NOTAS DE AULA CÁLCULO VETORIAL. Cláudio Martins Mendes

NOTA DE AULA CÁLCULO VETORIAL Cláudio Martins Mendes egundo emestre de 28

umário 1 Cálculo Vetorial 2 1.1 Integrais de Linha.................................. 2 1.2 Campos Conservativos e Integrais de Linha.................... 13 1.3 Teorema de Green................................. 26 1.4 Integrais de uperfície............................... 32 1.5 Divergente - Rotacional............................... 47 1.6 Teoremas: Gauss - tokes............................. 5 1

Capítulo 1 Cálculo Vetorial 1.1 Integrais de Linha ejam um aberto de R 2 e : [a, b] R 2 uma curva suave ( isto é, (t) é contínuo e (t), t [a, b] ). eja ainda f : R 2 R. A P i 1 P i B f R a b Tomemos A = (a) e B = (b). eja a = t < t 1 < < t n = b uma partição de [a, b]. Consideremos i = t i t i 1, i = 1,..., n. Esta partição em [a, b] determina uma partição do arco AB em arcos P i 1 P i, onde P i = (t i ), i = 1,..., n. ejam i = comprimento do arco P i 1 P i e = ma i. Em cada arco P i 1 P i tomamos (u i, v i ) e formamos a soma f(u i, v i ) i i 2

Definição 1. A integral curvilínea de f sobre de A até B é definida (e denotada) por: f(, )ds = lim f(u i, v i ) i ; desde que o limite eista independentemente da escolha de (u i, v i ) P i 1 P i. Obs: A integral anterior é também conhecida como integral de linha relativa ao comprimento de arco. Uma condição suficiente para garantir a eistência da integral em questão é dada a seguir. Teorema 2. e : [a, b] R 2, (t) = (g(t), h(t)) é suave e f(, ) é contínua em, então eiste f(, )ds e f(, )ds = b Não faremos a demonstração deste resultado. a i f(g(t), h(t)). [g (t)] 2 + [h (t)] 2 dt Observação 1: e usarmos a notação vetorial para e colocarmos (t) = g(t) i + h(t) j, temos: f(, )ds = b a f((t)). (t) dt. Observação 2: O resultado do Teorema anterior pode ser esperado, uma vez que f(u i, v i ) i i i f((t i )). (t i ). i, onde estamos usando que (u i, v i ) = (t i ) e que i (t i ). i (espaço percorrido = velocidade. tempo ), melhorando a aproimação quando. Observação 3: Notemos que no caso particular de f(, ) 1 temos que comprimento da curva. f(, )ds é o Uma curva : [a, b] R 2 contínua é dita suave por partes se eiste uma partição finita de [a, b] em subintervalos tal que a restrição de a cada subintervalo seja suave. Neste caso, definimos f(, )ds como soma das integrais das restrições. 3

Interpretação Geométrica uponhamos f contínua, com f(, ) em. z z = f(, ) A P i 1 (u i, v i ) P i B Área da região hachurada: f(u i, v i ) i É natural então: f(, )ds = área da superfície cilindrica de base AB com altura determinada pelo gráfico de f (uma espécie de cortina). Interpretação Física: Encarando a curva como um fio delgado e f(, ) = densidade em (, ), temos: f(u i, v i ) i massa de P i 1 P i = m i f(u i, v i ) i i i m i é, assim, uma aproimação da massa total M do fio. Assim, M = f(, )ds. Eercícios resolvidos 1. Calcular f(, )ds onde f(, ) = 3 + e (t) = (3t, t 3 ), t [, 1]. 4

Resolução: f(, )ds = = 1 1 (27t 3 + t 3 ) 9 + 9t 4 dt = 84t 3 1 + t 4 dt =... = 14(2 2 1). 1 3 2. Calcular a área da região representada abaio. z z = 2 + 2 2 2 + 2 = 1 2 1 1 1 Resolução: Consideremos : [, π] 2 R2 definida por (t) = (cos t, sen t). Então a área A da superfície será dada por: A = f(, )ds = = = π/2 π/2 (cos 2 t + 2sen 2 t) cos 2 t + sen 2 t dt = (1 + sen 2 t)dt = π/2 1 + 1 2 (1 cos 2t)dt =... = 3π 4 Consideremos : [a, b] