x e ( x) + x = 0, para todo x K. x y = z se, e só se, x = y + z. De fato, A soma x + ( y) será indicada apenas por x y e chamada a diferença entre x e y. A operação (x, y) x y chamase subtração. x y = z x + ( y) = z x + ( y) + y = z + y x + 0 = y + z x = y + z. O zero é único, ou seja, se x + θ = x para todo x K, então θ = 0. De fato, x + θ = x θ = x x = 0. Todo x K possui apenas um simétrico. De fato, x + y = 0 = y = 0 + ( x) = x. ( x) = x, pois ( x) + x = 0. Lei de cancelamento: x + z = y + z = x = y. De fato, x + z + ( z) = y + z + ( z) = x + 0 = y + 0 = x = y. Axiomas de corpo para a multiplicação: (5) Associatividade: (x y) z = x (y z), para todos x, y, z K. (6) Comutatividade: x y = y x, para todos x, y K. Instituto de Matemática - UFF 31

Análise na Reta (7) Elemento neutro: existe um elemento designado 1 K {0} e chamado um, tal que x 1 = x, para todo x K. (8) Inverso multiplicativo: para todo x K {0} existe um elemento designado x 1 K e chamado o inverso de x, tal que x x 1 = 1. Observação 1.2 x 1 = 1 x = x para todo x K. x x 1 = x 1 x = 1 para todo x K {0}. Dados x, y K, com y 0, escrevemos x y 1 = x y. A operação A multiplicação de x por y será designada, também, pela justaposição xy. (x, y) x y, x K, y K {0}, chama-se divisão e o número x y é o quociente de x por y. Se y 0, x y = z x = yz. De fato, x y = z (xy 1 )y = zy x(y 1 y) = yz x 1 = yz x = yz. Lei de Cancelamento: se xz = yz e z 0, então x = y. Se xy = x para todo x K, então, tomando x = 1, temos y = 1. Isto prova a unicidade do elemento neutro multiplicativo 1. Seja xy = x. Se x 0, pela lei de cancelamento, temos que y = 1. Se x = 0, y pode ser qualquer elemento de K, pois, como provaremos depois, 0 y = 0 para todo y K. se xy = 1, então, como veremos depois, x 0 e y 0. Logo, xy = 1 = x 1 1 = x 1 (xy) = (x 1 x) y = 1 y = y = x 1. Isso prova a unicidade do elemento inverso multiplicativo de x. Por fim, as operações de adição e multiplicação num corpo K achamse relacionadas pelo axioma: (9) Distributividade: x (y+z) = x y+x z quaisquer que sejam x, y, z K. Observação 1.3 (x + y) z = x z + y z para todos x, y, z K. x 0 = 0 para todo x K. De fato, x 0 + x = x 0 + x 1 = x (0 + 1) = x 1 = x, 32 J. Delgado - K. Frensel

Exemplos de corpos logo, x 0 = 0. se x y = 0 então x = 0 ou y = 0. De fato, se x 0, então x 1 (x y) = x 1 0. Logo, y = 0. Assim, se x 0 e y 0, então x y 0. Regras dos sinais: ( x) y = x ( y) = (x y) e ( x) ( y) = x y. De fato, temos que ( x) y + x y = ( x + x) y = 0 y = 0, ou seja, ( x) y = (x y). Analogamente, podemos verificar que x ( y) = (x y). Logo, ( x) ( y) = (x ( y)) = ( (x y)) = x y. Em particular, ( 1) ( 1) = 1. 2. Exemplos de corpos Exemplo 2.1 O conjunto Q dos números racionais, com as operações p q + p = pq + p q e p q qq q p = p p, é um corpo. q q q De fato, lembrando que p q = p q pq = p q, vamos provar primeiro que a soma e a multiplicação de números racionais estão bem definidas. Sejam p q = p 1 e p = p 1. Então q 1 q q 1 p q + p q = pq + p q qq = p 1q 1 + p 1 q 1 q 1 q 1 p q 1 = p 1 q, segue-se que = p 1 + p 1 q 1 q 1, pois, como pq 1 = p 1 q e (pq + p q)(q 1 q 1 ) = pq q 1 q 1 + p qq 1 q 1 = (pq 1 )(q q 1 ) + (p q 1 )(qq 1) = p 1 qq q 1 + p 1 q qq 1 = (p 1 q 1 + p 1 q 1)(qq ). p q p = pp = p 1p 1 q qq q 1 q 1 = p 1 p 1 q 1 q 1, pois (pp )(q 1 q 1 ) = p 1qp 1 q = (p 1 p 1 )(qq ). Instituto de Matemática - UFF 33

Análise na Reta O elemento neutro da adição é 0 p, para todo p 0, pois p q + 0 = pp + 0q p qp = pp qp = p q. O elemento neutro da multiplicação é 1 1 = p p, p Z, pois p q 1 1 = p 1 q 1 = p q. seja p q Q. Então p q p q + p q é o simétrico de p q, pois = p q + ( p) q q q = 0 q q = 0. Exercício 1: Verificar as propriedades comutativa, associativa e a distributividade das operações definidas no exemplo 2.1 sobre os números racionais. Seja p q Q, com p 0. Então q p é inverso de p q, pois p q q p = p q q p = 1. Exemplo 2.2 O conjunto Z 2 = {0, 1} com as operações de adição e multiplicação definidas nas tabuadas abaixo é um corpo. Exercício 2: Verificar a associatividade e a distributividade das operações definidas no exemplo 2.2 sobre Z 2. + 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 Pela definição, a adição e a multiplicação são comutativas; o elemento neutro da adição é o 0; o elemento neutro da multiplicação é o 1; o simétrico do 0 é o 0 e do 1 é 1; o inverso do 1 é 1. Exemplo 2.3 O conjunto Q(i) = {(x, y) x, y Q} é um corpo com as operações de adição e multiplicação definidas por (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ) (x, y) (x, y ) = (xx yy, xy + x y), De fato, a comutatividade e a associatividade da adição seguem-se direto do fato que Q é um corpo. O elemento neutro da adição é (0, 0) e o simétrico de (x, y) é ( x, y). A comutatividade da multiplicação sai direto da definição e da comutatividade da multiplicação de números racionais. 34 J. Delgado - K. Frensel

Exemplos de corpos O elemento neutro da multiplicação é (1, 0), pois (x, y) (1, 0) = (x 1 y 0, x 0 + 1 y) = (x, y). ( x x 2 + y, 2 O inverso multiplicativo de (x, y) (0, 0) é x 2 + y 2 0 e ( ) x (x, y) x 2 + y, y 2 x 2 + y 2 = = ( x 2 x 2 + y + y2 2 x 2 + y, 2 ( ) x 2 + y 2 x 2 + y, 0 = (1, 0) 2 x 2 + y 2 y x 2 + y 2 xy x 2 + y 2 + ), pois xy ) x 2 + y 2 Exercício 3: Verificar a propriedade associativa da multiplicação e propriedade distributiva das operações definidas no exemplo 2.2 sobre Q(i). Representando (x, 0) por x e (0, 1) por i, temos que iy = (0, 1)(y, 0) = (0, y) ; ii = (0, 1)(0, 1) = (0 0 1 1, 0 1 + 1 0) = ( 1, 0) = 1 ; (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + iy. O corpo Q(i) chama-se o corpo dos números complexos racionais. Exemplo 2.4 O conjunto Q(t) das funções racionais r(t) = p(t) q(t), onde p e q são polinômios com coeficientes racionais, sendo q(t) não identicamente nulo, com as operações de adição e multiplicação definidas abaixo é um corpo. p(t) q(t) + p (t) q (t) = p(t) q (t) + p (t) q(t) q(t) q (t) Observação 2.1 Num corpo K tem-se: Com efeito, x 2 = y 2 = x = ±y. x 2 = y 2 = x 2 y 2 = 0 = (x y)(x + y) = 0 = x y = 0 ou x + y = 0 = x = y ou x = y = x = ±y. p(t) q(t) p (t) q (t) = p(t) p (t) q(t) q (t). Instituto de Matemática - UFF 35

Análise na Reta 3. Corpos ordenados Um corpo ordenado é um corpo K no qual existe um subconjunto P K, chamado o conjunto dos elementos positivos de K, com as seguintes propriedades: (1) A soma e o produto de elementos positivos são elementos positivos. Ou seja, x, y P = x + y P e x y P. ocorre: (2) Dado x K, exatamente uma das três alternativas seguintes ou x = 0 ; ou x P ; ou x P. Assim, sendo P = {x K x P}, temos K = P ( P) {0}, onde P, P e {0} são subconjuntos de K disjuntos dois a dois. Os elementos de P chamam-se negativos. Num corpo ordenado, se a 0 então a 2 P. De fato, sendo a 0, temos que a P ou a P. No primeiro caso, a 2 = a a P, e no segundo caso, a 2 = a a = ( a) ( a) P. Em particular, num corpo ordenado, 1 = 1 1 é sempre positivo e, portanto, 1 P. Logo, num corpo ordenado, 1 não é quadrado de elemento algum. Exemplo 3.1 Q é um corpo ordenado no qual P = De fato, se p q, p q P, então pq, p q N e, portanto, p q + p = pq + p q P, pois q qq { p q (pq + p q)(qq ) = (pq)q 2 + (p q )q 2 N. p q p = pp P, pois pp qq = (pq)(p q ) N. q qq }. pq N Seja p q Q. Então, pq = 0 ou pq N ou (pq) N, ou seja, p q = 0 q = 0 ou p q P ou p q = p q P. 36 J. Delgado - K. Frensel

Corpos ordenados Exemplo 3.2 Q(t) é um corpo ordenado no qual P = De fato: { p(t) q(t) }. pq é um polinômio cujo coeficiente lider é positivo Se p(t) q(t), p (t) q (t) P, então os coeficientes a n e b m dos termos de maior grau de pq e p q, respectivamente, são positivos. Lembre que o coeficiente líder de um polinômio é o coeficiente do seu termo de maior grau. Logo, o coeficiente c j do termo de maior grau de (pq + p q)qq = pqq 2 + p q q 2 é positivo, pois c j = a n q 2 i + b m q 2 i ou c j = a n q 2 i c j = b m q 2 i, onde q i e q i são os coeficientes dos termos de maior grau de q e q, respectivamente. o coeficiente do termo de maior grau de pp qq = (pq)(p q ) é a n b m > 0. Se p(t) q(t) Q(t), então ou pq = 0 (e, neste caso, p = 0) ou o coeficiente do termo de maior grau de pq é positivo ou o coeficiente do termo de maior grau de pq é negativo. Logo, ou p(t) q(t) = 0 ou p(t) q(t) ou P ou p(t) q(t) P Exemplo 3.3 O corpo Z 2 não é ordenado, pois 1 + 1 = 0, e num corpo ordenado 1 é positivo e a soma 1 + 1 de dois elementos positivos é um elemento positivo. Exemplo 3.4 O corpo Q(i) não é ordenado, pois i 2 = 1, e num corpo ordenado 1 é negativo e o quadrado de qualquer elemento diferente de zero é positivo. Definição 3.1 Num corpo ordenado K, dizemos que x é menor do que y, e escrevemos x < y, se y x P, ou seja, y = x + z, z P. Podemos, também, dizer que y é maior do que x e escrever y > x. Observação 3.1 Em particular, x > 0 se, e só se, x P e x < 0 se, e só se, x P, ou seja, x P. Instituto de Matemática - UFF 37

Análise na Reta Se x P e y P, tem-se x > y, pois x + ( y) P. Proposição 3.1 A relação de ordem x < y num corpo ordenado satisfaz as seguintes propriedades: (1) Transitividade: x < y e y < z = x < z ; (2) Tricotomia: dados x, y K, ocorre exatamente uma das seguintes alternativas: ou x = y, ou x < y, ou y < x. (3) Monotonicidade da adição: Se x < y, então x + z < y + z para todo z K. (4) Monotonicidade da multiplicação: Se x < y, então xz < yz para todo z > 0, e xz > yz para todo z < 0. (1) Se x < y e y < z, então y x P e z y P. Logo, (y x) + (z y) = z x P, ou seja, x < z. (2) Dados x, y K, ocorre exatamente uma das seguintes alternativas: ou y x = 0, ou y x P, ou y x P, ou seja, ou x = y, ou x < y, ou y < x. (3) Se x < y então y x P. Logo, (y + z) (x + z) = y x P, ou seja x + z < y + z, para todo z K. (4) Se x < y e z > 0, então y x P e z P. Logo, (y x)z = yz xz P, ou seja xz < yz. Se, porém, x < y e z < 0, então y x P e z P, donde (y x)( z) = xz yz P, ou seja, xz > yz. Em particular, x < y é equivalente a x > y, pois ( 1)x > ( 1)y,ou seja, x > y, já que 1 P, ou seja 1 < 0. Se x < x e y < y então x + y < x + y. De fato, por (3), se x < x, então x + y < x + y, e se y < y, então x + y < x + y. Logo, por (1), x + y < x + y. Se 0 < x < x e 0 < y < y, então xy < x y. De fato, por (4), x y < x y e x y < x y, e por (1), xy < x y. 38 J. Delgado - K. Frensel

Corpos ordenados se x > 0 e y < 0, então xy < 0. De fato, como x P e y P, temos x( y) = (xy) P, ou seja, xy < 0. Se x > 0 então x 1 > 0, pois xx 1 = 1 > 0. Se x > 0 e y > 0, então x y > 0, pois x y = xy 1 e y 1 > 0. Se x < y, x > 0 e y > 0, então 1 y < 1 x. De fato, como y x > 0 e xy > 0, então x 1 y 1 = 1 x 1 y = y x xy > 0, ou seja, x 1 > y 1. Definição 3.2 Num corpo ordenado, dizemos que x é menor ou igual a y, e escrevemos x y, se x < y ou x = y, ou seja, y x P {0}. Os elementos do conjunto P {0} = {x K x 0} chamam-se não-negativos. Dados x, y K, tem-se x = y se, e só se, x y e y x. Com exceção da tricotomia, que é substituída pelas propriedades: Reflexiva: x x, Anti-simétrica: x y e y x x = y, todas as outras propriedades acima demonstradas para a relação x < y são válidas, também, para a relação x y. Num corpo ordenado K, 0 < 1, logo 1 < 1 + 1 < 1 + 1 + 1 <..., e o subconjunto de K formado por estes elementos é infinito, e se identifica de maneira natural ao conjunto N dos números naturais. Indiquemos por 1 o elemento neutro da multiplicação de K e definamos por indução a função f : N K, pondo f(1) = 1 e f(n + 1) = f(n) + 1. Por indução, podemos verificar que f(m + n) = f(m) + f(n) e que se m < n então f(m) < f(n). De fato: Seja m N e seja X = {n N f(m + n) = f(m) + f(n)}. Assim, 1 X e se n X, então f(m + (n + 1)) = f((m + n) + 1) = f(m + n) + 1 = f(m) + f(n) + 1 = f(m) + f(n + 1). Instituto de Matemática - UFF 39

Análise na Reta ou seja, n + 1 X. Logo, X = N. Seja Y = {n N f(n) P}. Então: 1 Y, pois f(1) = 1 P, se n Y, então n + 1 Y, pois f(n + 1) = f(n) + 1 P. Logo, Y = N. Exercício 4: Verifique que f(mn) = f(m)f(n), m, n N. Temos, assim, que se m < n então f(m) < f(n), pois, como existe p N tal que n = m + p, segue-se que f(n) = f(m) + f(p), ou seja, f(n) f(m) = f(p) P. Portanto, f : N f(n) = N K é uma bijeção, onde N é o subconjunto de K formado pelos elementos 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1,... que preserva a soma, o produto e a relação de ordem. Podemos, então, identificar N com N e considerar N contido em K, voltando a escrever 1, em vez de 1. Em particular, um corpo ordenado K é infinito e tem característica zero, ou seja, 1 + 1 + 1 +... + 1 0 qualquer que seja o número de parcelas 1. Considere o conjunto Z = N {0} ( N), onde N = { n n N}. Então, Z é um subgrupo abeliano de K com respeito à operação de adição. De fato, 0 Z e se x Z então x Z. Resta verificar que se x, y Z então x + y Z. Se x, y N então x + y N Z. Se x, y N então ( x)+( y) = (x+y) N, ou seja, x+y N Z. Exercício 5: Verifique que se m, n N e m n > 0 então m n N. Exercício 6: Verifique que xy Z quaisquer que sejam x, y Z. Se x N e y N então, fazendo y = z, com z N, temos que, ou x + y = x z = 0 Z, ou x + y = x z > 0 e, portanto, x + y N, ou x + y = x z < 0 e, portanto, x + y N. Se x N {0} ( N) e y = 0 então x + y = x Z. Podemos, assim, identificar Z com o grupo Z dos números inteiros. { m Seja, agora, Q = m Z e n Z }. Então, Q é um subcorpo n de K, pois: 40 J. Delgado - K. Frensel

Corpos ordenados temos que 0, 1 Q, se m n Q então m n = m n Q. se m n Q então n m Q. se m n, m Q então m n n + m Q. De fato, como n ( ) m nn n + m = mnn n n + m nn = mn + m n, n m n + m n = mn + m n nn Q, pois, como já vimos, mn + m n Z e nn Z. Q é o menor subcorpo de K. Com efeito, todo subcorpo de K deve conter pelo menos 0 e 1; por adições sucessivas de 1, todo subcorpo de K deve conter N; tomando os simétricos, deve conter Z e por divisões em Z, deve conter o conjunto das frações m n, m Z e n Z. Este menor subcorpo de K se identifica, de maneira natural, com o corpo Q dos números racionais. Assim, dado um corpo ordenado K, podemos considerar, de modo natural, as inclusões N Z Q K. Exemplo 3.5 O corpo ordenado Q(t) contém todas as frações do tipo p, onde p e q são polinômios constantes, inteiros, com q 0. q Logo, Q Q(t). Proposição 3.2 (Desigualdade de Bernoulli) Seja K um corpo ordenado e seja x K. Se n N e x 1 então (1 + x) n 1 + nx Faremos a demonstração por indução em n. Johann Bernoulli (1667-1748) Suíça. Instituto de Matemática - UFF 41

Análise na Reta Para n = 1 a desigualdade é óbvia. Exercício 7: Mostre que se n N, n > 1, x > 1 e x 0, então a desigualdade de Bernoulli é estrita, isto é, (1 + x) n > 1 + nx. Se (1 + x) n 1 + nx, então (1 + x) n+1 = (1 + x) n (1 + x) (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx 2 = 1 + (n + 1)x + nx 2 1 + (n + 1)x. Observação 3.2 (Sobre a Boa Ordenação) Existem conjuntos não-vazios de números inteiros que não possuem um menor elemento. Exemplo 3.6 O conjunto Z não possui um menor elemento. De fato, dado n 0 Z, temos que n 0 1 Z e n 0 1 < n 0, pois n 0 (n 0 1) = 1 > 0. Exemplo 3.7 O conjunto A = {2n n Z} dos inteiros pares não possui um menor elemento. De fato, dado 2n 0 A, 2n 0 2 = 2(n 0 1) A e 2(n 0 1) < 2n 0. Exemplo 3.8 Se X N é um conjunto infinito de números naturais, então X = { n n X} é um conjunto não-vazio de números inteiros que não possui um menor elemento. Com efeito, suponha que existe n 0 X tal que n 0 n para todo n X. Então, n 0 n para todo n X, o que é absurdo, pois, como X é infinito, X não é limitado superiormente. Mas, se um conjunto não-vazio X Z é limitado inferiormente, então X possui um menor elemento. Seja a Z tal que a < x para todo x X. Então, x a > 0 para todo x X, ou seja x a N para todo x X. Seja A = {(x a) x X}. Como A N, temos, pelo Princípio da Boa Ordenação, que existe n 0 A tal que n 0 x a para todo x X. 42 J. Delgado - K. Frensel

Intervalos x X. Seja x 0 X tal que n 0 = x 0 a. Então, x 0 a x a para todo Logo, x 0 x para todo x X. 4. Intervalos Num corpo ordenado, existe a importante noção de intervalo. Intervalos limitados: Dados a, b K, a < b, definimos os intervalos limitados de extremos a e b como sendo os conjuntos: Intervalo fechado: [a, b] = {x K a x b} ; Intervalo fechado à esquerda: [a, b) = {x K a x < b} ; Intervalo fechado à direita: (a, b] = {x K a < x b} ; Intervalo aberto: (a, b) = {x K a < x < b} ; Intervalos ilimitados: Dado a K, definimos os intervalos ilimitados de origem a como sendo os conjuntos: Semi-reta esquerda fechada de origem a: (, a] = {x K x a} ; Semi-reta esquerda aberta de origem a: (, a) = {x K x < a} ; Semi-reta direita fechada de origem a: [a, + ) = {x K a x} ; Semi-reta direita aberta de origem a: (a, + ) = {x K a < x} ; (, + ) = K, este intervalo pode ser considerado aberto ou fechado. Observação 4.1 Ao considerar o intervalo fechado [a, b] é conveniente admitir o caso a = b em que o intervalo [a, a] consiste apenas do único ponto a. Tal intervalo chama-se intervalo degenerado. Observação 4.2 Todo intervalo não-degenerado é um conjunto infinito. Com efeito, se a, b K e a 0, e b a + b = b a 2 2 2 2 Faça x 1 = a + b 2, e defina por indução, x n+1 = a + x n. 2 > 0. Instituto de Matemática - UFF 43

Análise na Reta Então, a <... < x n+1 < x n <... < x 2 < x 1 < b. Como a função ϕ : N ϕ(n) (a, b), dada por i x i, é uma bijeção, ϕ(n) é um conjunto infinito enumerável. Fig. 1: Construção da sequência x 1, x 2,..., x n,.... Definição 4.1 Num corpo ordenado K, definimos o valor absoluto ou módulo de um elemento x K, designado x, como sendo x, se x 0, e x, se x < 0. Assim, x, se x > 0 x = 0, se x = 0 x, se x < 0 Observação 4.3 Tem-se x = max{x, x}, e, portanto, x x e x x, ou seja, x x x. Proposição 4.1 Seja K um corpo ordenado e a, x K. As seguintes afirmações são equivalentes: (1) a x a ; (2) x a e x a ; (3) x a. Temos que a x a a x e x a a x e a x a max { x, x} = x. Corolário 4.1 Dados a, b, x K, tem-se x a b se, e só se, a b x a + b. 44 J. Delgado - K. Frensel

Intervalos De fato, x a b se, e só se, b x a b, ou seja, a b x a + b (somando a). Observação 4.4 Todas as afirmações da proposição e do seu corolário são verdadeiras com < em vez de. Em particular, x (a ε, a + ε) a ε < x < a + ε x a < ε. Assim, o intervalo aberto (a ε, a + ε), de centro a e raio ε, é formado pelos pontos x K cuja distância, x a, de a é menor do que ε. Fig. 2: x (a ε, a + ε) x a < ε. Na figura ao lado, representamos os elementos do conjunto em questão, no caso, a, x (a ε, a + ε), por um ponto cheio. Os pontos sem preenchimento representam pontos que não pertencem ao conjunto em questão. Proposição 4.2 Para elementos arbitrários de um corpo ordenado K, valem as relações: (1) x + y x + y ; (2) x y = x y ; (3) x y x y x y ; (4) x y x z + z y. (1) Como x x x e y y y, temos que ( x + y ) x + y x + y. Logo, x + y x + y. (2) Seja qual for x K, x 2 = x 2, pois se x = x, então x 2 = x 2, e se x = x, também x 2 = ( x) 2 = x 2. Logo, xy 2 = (xy) 2 = x 2 y 2 = x 2 y 2 = ( x y ) 2. Então, xy = ± x y. Como xy 0 e x y 0, temos que xy = x y. (3) Por (1), x = x y + y x y + y, ou seja, x y x y. De modo análogo, y x y x. Como y x = x y, temos que x y x y. Instituto de Matemática - UFF 45

Análise na Reta Assim, x y x y x y. Logo, pela proposição 4.1, x y x y. A outra desigualdade, x y x y segue da definição de valor absoluto. (4) Por (1), x y = x z + z y x z + z y. Definição 4.2 Seja X um subconjunto de um corpo ordenado K. X é limitado superiormente quando existe b K tal que x b para todo x X, ou seja X (, b]. Cada b com esta propriedade é uma cota superior de X. X é limitado inferiormente quando existe a K tal que x a para todo x X, ou seja, X [a, + ). Cada a com esta propriedade é uma cota inferior de X. X é limitado quando é limitado superior e inferiormente, ou seja, quando existem a, b K, a < b, tais que X [a, b]. Exemplo 4.1 No corpo Q dos números racionais, o conjunto N dos números naturais é limitado inferiormente, pois N [1, + ), mas não é limitado superiormente. De fato, se p q Q, então p + 1 N e p + 1 > p q, pois e p + 1 p q = p q + q p q ( p q + q p)q = p q 2 + q 2 pq = p q 2 + q 2 pq p q + q 2 pq q 2 1 > 0. Exemplo 4.2 No corpo Q(t) das frações racionais, o conjunto N dos números naturais é limitado inferior e superiormente, pois N [0, + ) e n < t para todo n N, já que o coeficiente do termo de maior grau de t n é 1 > 0 46 J. Delgado - K. Frensel

Números reais Teorema 4.1 Num corpo ordenado K, as seguintes afirmações são equivalentes: (a) N K é ilimitado superiormente; (b) dados a, b K, com a > 0, existe n N tal que na > b. (c) dado a > 0 em K, existe n N tal que 0 < 1 n < a. (a)= (b) Como N é ilimitado superiormente, dados a, b K, com a > 0, existe n N tal que n > b b. Logo, na > a a a = b. (b)= (c) Dado a > 0, existe, por (b), n N tal que na > 1. 0 < 1 n < a. Então (c)= (a) Seja b K. Se b 0, então b < 1 e, portanto, b não é cota superior de N. Se b > 0, existe, por (c), n N tal que 0 < 1 n < 1. Logo, b < n e não é, b portanto, uma cota superior de N. Definição 4.3 Dizemos que um corpo ordenado K é arquimediano se N K é ilimitado superiormente. Exemplo 4.3 O corpo Q dos números racionais é arquimediano, mas o corpo Q(t), com a ordem introduzida no exemplo 3.2, não é arquimediano. 5. Números reais Definição 5.1 Seja K um corpo ordenado e X K um subconjunto limitado superiormente. Um elemento b K chama-se supremo de X quando b é a menor das cotas superiores de X em K. Assim, b K é o supremo de X se, e só se, b satisfaz as duas condições abaixo: Instituto de Matemática - UFF 47

Análise na Reta S1: b x para todo x X. S2: Se c K é tal que c x para todo x X, então c b. A condição S2 é equivalente à condição: S2 : Dado c K, c < b, existe x K tal que x > c. Observação 5.1 O supremo de um conjunto, quando existe, é único. De fato, se b e b em K cumprem as condições S1 e S2, então, b b e b b, ou seja, b = b. O supremo de um conjunto X será denotado por sup X. Observação 5.2 O conjunto vazio não possui supremo em K, pois todo elemento de K é uma cota superior do conjunto vazio e K não possui um menor elemento. Definição 5.2 Um elemento a K é o ínfimo de um subconjunto Y K limitado inferiormente quando a é a maior das cotas inferiores de Y. Assim, a K é o ínfimo de Y se, e só se, a satisfaz as duas condições abaixo: I1: a y para todo y Y. I2: Se c K é tal que c y para todo y Y, então c a. A condição I2 é equivalente à condição: I2 : Dado c K, c > a, existe y Y tal que y < c. Observação 5.3 O ínfimo de um conjunto X, quando existe, é único, e será denotado por inf X Observação 5.4 O conjunto não possui ínfimo em K, pois todo elemento de K é uma cota inferior do conjunto vazio e K não possui um maior elemento. Exemplo 5.1 Se X K possui um elemento máximo b X, então b = sup X. De fato: (1) b x para todo x X. (2) Se c x para todo x X, então c b, pois a X. 48 J. Delgado - K. Frensel

Números reais Se X K possui um elemento mínimo a X, então a = inf X. De fato: (1) a x para todo x X. (2) Se c x para todo x X, então c a, pois a X. Se b = sup X X, então sup X é o maior elemento de X, pois b x para todo x X e b X. Se a = inf X X, então inf X é o menor elemento de X, pois a x para todo x X e a X. Em particular, se X é finito, então o sup X e o inf X existem e pertencem a X. X = [a, b], então sup X = b e inf X = a. X = (, b], então sup X = b. X = [a, + ), então inf X = a. Exemplo 5.2 Se X = (a, b), então inf X = a e sup X = b. Com efeito, b é uma cota superior de X. Seja c < b em K. Se c a, existe x = a + b 2 c + b 2 X, por exemplo, tal que c < a + b. Se a < c < b, então 2 X e c < c + b. Assim, b = sup X. 2 De modo análogo, podemos provar que a = inf X. Observe que, neste exemplo, sup X X e inf X X. Exemplo 5.3 Seja Y Q o conjunto das frações do tipo 1 2 n, n N. Então, sup Y = 1 2 e inf Y = 0. Como 1 2 Y e 1 2 n < 1 2 para todo n > 1, n N, temos que 1 2 é o maior elemento de Y e, portanto, o supremo de Y. Sendo 1 0 para todo n N, 0 é cota inferior de Y. 2n Seja b > 0 em Q. Como Q é um corpo arquimediano, existe n 0 N tal que n 0 > 1 b 1. Logo, n 0 + 1 > 1 b. Pela desigualdade de Bernoulli, temos que Instituto de Matemática - UFF 49

Análise na Reta 2 n 0 = (1 + 1) n 0 1 + n0 > 1 b, ou seja, b > 1 2 n 0. Assim, 0 = inf X. Mostraremos, agora, que alguns conjuntos limitados de números racionais não possuem ínfimo ou supremo em Q. Lema 5.1 (Pitágoras) Não existe um número racional cujo quadrado seja igual a 2. Suponhamos, por absurdo, que existe p q Q tal que ( ) 2 p = 2, q ou seja p 2 = 2q 2. O fator 2 aparece um número par de vezes na decomposição de p 2 e de q 2 em fatores primos. Como p 2 possui um número par de fatores iguais a 2 e 2q 2 possui um número ímpar de fatores iguais a 2, chegamos a uma contradição. Exemplo 5.4 Sejam X = {x Q x 0 e x 2 < 2} e Y = { x Q y > 0 e y 2 > 2 }. Como X [0, 2], pois x > 2 implica que x 2 limitado. > 4, X é um subconjunto Sendo Y [0, + ), Y é limitado inferiormente. Mostraremos que X não possui um supremo em Q e que Y não possui um ínfimo em Q. (1) O conjunto X não possui elemento máximo. Seja b X, ou seja b 0 e b 2 < 2. Como 2 b2 1 + 2b > 0 e Q é arquimediano, existe n N tal que 1 n < 2 b2 1 + 2b. Faça r = 1 n. Então 0 < r < 1 e 50 J. Delgado - K. Frensel

Números reais (b + r) 2 = b 2 + 2rb + r 2 b. Assim, dado b X existe b + r X tal que b + r > b.logo, X não possui maior elemento. (2) O conjunto Y não possui elemento mínimo. Seja b Y, ou seja, b > 0 e b 2 > 2. Sendo Q arquimediano e b 2 2 > 0, existe n N tal que Logo, e 0 < r = 1 n < b2 2 2b. (b r) 2 = b 2 2br + r 2 > b 2 2br > b 2 b 2 + 2 = 2 b r > b b2 2 2b = b b 2 + 1 b = b 2 + 1 b > 0, ou seja, b r Y e b r < b. Assim, X não possui menor elemento. (3) Se x X e y Y, então x < y. De fato, x 2 < 2 < y 2 = x 2 < y 2 = y 2 x 2 > 0 = (y x)(y + x) > 0 = y x > 0, ou seja, y > x, pois y + x > 0. Usando (1), (2) e (3) vamos provar que não existem sup X e inf Y em Q. Suponhamos, primeiro, que existe a = sup X, a Q. Então, a > 0 e a 2 2, pois se a 2 < 2, a pertenceria a X e seria seu maior elemento. Se a 2 > 2, então a Y. Como a não é o menor elemento de Y, existe b Y tal que b < a. Por (3), x 0, pois y > 0 e y 2 > 2 > 1 para todo y Y, ou seja, y > 1 para todo y Y. Se b 2 > 2 e b > 0, b Y e seria o seu menor elemento, o que é absurdo por (2). Instituto de Matemática - UFF 51

Análise na Reta Logo, b 2 2. Se b 2 < 2, então b X. Como b não é o maior elemento de X, existe a X tal que b < a. Por (3), b < a < y para todo y Y, o que contradiz ser b = inf Y. Assim, b 2 = 2 e b Q, o que é absurdo pelo Lema de Pitágoras. Observação 5.5 Estes argumentos mostram que se existir um corpo ordenado K no qual todo subconjunto não-vazio limitado superiormente possui supremo, existirá neste corpo um elemento a > 0 tal que a 2 = 2. De fato, K, sendo ordenado, contém Q e, portanto, contém o conjunto X, que é limitado superiormente. Então, existirá a = sup X em K, cujo quadrado deverá ser igual a 2. Exemplo 5.5 Seja K um corpo ordenado não arquimediano. Então, N K é limitado superiormente, mas não possui supremo. De fato, seja b K uma cota superior de N. Então, n + 1 b para todo n N. Logo, n b 1 para todo n N, ou seja, b 1 é uma cota superior de N menor do que b. Definição 5.3 Um corpo ordenado K chama-se completo quando todo subconjunto de K não-vazio e limitado superiormente possui supremo em K. Observação 5.6 Num corpo ordenado K completo, todo subconjunto Y K não-vazio limitado inferiormente possui ínfimo em K. De fato, considere X = Y = { y y Y}. Seja b K uma cota inferior de Y, ou seja, b y para todo y Y. Então, b y para todo y Y, ou seja, b é uma cota superior de X e, portanto, X é limitado superiormente. Sendo K completo, existe a = sup X. Vamos mostrar que a = inf Y: a y para todo y Y = a y para todo y Y. Se c y para todo y Y, então c y para todo y Y. Logo, a c, ou seja, c a. Observação 5.7 Pelo exemplo 5.5, temos que todo corpo ordenado completo é arquimediano. 52 J. Delgado - K. Frensel

Números reais Exemplo 5.6 Q não é completo, pois o conjunto X = {x x 0 e x 2 < 2} Q não-vazio e limitado superiormente não possui supremo em Q. Q(t) não é completo, pois Q(t) não é arquimediano. Enunciaremos, agora, o axioma fundamental da Análise Matemática. Axioma: Existe um corpo ordenado completo, R, chamado o corpo dos números reais. Observação 5.8 Existe em R um número positivo a tal que a 2 = 2, que é representado pelo símbolo 2, e é único. De fato, se b > 0 em R e b 2 = 2, então a 2 b 2 = 0 = (a b)(a + b) = 0 = a = b ou a = b. Logo, a = b, pois a > 0 e b > 0. Além disto, a R Q. Definição 5.4 O conjunto I = R Q é o conjunto dos números irracionais. Exemplo 5.7 2 I. Exemplo 5.8 Dados a > 0 em R e n N, n 2, existe um único número real b > 0 tal que b n = a. O número b chama-se raiz n ésima de a e é representado pelo símbolo n a. Consideremos os conjuntos: X = {x R x 0 e x n < a} e Y = {y R y > 0 e y n > a} O conjunto Y é limitado inferiormente pelo zero. O conjunto X não é vazio, pois 0 X, e é limitado superiormente. De fato: se a 1, então 1 é cota superior de X, pois se z 1, tem-se que z n 1 a, ou seja, z X. Logo, X [0, 1]. se a > 1, então a n > a para todo n 2. Logo, se z a, tem-se z n a n > a, ou seja, z X. Assim, X [0, a). Como R é completo, existe b = sup X. Vamos provar que b n = a. Instituto de Matemática - UFF 53

Análise na Reta (1) X não possui elemento máximo. Dado x X, mostremos que existe d > 0 tal que (x + d) n < a, ou seja, x + d X e x + d > x. Afirmação: Dado x > 0 existe, para cada n, um número real positivo A n, que depende de x, tal que (x + d) n x n + A n d seja qual for 0 < d < 1. Vamos provar esta afirmação por indução em n. Para n = 1, basta tomar A 1 = 1. Supondo verdadeiro para n, temos que (x + d) n+1 = (x + d) n (x + d) (x n + a n d)(x + d) = x n+1 + A n dx + dx n + A n d 2 = x n+1 + (A n x + x n + A n d)d < x n+1 + (A n x + x n + A n )d, já que 0 < d < 1. Tomando A n+1 = A n x + x n + A n, temos que (x + d) n+1 x n+1 + A n+1 d. Dado x X, isto é, x 0 e x n < a, tome d R tal que { 0 < d < min 1, a } xn. A n Então, (x + d) n x n + A n d < x n + A n(a x n ) A n = a, ou seja, x + d X e x + d > x, o que prova que X não possui elemento máximo. (2) O conjunto Y não possui elemento mínimo. Seja y Y. Mostremos que existe d R tal que 0 < d < y e (y d) n > a, ou seja, y d Y e y d < y. Seja 0 < d < y. Então, 0 < d y < 1, ou seja, 1 < d y < 0. Pela desigualdade de Bernoulli, temos ( (y d) n = y n 1 d ) n ( y n 1 n d ) = y n ndy n 1. y y { } Se tomarmos 0 < d < min y, yn a, teremos que ny n 1 (y d) n y n ndy n 1 > y n ny n 1 (yn a) ny n 1 = y n y n + a = a, 54 J. Delgado - K. Frensel

Números reais ou seja, y d > 0 e (y d) n > a. (3) Se x X e y Y então x < y. De fato, como x n < a < y n, x 0 e y > 0, temos que x < y, pois x n < y n e, portanto, y n x n = (y x)(y n 1 + y n 2 x +... + yx n 2 + x n 1 ) > 0. Como y n 1 + y n 2 x +... + yx n 2 + x n 1 > 0, temos que y x > 0, ou seja, x < y. Vamos provar, agora, usando (1), (2) e (3), que se b = sup X, então b n = a. Exercício 8: Prove que y n x n = (y x) `y n 1 + y n 2 x +... + yx n 2 + x n 1, quaisquer que sejam x, y R e n N. Se b n < a, temos que b X, o que é absurdo, pois b = sup X e, portanto, o elemento máximo de X, o que contradiz (1). Se b n > a, então b Y, pois b > 0. Como, por (2), Y não possui um elemento mínimo, existe c Y tal que c < b. Por (3), x < c < b para todo x X, ou seja, c é uma cota superior de X menor do que b = sup X, o que é absurdo. Logo, b n = a. Exercício 9: Mostrar que Y e b n = a, onde b = inf Y. Exercício 10: Mostrar que existe um único b > 0 em R tal que b n = a (ver observação 5.9). Observação 5.9 Dado n N, a função f : [0, + ) [0, + ) definida por f(x) = x n é sobrejetiva, pois, pelo que acabamos de ver, para todo a 0 existe b 0 tal que b n = a, e é injetiva, pois se 0 < x < y, então, pela monotonicidade da multiplicação, 0 < x n < y n. Logo, f é uma bijeção de [0, + ) sobre si mesmo, e sua inversa f 1 : [0, + ) [0, + ) é dada por y n y, a única raiz n ésima não-negativa de y. Observação 5.10 (Generalização do Lema de Pitágoras) Dado n N. Se um número natural m não possui uma raiz n ésima natural, também não possui uma raiz n ésima racional. De fato, sejam p, q números naturais primos entre si tais que Então, p n = m q n. ( ) n p = m. q Instituto de Matemática - UFF 55

Análise na Reta Como p n e q n são primos entre si e q n divide p n, temos que q = 1, ou seja, p q N, o que é absurdo. Então, dados m, n N, se n m N então n m I = R Q, ou seja, n m é um número irracional. Exemplo 5.9 2 I, pois 1 2 = 1 e 2 2 = 4 > 2, ou seja, 2 N. 3 3 I, pois 1 3 = 1 e 2 3 = 8 > 3, ou seja, 3 3 N. 3 6 I, pois 1 3 = 1 e 2 3 = 8 > 6, ou seja, 3 6 N. Mostraremos, agora, que os números irracionais se acham espalhados por toda parte entre os números reais e que há mais números irracionais do que racionais. Definição 5.5 Um conjunto X R chama-se denso em R quando todo intervalo aberto (a, b) contém algum ponto de X. Exemplo 5.10 O conjunto X = R Z é denso em R. De fato, seja (a, b), a < b, um intervalo aberto de R. Então, existe n 0 Z tal que n 0 < a e existe m 0 Z, m 0 > b. Logo, que é um conjunto finito. (a, b) Z {n 0,..., n 0 + (m 0 n 0 )}, Como já provamos que (a, b) é um conjunto infinito, temos que o conjunto (a, b) (R Z) é, também, infinito e, em particular, é não-vazio. Teorema 5.1 O conjunto Q dos números racionais e o conjunto R Q dos números irracionais são densos em R. Seja (a, b), a < b, um intervalo aberto qualquer em R. Afirmativa 1: Existe um número racional em (a, b). Como b a > 0, existe p N tal que 1 p < b a. Seja A = { m Z m } p b. 56 J. Delgado - K. Frensel

Números reais Como R é arquimediano, A é um conjunto não-vazio de números inteiros, limitado inferiormente por pb R, e, portanto limitado inferiormente por um número inteiro. Então, pelo Princípio de Boa Ordenação (ver pag. 42), existe m 0 A tal que m 0 m para todo m A. Logo, como m 0 1 < m 0, temos que m 0 1 A, ou seja, m 0 1 p Temos, também, que a < m 0 1 p m 0 1 p < b, pois, caso contrário, a < b m 0 p, < b. o que acarretaria b a m 0 p m 0 1 p = 1, uma contradição. p Logo, a < m 0 1 p < b, ou seja, m 0 1 p (a, b) Q. Afirmativa 2: Existe um número irracional em (a, b). Vamos considerar primeiro o caso em que 0 (a, b), ou seja, 0 < a < b ou a < b < 0. Seja p N tal que 1 p < b a 2, ou seja, Seja A = { m Z 2 m p } b. 2 p a, pois, caso contrário, 2 (m0 1) 2 m0 a < b. p p 2 Então, b a, o que é absurdo. Assim a < p m 0 1 0, pois 0 (a, b). 2 (m0 1) p < b e Instituto de Matemática - UFF 57

Análise na Reta Logo, 2(m0 1) p (R Q) (a, b). Suponhamos, agora, que 0 (a, b). Neste caso, basta tomar p N tal que 1 p < b 2, ou seja, 2 p < b. Como a < 0 < 2 p < b, temos que 2 p (R Q) (a, b). Teorema 5.2 (Princípio dos Intervalos Encaixados) Seja I 1 I 2... I n... uma seqüência decrescente de intervalos I n = [a n, b n ] limitados e fechados. Então a interseção I n não é vazia. Mais precisamente, n N I n = [a, b], onde a = sup a n e b = inf b n. n N Para cada n N, a n a n+1 b n+1 b n, pois I n+1 = [a n+1, b n+1 ] [a n, b n ] = I n. Segue-se, então, que a 1 a 2 <... a n... b m... b 2 b 1, pois a n b m quaisquer que sejam m, n N. De fato, se m = n, a n b n. Se n < m, a n a m b m, e se n > m, a n b n b m. Sejam A = {a n n N} e B = {b n n N}. Então A e B são subconjuntos limitados de R, já que: a 1 é uma cota inferior e b m é uma cota superior de A, para todo m N; e b 1 é uma cota superior e a m é uma cota inferior de B, para todo m N. Sejam a = sup A e b = inf B. Como, para todo m N, b m é uma cota superior de A e a m é uma cota inferior de B, temos a b m e b a m. Logo, como a b m para todo m N, temos a b. Então, [a, b] I n, pois a n a b b n, para todo n N. 58 J. Delgado - K. Frensel

Números reais Portanto, [a, b] n N I n. Precisamos ainda provar que I n [a, b]. Suponhamos que existe n N x < a tal que x I n para todo n N. Sendo x a n para todo n N, x é cota superior de A e, portanto, x a, o que é uma contradição. De modo análogo, suponhamos que existe y > b tal que y I n para todo n N. Como y b n para todo n N, y é uma cota inferior de B. Logo, b y, o qual é absurdo. Temos, então, que [a, b] = I n. n N Teorema 5.3 O conjunto R dos números reais não é enumerável. Precisamos, antes, provar a seguinte: Afirmação: Dados um intervalo limitado e fechado I = [a, b], a < b, e um número real x 0, existe um intervalo limitado e fechado J = [c, d], c < d, tal que J I e x 0 J. De fato: se x 0 I, tome J = I. suponha que x 0 I. Se [ a + b x 0 = a, tome J = 2 [ x 0 = b, tome J = a, a + b 2 [ a < x 0 < b, tome J = ], b ; ] ; a, a + x 0 2 Seja X = {x 1,..., x n,...} um subconjunto enumerável de R. ]. Vamos mostrar que existe x R tal que x X. Seja I 1 um intervalo limitado, fechado e não-degenerado tal que x 1 I 1. Supondo que é possível obter intervalos I 1 I 2... I n limitados, fechados e não-degenerados com x i I i para todo i = 1,..., n, podemos Instituto de Matemática - UFF 59

Análise na Reta obter um intervalo I i+1 limitado, fechado e não-degenerado tal que I n+1 I n e x n+1 I n+1. Isto nos fornece uma seqüência decrescente I 1 I 2... I n... de intervalos fechados e limitados. Pelo teorema anterior, existe x I n para todo n N. Como x n I n, para todo n N, temos que x x n para todo n N. Logo x R X, ou seja, R não é enumerável. Corolário 5.1 Todo intervalo não-degenerado de números reais é nãoenumerável. Primeiro vamos provar que R = n N(n, n + 1], isto é, dado x R existe n N tal que n < x n + 1. Seja A = {n Z x n + 1}. Como A é um subconjunto não-vazio de Z limitado inferiormente, A possui um elemento mínimo n 0. Logo, n 0 < x n 0 + 1, pois n 0 A e n 0 1 A. Precisamos, também, verificar que a função f : (0, 1) R definida por f(x) = (b a)x + a é uma bijeção sobre o intervalo aberto (a, b). De fato: se 0 < x < 1, então a < (b a)x + a < b. se f(x) = f(y), então (b a)x+a = (b a)y+a, donde (b a)x = (b a)y, ou seja, x = y. se y (a, b), então x = y a b a (0, 1) e f(x) = y. Portanto, se provarmos que (0, 1) não é enumerável, então todo intervalo não-degenerado é não-enumerável. Suponhamos, por absurdo, que (0, 1) é enumerável. Então, o intervalo (n, n + 1] também seria enumerável, pois a função f n : (0, 1] (n, n + 1] definida por f(x) = x + n é uma bijeção para todo n N. Mas, assim, R = n N(n, n + 1] seria enumerável por ser uma reunião 60 J. Delgado - K. Frensel

enumerável dos conjuntos enumeráveis (n, n + 1]. Corolário 5.2 O conjunto dos números irracionais não é enumerável. Como Q é enumerável e R = Q (R Q), então R Q não é enumerável, pois, caso contrário, R seria enumerável por ser reunião de dois conjuntos enumeráveis. Instituto de Matemática - UFF 61

Parte 3 Sequências e séries de números reais A noção de limite tem um papel central no estudo da Análise Matemática, pois todos os conceitos e resultados importantes se referem a limites direta ou indiretamente. Instituto de Matemática - UFF 63

Seqüências 1. Seqüências Definição 1.1 Uma seqüência de números reais é uma função definida no conjunto N dos números naturais e tomando valores no conjunto R dos números reais. Se x : N R é uma seqüência de números reais, o valor x(n) será representado por x n e chamado o termo de ordem n ou n ésimo termo da seqüência x. Escreveremos (x 1, x 2,..., x n,...) ou (x n ) n N ou (x n ) para indicar a seqüência x. Observação 1.1 Não se deve confundir a seqüência x com o conjunto de seus termos: x(n) = {x 1, x 2,..., x n,...}, que pode ser finito, pois a seqüência x : N R não é necessariamente injetiva. Definição 1.2 Quando a seqüência a : N R for injetiva, ou seja, x n x m, se n m, diremos que x é uma seqüência de termos dois a dois distintos. Definição 1.3 Dizemos que uma seqüência (x n ) n N é limitada superiormente quando existe um número real b tal que x n b para todo n N, ou seja, x n (, b] para todo n N. limitada inferiormente quando existe um número real a tal que a x n para todo n N, ou seja, x n [a, + ) para todo n N. limitada quando é limitada superior e inferiormente, ou seja, quando existem a, b R tais que x n [a, b] para todo n N. ilimitada quando não é limitada. Observação 1.2 Todo intervalo [a, b] está contido num intervalo centrado em 0 da forma [ c, c] para algum c > 0. Basta tomar c = max{ a, b }, pois c a < b c, já que c b b e c a a, ou seja c a. Instituto de Matemática - UFF 65

Análise na Reta Assim, uma seqüência é limitada se, e só se, existe c R + tal que x n c para todo n N. Então, (x n ) n N é uma seqüência limitada se, e só se, ( x n ) n N é uma seqüência limitada. Definição 1.4 Uma subseqüência da seqüência x = (x n ) n N é a restrição da função x : N R a um subconjunto infinito N = {n 1 < n 2 <... < n k <...} de N. Escreve-se x = (x n ) n N ou (x nk ) k N ou (x n1, x n2,..., x nk ) para indicar a subseqüência x = x N. Observação 1.3 Lembremos que um subconjunto N N é infinito se, e só se, é ilimitado, isto é, para todo m N existe n N tal que m < n. Neste caso, dizemos que N contém números naturais arbitrariamente grandes. Em particular, se existe n 0 N tal que n n 0 para todo n N, então N N é finito e, portanto, N é infinito. Dizemos, neste caso, que N contém todos os números naturais suficientemente grandes. Observação 1.4 Toda subseqüência de uma seqüência limitada é limitada Note que: Uma seqüência crescente ou não-decrescente é limitada inferiormente pelo seu primeiro termo. Note que: Uma seqüência decrescente ou não-crescente é limitada superiormente pelo seu primeiro termo. Definição 1.5 Uma seqüência (x n ) n N é crescente quando x n < x n+1 para todo n N, ou seja, x 1 < x 2 <... < x n <.... Se x n x n+1 para todo n N, a seqüência é não-decrescente. Uma seqüência (x n ) n N é decrescente quando x n > x n+1 para todo n N, ou seja, x 1 > x 2 >... > x n >.... Se x n x n+1 para todo n N, a seqüência é não-crescente. As seqüências crescentes, não-decrescentes, decrescentes e não-crescentes são chamadas seqüências monótonas. Observação 1.5 Uma seqüência monótona (x n ) n N é limitada se, e só se, possui uma subseqüência limitada. Com efeito, vamos supor que x = (x n ) n N é não-decrescente e (x n ) n N é uma subseqüência limitada de x, ou seja, existe b R tal que x n b 66 J. Delgado - K. Frensel

Seqüências para todo n N. Como N é ilimitado, dado n N existe m N tal que m > n. Logo, x 1 x n x m b. Assim, x 1 x n b para todo n N. Analisaremos agora alguns exemplos de seqüências. Exemplo 1.1 x n = 1 para todo n N, ou seja, (x n ) n N é uma seqüência constante. Então, ela é limitada não-decrescente e não-crescente. Exemplo 1.2 Se x n = n para todo n N, a seqüência (x n ) n N é limitada inferiormente, ilimitada superiormente e monótona crescente. Exemplo 1.3 x n = 0 para todo n par e x n = 1 para n ímpar. Essa seqüência é limitada e não é monótona. Observe que a seqüência se define, também, pelas fórmulas x n = 1 + ( ( 1)n nπ ) ou x n = sen 2. 2 2 Exemplo 1.4 Se x n = 1 n para todo n N, então x = ( 1, 1 2,..., 1 n,... ) é uma seqüência limitada e decrescente, pois x n (0, 1] e x n+1 < x n para todo n N. Exemplo 1.5 Seja x = (x n ) n N, onde x n = n(1 + ( 1)n+1 ) 2 para todo n N. Então x n = 0 para n par e x n = n para n ímpar, ou seja, x = (1, 0, 3, 0, 5,...). Ela é ilimitada superiormente, limitada inferiormente e não é monótona, mas seus termos de índice ímpar x 2n 1 = 2n 1 formam uma subseqüência monótona crescente ilimitada superiormente e seus termos de índice par x 2n = 0 formam uma subseqüência constante. Exemplo 1.6 Seja a R e consideremos a seqüência x n = a n, n N. se a = 0 ou a = 1, então x n = 0 para todo n N ou x n = 1 para todo n N, respectivamente. Nestes casos, (x n ) n N é constante. Se 0 < a < 1, então a n+1 < a n e 0 < a n < 1 para todo n N, ou seja, (x n ) n N é decrescente e limitada. Se 1 < a < 0, então a seqüência não é monótona, pois seus termos são alternadamente positivos e negativos, mas continua sendo limitada, pois a n = a n, com 0 < a < 1. Instituto de Matemática - UFF 67

Análise na Reta Se a = 1, então a seqüência (a n ) n N é ( 1, 1, 1, 1,...) e é, portanto, limitada, mas não é monótona. Se a > 1, então a seqüência (a n ) n N é monótona crescente e ilimitada superiormente. De fato: Como a > 1 e a n > 0, temos que a a n > 1 a n, ou seja, a n+1 > a n para todo n N. Seja h > 0 tal que a = 1 + h. Então, pela desigualdade de Bernoulli, a n = (1+h) n 1+nh. Dado b R, existe n N, tal que n > b 1 h. Logo, a n 1 + nh > b. se a < 1, a seqüência não é monótona, pois seus termos são alternadamente positivos e negativos, e não é limitada superiormente nem inferiormente. De fato: Os termos de ordem par x 2n = a 2n = (a 2 ) n formam uma subseqüência monótona crescente ilimitada superiormente pois a 2 > 1. Os termos de ordem ímpar x 2n 1 = a 2n 1 = a2n a formam uma subseqüência decrescente ilimitada inferiormente, pois a < 0 e (a 2n ) n N é uma seqüência crescente ilimitada superiormente. Exemplo 1.7 Dado a N, 0 < a < 1, seja para todo n N. x n = 1 + a +... + a n = 1 an+1 1 a Então, (x n ) n N é uma seqüência crescente, pois x n+1 = x n + a n+1 > x n para todo n N; e é limitada, pois 1 < x n < 1 1 a Em particular, se a = 1 2, temos que 1+ 1 1 +...+ 2 para todo n N. para todo n N. 2 n = 1 1 2 n+1 1 1 2 < 1 1 1 2 = 2 68 J. Delgado - K. Frensel

Seqüências Exemplo 1.8 Seja a n = 1 + 1 1! + 1 2! +... + 1, n N. A seqüência n! (a n ) n N é crescente e é limitada, pois para todo n N. a n < 1 + 1 + 1 2 + 1 2 2 +... + 1 2 n 1 < 1 + 2 = 3, Exemplo 1.9 Seja b n = ( 1 + 1 n) n, n N. A fórmula do binômio de Newton (que pode ser provada por indução) nos dá b n = ( 1 + 1 ) n n = 1 + n 1 n(n 1) + n 2! +... + n(n 1)... 2 1 n! 1 n(n 1)(n 2) + n2 3! 1 n n, 1 n 3 ou seja, b n = 1 + 1 + 1 2! + 1 n! ( 1 1 ) + 1 ( 1 1 ) ( 1 2 ) +... n 3! n n ) ( 1 1 ) ( 1 2 ) (... n n 1 n 1 n. Como 1 j n > 0, para 1 j n 1, temos que cada b n é uma soma de parcelas positivas. Além disso,cada parcela cresce com n, pois ( 1 j ) ( > 1 j ), 1 j n 1, e, também, o número de parcelas n + 1 n cresce com n. Logo, b n+1 > b n para todo n N, ou seja, (b n ) n N é uma seqüência crescente. Observe ainda que (b n ) n N é uma seqüência limitada, pois para todo n N. 0 < b n < 1 + 1 + 1 2! + 1 3! +... + 1 n! < 3, Importante: Provaremos depois que as seqüências (a n) n N e (b n) n N dos exemplos 1.8 e 1.9 convergem para o número e. Exemplo 1.10 Seja x 1 = 0, x 2 = 1 e x n+2 = 1 2 (x n + x n+1 ), para todo n N. A seqüência que se obtém é ( 0, 1, 1 2, 3 4, 5 8, 11 16,... ). Nota: Dados a, b R, a < b, sua média aritmética a+b é obtida somando-se ao número a a 2 metade da distância b a de a a 2 b, ou subtraindo-se b a de b. 2 Instituto de Matemática - UFF 69

Análise na Reta Segue-se que os termos desta seqüência são: x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 1 1 2 = 1 2, x 4 = 1 1 2 + 1 4 = 1 1 4, x 5 = 1 1 2 + 1 4 1 8 = 1 2 + 1 8 = 1 ( 1 + 1 ), 2 4 x 6 = 1 1 2 + 1 4 1 8 + 1 16 = 1 1 4 1 ( 1 16 = 1 4 + 1 ), 4 2 etc Provaremos alguns fatos para obter a fórmula geral dos termos de ordem par e de ordem ímpar. Afirmação 1: x n+1 x n = ( 1) n+1 1, para todo n N. 2n 1 De fato: Se n = 1, x 2 x 1 = 1 0 = 1 = ( 1) 2 1 2 0. Suponhamos que a afirmação seja válida para n. Então x n+2 x n+1 = 1 2 (x n + x n+1 ) x n+1 = 1 2 (x n x n+1 ) Note que: = 1 2 (x n+1 x n ) = 1 1 2 ( 1)n+1 2 n 1 = ( 1) n+2 1 2 = 1 n ( 1)(n+1)+1 2. (n+1) 1 Se n é par, x n+1 < x n e, portanto, x n+1 < x n+2 < x n, pois x n+1 x n = ( 1) n+1 1 2 n 1 < 0. Se n é ímpar, x n < x n+1, e, portanto, x n < x n+2 < x n+1, pois x n+1 x n = ( 1) n+1 1 2 n 1 > 0. Fig. 1: Posicionamento dos pontos da seqüência (x n) n N. 70 J. Delgado - K. Frensel

Seqüências Afirmação 2: x 2n+1 = 1 2 De fato: Se n = 1, x 3 = 0 + 1 2 ( 1 + 1 4 +... + 1 4 n 1 ) para todo n N. = 1 2 = 1 2 1. Suponhamos a afirmação verdadeira para n. Então, como x 2n+1 < x 2n+3 < x 2n+2, temos que x 2(n+1)+1 = x 2n+3 = x 2n+1 + 1 2 (x 2n+2 x 2n+1 ) = 1 ( 1 + 1 2 4 +... + 1 ) + 1 4 n 1 2 ( 1)2n+2 2 2n = 1 ( 1 + 1 2 4 +... + 1 ) + 1 4 n 1 2 1 4 n = 1 ( 1 + 1 2 4 +... + 1 4 + 1 ). n 1 4 n ( 1 Afirmação 3: x 2n = 1 4 +... + 1 ) para todo n N, n 2. 4 n 1 De fato: Se n = 2, x 4 = 1 1 4. Suponhamos que a igualdade seja válida para n. Então, como x 2n+1 < x 2(n+1) < x 2n, temos que x 2n+2 = x 2n 1 2 (x 2n x 2n+1 ) = x 2n + 1 2 (x 2n+1 x 2n ) ( 1 = 1 4 +... + 1 ) ( + ( 1)2n+1 1 4 n 1 2 2 = 1 2n 1 4 +... + 1 ) 1 4 n 1 4 ( n 1 = 1 4 +... + 1 4 + 1 ). n 1 4 n Assim, como 1 + 1 4 +... + 1 4 + 1 n 1 4 = 1 1 4 n+1 n para todo n N, temos que para todo n 0, e 1 x 2n > 1 + 1 1 4 0 x 2n+1 < 1 2 4 3 = 4 6 < 1, < 1 1 1 4 = 4 3, ( 1 4 ) = 2, para todo n 1. 3 3 Instituto de Matemática - UFF 71

Análise na Reta Logo, 0 x n 1 para todo n N, ou seja, a seqüência (x n ) n N é limitada, sendo (x 2n+1 ) n N uma subseqüência crescente e (x 2n ) n N uma subseqüência decrescente. Exemplo 1.11 Seja x n = n n para todo n N. A seqüência (x n ) n N é decrescente a partir do seu terceiro termo, pois, ( como 1 + 1 ) n ( < 3 para todo n N, 1 + 1 n < n para todo n 3. n n) Logo, (n + 1)n n n < n, ou seja, (n + 1) n < n n+1. Assim, n+1 n + 1 < n n para todo n 3. Como 1 = x 1 < 2 = x 2 < 3 3 = x 3 e 0 < x n x 3 = 3 3 para todo n N, concluímos também que (x n ) n N é limitada. 2. Limite de uma seqüência Definição 2.1 Dizemos que o número real a é limite da seqüência (x n ) n N de números reais, e escrevemos a = lim x n, quando para cada número real ε > 0 é possível obter um número natural n 0 tal que para todo n > n 0. Simbolicamente, temos que ou seja, x n a < ε, a = lim ε > 0 n 0 N ; x n a < ε, n > n 0 a = lim ε > 0 n 0 N ; x n (a ε, a + ε), n > n 0 Assim, a = lim x n se, e só se, todo intervalo aberto de centro a contém todos os termos x n da seqüência, salvo, talvez, para um número finito de índices n. 72 J. Delgado - K. Frensel

Limite de uma seqüência Observação 2.1 Quando lim x n = a, dizemos que a seqüência (x n ) n N converge para a ou tende para a e escrevemos, também, x n a. Uma seqüência que possui limite chama-se convergente. Caso contrário, chama-se divergente, ou seja, uma seqüência (x n ) n N para nenhum número real a, é verdade que lim x n = a. é divergente se, lim x n a se, e só se, existe ε 0 > 0 tal que para todo n 0 N existe n 1 > n 0 com x n1 a ε 0. Teorema 2.1 (Unicidade do Limite) Se a = lim x n e b = lim x n, então a = b. Suponhamos a b e seja ε = 1 b a > 0. Temos que: 2 (a ε, a + ε) (b ε, b + ε) =, pois se existisse x (a ε, a + ε) (b ε, b + ε), teríamos que: b a = b x + x a b x + x a < ε + ε = 2ε = b a. Existe n 0 N tal que x n (a ε, a + ε) para todo n > n 0. Logo, x n (b ε, b + ε) para todo n > n 0. Então lim x n b. Teorema 2.2 Se lim x n = a então toda subseqüência de (x n ) n N converge para a. Seja (x nk ) k N uma subseqüência de (x n ) n N. Dado ε > 0, existe n 0 N tal que x n a < ε para todo n > n 0. Como o conjunto N = {n 1 < n 2 <... < n k <...} é ilimitado, existe k 0 N tal que n k0 > n 0. Logo, n k > n k0 > n 0 e x nk a < ε para todo k > k 0. Corolário 2.1 Se lim x n = a então, para todo k N, lim x n+k = a. Instituto de Matemática - UFF 73

Análise na Reta De fato, ( x 1+k, x 2+k,..., x n+k,... ) é uma subseqüência de (x n ) n N e, portanto, converge para a. Observação 2.2 Exercício 12: Se (x n+k ) n N converge para a, para algum k N, então x n a. O limite de uma seqüência não se altera quando dela se omite um número finito de termos. Ou melhor, pelo teorema 2.2, o limite se mantém quando se omite um número infinito de termos desde que reste ainda um número infinito de índices. Se (x n ) n N possui duas subseqüências com limites distintos então (x n ) n N é divergente. Se (x n ) n N converge e a subseqüência (x nk ) k N converge para a, então x n a. Teorema 2.3 Toda seqüência convergente é limitada. Seja a = lim x n e tome ε = 1. Então, existe n 0 N tal que x n (a 1, a + 1) para todo n > n 0. Sejam A = {a 1, a + 1, x 1,..., x n0 }, M = max A e m = min A. Então m x n M para todo n N, ou seja, (x n ) n N é limitada. Observação 2.3 A recíproca do teorema anterior não é verdadeira. Por exemplo, a seqüência (0, 1, 0, 1, 0, 1,...) é limitada, mas não é convergente, pois x 2n = 1 1 e x 2n 1 = 0 0, ou seja (x n ) n N possui duas subseqüências que convergem para limites diferentes. Observação 2.4 Se uma seqüência não é limitada, ela não é convergente. Teorema 2.4 Toda seqüência monótona limitada é convergente. Suponhamos que (x n ) n N é não-decrescente, isto é, x n x n+1 para todo n N. Seja b R tal que x n b para todo n N e seja a = sup{x n n N}. 74 J. Delgado - K. Frensel

Limite de uma seqüência Vamos mostrar que a = lim x n. Dado ε > 0, como a ε < a, a ε não é cota superior do conjunto dos termos da seqüência. Logo, existe n 0 N tal que a ε < x n0 a. Como x n x n0, para todo n n 0, temos Assim, lim x n = a. a ε < x n0 x n a < a + ε para todo n n 0. De modo análogo, podemos provar que se (x n ) n N é não-crescente, então lim x n = inf{x n n N}. Corolário 2.2 Se uma seqüência monótona (x n ) n N possui uma subseqüência convergente, então (x n ) n N é convergente. Pela observação 1.5, temos que a seqüência monótona (x n ) n N é limitada porque possui uma subseqüência convergente e, portanto limitada. Então, pelo teorema anterior, (x n ) n N é convergente. Reexaminaremos os exemplos anteriores quanto à convergência. Exemplo 2.1 Toda seqüência constante, x n = a, n N, é convergente e tem limite a. Exemplo 2.2 A seqüência de termo geral x n = n, n N, não é convergente porque não é limitada. Exemplo 2.3 A seqüência (1, 0, 1, 0,...), onde x n = 1 + ( 1)n+1, n N, 2 é divergente porque possui duas subseqüências (x 2n ) n N e (x 2n 1 ) n N que convergem para limites diferentes. Exemplo 2.4 A seqüência ( 1 n ) n N tem limite zero. De fato, dado ε > 0 existe n 0 N tal que 1 n 0 < ε. Então, ε < 1 n < 1 n 0 < ε, para todo n > n 0. Instituto de Matemática - UFF 75

Análise na Reta Exemplo 2.5 A seqüência (1, 0, 2, 0, 3, 0,..., 0, n, 0, n + 1, 0,...) não é convergente porque possui uma subseqüência, (x 2n 1 ) n N, ilimitada. Exemplo 2.6 Sejam a R e a seqüência (a n ) n N. Então: Se a = 1 ou a = 0, a seqüência constante (a n ) n N converge e tem limite 1 e 0, respectivamente. Se a = 1, a seqüência ( 1, 1, 1, 1,...) é divergente, pois possui duas subseqüências, (x 2n ) n N e (x 2n 1 ) n N, que convergem para limites diferentes. Se a > 1, a seqüência (a n ) n N é divergente, pois é crescente e ilimitada superiormente. Se a < 1, a seqüência (a n ) n N é divergente, pois não é limitada superiormente nem inferiormente. Se 0 < a < 1, a seqüência (a n ) n N convergente. Além disso, lim a n = 0. é decrescente e limitada, logo, Com efeito, dado ε > 0, existe n 0 N tal que 1 a > 1 n ε para todo n n 0, ( ( 1 ) n ) pois a seqüência é crescente e ilimitada superiormente, já a n N que 1 a > 1. Logo, ε < an < ε n n 0. Se 1 < a < 0, 0 < a < 1. lim a n = 0, pois lim a n = lim a n = 0, já que Observação 2.5 lim x n = 0 lim x n = 0. Exemplo 2.7 Se 0 < a < 1, a seqüência (x n ) n N, onde x n = 1 + a +... + a n = 1 an+1 1 a, é convergente porque é crescente e limitada superiormente. Além disso, lim x n = 1 1 a. De fato, dado ε > 0, existe n 0 N tal que a n < ε(1 a) para todo n > n 0. Logo, x n 1 = an+1 1 a 1 a < ε para todo n n 0. 76 J. Delgado - K. Frensel

Limite de uma seqüência O mesmo vale para a tal que 0 a 1, ou seja, lim x n = 1 1 a, apesar de (x n ) n N não ser monótona para 1 < a < 0. Exemplo 2.8 Sejam a n = 1 + 1 1! + 1 2! +... + 1 n! +... e b n = para todo n N. ( 1 + 1 n) n, Como as seqüências (a n ) n N e (b n ) n N são crescentes e limitadas, elas são convergentes. Mostraremos depois que lim a n = lim b n logaritmos naturais. = e, onde e é a base dos Exemplo 2.9 Seja (x n ) n N a seqüência dada por Já vimos que: x 2n+1 = 1 2 x 1 = 0, x 2 = 1 e x n+2 = x n + x n+1 2 ( 1 + 1 4 +... + 1 4 n 1 ) = 1 2 ( 1 1 4 1 1 4 ) n, n N. = 2 3 ( 1 1 4 n ), e ( 1 x 2n = 1 4 +... + 1 ) = 2 4 n 1 1 1 = 2 4 n 1 1 = 2 4 3 4 ( 1 + 1 4 +... + 1 4 n 1 ) ( 1 1 4 n ) = 2 3 + 4 3 1 4 n. Então a subseqüência (x 2n 1 ) n N é crescente limitada superiormente e a subseqüência (x 2n ) n N é decrescente limitada inferiormente. Afirmação 1: lim x 2n 1 = 2 3. Com efeito, dado ε > 0, existe n 0 N tal que 1 4 < ε, para todo n > n 0, n 1 pois lim 4 = 0, já que 0 < 1 n 4 < 1. Logo, x 2n+1 2 = 2 3 3 Afirmação 2: lim x 2n = 2 3. ( 1 4 n ) < ε para todo n > n 0. Instituto de Matemática - UFF 77

Análise na Reta Dado ε > 0, n 0 N tal que 1 4 < 3 n 4 ε para todo n n 0. Assim, x 2n 2 = 4 3 3 1 4 < ε para todo n n 0. n Afirmação 3: Se lim x 2n+1 = lim x 2n = a então lim x n = a. De fato, dado ε > 0 existem n 1, n 2 N tais que x n a < ε se n > n 1, n par, e x n a < ε se n > n 2, n ímpar. Seja n 0 = max{n 1, n 2 }. Então, x n a < ε para todo n > n 0, pois n > n 0 n 1 e n > n 0 n 2. Pelas 3 afirmações acima, temos que a seqüência (x n ) n N é convergente e lim x n = 2 3. Exemplo 2.10 Como a seqüência ( n n) n N é decrescente a partir do terceiro termo e é limitada inferiormente por 0, temos que ( n n) n N é convergente. Mostraremos depois que lim n n = 1. 3. Propriedades aritméticas dos limites Teorema 3.1 Se lim x n = 0 e (y n ) n N é uma seqüência limitada, então lim (x n y n ) = 0. Seja c R, c > 0, tal que y n < c para todo n N. Dado ε > 0 existe n 0 N tal que x n < ε c para todo n > n 0. Logo, x n y n < c ε c = ε para todo n > n 0. Isso mostra que lim (x n y n ) = 0. sen(nx) Exemplo 3.1 Para todo x N, lim = 0, pois a seqüência n ( 1 (sen(nx)) n N é limitada já que sen(nx) 1, e a seqüência con- n) verge para zero. n N 78 J. Delgado - K. Frensel

Propriedades aritméticas dos limites Observação 3.1 Se lim y n = b e b 0, então existe n 0 N tal que y n 0 para todo n > n 0. De fato, seja ε = b > 0. Então existe n 0 N tal que y n (b b, b + b ) para todo n > n 0, ou seja, b b < y n n 0. Logo, y n > b b = b b = 0 para todo n > n 0, se b > 0, ou y n n 0, se b < 0. Assim, y n 0 para todo n > n 0, se b 0. No item 3 do teorema abaixo, vamos considerar a seqüência ( xn a partir de seu n 0 ésimo termo, onde n 0 N é tal que y n 0 se n n 0. y n ) n N Teorema 3.2 Se lim x n = a e lim y n = b, então: (1) lim (x n + y n ) = a + b ; (2) lim (x n y n ) = a b ; (3) lim x n = a, se b 0. y n b lim (x n y n ) = a b ; (1) Dado ε > 0 existem n 1, n 2 N tais que x n a < ε 2 y n b < ε 2 para n > n 1, para n > n 2. Seja n 0 = max{n 1, n 2 }. Então, para todo n > n 0. (x n + y n ) (a + b) = (x n a) + (y n b) x n a + y n b < ε 2 + ε 2 = ε Se prova, de modo análogo, que (x n y n ) (a b). (2) Como x n y n ab = x n y n x n b + x n b ab = x n (y n b) + (x n a)b, lim (x n a) = lim (y n b) = 0 e (x n ) n N é limitada, por ser convergente, temos que lim x n (y n b) = lim (x n a)b = 0, pelo teorema 3.1. Instituto de Matemática - UFF 79

Análise na Reta Logo, pelo item (1), lim (x ny n ab) = lim x n (y n b) + lim (x n a)b = 0. Assim, lim x n y n = ab. (3) Pelo item (2), lim y n b = b 2. Então, dado ε = b2 2, existe n 0 N tal que y n b > b 2 b2 2 = b2 2 > 0 para todo n > n 0. Segue-se que 0 < 1 y n b < 2 b 2 para todo n > n 0. Logo, a seqüência Assim, ( ) 1 y n b n N é limitada. ( xn lim a ) x = lim n b y n a y n b y n b pelo teorema 3.1, pois lim (x n b y n a) = ab ba = 0, pelos itens (1) e ( ) 1 (2), e é limitada. y n b n n 0 Logo, lim x n y n = a b. = 0 Observação 3.2 Resultados análogos aos itens (1) e (2) do teorema anterior valem, também, para um número finito qualquer de seqüências. Mas, o resultado não se aplica para somas, ou produtos, em que o número de parcelas, ou fatores, é variável e cresce acima de qualquer limite. Por exemplo, seja s n = 1 n +... + 1 n (n parcelas). Então, s n = 1 para todo n N e, portanto, lim s n = 1. 1 Assim, lim s n lim n +... + lim 1 n = 0 +... + 0 = 0. Exemplo 3.2 Seja a seqüência (x n ) n N, onde x n = n a, a > 0. Se a = 1, n a = 1 para todo n N, logo, lim n a = 1. Sejam b = n+1 a e c = n a, ou seja, b n+1 = c n = a. 80 J. Delgado - K. Frensel

Propriedades aritméticas dos limites Se a > 1, então n a é decrescente e limitada. De fato, b = n+1 a > 1, pois b n+1 = a > 1, e b n 1 para todo n N. Se 0 < a < 1, então n a é crescente e limitada. De fato, b = n+1 a < 1, pois b n+1 = a < 1, e b n > b n b = b n+1 = c n. Logo, b > c, ou seja, n+1 a > n a e n a < 1 para todo n N. Como, para todo a > 0, a seqüência ( n a) n N temos, pelo teorema 2.4, que existe lim n a = l. Afirmação: lim n a = l > 0. é monótona e limitada, Se a > 1, lim n a = inf{ n a n N} 1, pois ( n a) n N é decrescente e 1 é uma cota inferior. Se 0 < a < 1, lim n a = sup{ n a n N} a, pois ( n a) n N é crescente e n a a para todo n N. Afirmação: lim n a = 1. Consideremos a subseqüência (a 1 n(n+1) )n N = (a 1 n 1 n+1 )n N. Pelo teorema 2.2 e pelo item (3) do teorema 3.2, obtemos: l = lim a 1 n(n+1) = lim a 1 n 1 n+1 = lim 1 a n a 1 n+1 = l l = 1. Exemplo 3.3 Podemos, agora, mostrar que lim n n = 1. Como ( n n) n N é uma seqüência decrescente a partir de seu terceiro termo e n n 1 para todo n N, temos que l = lim n n = inf{ n n n 3} 1. Tomando a subseqüência ((2n) 1 2n ) n N, obtemos que [ ] 2 l 2 = lim (2n) 1 2n = lim (2n) 1 n = lim 2 1 n lim n 1 n = 1 l = l. Sendo l 0 e l 2 = l, temos que l = 1. [ = lim ] 2 1 1 n n n Instituto de Matemática - UFF 81

Análise na Reta Exemplo 3.4 Seja lim y n = 0. Se a seqüência lim x n = 0, pois ( xn y n ) n N é convergente ou, pelo menos, limitada, então [ ] lim x x n = lim y n n = 0. y n Portanto, se lim y n = 0 e a seqüência (x n ) n N diverge ou converge para ( ) xn um limite diferente de zero, então a seqüência é divergente e ilimitada. Suponhamos agora que lim x n = lim y n = 0. Neste caso, a seqüência ( ) xn pode ser convergente ou não. Por exemplo: y n n N y n n N se x n = 1 n e y n = 1 a n, a 0, então x n y n = a a. se x n = ( 1)n n e y n = 1 ( ) n, então a seqüência xn y n é divergente, pois x n = ( 1) n. y n se x n = 1 n e y n = 1 ( ) n, então a seqüência xn 2 y n pois x n y n = n. n N n N não converge, Teorema 3.3 (Permanência do sinal) Se lim x n = a > 0, existe n 0 N tal que x n > 0 para todo n n 0. n Dado ε = a 2 > 0, existe n 0 N tal que a a 2 < x n < a + a 2 para todo n n 0. Logo, x n > a a 2 = a 2 > 0 para todo n n 0. Observação 3.3 De modo análogo, se x n a < 0, existe n 0 N tal que x n < 0 para todo n 0. 82 J. Delgado - K. Frensel

Propriedades aritméticas dos limites Corolário 3.1 Sejam (x n ) n N e (y n ) n N seqüências convergentes. Se x n y n para todo n N, então lim x n lim y n Suponhamos, por absurdo, que lim x n > lim y n. Então, lim (x n y n ) = lim x n lim y n > 0. Logo, existe n 0 N tal que x n y n > 0, ou seja, x n > y n para todo n n 0. o que contradiz a hipótese. Observação 3.4 Quando x n < y n para todo n N, não se pode garantir que lim x n < lim y n. Por exemplo, tome x n = 0 e y n = 1 n, ou x n = 1 n 2 e y n = 1 n. Corolário 3.2 Se (x n ) uma seqüência convergente. Se x n a para todo n N, então lim x n a. Teorema 3.4 (Teorema do Sandwiche) Se x n z n y n para todo n N e lim x n = lim y n = a, então lim z n = a. Dado ε > 0, existem n 1, n 2 N tais que a ε < x n < a + ε para todo n n 1 e a ε < y n < a + ε para todo n n 2. Seja n 0 = max{n 1, n 2 }. Então,a ε < x n z n y n < a + ε para todo n n 0. Logo, lim z n = a. Exemplo 3.5 Sejam a n = 1 + 1 1! + 1 2! +... + 1 n! e b n = ( 1 + 1 n) n, n N. Já provamos antes que as seqüências (a n ) n N e (b n ) n N são crescentes e limitadas, e que b n < a n para todo n N. Então, lim b n lim a n = e. Por outro lado, fixando p N, temos, para todo n > p, Instituto de Matemática - UFF 83

Análise na Reta b n = 1 + 1 + 1 2! + 1 n! 1 + 1 + 1 2! + 1 p! ( 1 1 ) + 1 ( 1 1 ) ( 1 2 ) +... n 3! n n 1 n 1 ) ( 1 1 ) ( 1 2 ) (... n n ( 1 1 ) + 1 ( 1 1 n 3! n ) ( 1 1 ) (... n 1 p 1 n. n ) ( 1 2 n ) +... Fazendo n e mantendo p fixo, o lado direito da desigualdade acima tende para a p. Logo, lim b n a p para todo p N e, portanto, lim b n lim p a p. Notação: no seguinte, escreveremos as seqüências na forma (x n) mais simples do que (x n) n N e os limites lim xn, também, na forma mais simples lim x n, desde que não surjam ambigüidades. Obtemos, então, que lim 4. Subseqüências ( 1 + 1 n) n = lim (1 + 1 1! + 1 2! +... + 1 n! ) = e. O número real a é o limite da seqüência x = (x n ) se, e só se, para todo ε > 0 o conjunto x 1 (a ε, a + ε) = { n N x n (a ε, a + ε) } tem complementar finito em N. Para subseqüências, temos o seguinte resultado: Teorema 4.1 Um número real a é o limite de uma subseqüência de (x n ) se, e só se, para todo ε > 0, o conjunto dos índices n tais que x n (a ε, a + ε) é infinito. (= ) Seja a = lim n N x n, onde N = {n 1 < n 2 <... < n k <...}. Então, para todo ε > 0, existe k 0 N tal que x nk (a ε, a + ε) para todo k > k 0. Como o conjunto {n k k > k 0 } é infinito, existem infinitos n N tais que x n (a ε, a + ε). ( =) Para ε = 1, existe n 1 N tal que x n1 (a 1, a + 1). 84 J. Delgado - K. Frensel

Subseqüências Suponhamos, por indução, que n 1 < n 2 <... < n k foram escolhidos de ( modo que x ni a 1 i, a + 1 ), para i = 1,..., k. i Seja ε = 1 { ( k + 1 > 0. Como o conjunto n N x n a 1 é infinito, existe n k+1 N, tal que n k+1 > n k e x nk k + 1, a + 1 ) } k + 1 ( a 1 k + 1, a + 1 ). k + 1 Então, N = {n 1 < n 2 <... < n k <...} é infinito e como x nk a < 1 k para todo k N, temos que lim x nk = a, ou seja, a é o limite de uma k subseqüência de (x n ) n N. Definição 4.1 Um número real a é valor de aderência da seqüência (x n ) quando a é o limite de uma subseqüência de (x n ). Observação 4.1 Como um subconjunto de N é infinito se, e só se, é ilimitado, temos que as seguintes afirmações são equivalentes: Terminologia: na literatura, ponto de acumulação, valor de acumulação, valor limite, ponto limite e ponto aderente são sinônimos de valor de aderência. a R é valor de aderência da seqüência (x n ) ; para todo ε > 0 e todo n 0 N, existe n N, tal que n > n 0 e x n (a ε, a + ε) ; todo intervalo de centro a contém termos x n com índices arbitrariamente grandes. Observação 4.2 Se lim x n = a, então a é o único valor de aderência de (x n ). Mas a recíproca não é verdadeira. Por exemplo, a seqüência (0, 1, 0, 3, 0, 5,...) só possui o zero como valor de aderência, mas é divergente, já que é ilimitada. Exemplo 4.1 A seqüência (1, 0, 1, 0,...) tem apenas o zero e o um como valores de aderência. Exemplo 4.2 Seja {r 1, r 2,..., r n,...} uma enumeração dos números racionais de termos dois a dois distintos. Como todo intervalo aberto (a ε, a + ε), a R e ε > 0, contém uma infinidade de números racionais, pois Q é denso em R, temos que o conjunto {n N r n (a ε, a + ε)} Instituto de Matemática - UFF 85

Análise na Reta é infinito e, portanto, a é valor de aderência de (r n ). Ou seja, todo número real a é valor de aderência da seqüência (r n ). Exemplo 4.3 A seqüência (x n ), x n = n, não possui valor de aderência, pois toda subseqüência de (x n ) é ilimitada. Seja (x n ) uma seqüência limitada de números reais, onde γ x n β para todo n N. Seja X n = {x n, x n+1,...}. Então, [γ, β] X 1 X 2... X n... Sendo a n = inf X n e b n = sup X n, temos que a n+1 a n e b n+1 b n, pois, como X n+1 X n, temos a n = inf X n x j e b n = sup X n x j, para todo j n, e, portanto, para todo j n + 1. Ou seja, a n é cota inferior de X n+1 e b n é cota superior de X n+1. Logo, a n a n+1 e b n+1 b n. Além disso, a n b n para todo n N. Assim, a n b m quaisquer que sejam n, m N, pois: e Logo, se m > n = a n a m b m, se m n = a n b n b m. γ a 1 a 2... a n... b m... b 2 b 1 β. Existem, portanto, os limites a = lim a n = sup n N a n = sup inf X n, n N b = lim b n = inf n N b n = inf n N sup X n. Notação: em alguns livros de Análise, pode ser encontrada a notação lim x n em vez de lim sup x n e lim x n em vez de lim inf x n. Dizemos que a é o limite inferior e b é limite superior da seqüência limitada (x n ), e escrevemos a = lim inf x n e b = lim sup x n. Temos, também, que sup n N é uma cota inferior do conjunto {b m m N}. a n b m para todo m N, ou seja, sup a n n N 86 J. Delgado - K. Frensel

Subseqüências Logo, sup a n inf b n, ou seja, n n a = lim inf x n b = lim sup x n. Exemplo 4.4 Seja a seqüência (x n ), onde x 2n 1 = 1 n e x 2n = 1 + 1 n, n N. Então, { X 2n 2 = 1 + 1 n 1, 1 n, 1 + 1 n, 1 } n + 1,..., { X 2n 1 = 1 n, 1 + 1 n, 1 n + 1, 1 + 1 } n + 1,..., { X 2n = 1 + 1 n, 1 n + 1, 1 + 1 n + 1, 1 } n + 2,..., Assim, inf X 2n 2 = inf X 2n 1 = 1 n e sup X 2n 1 = sup X 2n = 1 1 + n. Logo, a = lim inf x n = sup inf X n = 0 e b = lim sup x n = inf sup X n = 1. n n Como (x 2n 1 ) e (x 2n ) são subseqüências convergentes de (x n ), lim x 2n 1 = 0 1 = lim x 2n, segue-se que 0 e 1 são seus únicos valores de aderência. Teorema 4.2 Seja (x n ) uma seqüência limitada. Então, a = lim inf x n é o menor valor de aderência de (x n ) e b = lim sup x n aderência de (x n ). e é o maior valor de Vamos provar primeiro que a = lim inf x n é valor de aderência de (x n ). Dados ε > 0 e n 0 N, como a = lim a n, existe n 1 > n 0 tal que a n1 (a ε, a + ε). Sendo a n1 = inf X n1 e a + ε > a n1, existe n n 1 tal que a ε < a n1 x n < a + ε. Provamos, então, que dados ε > 0 e n 0 N, existe n > n 0 tal que x n (a ε, a + ε). Logo, pelo teorema 4.1, a é valor de aderência de (x n ). Vamos, agora, provar que a é o menor valor de aderência de (x n ). Seja c < a. Como a = lim a n, existe n 0 N, tal que c < a n0 a. Ou seja, pois a n0 = inf{x n0, x n0 +1,...}. c < a n0 x n, para todo n n 0, Instituto de Matemática - UFF 87

Análise na Reta Tomando ε = a n0 c, temos que c + ε = a n0. Logo, x n c + ε, ou seja, x n (c ε, c + ε) para todo n n 0. Assim, c não é valor de aderência de (x n ). A demonstração de que b = lim sup x n é o maior valor de aderência de (x n ) se faz de modo análogo. Corolário 4.1 Toda seqüência limitada de números reais possui uma subseqüência convergente. Como a = lim inf x n é valor de aderência de (x n ), (x n ) possui uma subseqüência que converge para a. Corolário 4.2 Uma seqüência limitada de números reais (x n ) é convergente se, e só se, lim inf x n = lim sup x n, isto é, se, e só se, (x n ) possui um único valor de aderência. (= ) Se (x n ) é convergente e lim x n aderência de (x n ). = c, então c é o único valor de Logo, lim inf x n = lim sup x n = lim x n. ( =) Suponhamos que a = lim inf x n = lim sup x n. Como lim a n = lim b n = a, dado ε > 0, existe n 0 N tal que a ε < a n0 a b n0 < a + ε. Mas, a n0 x n b n0 para todo n n 0. Logo, a ε < a n0 x n b n0 < a + ε, para todo n n 0. Assim, lim x n = a. Teorema 4.3 Sejam a = lim inf x n e b = lim sup x n, onde (x n ) é uma seqüência limitada. Então, dado ε > 0, existe n 0 N tal que a ε < x n n 0. Além disto, a é o maior e b é o menor número com esta propriedade. 88 J. Delgado - K. Frensel

Subseqüências Seja ε > 0. Suponha que existe uma infinidade de índices n tais que x n < a ε. Estes índices formam um subconjunto N N infinito. Então, a subseqüência (x n ) n N possui um valor de aderência c a ε, pois x n < a ε para todo n N, o que é absurdo, pois c < a e a é o menor valor de aderência de (x n ). Logo, dado ε > 0, existe n 1 N tal que x n > a ε para todo n > n 2. De modo análogo, suponha que existe uma infinidade de índices n tais que x n > b + ε. Então estes índices formam um subconjunto N N infinito. A subseqüência (x n ) n N possui um valor de aderência c b + ε, já que x n > b + ε para todo n N, o que é absurdo, pois c b + ε > b e b é o maior valor de aderência de (x n ). Logo, existe n 2 N tal que x n 1. Seja n 0 = max{n 1, n 2 }. Então a ε < x n n 0. Seja a < a e tome ε = 1 2 (a a). Então, a + ε = a ε. Sendo a um valor de aderência de (x n ), existe uma infinidade de índices n tais que a ε < x n < a + ε = a ε. Logo, nenhum número real a > a goza da propriedade acima. Seja b < b e tome ε = 1 2 b b. Então, b + ε = b ε. Como b é valor de aderência de (x n ), existe uma infinidade de índices n tais que b + ε = b ε < x n n 1. Analogamente, se d > lim sup x n, então existe n 2 N tal que x n < d para todo n > n 2. Se c < a = lim inf x n, então c = a ε, com ε = a c > 0. Então, pelo teorema 4.3, existe n 1 N tal que x n > a ε = c para todo n > n 1. De modo análogo, podemos provar a afirmação com respeito ao lim sup x n = b, tomando ε = d b > 0. Instituto de Matemática - UFF 89

Análise na Reta Corolário 4.4 Dada uma seqüência limitada (x n ), sejam a e b números reais com as seguintes propriedades: se c < a, então existe n 1 N tal que x n > c para todo n > n 1 ; se b < d, então existe n 2 N tal que x n < d para todo n > 2. Nestas condições a lim inf x n e lim sup x n b. Os corolários acima apenas repetem, com outras palavras, as afirmações do teorema 4.3. Sem usar as noções de limites inferior e superior de uma seqüência limitada vamos provar que: Veja, também, o exercício 15. Toda seqüência limitada de números reais possui uma subseqüência convergente. Suponhamos que x n [a, b] para todo n N. Seja A = {t R t x n para uma infinidade de índices n}. Como a x n b para todo n N, temos que a A e nenhum elemento de A pode ser maior do que b. Assim, A e é limitado superiormente por b. Portanto, existe c = sup A. Vamos usar o teorema 4.1 para provar que c é valor de aderência da seqüência (x n ). Dado ε > 0, existe t A tal que c ε < t c. Logo, há uma infinidade de índices n tais que c ε < x n. Por outro lado, como c + ε A, existe apenas um número finito de índices n tais que x n c + ε. Assim, existe um número infinito de índices n tais que c ε < x n < c+ε. Observação 4.3 c = lim sup x n. Sejam X n = {x n, x n+1,...} e b n = sup X n, n N. Por definição, lim sup x n = inf b n. Afirmação: c b n para todo n N, ou seja, c é uma cota inferior do conjunto {b n n N}. 90 J. Delgado - K. Frensel

Seqüências de Cauchy Seja n N. Como b n x m para todo m n, temos que se t b n, então t x m para todo m n. Logo, A (, b n ), ou seja, c = sup A b n. Como c b n para todo n N e α = lim sup x n = inf n N b n, temos que c α. Suponhamos, por absurdo, que c < α. Logo, α A, ou seja, existe n 1 N tal que α > x n para todo n n 1. Então, α b n para todo n n 1. Mas, α = inf n N b n, ou seja, α b n para todo n N. Assim, α = b n = sup X n para todo n n 1. Tome ε = 1 2 (α c). Então, para todo n n 1, existe m > n tal que α ε < x m, ou seja, x m > 1 (α + c) > c. 2 Portanto, o conjunto dos índices n tais que 1 2 (α + c) < x n é ilimitado, logo, infinito. Então 1 2 (α + c) A e 1 (α + c) > c = sup A, o que é uma contradição. 2 Logo, c = sup A = α = lim sup x n. 5. Seqüências de Cauchy Definição 5.1 Dizemos que uma seqüência (x n ) é de Cauchy quando para todo ε > 0 dado, existir n 0 N, tal que x m x n < ε quaisquer que sejam m, n > n 0. Teorema 5.1 Toda seqüência convergente é de Cauchy. Seja a = lim x n. Dado ε > 0, existe n 0 N tal que x m a < ε 2 e x n a < ε 2, quaisquer que sejam m, n > n 0. Logo, x m x n x m a + x n a < ε 2 + ε 2 = ε para todos m, n > n 0. Instituto de Matemática - UFF 91

Análise na Reta Antes de provarmos a recíproca do teorema acima, vamos demonstrar dois lemas importantes. Lema 5.1 Toda seqüência de Cauchy é limitada. Seja ε = 1 > 0. Então, existe n 0 N tal que x m x n < 1, quaisquer que sejam m, n n 0. Em particular, x m x n0 < 1, ou seja, x n0 1 < x n < x n0 + 1 para todo n n 0. Sejam a o menor e b o maior elementos do conjunto {x n0 1, x n0 + 1, x n1,..., x n0 1}. Então, a x n b para todo n N, ou seja, a seqüência (x n ) é limitada. Lema 5.2 Se uma seqüência de Cauchy (x n ) possui uma subseqüência convergindo para a R, então lim x n = a. Dado ε > 0, existe n 0 N tal que x m x n ε 2 m, n > n 0. quaisquer que sejam Como a é limite de uma subseqüência de (x n ), existe, pelo teorema 4.1, n 1 N, n 1 > n 0, tal que x n1 a < ε 2. Logo, x n a x n x n1 + x n1 a < ε 2 + ε 2 = ε, para todo n > n 0. Com isto, provamos que a = lim x n. Teorema 5.2 Toda seqüência de Cauchy de números reais converge. Seja (x n ) uma seqüência de Cauchy. Pelo lema 5.1, (x n ) é limitada e, portanto, pelo corolário 4.1, (x n ) possui uma subseqüência convergente. Então, pelo lema 5.2, (x n ) é convergente. 92 J. Delgado - K. Frensel

Seqüências de Cauchy Observação 5.1 (Método das aproximações sucessivas) Seja 0 λ < 1 e suponhamos que a seqüência (x n ) satisfaz a seguinte condição: x n+2 x n+1 λ x n+1 x n, para todo n N. Então, x n+1 x n λ n 1 x 2 x 1, para todo n N. De fato, se n = 1, a desigualdade é válida, e se x n+1 x n λ n 1 x 2 x 1, então x n+2 x n+1 λ x n+1 x n λ n x 2 x 1. Assim, para m, p N arbitrários, temos: Como x n+p x n x n+p x n+p 1 +... + x n+1 x n (λ n+p 2 + λ n+p 1 +... + λ n 1 ) x 2 x 1 = λ n 1 (λ p 1 + λ p 2 +... + λ + 1) x 2 x 1 n 1 1 λp = λ 1 λ x 2 x 1 λn 1 1 λ x 2 x 1. λ lim n 1 1 λ x 2 x 1 = 0, dado ε > 0, existe n 0 N tal que 0 λn 1 1 λ x 2 x 1 < ε para todo n > n 0. Logo, x n+p x n < ε para todo p N e todo n > n 0, ou seja, x m x n < ε quaisquer que sejam m, n > n 0. Então, (x n ) é de Cauchy e, portanto, converge. Aplicação: Aproximações sucessivas da raiz quadrada Seja a > 0 e seja a seqüência definida por x 1 = c, onde c é um número real positivo arbitrário, e x n+1 = 1 ) (x n + axn, para todo n N. 2 Se provarmos que a seqüência é convergente e lim x n = b > 0, então teremos que b = lim x n+1 = lim 1 2 ) (x n + axn = 1 2 ( b + a ). b Logo, b = a b, ou seja, b2 = a. Instituto de Matemática - UFF 93

Análise na Reta Para isto, precisamos provar antes o seguinte lema: Lema 5.3 Para todo x > 0, tem-se 1 2 ( x + a ) a > x 2. 1 2 ( x + a ) x > a 2 x + a x > 2 a 2 x 2 + 2a + a2 x 2 > 2a, o que é verdadeiro, pois x 2 0 e a2 x 0. 2 a Pelo lema, temos que x n > 2, para todo n > 1. Portanto, x n x n+1 > a 2, ou seja, a 2 x n x n+1 < 1 para todo n > 1. Afirmação: x n+2 x n+1 1 2 x n+1 x n para todo n > 1. De fato, como x n+2 x n+1 = 1 ( x n+1 + a ) 1 ) (x n + axn 2 x n+1 2 = 1 2 (x n+1 x n ) + a ( 1 1 ) 2 x n+1 x n = 1 2 (x n+1 x n ) + a ( ) xn x n+1, 2 x n+1 x n temos que pois 0 < a 2 x n x n+1 < 1. x n+2 x n+2 x n+1 x n = 1 2 a 2 x n x n+1 1 2, Pela observação 5.1, (x n ) é de Cauchy e, portanto, convergente, e a lim x n = b > 0, pois x n >, para todo n > 1. 2 6. Limites infinitos Definição 6.1 Dizemos que uma seqüência (x n ) tende para mais infinito, e escrevemos lim x n = +, quando para todo número real A > 0 dado, existir n 0 N tal que x n > A para todo n > n 0. 94 J. Delgado - K. Frensel

Limites infinitos Exemplo 6.1 Se x n = n, então lim x n = +, pois dado A > 0, existe n 0 N tal que n 0 > A. Logo x n = n > A para todo n > n 0. Exemplo 6.2 Seja a seqüência (a n ), onde a > 1. Como a > 1, existe h > 0 tal que a = 1 + h. Dado A > 0, existe n 0 N tal que n 0 > A 1. Logo, pela desigualdade de Bernoulli, h a n = (1 + h) n 1 + nh > 1 + n 0 h > A, para todo n > n 0. Logo, lim a n = + se a > 1. Mais geralmente, uma seqüência não-decrescente (x n ) ou é convergente, se for limitada, ou lim x n = +, se for ilimitada. De fato, se (x n ) é não-decrescente ilimitada, dado A > 0, existe n 0 N tal que x n0 > A. Logo, x n x n0 > A para todo n n 0. Observação 6.1 Se lim x n = +, então (x n ) é ilimitada superiormente, mas é limitada inferiormente. Observação 6.2 Se lim x n = +, então toda subseqüência de (x n ) também tende para +. Exemplo 6.3 Para todo p N, lim n p = +, pois (1 p, 2 p,..., n p,...) é uma subseqüência da seqüência (1, 2,..., n...) que tende para +. Exemplo 6.4 A seqüência ( p n) n N, para todo p N, tende para +, pois é crescente e ilimitada superiormente, já que ( p n p ) n N = (n) n N é uma subseqüência ilimitada superiormente da seqüência ( p n) n N. Exemplo 6.5 A seqüência (n n ) n N tende para +, pois n n n para todo n N e a seqüência (n) tende para +. Definição 6.2 Dizemos que uma seqüência (x n ) tende para, e escrevemos lim x n =, quando para todo A > 0 existir n 0 N tal que x n < A para todo n > n 0. Observação 6.3 lim x n = + lim( x n ) =. Instituto de Matemática - UFF 95

Análise na Reta Observação 6.4 Se lim x n = então (x n ) é ilimitada inferiormente, mas é limitada superiormente. Exemplo 6.6 A seqüência (( 1) n n) n N não tende para + nem para, pois ela é ilimitada superiormente e inferiormente. Exemplo 6.7 A seqüência (0, 1, 0, 2, 0, 3,...) é ilimitada superiormente e limitada inferiormente, mas não tende para +, pois possui uma subseqüência (x 2n 1 = 0) que não tende para + por ser constante. Teorema 6.1 (Operações aritméticas com limites infinitos) (1) Se lim x n = + e a seqüência (y n ) é limitada inferiormente, então lim(x n + y n ) = +. (2) Se lim x n = + e existe c > 0 tal que y n > c para todo n N, então lim(x n y n ) = +. (3) Seja x n > 0 para todo n N. Então lim x n = 0 lim 1 x n = +. (4) Sejam (x n ) e (y n ) seqüências de números positivos. Então: (a) se existe c > 0 tal que x n > c para todo n N e se lim y n = 0, então lim x n y n = +. (b) se (x n ) é limitada e lim y n = +, então lim x n y n = 0. (1) Existe b < 0 tal que y n b para todo n N. Dado A > 0, temos que A b > 0. Logo, existe n 0 N tal que x n > A b para todo n > n 0. Assim, x n + y n > A b + b = A para todo n > n 0 e, portanto lim(x n + y n ) = +. (2) Dado A > 0 existe n 0 N tal que x n > A c para todo n > n 0. Logo, x n y n > A c c = A para todo n > n 0. Portanto, lim x n y n = +. (3) Suponhamos que lim x n = 0. Dado A > 0, existe n 0 N tal que 0 < x n < 1 A para todo n > n 0. Logo, lim 1 x n = +. 1 x n > A para todo n > n 0. Assim, 96 J. Delgado - K. Frensel

Limites infinitos Suponhamos, agora, que lim 1 x n = +. Dado ε > 0 existe n 0 N tal que 1 x n > 1 ε para todo n > n 0. Então ε < 0 < x n < ε para todo n > n 0. Logo, lim x n = 0. (4) (a) Dado A > 0, existe n 0 N tal que 0 < y n < c A. Então, x n y n > c c/a = A para todo n > n 0. Logo, lim x n y n = +. (b) Seja b > 0 tal que 0 < x n 0, existe n 0 N tal que y n > b ε para todo n > n 0. Então, 0 < x n y n n 0 e, portanto, lim x n y n = 0. Observação 6.5 é indeterminado, ou seja, se lim x n = + e lim y n =, nada se pode afirmar sobre lim(x n + y n ). Pode ser que a seqüência (x n + y n ) seja convergente, tenda para +, tenda para ou não tenha limite algum. Exemplo 6.8 Se x n = n + a e y n = n, então lim x n = +, lim y n = e lim(x n + y n ) = a. Exemplo 6.9 Se x n = n + 1 e y n = n, então lim x n = + e lim y n =, mas lim n + y n ) = lim ( n + 1 ( n + 1 n)( n + 1 + n) n) = lim n + 1 + n = 1 lim = 0. n + 1 + n Exemplo 6.10 Se x n = n 2 e y n = n, então lim x n = +, lim y n = e lim(x n + y n ) = lim(n 2 n) = +, pois n 2 n = n(n 1) > n se n 2. E, portanto, lim(n n 2 ) =. Instituto de Matemática - UFF 97

Análise na Reta Exemplo 6.11 Se x n = n e y n = ( 1) n n, então lim x n = + e lim y n algum. =, mas a seqüência (x n + y n ) = (( 1) n ) não possui limite Observação 6.6 é indeterminado, ou seja, se lim x n = + e lim y n = +, nada se pode dizer sobre o limite da seqüência ( xn Pode ser que essa seqüência convirja, que tenha limite + ou que não tenha limite algum. Exemplo 6.12 Se x n = n + 1 e y n = n 1, então lim x n = lim y n = +, e lim x n = lim n + 1 y n n 1 = lim 1 + 1/n 1 1/n = 1. Exemplo 6.13 Se x n = n 2 e y n = n, então lim x n = lim y n = + e lim x n y n = lim n = +. Exemplo 6.14 Se x n = (2 + ( 1) n )n e y n = n, então, lim x n = +, lim y n = +, mas a seqüência ( xn y n y n ). ) = (2 + ( 1) n ) não possui limite. Exemplo 6.15 Se x n = a n, a > 0 e y n = n, então lim x n = + lim y n = + e lim x n y n = lim a = a. Exemplo 6.16 Se a > 1, então lim an = +, para todo p N. np Como a > 1, a = 1 + h, onde h > 0. Logo, para todo n p, n ( ) p+1 n ( ) n a n = (1 + h) n = 1 n j h j h j j j Daí, a n n p 1 n p + + 1 (p 1)! = 1 + nh + j=0 n(n 1) h 2 +... + 2! h n + 1 ( 1 1 ) h 2 p 1 2 n n +... ( p 2 1 1 ) (... 1 p 1 n n j=0 ) h p 1 + n p! n(n 1)... (n p) h p. p! ( 1 1 ) (... 1 p ) h p. n n 98 J. Delgado - K. Frensel

Séries numéricas Como ( 1 n p + h n p 1 + 1 2 + n ( 1 1 )... p! n lim temos que lim a n ( 1 1 ) h 2 n ) ) h p ( 1 p n n p 2 +... + 1 (p 1)! = +, = +, qualquer que seja p N. np ( 1 1 ) (... 1 p 1 ) h p 1 n n Isto significa que as potências a n, a > 1, crescem com n mais rapidamente do que qualquer potência de n de expoente fixo. Exemplo 6.17 Mas, a lim n n = 0, a > 0. n De fato, seja n 0 N tal que a n 0 < 1 2. ( ( ) Então, 0 < an a n n a n n) = < 1 n n 0 2 ; para todo n n 0. n Logo, 0 lim an n lim 1 an = 0, ou seja, lim n 2n n = 0. n Exemplo 6.18 Para todo número real a > 0, tem-se lim n! a n = +. De fato, seja n 0 N tal que n 0 a > 2. Logo, para todo n > n 0, temos que n! a = n 0! n a n 0 n 0 + 1 a... n 0 + (n n 0 ) a > n 0! a n 0 2 n n 0, ou seja, n! a n > n 0! (2a) n 0 2n. Como lim 2 n = +, temos que lim n! a n = +. Isso significa que n! cresce mais rápido do que a n, para a > 0 fixo. 7. Séries numéricas A partir de uma seqüência de números reais (a n ) formamos uma nova seqüência (s n ), cujos termos são as somas: s n = a 1 +... + a n, n N, que chamamos as reduzidas da série a n. n=1 Instituto de Matemática - UFF 99

Análise na Reta A parcela a n é chamada o n ésimo termo ou termo geral da série. Se existe o limite s = lim s n = lim (a 1 +... + a n ), dizemos que a série é convergente e que s é a soma da série. Escrevemos, então, s = a n = a 1 + a 2 +... + a n +.... n=1 Notação: Usaremos também a notação a n para designar a série a n. n=1 Se a seqüência das reduzidas não converge, dizemos que a série an é divergente ou que diverge. Observação 7.1 Toda seqüência (x n ) pode ser considerada como a seqüência das reduzidas de uma série. De fato, basta tomar a 1 = x 1 e a n+1 = x n+1 x n, para todo n N, pois, assim, teremos: Assim, a série x 1 + s 1 = x 1, s 2 = a 1 + a 2 = x 1 + x 2 x 1 = x 2,.. s n = x 1 + (x 2 x 1 ) +... + (x n x n 1 ) = x n. (x n+1 x n ) converge se, e só se, a seqüência (x n ) n=1 converge. E, neste caso, a soma da série é igual a lim x n. Teorema 7.1 Se a n é uma série convergente, então, lim a n = 0. Seja s = lim s n, onde s n = a 1 +... + a n. Então, lim s n 1 = s. Logo, como a n = s n s n 1, temos que lim a n = lim(s n s n 1 ) = lim s n lim s n 1 = 0. Exemplo 7.1 A recíproca do teorema acima é falsa. De fato, basta considerar a série harmônica tende para zero, mas a série diverge. n=1 1 n. Seu termo geral 1 n 100 J. Delgado - K. Frensel

Séries numéricas Com efeito, para todo n 1, temos s 2 n = 1 + 1 ( 1 2 + 3 + 1 ) ( 1 + 4 5 + 1 6 + 1 7 8) + 1 ( 1 +... + 2 n 1 + 1 +... + 1 ) 2 n > 1 + 1 2 + 2 4 + 4 8 +... + 2n 1 2 n = 1 + n1 2, Logo, a subseqüência (s 2 n) tende a +. Como a seqüência (s n ) é crescente e ilimitada superiormente, temos que s n +, ou seja, a série harmônica diverge. n=1 Como consequência, para 0 < r < 1, a série para todo n > 1. n=1 1 n r diverge, pois 1 n r > 1 n Lembre que: n r = e r log n < e log n = n. Exemplo 7.2 A série geométrica a n é n=0 divergente, se a 1, pois, neste caso, seu termo geral a n não tende para zero. convergente, se a < 1, pois, neste caso, a seqüência das reduzidas é que tende para s n = 1 + a +... + a n = 1 an+1 1 a, 1 1 a. Isto é, a n = 1 1 a, se a < 1. n=0 Observação 7.2 Das propriedades aritméticas dos limites de seqüências, resulta que: se a n e b n são séries convergentes, então a série (a n + b n ) é convergente e (a n + b n ) = a n + b n. se a n é convergente, então a série (ra n ) é convergente e (ra n ) = r a n, para todo r R. se as séries a n e b n convergem, então a série c n cujo termo n n 1 geral é c n = a i b n + a n b j converge e c n = ( a n ) ( b n ). i=1 j=1 Instituto de Matemática - UFF 101

Análise na Reta De fato, sejam s n = a 1 +... + a n séries a n e b n. e t n = b 1 +... + b n as reduzidas das Como s n s e t n t, temos que ( a n ) ( b n ) = s t = lim s n t n = lim n a i b j. i,j=1 Afirmação: n n c l = a i b j, para todo n N. l=1 i,j=1 Se n = 1, 1 1 c l = c 1 = a 1 b 1 = a i b j. l=1 i,j=1 Suponhamos, por indução, que ( n n ) ( n ) c l = a i b j. l=1 i=1 j=1 Então, n+1 c l = l=1 = = = = ( n n ) ( n ) c l + c n+1 = a i b j + c n+1 l=1 i=1 j=1 ( n ) ( n ) n+1 n a i b j + a i b n+1 + a n+1 b j i=1 j=1 i=1 j=1 ( n ) ( n ) n a i b j + a i b n+1 + a n+1 b n+1 + i=1 j=1 i=1 ( n ) ( n+1 ) n+1 a i b j + a n+1 b j i=1 j=1 ( n+1 ) ( n+1 ) a i b j. i=1 j=1 j=1 n a n+1 b j j=1 Veremos depois que, em casos especiais, ( a n ) ( b n ) = p n, onde p n = n a i b n+1 i = a 1 b n + a 2 b n 1 +... + a n b 1. i=1 Exemplo 7.3 A série n=1 1 n(n + 1) é convergente e sua soma é 1. 102 J. Delgado - K. Frensel

Séries numéricas 1 De fato, como n(n + 1) = 1 n 1, a reduzida de ordem n da série é n + 1 ( s n = 1 1 ) ( 1 + 2 2 1 ( 1 +... + 3) n 1 ) = 1 1 n + 1 n + 1. Logo, 1 n(n + 1) = lim s n = 1. Exemplo 7.4 A série ( 1) n+1 = 1 1 + 1 1 +... é divergente, pois seu termo geral não tende para zero. Suas reduzidas de ordem par são iguais a zero e as de ordem ímpar são iguais a um. Observação 7.3 A série converge, onde n 0 N é fixo. a n converge se, e somente se, n=1 n=n 0 a n De fato, as reduzidas da primeira série são s n = a 1 +... + a n e as da segunda série são t n = a n0 + a n0 +1... + a n0 +n 1, ou seja, t n+1 = s n0 +n s n0 1. Logo, s n converge se, e somente se, t n converge. Isto significa que a convergência de uma série se mantém quando dela retiramos ou acrescentamos um número finito de termos. Teorema 7.2 Seja a n 0 para todo n N. A série a n converge se, e somente se, a seqüência das reduzidas é limitada, ou seja, se, e somente se, existe k > 0 tal que s n = a 1 +... + a n < k para todo n N. Como a n 0 para todo n, a seqüência (s n ) é monótona não-decrescente. Logo, (s n ) converte se, e somente se, (s n ) é limitada. Corolário 7.1 (Critério de comparação) Sejam a n e b n séries de termos não-negativos. Se existem c > 0 e n 0 N tais que a n cb n para todo n n 0, então a convergência de bn implica a convergência de a n, enquanto a divergência de a n acarreta a de b n. Sejam s n = a n0 +... + a n e t n = b n0 +... + b n para todo n n 0. Instituto de Matemática - UFF 103

Análise na Reta Se a série b n converge, existe k > 0 tal que b 1 +... + b n < k para todo n N. Logo, a seqüência crescente (s n) converge, pois s n < k para todo n n 0. a n é uma série conver- Assim, a série a n converge, e, portanto, n n 0 gente. Se a série a n diverge, a seqüência (s n ) de suas reduzidas, tende a. Como s n = s n s n0 1, temos que a seqüência (s n) tende a. Então a série b n diverge, pois t n t n 1 c s n, para todo n n 0, já que b n a n c para todo n n 0. n=1 Exemplo 7.5 Se r > 1, a série n=1 1 n r é convergente. Como os termos 1 n r da série são positivos, a seqüência (s n) de suas reduzidas é crescente. Então, para provar que (s n ) converge, basta mostrar que (s n ) possui uma subseqüência limitada. Para m = 2 n 1, pois ( 1 s 2 n 1 = 1 + 2 + 1 ) ( 1 + r 3 r 4 + 1 r 5 + 1 r 6 + 1 ) +... r 7 r ( ) 1 + (2 n 1 ) +... + 1 r (2 n 1) r < 1 + 2 2 + 4 r 4 +... + 2n 1 r (2 n 1 ) r n 1 ( 2 ) i =, 2 r i=0 1 (2 n 1) r = 1 (2 n 1 + 2 n 1 1) r. Como r > 1, temos 2 2 < 1. Logo, a série ( 2 ) n converge e é, portanto, r 2 r limitada. Assim, s m < c para todo m = 2 n 1, ou seja, a subseqüência (s 2 n 1) n N é limitada. n=0 104 J. Delgado - K. Frensel

Séries numéricas Teorema 7.3 (Critério de Cauchy para séries) Uma série a n é convergente se, e somente se, para cada ε > 0 dado, existe n 0 N tal que a n+1 +... + a n+p < ε, quaisquer que sejam n > n 0 e p N. Seja (s n ) a seqüência das reduzidas da série a n. Como s n+p s n = a n+1 +... + a n+p, basta aplicar à seqüência (s n ) o critério de Cauchy para seqüências. Definição 7.1 Uma série a n chama-se absolutamente convergente quando a série a n é convergente. Exemplo 7.6 Toda série convergente cujos termos não mudam de sinal é absolutamente convergente. Exemplo 7.7 Se 1 < a < 1, a série geométrica a n é absolutamente convergente. Mas nem toda série convergente é absolutamente convergente. Exemplo 7.8 A série é convergente, mas não é absolutamente convergente. ( 1) n+1 n=1 n Já provamos que a série ( 1)n+1 n = 1 n, n=1 n=1 é divergente. Vamos mostrar agora que a série ( 1) n+1 Suas reduzidas de ordem par são: s 2 = 1 1 ( 2 ; s 4 = 1 1 ) ( 1 + 2 3 4) 1 ;... ; ( s 2n = 1 1 ) ( 1 + 2 3 1 ( 1 +... + 4) 2n 1 1 ) ;... 2n n é convergente. Instituto de Matemática - UFF 105

Como é crescente. Análise na Reta ( 1 j 1 1 ) > 0, para todo j > 1, temos que a subseqüência (s 2n ) j Além disso, (s 2n ) é limitada superiormente. Com efeito, existe c > 0 tal que s 2n = 1 2 1 + 1 3 4 +... + 1 (2n 1) (2n) < 1 + 1 3 2 +... + 1 (2n 1) 2 < c, para todo n N, pois a série 1 é convergente e, portanto, limitada. n 2 Logo, existe lim s 2n = s. Suas reduzidas de ordem ímpar são: ( 1 s 1 = 1 ; s 3 = 1 2 1 ;... ; ( 3) 1 s 2n 1 = 1 2 1 ( 1 +... + 3) 2n 2 1 ) ;... 2n 1 Então a subseqüência (s 2n 1 ) é decrescente. Além disso, como, para todo n N, s 2n 1 = 1 1 2 3 1 4 5... 1 (2n 2)(2n 1) > 1 1 2 1 2 4... 1 2 (2n 1) ( 2 > 1 1 + 1 2 + 1 ) 2 3 +... + 1. 2 (2n 1) 2 e a série 1 n é convergente, temos que a subseqüência (s 2n 1) converge, pois (s 2n 1 ) é limitada 2 inferiormente. Seja s = lim s 2n 1. 1 Como s 2n+1 s 2n = 2n + 1 0, temos que s = s. Logo, a seqüência (s n ) converge, e s = s = s ( 1) = n n. n=1 Definição 7.2 Se a série a n é convergente, mas a série a n é divergente, dizemos que a n é condicionalmente convergente. 106 J. Delgado - K. Frensel

Séries numéricas Teorema 7.4 Toda série absolutamente convergente é convergente. Se a série a n converge, dado ε > 0, existe n 0 N tal que a n+1 +... + a n+p < ε, quaisquer que sejam n > n 0 e p N. Logo, como a n+1 +... + a n+p a n+1 +... + a n+p < ε, temos, pelo critério de Cauchy para séries, que a série a n converge. Corolário 7.2 Seja b n uma série convergente com b m 0 para todo n N. Se existem k > 0 e n 0 N tais que a n kb n para todo n > n 0, então a série a n é absolutamente convergente. Dado ε > 0, existe n 1 N tal que b n+1 +... + b n+p = b n+1 +... + b n+p < ε k, quaisquer que sejam n > n 1 e p N. Tome n 2 = max{n 1, n 0 }. Então, a n+1 +... + a n+p k (b n+1 +... + b n+p ) < ε, quaisquer que sejam n > n 0 e p N. Corolário 7.3 Se, para todo n > n 0 tem-se a n kc n, onde 0 < c < 1 e k > 0, então a série a n é absolutamente convergente. Basta aplicar o corolário anterior, já que a série geométrica c n converge se 0 < c < 1. Observação 7.4 Tomando k = 1 no corolário anterior, temos que a n c n se, e somente se, n a n c. Mas, se n a n c < 1 para todo n > n 0, então sup{ n a n n n 1 } c para todo n 1 > n 0. Logo, lim sup n a n c < 1. Instituto de Matemática - UFF 107

Análise na Reta E reciprocamente, se lim sup n a n < 1, então existe n 0 N e 0 < d < 1 tal que n a n < d < 1 para todo n > n 0. De fato, seja 0 < d < 1 tal que lim sup x n < d. Então, pelo corolário 4.3, existe n 0 N tal que n a n < d < 1 para todo n > n 0. Corolário 7.4 (Teste da raiz) Se existe c tal que n a n c < 1 para todo n > n 0, então a série a n é absolutamente convergente. Ou seja, se lim sup n a n < 1, então a série an é absolutamente convergente. Corolário 7.5 Se lim n a n < 1, então a série a n convergente. é absolutamente Observação 7.5 Se existe uma infinidade de índices n para os quais n an 1, então a série a n é divergente, pois seu termo geral não tende para zero. Em particular, isto ocorre quando lim n a n > 1 ou lim inf n a n > 1. Observação 7.6 Se lim n a n = 1 e lim a n convergir ou não. = 0, a série a n pode Por exemplo, para ambas as séries 1 n e 1 n 2 temos que lim a n = 0 e lim n a n = 1, pois lim 1 n n = 1 e, portanto, lim n 1 n 2 = lim ( 1 n n ) 2 = 1. No entanto, a série 1 n diverge e a série 1 n 2 converge. Exemplo 7.9 Consideremos a série lim n r a n, onde a, r R. Temos n=1 ( n nr a n = lim n ) r ( n a = a lim n n ) r = a. Logo, a série converge se a < 1 e r R é arbitrário. Como n r a n 1 para todo n N, se a 1 e r 0, o termo geral da série não tende para zero. Logo, a série n r a n diverge se a 1 e r 0. 108 J. Delgado - K. Frensel

Séries numéricas Se a > 1 e r < 0, temos que lim n r a n também diverge. a n = +. Logo, neste caso, a série n r Se a = 1 e r < 1. a série 1 converge, pois r > 1. n r se a = 1 e 1 r < 0, a série 1 diverge, pois 0 < r 1. n r se a = 1 e r < 1, a série ( 1) n 1 converge. n r n r Se a = 1 e 1 r < 0, a série ( 1) n é absolutamente convergente, pois n r é condicionalmente convergente, como veremos depois, usando o critério de Leibniz (corolário 7.9). Exemplo 7.10 Seja a série 1+2a+a 2 +2a 3 +a 4 +...+2a 2n 1 +a 2n +..., cujos termos de ordem par são b 2n = 2a 2n 1 e os de ordem ímpar são b 2n 1 = a 2n 2. Se a = 1, temos que lim b n 0, pois, neste caso, b 2n = 2 e b 2n 1 = 1. Assim, a série diverge quando a = 1. Como lim 2n b 2n = lim 2n 2 a 2n a = a, e lim 2n 1 b 2n 1 = lim 2n 1 a 2n 2 = lim a 2n 1 a = a, temos que a série converge absolutamente se a < 1 e diverge se a > 1. Portanto, a série converge (absolutamente) se, e somente se, a < 1. Teorema 7.5 (Teste da razão) Sejam a n uma série de termos não nulos e b n uma série convergente com b n > 0 para todo n. Se existe n 0 N tal que a n+1 a n para todo n > n 0, então a n é absolutamente convergente. b n+1 b n Seja n > n 0. Então, Instituto de Matemática - UFF 109

Análise na Reta a n0 +2 a n0 +1 b n 0 +2 b n0 +1, a n0 +3 a n0 +2 b n 0 +3 b n0 +2,..., a n a n 1 b n b n 1. Multiplicando membro a membro essas desigualdades, obtemos a n a n0 +1 b n, b n0 +1 ou seja, a n k b n, onde k = a n 0 +1. Então, pelo corolário 7.2, a série b n0 +1 an é absolutamente convergente. Corolário 7.6 Se existe uma constante c tal que 0 < c < 1 e a n+1 a n para todo n n 0, então a série a n é absolutamente convergente. c Ou seja, se lim sup a n+1 a n < 1, a série a n converge absolutamente. Basta tomar b n = c n no teorema anterior, pois a série geométrica c n converge se 0 < c < 1. Corolário 7.7 Se lim a n+1 a n convergente. < 1 então a série a n é absolutamente Exemplo 7.11 Seja a série na n. Como lim (n + 1)an+1 na n temos que a série a n converge se a < 1. ( n + 1 ) = lim a = a, n Neste caso, o teste da raiz e da razão levam ao mesmo resultado, pois, como já vimos, lim n n a n = a. Exemplo 7.12 Considere a série Para n par, a n+1 a n 1 + 2a + a 2 + 2a 3 + a 4 +... + 2a 2n 1 + a 2n +... = a 2, e, para n ímpar a n+1 a n = 2 a. Logo, lim sup a n+1 a n = 2 a e, pelo teste da razão, a série converge se a < 1 2. 110 J. Delgado - K. Frensel

Séries numéricas Mas, como vimos antes, lim n b n = a, onde b n é o termo geral da série. Logo, pelo teste da raiz, a série converge se a < 1. Veremos, depois, que o teste da raiz sempre é mais eficaz do que o da razão, pois lim sup n a n lim sup a n+1 a n e, se existe lim a n+1, então existe também lim n a n e, mais ainda, a n esses limites coincidem. Exemplo 7.13 Seja a série Como x n+1 (n + 1)! n! x n = n=0 é absolutamente convergente para todo x R. x n, onde x R. n! x n + 1 0, temos que a série n=0 x n n! Observação 7.7 Quando lim a n+1 a n a série a n pode convergir ou divergir. Por exemplo, a série harmônica 1 n diverge e lim a n+1 a n a série 1 n converge e lim a n+1 2 a n = 1 nada se pode afirmar, ou seja, = lim n + 1 n = 1 ; ( n + 1 ) 2 = lim = 1. n Observação 7.8 Quando a n+1 a n diverge, pois seu termo geral não tende para zero. 1 para todo n n 0, a série a n Mas, ao contrário do teste da raiz, não se pode concluir que a série a n diverge apenas pelo fato de se ter a n+1 a n valores de n. 1 para uma infinidade de Com efeito, se a n é uma série convergente qualquer e a n > 0 para todo n N, a série a 1 +a 1 +a 2 +a 2 +...+a n +a n +... também é convergente, pois s 2n = 2s n e s 2n 1 = 2s n a n e, portanto, lim s 2n = lim s 2n 1 = 2s = 2 a n, Instituto de Matemática - UFF 111

Análise na Reta onde s n e s n são as reduzidas de ordem n das séries a 1 + a 1 + a 2 + a 2 +... + a n + a n +... e a n, respectivamente. Mas, se b n é o termo geral da série a 1 + a 1 + a 2 + a 2 +... + a n + a n +..., temos que b n+1 b n = 1 para todo n ímpar. Teorema 7.6 Seja (a n ) uma seqüência limitada de números reais positivos. Então, lim inf a n+1 a n lim inf n a n lim sup n a n lim sup a n+1 a n. Em particular, se existir lim a n+1, existirá, também, lim n a n e os dois limi- a n tes serão iguais. Vamos provar que Suponhamos, por absurdo, que lim inf a n+1 a n lim inf n a n. a = lim inf a n+1 a n > lim inf n a n = b. Então, existe c R, tal que b < c < a, ou seja, b = lim inf n a n < c < lim inf a n+1 a n = a. Pelo corolário 4.3, existe p N tal que a n+1 a p+1 a p > c, a n a p+2 a > c,..., n > c, a p+1 a n 1 > c para todo n p. Assim, para todo n > p. Multiplicando membro a membro as n p desigualdades, obtemos que a n a p k = a p c p. Logo, pois, > c n p, ou seja, n a n > c n k para todo n > p, onde inf { n a n, n+1 a n+1,... } inf { c n k, c n+1 } k,... { inf c n k, c n+1 } k,... c m k < m a m, { para todo m n e n > p. Ou seja, inf c n k, c n+1 } k,... é uma cota 112 J. Delgado - K. Frensel

Séries numéricas inferior do conjunto { n a n, n+1 a n+1,... }, para todo n > p. Assim, temos que lim inf n a n lim inf c n k = lim c n k = c, o que é absurdo, pois estamos supondo que lim inf n a n < c. A desigualdade lim sup n a n lim sup a n+1 a n prova-se de modo análogo. Exemplo 7.14 Consideremos a seqüência (x n ), onde x 2n 1 = a n b n 1 e x 2n = a n b n, n N, ou seja, x = (a, ab, a 2 b, a 2 b 2, a 3 b 2,...), onde a, b R {0}, a b. Como x n+1 x n = b, se n é ímpar, e x n+1 x n existe lim x n+1 x n, pois a b. Mas, = a, se n é par, temos que não lim 2n 1 x 2n 1 = lim(a n b n 1 ) 1 2n 1 = lim a n 2n 1 b n 1 2n 1 = lim a 1 2 + 1 1 2(2n 1) b 2 1 2(2n 1) = ) b ) a (lim a 1 2(2n 1) (lim b 1 2(2n 1) = a b lim 2n x 2n = lim 2n a n b n = lim a b = a b Logo, lim n x n = a b. Este exemplo mostra que pode existir o limite da raiz sem que exista o limite da razão. Exemplo 7.15 Seja x n = 1 n n!. Tome y n = 1 n!. Então, x n = n y n. Como lim y n+1 = lim 1 1 n! = lim y n (n + 1)! n + 1 = 0, Instituto de Matemática - UFF 113

Análise na Reta temos que lim n y n também existe e Logo, lim x n = lim n y n = 0. lim n y n = lim y n+1 y n = 0. Exemplo 7.16 Seja x n = n n n! e considere y n = nn n!. Então, n y n = x n. Como y n+1 y n = (n + 1)n+1 (n + 1)! n! n = (n + 1)(n + ( 1)n n! = 1 + 1 n e, n n!(n + 1)n n) n temos que existe lim n y n e lim x n = lim n y n = lim y n+1 y n = e. Teorema 7.7 (Teorema de Dirichlet) Seja a n uma série cujas reduzidas s n = a 1 +... + a n formam uma seqüência limitada. Seja (b n ) uma seqüência não-crescente de números positivos com lim b n = 0. Então a série a n b n é convergente. Vamos mostrar, primeiro, por indução, que, para todo n 2, n a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 +... + a n b n = s i 1 (b i 1 b i ) + s n b n, ou seja, a 1 b 1 + a 2 b 2 +... + a n b n = a 1 (b 1 b 2 ) + (a 1 + a 2 )(b 2 b 3 ) + (a 1 + a 2 + a 3 )(b 3 b 4 ) +... + (a 1 +... + a n ) b n. De fato Se n = 2, a 1 b 1 + a 2 b 2 = a 1 (b 1 b 2 ) + (a 1 + a 2 )b 2. Suponhamos que a igualdade é verdadeira para n. Então, i=2 114 J. Delgado - K. Frensel

Séries numéricas a 1 b 1 + a 2 b 2 +... + a n b n + a n+1 b n+1 = = = n s i 1 (b i 1 b i ) + s n b n + a n+1 b n+1 i=2 n s i 1 (b i 1 b i ) + s n (b n b n+1 ) + s n b n+1 + a n+1 b n+1 i=2 n+1 s i 1 (b i 1 b i ) + s n+1 b n+1. i=2 Como a seqüência (s n ) é limitada, existe k > 0 tal que s n k para todo n N. Temos também que a reduzida de ordem n da série de termos nãonegativos (b n 1 b n ) é b 1 b n+1, que converge para b 1. n=2 Logo, a série converge e s n 1 (b n 1 b n ) é convergente, pois a série (b n 1 b n ) n=2 s n 1 (b n 1 b n ) k(b n 1 b n ), para todo n 2. Então a série a n b n é convergente, pois lim s n b n = 0, ou seja, a reduzida n=1 n s i 1 (b i 1 b i ) + s n b n de ordem n da série a n b n converge. i=2 n=2 Corolário 7.8 (Critério de Abel) Se a série a n é convergente e (b n ) é uma seqüência não-crescente e limitada inferiormente, então a série a n b n é convergente. Como a seqüência (b n ) é não-crescente e limitada inferiormente, existe lim b n = b e b b n para todo n N. Logo, lim(b n b) = 0 e (b n b) é uma seqüência não-crescente. Então, pelo teorema de Dirichlet, a série a n (b n b) é convergente e, portanto, a série a n b n também é convergente, já que a série b a n converge. Instituto de Matemática - UFF 115

Análise na Reta Corolário 7.9 (Critério de Leibniz) Se a seqüência (b n ) é não-crescente e lim b n = 0, então a série ( 1) n b n é convergente. Pelo teorema de Dirichlet, a série ( 1) n b n converge, pois as reduzidas da série ( 1) n são limitadas por 1. Exemplo 7.17 A série ( 1) n n r é convergente para todo r > 0, pois a seqüência 1 n r Logo, a série ( 1) n é decrescente e tende para zero. n r é condicionalmente convergente para 0 < r 1, pois já provamos que a série 1 n r não converge quando r 1. Exemplo 7.18 Se x 2πk, k Z, as séries n=1 cos(nx) n e sen(nx) n são convergentes. ( 1 Como a seqüência é decrescente e tende para zero, basta mostrar n) que as reduzidas s n = cos(x) + cos(2x) +... + cos(nx) e t n = sen(x) + sen(2x) +... + sen(nx) das séries cos(nx) e sen(nx) são limitadas. Temos que 1 + s n e t n são, respectivamente, a parte real e imaginária do número complexo 1 + e ix +... + e inx = 1 (eix ) n+1 1 e ix. Logo, como e ix 1, pois x 2πk, k Z, temos que 1 ( e ix) n+1 1 e ix 2, para todo n N. 1 e ix Ou seja, a seqüência ( 1 + e ix +... + e inx) n N é limitada e, portanto, as seqüências de suas partes reais e imaginárias são, também, limitadas., Observação 7.9 Dada uma série a n, definimos 116 J. Delgado - K. Frensel

Séries numéricas a n se a n > 0 p n = 0 se a n 0. O número p n é chamado parte positiva de a n. Analogamente, definimos a parte negativa de a n como sendo o número 0 se a n 0 q n = a n se a n < 0. Então, para todo n N temos p n 0, q n 0 e a n = p n q n ; a n = p n + q n ; a n = a n + 2q n ; a n = 2p n a n. Se a n é absolutamente convergente então, para todo k N, temos: k k k a n a n = p n + q n. n=1 n=1 Logo, as séries p n e q n são convergentes, pois suas reduzidas formam seqüências não-decrescentes limitadas superiormente por a n. E, reciprocamente, se as séries p n e q n são convergentes, então a n=1 série a n é absolutamente convergente. Mas, se a série a n é condicionalmente convergente, então as séries pn e q n divergem. De fato, se pelo menos uma dessas séries converge, a série a n também converge. n=1 Suponha, por exemplo, que a série q n converge. Então, a série a n converge, pois k k k a n = a n + 2 q n n=1 n=1 n=1 a n + 2 q n. O caso em que a série p n converge, prova-se que a série a n converge de modo análogo usando a relação a n = 2p n a n, para todo n N. n=1 n=1 n=1 Exemplo 7.19 Já sabemos que a série ( 1) n+1 = 1 1 n 2 + 1 3 1 4 +... é condicionalmente convergente. Então, a série das partes positivas n=1 Instituto de Matemática - UFF 117

Análise na Reta pn = 1 + 0 + 1 3 + 0 +... e a série das partes negativas q n = 0 + 1 2 + 0 + 1 4 +... divergem. 8. Aritmética de séries Vamos investigar, agora, se as propriedades aritméticas, tais como associatividade e comutatividade, se estendem das somas finitas para as séries. Associatividade: Dada uma série a n convergente, ao inserirmos parênteses entre seus termos, formamos uma nova série cuja seqüência (t n ) das reduzidas é uma subseqüência da seqüência (s n ) das reduzidas da série a n. Como (s n ) é uma seqüência convergente, (t n ) também o é, ou seja, a nova série é convergente e sua soma é igual a s = a n. Por exemplo, a reduzida t n da série (a 1 + a 2 ) + (a 3 + a 4 ) + (a 5 + a 6 ) +... é igual a s 2n. Dissociatividade: Ao dissociarmos os termos de uma série convergente, obtemos uma nova série, em relação à qual a série original pode ser obtida por associação de seus termos. Assim, a seqüência das reduzidas (s n ) da série original é uma subseqüência das reduzidas (t n ) da nova série. Então, (s n ) pode convergir sem que (t n ) convirja. Por exemplo, dada a série a n convergente, podemos dissociar seus termos da forma a n = a n + 1 1. Então, a nova série a 1 + 1 1 + a 2 + 1 1 + a 3 + 1 1 +... diverge, pois seu termo geral não converge para zero. Mas, quando a série a n é absolutamente convergente e dissociamos seus termos como somas finitas a n = a 1 n +... + a k n de parcelas com o mesmo sinal, a nova série obtida converge e converge para a mesma soma. n=1 118 J. Delgado - K. Frensel

Aritmética de séries Suponhamos, primeiro, que a n 0 para todo n N. Se escrevermos cada a n como uma soma finita de números não-negativos, obtemos uma nova série b n, com b n 0, cuja seqüência das reduzidas (t n ) é uma seqüência não-decrescente, que possui como subseqüência a seqüência (s n ) das reduzidas da série a n. Como a subseqüência (s n ) é limitada superiormente, por ser convergente, então (t n ) é, também, limitada superiormente. Logo, (t n ) converge e converge para o mesmo limite da subseqüência (s n ). Ou seja, a nova série b n converge e tem soma b n = a n. Seja, agora, uma série a n absolutamente convergente. Se p n e q n são, respectivamente, a parte positiva e a parte negativa de a n, temos que as séries p n e q n têm todos os termos nãonegativos, são convergentes, e an = p n q n. Como toda dissociação dos a n em somas finitas de parcelas com o mesmo sinal determina uma dissociação em p n e outra em q n, temos, pelo visto acima, que esta dissociação mantêm a convergência e o valor da soma das séries p n e q n. Logo, a nova série é convergente e tem a mesma soma que a n. Exemplo 8.1 Sejam a n e b n séries convergentes com somas s e t, respectivamente. Já sabemos que a série (a n + b n ) = (a 1 + b 1 ) + (a 2 + b 2 ) +... converge para s + t. Vamos provar que a série a 1 + b 1 + a 2 + b 2 +..., obtida pela dissociação dos termos da série (a n + b n ) converge e sua soma é s + t. Observamos, primeiro, que esta afirmação não decorre do provado acima, pois não estamos supondo que a n e b n sejam absolutamente convergentes e nem que os seus termos a n e b n tenham o mesmo sinal. Sejam s n e t n as reduzidas das séries a n e b n respectivamente. Então, a série a 1 +b 1 +a 2 +b 2 +a 3 +b 3 +... tem como reduzidas de ordem par r 2n = s n +t n e como reduzidas de ordem ímpar r 2n 1 = s n 1 +t n 1 +a n. Como lim a n = 0, segue-se que lim r 2n = lim r 2n 1 = s + t. Logo, lim r n = s + t, ou seja, a série a 1 + b 1 + a 2 + b 2 +... converge e tem soma s + t. Instituto de Matemática - UFF 119

Análise na Reta Comutatividade: Dada uma série a n, mudar a ordem de seus termos significa considerar uma bijeção ϕ : N N para formar uma nova série bn, cujo termo geral é b n = a ϕ(n), para todo n N. Definição 8.1 Uma série a n é comutativamente convergente quando, para toda bijeção ϕ : N N, a série b n, cujo termo geral é b n = a ϕ(n), é convergente e a n = b n. Provaremos depois que a soma s da série do exemplo 8.2 é igual a log 2, usando a série de Taylor da função logaritmo. Exemplo 8.2 A série ( 1) n+1 = 1 1 n 2 + 1 3 1 4 +... é convergente, n=1 mas não é absolutamente convergente. Seja s = ( 1) n+1. Multiplicando os termos da série por 1 n 2, obtemos n=1 s 2 = n=1 ( 1) n+1 2n = 1 2 1 4 + 1 6 1 8 + 1 10... Então, s 2 = 0 + 1 2 + 0 1 4 + 0 + 1 6 + 0 1 8 + 0 + 1 10..., pois, quando incluimos zeros entre os termos de uma série, não alteramos a sua convergência e nem a sua soma. De fato, se s n e t n são as reduzidas da série a n e da série b n, obtida acrescentando zeros entre os termos a n, temos que, dado n 0 N, existe m 0 N, m 0 n 0, tal que t m0 = s n0. Assim, se s n s < ε para todo n n 0, então t n s < ε para todo m m 0, pois para todo m m 0 existe n n 0 tal que t m = s n. Então, somando termo a termo as séries e s 2 = 0 + 1 2 + 0 1 4 + 0 + 1 6 + 0 1 8 + 0 + 1 10..., s = 1 1 2 + 1 3 1 4 + 1 5 1 6 + 1 7 1 8 + 1 9 1 10 +..., obtemos a série 3s 2 = 1 + 0 + 1 3 1 2 + 1 5 + 0 + 1 7 1 4 + 1 9 + 1 11 1 6 +... Pela propriedade associativa, podemos retirar os termos zeros de uma 120 J. Delgado - K. Frensel

Aritmética de séries série sem alterar sua convergência nem a sua soma. Logo, 3s 2 = 1 + 1 3 1 2 + 1 5 + 1 7 1 4 + 1 9 + 1 11 1 6 +... Precisamos ainda provar que os termos da série (a n + b n ), onde an = 0 + 1 2 + 0 1 4 + 0 + 1 6 +... e bn = 1 1 2 + 1 3 1 4 + 1 5 1 6 +... são os termos da série b n, depois de eliminarmos os zeros, só que numa ordem diferente! De fato, como a 2n 1 = 0, a 2n = ( 1)n+1 2n a 2n 1 + b 2n 1 = b 2n 1 e b n = ( 1)n+1 n, temos: e a 2n + b 2n = ( 1)n+1 2n + ( 1)2n+1 2n = ( 1)n+1 + ( 1) 2n+1 2n. Logo, a 2n + b 2n = 2 2n = ( 1)n+1 n Provamos, assim, que os termos da série se n é par, e a 2n + b 2n = 0 se n é ímpar. 1 + 1 3 1 2 + 1 5 + 1 7 1 4 + 1 9 + 1 11 1 6 +... cuja soma é 3s, são os mesmos da série original, cuja soma é s, apenas 2 com uma mudança de ordem. Assim, uma reordenação dos termos de uma série convergente pode alterar o valor da sua soma! Teorema 8.1 Toda série absolutamente convergente é comutativamente convergente. Suponhamos, primeiro, que a n é uma série convergente com a n 0 para todo n. Seja ϕ : N N uma bijeção e tomemos b n = a ϕ(n). Vamos provar que a série b n é convergente e que b n = a n. Instituto de Matemática - UFF 121

Análise na Reta Sejam s n = a 1 +... + a n e t n = a ϕ(1) +... + a ϕ(n) as reduzidas de ordem n das séries a n e b n, respectivamente. Afirmação 1: Para cada n N existe m N tal que t n s m. De fato, seja m = max {ϕ(1),..., ϕ(n)}. Então {ϕ(1),..., ϕ(n)} {1, 2,..., m}. Logo, n t n = a ϕ(i) n=1 m a j = s m. i=1 Afirmação 2: Para cada m N, existe n N tal que s m t n. De fato, dado m N, temos que s m = m a i = i=1 m b ϕ 1 (i). i=1 Seja n = max { ϕ 1 (1),..., ϕ 1 (m) }. Então, { ϕ 1 (1),..., ϕ 1 (n) } {1, 2,..., n}. Logo, s m = m b ϕ 1 (i) i=1 n b j = t n. j=1 Afirmação 3: lim s n = lim t n = s, ou seja, b n é convergente e bn = a n. De fato, como s = lim s m = sup s m e t = lim t n = sup t n, temos que m N n N s m s para todo m N e t n t, para todo n N. Assim, pelas afirmações (1) e (2), t n s para todo n N e s m t para todo m N. Portanto, t s e s t, ou seja, s = t. No caso em que a série a n é absolutamente convergente, temos que an = p n q n, onde p n e q n são a parte positiva e a parte negativa de a n, respectivamente. Afirmação 4: Toda reordenação (b n ) dos termos a n da série original dá lugar a uma reordenação (u n ) para os p n e uma reordenação (v n ) para os q n, de tal modo que cada u n é a parte positiva e cada v n é a parte negativa de b n. 122 J. Delgado - K. Frensel

Aritmética de séries De fato, se b n = a ϕ(n), sendo ϕ : N N uma bijeção, temos que: u n = p ϕ(n) = a ϕ(n) = b n, se a ϕn = b n > 0 u n = p ϕ(n) = 0, se a ϕn = b n 0. e v n = 0 = q ϕ(n) = a ϕ(n) = b n, se a ϕ(n) = b n < 0 v n = 0 = q ϕ(n) = 0, se a ϕ(n) = b n 0. Pelo provado anteriormente, as séries u n e v n convergem, sendo un = p n e v n = q n. Logo, a série b n é absolutamente convergente e b n = u n v n. Além disso, a n = p n q n = u n v n = b n. Teorema 8.2 Seja a n uma série condicionalmente convergente. Dado qualquer número real c, existe uma reordenação (b n ) dos termos de a n, de modo que b n = c. Sejam p n a parte positiva e q n a parte negativa de a n. Como a série an é condicionalmente convergente, temos que lim a n = 0, e, portanto, lim p n = lim q n = 0, mas p n = + e q n = +. Vamos reordenar os termos da série a n da seguinte maneira: Sejam n 1 N o menor índice tal que p 1 +... + p n1 > c. n 2 N o menor índice tal que p 1 +... + p n1 q 1... q n2 < c. n 3 N o menor índice tal que p 1 +... + p n1 q 1... q n2 + p n1 +1 +... + p n3 > c. n 4 N o menor índice tal que p 1 +... + p n1 q 1... q n2 + p n1 +1 +... + p n3 q n2 +1... q n4 < c. Esses índices existem, pois p n = + e q n = +. Prosseguindo desta maneira, obtemos uma reordenação da série tal que as reduzidas t n da nova série tendem para c. Instituto de Matemática - UFF 123

Análise na Reta De fato, para todo i 3 ímpar, temos n i t ni +n i+1 = p j j=1 n i+1 l=1 n i q l < c c e n i+1 é o menor Sendo lim p ni = lim q ni+1 = 0, temos que lim t ni +n i+1 = lim t ni 1 +n i = 0. Além disso, dado n N, existe i ímpar, tal que n i 1 + n i < n < n i + n i+1 = t ni +n i+1 t n t ni 1 +n i, ou n i + n i+1 < n < n i+1 + n i+2 = t ni +n i+1 t n t ni+1 +n i+2. Logo, lim t n = c, ou seja, a nova série tem soma c. Observação 8.1 Podemos reordenar uma série a n condicionalmente convergente de modo que a série reordenada tenha soma + ou. De fato, sejam n 1 N tal que p 1 +... + p n1 > 1 + q 1, n 2 N tal que n 2 > n 1 e p 1 +... + p n1 q 1 + p n1 +1 +... + p n2 > 2 + q 2, n 3 N tal que n 3 > n 2 e p 1 +... + p n1 q 1 + p n1 +1 +... + p n2 q 2 + p n2 +1 +... + p n3 > 3 + q 3. Prosseguindo desta maneira, obtemos uma reordenação da série a n, de modo que as reduzidas t n da nova série satisfazem: t ni +(i 1) > i + q i i e t ni +i > i, para todo i N. Além disso, se n n i + (i 1), existe j i tal que n = n j + (j 1) ou n = n j + j ou n j + j < n < n j+1 + j. Logo, t n > j i, pois t nj+1 +j = t nj +j + p nj +1 +... + p nj+1. Como, dado A > 0, existe i 0 N, tal que i 0 > A, temos que t n > i 0 > A 124 J. Delgado - K. Frensel

Aritmética de séries para todo n n i0 +(i 0 1). Portanto, as reduzidas da nova série tendem para +. Para provar que existe uma reordenação dos termos da série a n de modo que a nova série tenha soma, basta trocar p i por q i no argumento acima. Corolário 8.1 Uma série a n é absolutamente convergente se, e somente se, é comutativamente convergente. a n e b n são séries absolutamente convergen- n 0 Teorema 8.3 Se n 0 tes, então ( a n ) ( b n ) = c n, onde c n = a 0 b n + a 1 b n 1 +... + a n b 0 para todo n 0. Já sabemos que, para todo n 0, ( n ) ( n ) n a i b j = a i b j = x 0 + x 1 +... + x n, i=0 j=0 i,j=0 onde x n = n n 1 a i b n + a n b j i=0 j=0 = a 0 b n + a 1 b n +... + a n b n + a n b n 1 +... + a n b 0. E, portanto, ( a n ) ( b n ) = x n. Pela dissociação dos termos x n, obtemos a série a i b j, cujos termos são ordenados de modo que as parcelas de x n precedem as de x n+1. Para cada k 0, a reduzida de ordem (k + 1) 2 da série a i b j é ( k k ) ( k ) ( ) ( ) a i b j = a i b j a n b n, i,j=0 i=0 j=0 n 0 n 0 ou seja, a subseqüência das reduzidas de ordem (k+1) 2 da série a i b j é limitada. Logo, a seqüência das reduzidas da série a i b j é convergente, por ser Instituto de Matemática - UFF 125

não-decrescente e limitada, já que possui uma subseqüência limitada. Assim, a série a i b j é absolutamente convergente. Reordenando e depois associando os termos da série a i b j, obtemos a nova série c n, onde c n = a 0 b n +... + a n b 0 = a i b j. i+j=n Como a série a i b j é absolutamente convergente, temos que ( ( ) a n) b n = x n = a i b j = c n. n 0 n 0 n 0 n 0 126 J. Delgado - K. Frensel

Conjuntos abertos Parte 4 Topologia da reta Nesta parte estudaremos as propriedades topológicas do conjunto dos números reais, de modo a estabelecer os conceitos de limite e continuidade de funções reais de variável real. 1. Conjuntos abertos Definição 1.1 Sejam X R e x X. Dizemos que x é um ponto interior de X quando existe um intervalo aberto (a, b) tal que x (a, b) X. Isto significa que todos os pontos suficientemente próximos de x ainda pertencem ao conjunto X. Observação 1.1 x é um ponto interior do conjunto X se, e só se, existe ε > 0 tal que (x ε, x + ε) X. De fato, se x (a, b) X, tome ε = min{x a, b x} > 0. Então, a x ε < x + ε b, ou seja, (x ε, x + ε) (a, b). Logo, (x ε, x + ε) X. Fig. 1: Intervalo centrado em x de raio ε contido em X. Observação 1.2 x é um ponto interior de X se, e só se, existe ε > 0 tal que y x < ε = y X. Instituto de Matemática - UFF 127

Análise na Reta De fato, y x < ε ε < y x < ε x ε < y < x + ε y (x ε, x + ε). Definição 1.2 O interior do conjunto X, representado por int X, é o conjunto dos pontos x X que são interiores a X. Observação 1.3 int X X. X Y então int X int Y. Se int X, X contém um intervalo aberto, sendo, portanto, infinito não-enumerável. Logo, int X =, se X é finito ou infinito enumerável. Em particular int N = int Z = int Q =. O conjunto R Q dos números irracionais, apesar de ser infinito nãoenumerável, também possui interior vazio, pois todo intervalo aberto contém um número racional. Exemplo 1.1 Se X = (a, b) ou X = (, b) ou X = (a, + ), então int X = X. De fato, no primeiro caso, para todo x X, temos x (a, b) X. No segundo caso, dado x X, temos x (x 1, b) X, e, no terceiro caso, dado x X, temos x (a, x + 1) X. Logo, X int X, ou seja, X = int X. Exemplo 1.2 Sejam X = [c, d], Y = [c, + ) e Z = (, d]. Então, int X = (c, d), int Y = (c, + ), int Z = (, d). De fato, se x (c, d), temos que x (c, d) X. Logo, (c, d) int X. Além disso, como para todo intervalo aberto (a, b) contendo c, (a, c) X, temos que c int X. Do mesmo modo, d int X, pois para todo intervalo aberto (a, b) que contém d, temos que (d, b) X. Então, int X (c, d). Logo, int X = (c, d). Analogamente, podemos provar os outros casos e, também, que int(c, d] = int[c, d) = (c, d). 128 J. Delgado - K. Frensel

Conjuntos abertos Definição 1.3 Dizemos que um subconjunto A R é um conjunto aberto quando todos os seus pontos são interiores, isto é, quando int A = A. Assim, A R é aberto se, e somente se, para cada x A existe um intervalo aberto (a, b) tal que x (a, b) A. Exemplo 1.3 O conjunto vazio é aberto, pois um conjunto X só deixa de ser aberto se existir algum ponto de X que não está em seu interior. Exemplo 1.4 A reta R é um conjunto aberto. Exemplo 1.5 Um intervalo é um conjunto aberto se, e só se, é um intervalo aberto. Ou seja, os intervalos da forma (a, b), (a, + ), (, b) são os únicos tipos de intervalos que são conjuntos abertos (ver exemplo 1.2). Exemplo 1.6 Todo conjunto aberto não-vazio é não-enumerável. Em particular, todos os subconjuntos de Q e todos os subconjuntos finitos de R não são abertos. Exemplo 1.7 Nenhum subconjunto do conjunto dos números irracionais é aberto, pois todo intervalo aberto contém um número racional. Teorema 1.1 A interseção de um número finito de conjuntos abertos é um conjunto aberto. Sejam A 1,..., A n R conjuntos abertos e seja A = A 1... A n. Se x A, então x A i para todo i = 1,..., n. Logo, para cada i = 1,..., n existe um intervalo aberto (a i, b i ) tal que x (a i, b i ) A i. Sejam a = max{a 1,..., a n } e b = min{b 1,..., b n }. Como para todo i = 1,..., n a i < x < b i, temos que a i a < x < b b i. Ou seja x (a, b) (a i, b i ) A i para todo i = 1,..., n. Logo, x (a, b) A. Instituto de Matemática - UFF 129

Análise na Reta Teorema 1.2 Se (A λ ) λ abertos na reta R, então a reunião: A = A λ λ L L é uma família arbitrária de subconjuntos é um conjunto aberto. Se x A = λ L A λ, então existe λ 0 L tal que x A λ0. Como A λ0 é aberto, existe um intervalo aberto (a, b) tal que x (a, b) A λ0. Logo, x (a, b) A, pois A λ0 A. Observação 1.4 Se (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ), então (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a, b), onde a = max{a 1, a 2 } e b = min{b 1, b 2 }. De fato, como existe x (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ), temos a 1 < x a, então y > a 1 e y > a 2, e se y < b, então y a 1, y > a 2 e y < b 1, y < b 2. Logo, a < y < b, ou seja y (a, b). Observação 1.5 A interseção de uma infinidade de conjuntos abertos pode não ser um conjunto aberto. Por exemplo, considere, para cada n N, o conjunto aberto A n = e seja A = n N A n. Então, A = {0} e, portanto, A não é aberto. De fato, como 0 A n para todo n N, temos que 0 A. ( 1 n, 1 ) n Seja, agora, x 0. Como x > 0, existe n 0 N tal que 0 < 1 n 0 < x, ou 130 J. Delgado - K. Frensel

Conjuntos abertos seja, x A n0 = ( 1n0, 1n0 ). Logo, se x 0, então x A. Exemplo 1.8 Mais geralmente, se a < b, então A = n=1 ( a 1 n, b + 1 ) n = [a, b]. De fato, se x [a, b], então a 1 n a x b b, existe n 0 N tal que 1 n 0 < x b, ou seja, x > b + 1 n 0. Então ) x (a 1n0, b + 1n0 e, portanto, x n=1 ( a 1 n, b + 1 ). n De modo análogo, se x < a, existe n 0 N tal que 1 < a x, ou seja, n 0 x < a 1 ). Logo, x (a 1n0, a + 1n0 e, portanto, x A. n 0 Então, n=1 ( a 1 n, b + 1 ) [a, b]. Logo, n n=1 ( a 1 n, b + 1 ) = [a, b]. n Exemplo 1.9 Seja X = {x 1,..., x n } um conjunto finito de números reais, com x 1 < x 2 <... < x n. Então, R X = (, x 1 ) (x 1, x 2 )... (x n 1, x n ) (x n, + ) é um conjunto aberto. Ou seja, o complementar de um conjunto finito de números reais é um conjunto aberto. Exemplo 1.10 O complementar R Z do conjunto dos números inteiros é aberto, pois R Z = n Z(n, n + 1) é uma reunião de conjuntos abertos. Instituto de Matemática - UFF 131

Análise na Reta Observação 1.6 Todo conjunto aberto A R é união de intervalos abertos. De fato, para todo x A existe um intervalo aberto I x tal que x I x A. Logo, A = {x} I x A, x A x A ou seja, A = a A I x. Lema 1.1 Seja (I λ ) λ L uma família de intervalos abertos, todos contendo o ponto p R. Então, I = λ L I λ é um intervalo aberto. Para cada λ L, seja I λ = (a λ, b λ ). Então, a λ < b µ quaisquer que sejam λ, µ L, pois a λ < p < b µ. Sejam a = inf{a λ λ L} e b = sup{b λ λ L}. Então, a a λ < p < b λ b, ou seja, a < b. Pode, ainda, ocorrer que seja a = ou b = +, ou seja, pode ocorrer que o conjunto {a λ λ L} seja ilimitado inferiormente ou que o conjunto {b λ λ L} seja ilimitado superiormente. Afirmação: (a, b) = λ L I λ. Como a a λ < b λ b para todo λ L, temos que λ L I λ (a, b). Suponhamos que x (a, b). Então, como a = inf{a λ λ L} e b = sup{b λ λ L}, existem λ 0, µ 0 L tais que a λ0 < x < b µ0. Se x < b λ0, então x (a λ0, b λ0 ) I λ. Se x b λ0, então a µ0 < b λ0 λ L x < b µ0, ou seja, x (a µ0, b µ0 ) λ L I λ. Logo, (a, b) λ L I λ. 132 J. Delgado - K. Frensel

Conjuntos abertos Teorema 1.3 (Estrutura dos intervalos da reta) Todo subconjunto aberto não-vazio A R se exprime, de modo único, como uma reunião enumerável de intervalos abertos dois a dois disjuntos. Para cada x A, seja I x a reunião de todos os intervalos abertos que contêm x e estão contidos em A. Cada I x, pelo lema anterior, é um intervalo aberto tal que x I x A. Se I é um intervalo aberto qualquer que contém x e está contido em A, então, I I x. Isto é, I x é o maior intervalo aberto que contém x e está contido em A. Afirmação 1: Se x, y A, então I x = I y ou I x I y =. Suponhamos que existe z I x I y, ou seja, I x I y. Então, pelo lema anterior, I = I x I y é um intervalo aberto contido em A que contém os pontos x e y. Logo, I I x e I I y. Mas, como I I x e I I y, temos que I = I x = I y. Existe, portanto, um subconjunto L A, tal que A = I x e I x I y = x L se x, y L e x y. Afirmação 2: Se A = λ L J λ é uma união de intervalos abertos dois a dois disjuntos, então L é enumerável. Para cada λ L, seja r(λ) J λ Q. Como J λ J λ = se λ λ, temos que r(λ) r(λ ) se λ λ. Ou seja, a função r : L Q λ r(λ) é injetiva. Logo, L é enumerável, pois Q é enumerável. Unicidade Seja A = m N J m, onde os J m = (a m, b m ) são intervalos abertos dois a dois disjuntos. Instituto de Matemática - UFF 133

Análise na Reta Afirmação 3: a m e b m não pertencem a A. De fato, se a m A, existiria p m tal que a m J p = (a p, b p ). Então, pondo b = min{b m, b p }, teríamos que (a m, b) J m J p o que é absurdo, pois I m I p =. De modo análogo, podemos provar que b m A. Afirmação 4: Se x J m e x I A, onde I = (a, b) é um intervalo aberto, então I J m. Ou seja, I m é a reunião de todos os intervalos abertos contidos em A e contendo x, para todo x J m, ou melhor, I m = I x é o maior intervalo aberto contido em A que contém x, onde x J m. De fato, a m < a < b < b m, pois se a a m (ver figura 2) ou b m b (ver figura 3), teríamos, respectivamente, que a m A ou b m A, o que é absurdo. Fig. 2: a a m. Fig. 3: b m b. Corolário 1.1 Seja I um intervalo aberto. Se I = A B, onde A e B são conjuntos abertos disjuntos, então um desses conjuntos é igual a I e o outro é vazio. Se A e B, as decomposições de A e B em intervalos abertos disjuntos dariam origem a uma decomposição de I com pelo menos dois intervalos, o que é absurdo, pela unicidade da decomposição, já que I é um intervalo aberto. 2. Conjuntos fechados Definição 2.1 Dizemos que um ponto a R é aderente a um conjunto X R quando a é limite de uma seqüência de pontos x n A. 134 J. Delgado - K. Frensel

Conjuntos fechados Observação 2.1 Todo ponto a X é aderente a X. Basta tomar a seqüência constante x n = a, n N. Mas a R pode ser aderente a X sem pertencer a X. Por exemplo, 0 é aderente ao conjunto X = (0, + ), pois 1 n X, para todo n N e 1 n 0. Observação 2.2 Todo valor de aderência de uma seqüência (x n ) é um ponto aderente ao conjunto X = {x 1, x 2,..., x n,...}. Mas a recíproca não é verdadeira. Por exemplo, se x n a e (x n ) não é uma seqüência constante, então a é o único valor de aderência da seqüência, mas todos os pontos x n, por pertencerem a X, são pontos aderentes a X. Teorema 2.1 Um ponto a R é aderente a um conjunto X R se, e só se, (a ε, a + ε) X para todo ε > 0. (= ) Seja (x n ) uma seqüência de pontos de X tal que x n a. Então, dado ε > 0, existe n 0 N tal que x n (a ε, a + ε) para todo n > n 0. Assim, (a ε, a + ε) X para todo ε > 0. ( ( =) Para cada n N, seja x n X a 1 n, a + 1 ). Então (x n ) é uma n seqüência de pontos de X tal que x n a, pois x n a < 1 n para todo n N, e 1 n 0. Corolário 2.1 Um ponto a R é aderente a um conjunto X R se, e só se, I X para todo intervalo aberto I contendo a. Basta observar que para todo intervalo aberto contendo a existe ε > 0 tal que (a ε, a + ε) I. Instituto de Matemática - UFF 135

Análise na Reta Corolário 2.2 Sejam X R um conjunto limitado inferiormente e Y R um conjunto limitado superiormente. Então, a = inf X é aderente a X e b = sup Y é aderente a Y. Dado ε > 0, existem x X e y Y tais que a x < a + ε e b ε < y b. Logo, (a ε, a + ε) X e (b ε, b + ε) Y =. Definição 2.2 O fecho do conjunto X R é o conjunto X formado pelos pontos aderentes a X. Observação 2.3 X X. Se X Y = X Y. Definição 2.3 Dizemos que um conjunto X R é fechado quando X = X, ou seja, quando todo ponto aderente a X pertence a X. Assim, X R é fechado se, e só se, para toda seqüência convergente (x n ) de pontos de X tem-se lim x n = a X. Observação 2.4 Se X R é limitado, fechado e não-vazio, então sup X e inf X pertencem a X. Exemplo 2.1 O fecho do intervalo aberto (a, b) é o intervalo fechado [a, b]. De fato, a, b (a, b), pois a + 1 n, b 1 n (a, b), para n suficientemente grande, e a + 1 n a, b 1 n b. Logo, [a, b] (a, b). Por outro lado, se (x n ) é uma seqüência de pontos do intervalo (a, b) que converge para c (a, b), então a c b pois a < x n < b para todo n N. Logo, (a, b) [a, b]. Observação 2.5 De modo análogo, podemos provar que 136 J. Delgado - K. Frensel

Conjuntos fechados [a, b) = [a, b] ; (a, b] = [a, b] ; [a, b] = [a, b] ; (a, + ) = [a, + ) ; [a, + ) = [a, + ) ; (+, b) = (+, b] ; (, b] = (, b] e (, + ) = (, + ) = R. Assim, os intervalos fechados [a, b], (, b] e [a, + ) são conjuntos fechados e R também o é. Em particular, se a = b, o conjunto [a, b] = [a, a] = {a} é um conjunto fechado. Ou seja, todo conjunto unitário é fechado. Exemplo 2.2 Q = R Q = R, pois todo intervalo da reta contém números racionais e irracionais. Em particular, Q e R Q não são conjuntos fechados. Teorema 2.2 Um conjunto F R é fechado se, e somente se, seu complementar R F é aberto. De fato, F é fechado todo ponto aderente a F pertence a F se a R F então a não é aderente a F se a R F então existe um intervalo aberto I tal que a I e I F = se a R F então existe um intervalo aberto I tal que a I e I R F se a R F então a pertence ao interior de R F R F é aberto. Corolário 2.3 (a) R e o conjunto vazio são fechados. (b) Se F 1,..., F n são conjuntos fechados, então F 1... F n é fechado. (c) Se (F λ ) λ L é uma família qualquer de conjuntos fechados, então a interseção F = λ L F λ é um conjunto fechado. Instituto de Matemática - UFF 137

Análise na Reta (a) Como R R = e R = R são conjuntos abertos, temos que R e são conjuntos fechados. n (b) Como R (F 1... F n ) = (R F i ) é um conjunto aberto, pois cada i=1 R F i, i = 1,..., n, é aberto, temos que F 1... F n é fechado. (c) Como R F λ = F λ ) é um conjunto aberto, por ser a reunião λ L λ L(R dos conjuntos abertos da família (R F λ ) λ L, temos que λ L F λ é um conjunto fechado. Observação 2.6 A reunião de uma família arbitrária de conjuntos fechados pode não ser um conjunto fechado. De fato, como todo conjunto X é a reunião de seus pontos, ou seja, X = x X{x}, e os conjuntos {x} são fechados, basta considerar um conjunto X que não é fechado. Teorema 2.3 O fecho de todo conjunto X R é um conjunto fechado. Isto é, X = X. Seja x R X, ou seja, x não é aderente a X. Então, existe um intervalo I tal que x I e I X =, ou seja, x I R X. Isto mostra que R X int(r X), ou seja, R X é um conjunto aberto. Logo, X é um conjunto fechado. Exemplo 2.3 Todo conjunto F = {x 1,..., x n } finito é fechado, pois F = n {x i } é a reunião finita dos conjuntos {x i }, i = 1,..., n, fechados, i=1 ou porque R F é aberto, como já vimos anteriormente. Exemplo 2.4 Z é um conjunto fechado, pois R Z = n Z(n, n + 1) é um 138 J. Delgado - K. Frensel

Conjuntos fechados conjunto aberto. Exemplo 2.5 Q, R Q, [a, b) e (a, b] não são conjuntos abertos nem fechados. Observação 2.7 Um conjunto X R é aberto e fechado ao mesmo tempo se, e só se, X = R ou X =. De fato, já provamos que R e são conjuntos abertos e fechados ao mesmo tempo. Se X R é aberto e fechado, então R X é aberto e fechado. Logo, R = X (R X) é a reunião de dois conjuntos abertos disjuntos. Assim, pelo corolário 1.1, X = ou X = R. Exemplo 2.6 (O conjunto de Cantor) O conjunto de Cantor é um subconjunto fechado do intervalo [0, 1], obtido como complementar de uma reunião enumerável de intervalos abertos, da seguinte maneira. Primeiro, retira-se do intervalo [0, 1] seu terço médio ( 1, 2 3 3). Depois, retirase os terços médios abertos ( 1, ( 2 9 9) e 7, ) [ 8 9 9 dos intervalos restantes 0, 1 3] e [ 2, 1], sobrando, assim, os intervalos fechados [ ] [ 0, 1 3 9, 2, ] [ 1 9 3, 2, ] [ 7 3 9 e 7, 1]. 9 Em seguida, retira-se o terço médio aberto de cada um desses quatro intervalos. Repetindo-se esse processo indefinidamente, o conjunto de Cantor é o conjunto K que consiste dos pontos não retirados. Fig. 4: Construção do conjunto de Cantor. Se indicarmos por I 1, I 2,..., I n,... os intervalos abertos omitidos, temos ( ) K = [0, 1] I n = [0, 1] R I n. n=1 Logo, K é um conjunto fechado, pois [0, 1] e R n=1 I n são conjuntos fechados. Observe que os pontos extremos dos intervalo retirados, como 1 3, 2 3, 1 9, 2 9, 7 9, 8 9 n=1 etc., pertencem ao conjunto de Cantor, pois, em cada etapa Instituto de Matemática - UFF 139

Análise na Reta da construção, são retirados apenas pontos interiores dos intervalos restantes da etapa anterior. Esses pontos extremos dos intervalos omitidos formam um subconjunto infinito enumerável de K, mas, como veremos depois, K não é enumerável. Vamos provar, agora, que K não contém nenhum intervalo aberto, ou seja, int K =. De fato, na n ésima etapa da construção de K, são retirados 2 n 1 intervalos abertos de comprimento 1 3 n, restando 2 n intervalos fechados de comprimento 1 3 n. Sejam I um intervalo aberto de comprimento l > 0 e n 0 1 < l. 3 n 0 N tal que Se I K, então I 2 n 0 k=1 J k, onde J k, k = 1,..., 2 n 0, são os intervalos fechados de comprimento 1 3 n 0 restantes da n 0 ésima etapa. Logo, existe k 0 {1,..., 2 n 0 } (verifique!) tal que I Jk0, o que é absurdo, pois 1 3 n 0 < l. Definição 2.4 Sejam X e Y subconjuntos de R tais que X Y. Dizemos que X é denso em Y quando todo ponto de Y é aderente a X, ou seja, quando Y X. Observação 2.8 X Y é denso em Y todo ponto de Y é limite de uma seqüência de pontos de X. Observação 2.9 X é denso em R se X = R. Em particular, Q e R Q são densos em R, pois, como já vimos, Q = R Q = R. Observação 2.10 Se J é um intervalo não-degenerado, então J Q e J (R Q) são densos em J, ou seja, para todo a J existe uma seqüência (x n ) de pontos de J Q e uma seqüência (y n ) de pontos de J (R Q) que convergem para a (verifique!). Observação 2.11 140 J. Delgado - K. Frensel

Conjuntos fechados X Y é denso em Y se, e só se, para todo y Y e todo ε > 0 tem-se (y ε, y + ε) X. X Y é denso em Y se, e só se, todo intervalo aberto que contém algum ponto de Y contém, necessariamente, algum ponto de X. Em particular, X R é denso em R se, e só se, I X para todo intervalo aberto I. Assim, dizer que X é denso em R a partir da definição acima, coincide com a definição dada anteriormente. Teorema 2.4 Todo conjunto X de números reais contém um subconjunto enumerável E denso em X. Se X é finito, então X é denso em si mesmo, pois X = X. Suponhamos, agora, que X não é finito. Dado n N, podemos exprimir R como união enumerável de intervalos de comprimento 1 n : R = p Z [ p n, p + 1 ). n Se X [ p n, p + 1 ), escolhemos um ponto x pn nessa interseção. n Afirmação: O conjunto E dos pontos x pn assim obtidos é enumerável. De fato, como o conjunto A = { (p, n) Z N X [ p, ) } p+1 n n é enumerável e a função ϕ : A X (p, n) x pn é injetiva, temos que E = ϕ(a) é enumerável. Afirmação: E é denso em X. Seja I = (a, b) um intervalo aberto contendo algum ponto de X e seja x I X. Instituto de Matemática - UFF 141

Análise na Reta Sejam n 0 N tal que 1 < max{d(a, x), d(b, x ) } e p 0 Z tal que n 0 [ p0 x, p ) [ 0 + 1 p0. Então,, p ) 0 + 1 I, pois, caso contrário, teríamos n 0 n 0 n 0 n 0 que 1 n 0 > d(a, x) ou 1 n 0 > d(b, x). h Fig. 5: x p0, p 0+1 (a, b). n 0 n 0 [ p0 Logo, como x, p ) 0 + 1 X, existe o ponto x p0 n n 0 n 0 0 [ p0 também pertence a I, pois x p0 n 0, p ) 0 + 1 I. n 0 n 0 E, que h Fig. 6: x p0 n 0 p0, p 0+1 I = (a, b). n 0 n 0 Mostramos, assim, que todo intervalo aberto I que contém um ponto de X, também contém um ponto x pn E. Logo, E é denso em X. Observação 2.12 O conjunto enumerável E dos extremos dos intervalos omitidos na construção do conjunto de Cantor K é denso em K. Com efeito, sejam x K e 0 < ε 1. Assim, pelo menos um dos intervalos (x ε, x] ou [x, x + ε) está contido em [0, 1], pois, caso contrário, 2 2ε seria maior que 1. Suponhamos, então, que [x, x + ε) [0, 1]. Seja n 0 N tal que 1 < ε. Como depois da n 3 n 0 0 ésima etapa da construção de K restam apenas intervalos de comprimento menor que 1 3 n 0, alguma parte do intervalo [x, x + ε) é retirada na n 0 ésima etapa, ou foi retirada antes. Além disso, como x K, o extremo inferior y da parte retirada (que pode ser x, se x E) pertence ao intervalo [x, x + ε), pois, caso contrário, x seria retirado. 142 J. Delgado - K. Frensel

Pontos de acumulação Logo, y E [x, x + ε) E (x ε, x + ε). Mostramos, assim, que (x ε, x + ε) E, para todo x K e ε > 0. 3. Pontos de acumulação Definição 3.1 Seja X R. Um número a R é ponto de acumulação do conjunto X quando todo intervalo aberto (a ε, a + ε), de centro a e raio ε > 0, contém algum ponto x X diferente de a. O conjunto dos pontos de acumulação de X, também chamado o derivado de X, será representado por X. Simbolicamente, temos que a X se, e só se, ε > 0, x X ; 0 < x a < ε ou ε > 0, (a ε, a + ε) (X {a}). Teorema 3.1 Dado X R e a R, as seguintes afirmações são equivalentes: (1) a X ; (2) a = lim x n, onde (x n ) é uma seqüência de elementos de X, dois a dois distintos; (3) todo intervalo aberto contendo a possui uma infinidade de elementos de X. (1) = (2) Seja x 1 X tal que 0 < x 1 a < 1. Suponhamos que foi possível determinar pontos x 1, x 2,..., x n X tais que 0 < x j a < x j 1 a e 0 < x j a < 1, j = 2,..., n. j Existe, então, x n+1 X tal que 0 < x n+1 a < ε, onde { 1 } ε = min n + 1, x n a. Instituto de Matemática - UFF 143

Análise na Reta Com isso, construímos uma seqüência (x n ) de pontos de X dois a dois distintos que converge para a, pois x n+1 a < x n a e x n a < 1 n, para todo n N. (2) = (3) Seja (x n ) uma seqüência de pontos de X dois a dois distintos que converge para a e seja I um intervalo aberto que contém a. Então, existem ε > 0 tal que (a ε, a + ε) I e n 0 x n (a ε, a + ε) para todo n n 0. N tal que Logo, {x n n n 0 } I. Assim I contém uma infinidade de pontos de X, pois os termos x n da seqüência são dois a dois distintos. (3) = (1) É trivial verificar esta implicação. Corolário 3.1 Se X, então X é infinito. Exemplo 3.1 Se x n a para um número infinito de índices n N e lim x n = a, então X = {a}, onde X = {x 1, x 2,..., x n,...} é o conjunto formado pelos termos da seqüência (x n ). De fato, dado ε > 0, existe n 0 N tal que x n a < ε para todo n n 0. Então, existe n 1 n 0 tal que 0 < x n1 a < ε, ou seja, existe n 1 n 0 tal que x n1 (a ε, a + ε) {a}, pois, caso contrário, teríamos x n = a para todo n n 0. Logo, a X. Seja b a. Como x n a, existe n 0 N tal que x n a < todo n n 0. b a 2 para Logo, x n b > b a 2 para todo n n 0. b a Ou seja, o intervalo (b ε, b + ε), onde ε = 2 um número finito de elementos de X. Logo, b X. > 0, contém apenas Assim, X = {a}. Em particular, X = {0}, onde X = {1, 1 2,..., 1 } n,..., pois 1 n 0 e 1 n 0 para todo n N, e Y = {a}, onde Y = {a, a + 1, a, a + 1 2,..., a, a + 1 } n,..., pois a seqüência cujos termos são y n = a para n ímpar e y n = a + 1 n, 144 J. Delgado - K. Frensel

Pontos de acumulação para n par, converge para a e y n a para todo n par. Observe que, se x n = a para todo n N, então X =, pois X = {a} é um conjunto finito. Exemplo 3.2 Todo ponto x do conjunto de Cantor K é um ponto de acumulação de K, ou seja, K K. Suponhamos, primeiro, que x não pertence ao conjunto E das extremidades dos intervalos retirados. Como E é denso em X, dado ε > 0, existe y E tal que y (x ε, x + ε). Então, existe y K tal que 0 < y x < ε. Logo, x K. Suponhamos, agora, que x E e que x é a extremidade direita do intervalo (a, x) retirado na n 0 ésima etapa da construção do conjunto de Cantor K, restando um intervalo da forma [x, b 1 ]. Na etapa seguinte, será omitido o terço médio do intervalo [x, b 1 ], sobrando um intervalo [x, b 2 ] [x, b 1 ]. Assim, nas outras etapas, sobrarão [x, b 3 ], [x, b 4 ],..., [x, b n ],..., com b 1 > b 2 > b 3 >... > b n >... pertencentes a E K e lim b n = x, pois x b n = 1 3 n 0+n 1, para todo n N. Logo, x K. De modo análogo, podemos provar que se x E é a extremidade esquerda de um intervalo retirado durante a construção do conjunto de Cantor, então x K. Observe, também, que 0, 1 K, pois 1 3, 1 1 E K, para todo n 3n n N, e 1 3 0 e 1 1 1. n 3n Assim, todo ponto de K é um ponto de acumulação de K. Exemplo 3.3 Q = (R Q) = R = R, pois todo intervalo aberto de R contém uma infinidade de números racionais e irracionais (por quê?). Exemplo 3.4 (a, b) = [a, b) = (a, b] = [a, b] = [a, b] (verifique!). Definição 3.2 Um ponto a X que não pertence a X é um ponto isolado de X. Assim, a X é um ponto isolado de X se, e só se, existe ε > 0 tal que (a ε, a + ε) X = {a}. Instituto de Matemática - UFF 145

Análise na Reta Exemplo 3.5 Todo ponto a Z é um ponto isolado de Z, pois (a 1, a + 1) Z = {a}. Observação 3.1 X não possui ponto isolado se, e somente se, X X. Em particular, Q e o conjunto de Cantor K não possuem pontos isolados, pois Q Q = R e K K. Teorema 3.2 Para todo X R, tem-se X = X X. Ou seja, o fecho de um conjunto X é obtido acrescentando-se a X os seus pontos de acumulação. Pela definição de ponto aderente e de ponto de acumulação, temos que X X e X X. Logo, X X X. Seja, agora, a X tal que a X. Então, dado ε > 0, existe x X tal que x (a ε, a + ε), ou seja, x (a ε, a + ε) X. Como a X, temos que x a. Logo, (a ε, a + ε) X {a}. Assim, se a X, então a X ou a X, isto é, X X X. Observação 3.2 X e X podem ter interseção não-vazia. Por exemplo, se X = (0, 1), então X = [0, 1]. Corolário 3.2 X é fechado se, e somente se, X X. X é fechado X = X X = X X X X. Exemplo 3.6 Se K é o conjunto de Cantor, então K = K, pois K é fechado, ou seja, K K, e também K K, pelo exemplo 3.2. Corolário 3.3 Um conjunto X R é fechado sem pontos isolados se, e somente se, X = X. 146 J. Delgado - K. Frensel

Pontos de acumulação Corolário 3.4 Se todos os pontos do conjunto X são isolados, então X é enumerável. Seja E X um subconjunto enumerável denso em X, ou seja, X E. Seja x X. Então x E. Como x X, temos, também, que x E, pois E X. Logo, x E. Assim, X = E e, portanto, X é enumerável. Definição 3.3 Dizemos que a é ponto de acumulação à direita de X quando (a, a + ε) X para todo ε > 0. Indicaremos X + o conjunto dos pontos de acumulação à direita de X. Observação 3.3 a é ponto de acumulação à direita de X todo intervalo da forma (a, a + ε), ε > 0, contém uma infinidade de pontos de X a é ponto de acumulação de X [a, + ) a é limite de uma seqüência decrescente de pontos de X todo intervalo aberto (a, b) contém algum ponto de X. Verifiquemos apenas que a é ponto de acumulação à direita de X se, e só se, a é limite de uma seqüência decrescente de pontos de X. De fato, seja (x n ) uma seqüência decrescente de pontos de X que converge para a e seja ε > 0. Então, existe n 0 N tal que a x n < a + ε para todo n n 0, pois a = inf{x n n N}, já que (x n ) é decrescente e converge para a. Além disso, x n > a para todo n N, pois x n > x n+1 a para todo n N. Logo, {x n n n 0 } X (a, a + ε), ou seja, X (a, a + ε) é infinito. Suponhamos, agora, que a é ponto de acumulação à direita de X. Seja x 1 (a, a + 1) X. Suponhamos que seja possível encontrar pontos x 1,..., x n X tais que x n < x n 1 <... < x 1 e a < x j < a + 1, j = 1,..., n. j { 1 } Seja ε = min n + 1, x n a > 0. Então, existe x n+1 X tal que a < x n+1 < a + ε. Instituto de Matemática - UFF 147

Análise na Reta Logo, a < x n+1 < a + 1 n + 1 e x n+1 < a + x n a = x n. Isto completa a definição, por indução, da seqüência (x n ) decrescente de pontos de X tal que a < x n < a + 1 n para todo n N. Logo, lim x n = a. Definição 3.4 Dizemos que a é ponto de acumulação à esquerda de X, quando (a ε, a) X, para todo ε > 0. Indicaremos por X o conjunto dos pontos de acumulação à esquerda de X. Observação 3.4 a X todo intervalo aberto da forma (a ε, a), ε > 0, contém uma infinidade de pontos de X a é ponto de acumulação do conjunto X (, a] a é limite de uma seqüência crescente de pontos de X todo intervalo aberto (c, a) contém algum ponto de X. Exemplo 3.7 Se X = { 1, 1 2,..., 1 n,...}, então 0 é ponto de acumulação à direita de X, mas não é ponto de acumulação à esquerda de X. Exemplo 3.8 Todo ponto x X = (a, b) é ponto de acumulação à esquerda e à direita de X, mas a é apenas ponto de acumulação à direita de X e b é apenas ponto de acumulação à esquerda de X. Exemplo 3.9 Seja K o conjunto de Cantor. Já provamos que K = K. O ponto 0 é apenas ponto de acumulação à direita e o ponto 1 é apenas ponto de acumulação à esquerda de K. se a K é extremidade inferior de algum dos intervalos retirados, então a é apenas ponto de acumulação à esquerda de K. De fato, se (a, x) é o intervalo aberto retirado na n 0 ésima etapa, vai restar, nesta etapa, um intervalo do tipo [b 1, a] de comprimento 1 3 n 0. E, nas etapas seguintes, vão sobrar intervalos [b 2, a], [b 3, a],..., [b n, a],..., tais que [b n+1, a] [b n, a] e a b n = 1 3 n 0+n+1 para todo n N. Assim, (b n ) é uma seqüência crescente de pontos de K tais que b n a. Logo, a K. 148 J. Delgado - K. Frensel

Pontos de acumulação Como (a, x) K =, temos que a K +. Se a é extremidade superior de algum intervalo aberto retirado, então a é apenas ponto de acumulação à direita de K. A demonstração é análoga à anterior. Se a K e a E {0, 1}, então a é ponto de acumulação à esquerda e à direita de K. De fato, suponhamos, por absurdo, que existe ε > 0 tal que (a ε, a) X =. Então, (a ε, a) (c, d), onde (c, d) é um dos intervalos abertos retirados. Logo, como a K, devemos ter d = a, ou seja, a E, o que é absurdo. Assim, a é ponto de acumulação à esquerda de K. De modo análogo, podemos provar que a é ponto de acumulação à direita de K. Lema 3.1 Seja F R não-vazio, fechado e sem pontos isolados. Para todo x R, existe F x limitado, não-vazio, fechado e sem pontos isolados tal que x F x F. Como F = F e F, temos que F. Logo, F = F é infinito. Então, existe y F tal que y x. Seja [a, b] um intervalo fechado tal que x [a, b] e y (a, b). Seja G = (a, b) F. Então, G é limitado e não-vazio, pois y G. Além disso, G não possui pontos isolados. De fato, se c é um ponto isolado de G, existe ε > 0 tal que (c ε, c + ε) (a, b) F = {c}. Então, para ε = min{ε, b c, c a}, temos (c ε, c + ε ) (a, b) (c ε, c + ε) e, portanto, (c ε, c + ε ) F = {c}, o que é absurdo, pois F não possui pontos isolados. Se G é fechado, basta tomar F x = G, pois x G. Suponhamos que G não é fechado. Instituto de Matemática - UFF 149

Análise na Reta Como G [a, b] F, então ou a G ou b G. Acrescentamos, então esse(s) ponto(s) a G para obter F x. Assim, x F x, F x é fechado e não é vazio, pois F x = G. Além disso, F x não possui pontos isolados. De fato, já provamos que se c G = (a, b) F, então c não é ponto isolado de G, e, portanto, não é ponto isolado de G. Suponhamos que a G é ponto isolado de G. Então a G, e, portanto, a é ponto de acumulação de G, o que é absurdo. De modo análogo, prova-se que b não é ponto isolado de G, caso b G. Logo, F x = G não possui pontos isolados. Teorema 3.3 Se F é um conjunto não-vazio, fechado e sem pontos isolados, então F é não-enumerável. Seja X = {x 1, x 2,..., x n,...} um subconjunto enumerável de F. Pelo lema anterior, existe um conjunto F 1 não-vazio, limitado, fechado, e sem pontos isolados tal que x 1 F 1 F. Suponhamos que existem subconjuntos F 1, F 2,..., F n, não-vazios, limitados, fechados e sem pontos isolados tais que F n... F 2 F 1 F e x j F j, para todo j = 1,..., n. Então, pelo lema, existe F n+1 não-vazio, limitado, fechado e sem pontos isolados tal que x n+1 F n+1 F n. Obtemos, assim, uma seqüência decrescente (F n ) de conjuntos não-vazios, fechados, limitados e sem pontos isolados tais que x n n N. F n para todo Como F n, para todo n N, existe y n F n. A seqüência (y n ) é limitada, pois y n F n F 1 para todo n N e F 1 é limitado. Logo, a seqüência (y n ) n N possui uma subseqüência (y nk ) k N convergente. Seja y = lim k y nk. 150 J. Delgado - K. Frensel

Conjuntos compactos Dado j N, temos que y nk F j para todo n k j. Logo, y F j, para todo j N, pois F j é fechado e y nk y. Assim, y F e y x n para todo n N. Ou seja, y F e y X. Logo, F não é enumerável. Corolário 3.5 Todo conjunto fechado não-vazio enumerável possui algum ponto isolado. Corolário 3.6 O conjunto de Cantor é não-enumerável. 4. Conjuntos compactos Definição 4.1 Uma cobertura de um conjunto X R é uma família C = (C λ ) λ L de subconjuntos C λ R tais que X λ L C λ. Uma subcobertura de C é uma subfamília C = (C λ ) λ L, L L, tal que X λ L C λ. Exemplo 4.1 Seja X = [ 1 3, 3 4] e seja C = {C 1, C 2, C 3 } uma família de subconjuntos de R, onde ( C 1 = 0, 2 ) ( 1 ), C 2 = 3 3, 1 ( 1 e C 3 = 2 10), 9. Então, C é uma cobertura de X, pois X C 1 C 2 C 3 = (0, 1) e C = {C 1, C 2 } é uma subcobertura de C, pois X C 1 C 2 = (0, 1). Exemplo 4.2 C = (C n ) n Z, onde C n = [n, n+1), n Z, é uma cobertura de R que não possui uma subcobertura própria, pois os conjuntos C n são dois a dois disjuntos. Exemplo 4.3 Seja X = {1, 1 2,..., 1 n,... }. Então X é infinito e todos os seus pontos são isolados, pois X = {0} e, portanto, X X =. Assim, para cada x X, existe um intervalo de centro x tal que I x X = {x}. Instituto de Matemática - UFF 151

Análise na Reta Como X = {x} I x X, temos que X = I x, ou seja C = (I x ) x X é x X x X x X uma cobertura de X. Mas C não possui uma subcobertura própria, pois se x X, então x I y, para todo y x, y X, já que I y X = {y}. Teorema 4.1 (Borel-Lebesgue) Seja [a, b] um intervalo limitado e fechado. Dada uma família (I λ ) λ L de intervalos abertos tais que [a, b] λ L I λ, existe um número finito deles I λ1,..., I λn, tais que I I λ1... I λn. Ou seja, toda cobertura de [a, b] por meio de intervalos abertos possui uma subcobertura finita. Seja X = {x [a, b] [a, x] pode ser coberto por um número finito dos intervalos I λ }. Como X é limitado e não-vazio, pois X [a, b] e a X, existe c = sup X. Afirmação: c X. Como a x b para todo x X, temos que a c b, ou seja, c [a, b]. Então existe λ 0 L tal que c I λ0 = (α, β). Sendo α < sup X = c, existe x X tal que α < x c < β. Como x X, existem λ 1,..., λ n L tais que [a, x] I λ1... I λn. Então, [a, c] I λ1... I λn I λ0, pois [x, c] (α, β) = I λ0. Logo, c X. Afirmação: c = b. Suponhamos que c < b. Então existe c I λ0 tal que c < c < b. Assim, [a, c ] I λ1... I λn I λ0, ou seja, c X, o que é absurdo, pois c > c = sup X. Logo, b X, ou seja, o intervalo [a, b] está contido numa união finita dos I λ. Teorema 4.2 (Borel-Lebesgue) Toda cobertura de [a, b] por meio de conjuntos abertos admite uma subcobertura finita. 152 J. Delgado - K. Frensel

Conjuntos compactos Seja C = (A λ ) λ L uma cobertura de [a, b], onde cada A λ é aberto. Seja x [a, b]. Então existe λ x L tal que x A λx. Sendo A λx aberto, existe um intervalo aberto I x tal que x I x A λx. Logo, [a, b] I x. Pelo teorema anterior, existem x 1,..., x n [a, b] x [a,b] tais que [a, b] I x1 I x2... I xn. Assim, [a, b] A λx1... A λxn. Teorema 4.3 (Borel-Lebesgue) Seja F R um conjunto fechado e limitado. Então toda cobertura F A λ de F por meio de conjuntos abertos admite uma subcobertura λ L finita. Sejam A = R F e [a, b] um intervalo fechado e limitado tal que F [a, b]. ( ) Logo, [a, b] A λ A. Como A é aberto, temos, pelo teorema λ L anterior, que existem λ 1,..., λ n L tais que [a, b] A λ1... A λn A. Então, F A λ1... A λn, pois F A =. Observação 4.1 As três formas do teorema de Borel-Lebesgue anteriores são equivalentes. Exemplo 4.4 A cobertura aberta C = ( ( n, n) ) n N de R não possui uma subcobertura finita, pois uma reunião finita de intervalos abertos da forma ( n, n) coincide com o maior deles e, portanto, não pode ser R. Observe, neste caso, que R é fechado, mas não é limitado. Exemplo 4.5 O intervalo (0, 1] possui a cobertura aberta ( ( 1 n, 2 ) ) que não possui subcobertura finita, pois uma reunião finita de intervalos ( 1 ) da forma n, 2 é o maior deles e, portanto, não pode conter (0, 1]. Neste exemplo, o intervalo (0, 1] é limitado, mas não é um conjunto fechado. n N Instituto de Matemática - UFF 153

Análise na Reta Teorema 4.4 As seguintes afirmações a respeito de um conjunto K R são equivalentes. (1) K é fechado e limitado. (2) Toda cobertura de K por conjuntos abertos possui uma subcobertura finita. (3) Todo subconjunto infinito de K possui um ponto de acumulação pertencente a K. (4) Toda seqüência de pontos de K possui uma subseqüência que converge para um ponto de K. (1) = (2) Segue do teorema de Borel-Lebesgue. (2) = (3) Seja X K um conjunto sem pontos de acumulação em K. Vamos provar que X é finito. Seja x K. Como x X, existe um intervalo aberto I x tal que I x X = {x} se x X, e I x X =, se x X. Como K I x, existem x 1,..., x n K, tais que K I x1... I xn. Então, x K X (I x1 X)... (I xn X) {x 1,..., x n }. Logo, X é finito. (3) = (4) Seja (x n ) uma seqüência de pontos de K. Então X = {x 1, x 2,..., x n,...} é um conjunto finito ou infinito. Se X é finito, então existe a R tal que x n = a para uma infinidade de índices n N, ou seja, existe N N infinito tal que x n = a para todo n N. Logo, a subseqüência (x n ) n N é convergente. Se X é infinito, existe a K que é ponto de acumulação de X. Então, para todo ε > 0, o intervalo aberto (a ε, a + ε) contém infinitos pontos de X e, portanto, contém termos x n com índices arbitrariamente grandes. Logo, a é valor de aderência da seqüência (x n ) ou seja, a é limite de uma subseqüência de (x n ). (4) = (1) Suponhamos que K não é limitado superiormente. Então, para todo n N, existe x n K tal que x n > n. 154 J. Delgado - K. Frensel

Conjuntos compactos Seja (x n ) n N uma subseqüência de (x n ). Como N N é ilimitado, para todo n N existe n N tal que n > n. Logo, x n > n > n. Então, a subseqüência (x n ) n N não é limitada superiormente e, portanto, não é convergente. Assim, a seqüência (x n ) n N de pontos de K não possui uma subseqüência convergente, o que é absurdo. Logo, K é limitado superiormente. De modo análogo, podemos provar que K é limitado inferiormente. Então, K é limitado. Seja (x n ) uma seqüência convergente de pontos de K com lim x n = x. Como (x n ) possui uma subseqüência (x nk ) k N ponto de K e lim x nk = x, temos que x K. k que converge para um Logo, K é fechado. Corolário 4.1 Toda seqüência limitada de números reais possui uma subseqüência convergente. Seja (x n ) uma seqüência limitada de números reais e seja X = {x 1, x 2,..., x n,...}. Como X é limitado, existem a, b R, a < b, tais que X [a, b]. Então, X [a, b]. Ou seja, X é fechado e limitado. Logo, pelo teorema anterior, a seqüência (x n ) de pontos de X possui uma subseqüência convergente. Corolário 4.2 (Bolzano-Weierstrass) Todo conjunto limitado e infinito de números reais possui um ponto de acumulação. Seja X um conjunto limitado e infinito de números reais. Então, existem a, b R, a < b, tais que X [a, b]. Logo, X [a, b]. Então, X é fechado, limitado, e X X é infinito. Assim, pelo teorema anterior, X possui um ponto de acumulação. Instituto de Matemática - UFF 155

Análise na Reta Definição 4.2 Dizemos que um conjunto K R é compacto se toda cobertura aberta de K possui uma subcobertura finita. Observação 4.2 K é compacto se, e somente se, satisfaz uma (e, portanto todas) as afirmações do teorema 4.4. Exemplo 4.6 O conjunto Y = {0, 1, 1 2,..., 1 } n,... onde X = {1, 1 2,..., 1 } n,.... é compacto, pois Y = X = X X, O conjunto de Cantor é compacto. Os intervalos do tipo [a, b] são compactos. R, Q e Z não são compactos porque não são limitados. Q [0, 1] não é compacto, pois Q [0, 1] = [0, 1] e, portanto, Q [0, 1] não é fechado. Teorema 4.5 Seja K 1 K 2... K n K n+1... uma seqüência decrescente de compactos não-vazios. Então K = n N K n é não-vazio e compacto. O conjunto K é fechado, pois é interseção de uma família de conjuntos fechados, e é limitado, pois K K 1 e K 1 Logo, K é compacto. é limitado (por ser compacto). Para cada n N, tome x n K n. Então, x n K j para todo n j. Em particular, x n K 1 para todo n N. Como K 1 é compacto, a seqüência (x n ) de pontos de K 1 possui uma subseqüência convergente (x nk ). Seja x = lim k x nk. Dado j N, existe k 0 N tal que n k0 j. Então, x nk K j, para todo k k 0, já que n k n k0 j. Logo, x nk x K j para todo j N, pois K j é fechado para todo j N. Ou seja, x K. 156 J. Delgado - K. Frensel

Conjuntos compactos Aplicação do Teorema de Borel-Lebesgue Definição 4.3 O comprimento dos intervalos [a, b], (a, b), (a, b] e [a, b) é o número b a. Proposição 4.1 Se [a, b] n (a i, b i ), então b a < i=1 n (b i a i ). i=1 Podemos supor, sem perda de generalidade, que (a i, b i ) [a, b] para todo i. Sejam c 1 < c 2 <... < c k os números a i e b j ordenados de modo crescente. k 1 Então {a 1,..., a n, b 1,..., b n } (c j, c j+1 ) =, ou seja, a i (c j, c j+1 ) e j=1 b k (c j, c j+1 ) para quaisquer i, k = 1,..., n e j = 1,..., k 1. Além disso, c 1 < a e c k > b. Logo, b a < c k c 1, ou seja, b a < (c k c k 1 ) +... + (c 3 c 2 ) + (c 2 c 1 ) = c k c 1. Mostraremos, agora, que cada intervalo (c j, c j+1 ) está contido em algum intervalo (a i, b i ). c j [a, b] Neste caso, c j (a i, b i ) para algum i = 1,..., n. Como b i não está entre c j e c j+1, temos que (c j, c j+1 ) (a i, b i ). Fig. 7: Caso c j [a, b]. c j < a Neste caso, c j não pode ser um dos b i, pois, caso contrário, (a i, b i ) [a, b] =. Logo, c j = a i para algum i = 1,..., n. Como b i não pode estar entre c j e c j+1, temos que (c j, c j+1 ) (a i, b i ) Fig. 8: Caso c j < a. Instituto de Matemática - UFF 157

Análise na Reta c j > b Neste caso, temos c j+1 > b. Logo, c j+1 = b i para algum i = 1,..., n, pois, caso contrário, (a i, b i ) [a, b] =. Como a i (c j, c j+1 ), temos que a i c j e, portanto, (c j, c j+1 ) (a i, b i ). Para cada i = 1,..., n, existem p {1,..., k} e q N tais que a i = c p, b i = c p+q e p + q {1,..., k}. Então, b i a i = (c p+q c p+q 1 ) +... + (c p+1 c p ). n Logo, (b i a i ) é uma soma de parcelas do tipo c j+1 c j, sendo que i=1 cada parcela c j+1 c j, j = 1,..., k 1, aparece pelo menos uma vez, pois cada intervalo (c j, c j+1 ) está contido em algum intervalo (a i, b i ). Fig. 9: Posição relativa do intervalo (a, b) entre os (a i, b i ). k 1 Assim, b a < (c j+1 c j ) j=1 n (b i a i ). i=1 Proposição 4.2 Se [a, b] (a n, b n ) então (b a) < (b n a n ). n=1 n=1 Pelo teorema de Borel-Lebesgue, existem n 1,..., n k N tais que [a, b] (a n1, b n1 )... (a nk, b nk ). Então, pela proposição anterior, b a < (b n1 a n1 ) +... + (b nk a nk ). Portanto, b a < (b n a n ). n=1 Proposição 4.3 Se (b n a n ) < b a, então o conjunto n=1 X = [a, b] é não-enumerável. (a n, b n ) n=1 158 J. Delgado - K. Frensel

Conjuntos compactos Seja c = (b a) enumerável. (b n a n ) > 0, e suponha que X = {x 1,..., x n,...} é n=1 Tome, para cada n N, um intervalo J n de centro x n e raio c. Logo, 2n+2 ( ) ( ) [a, b] (a n, b n ) J n. ( ) Mas, (b n a n ) + J n = n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 1 (b n a n ) + c 2 n+1 = (b a) c + c 2 = (b a) c + c 2 = (b a) c 2 < b a, o que contradiz ( ), pela proposição anterior. Aplicações (A) Existe uma coleção de intervalos abertos cujos centros são todos os números racionais do intervalo [a, b] que não é uma cobertura de [a, b]. Seja X = {r 1, r 2,..., r n,...} uma enumeração dos racionais contidos no intervalo [a, b]. Para cada n N, seja (a n, b n ) o intervalo aberto de centro r n e raio b a 2 n+2. Então, (b n a n ) = b a < b a. Logo, [a, b] 2 n=1 é vazio, pois não é enumerável, ou seja, [a, b] n=1 1 2 n (a n, b n ) não n=1 (a n, b n ). (B) Existe um conjunto fechado, não-enumerável, formado apenas por números irracionais. Com efeito, sejam (a n, b n ), n N, os intervalos do exemplo anterior. Então X = [a, b] ( (a n, b n ) = [a, b] R n=1 n=1 ) (a n, b n ) é fechado, não enumerável e formado apenas por números irracionais. n=1 Instituto de Matemática - UFF 159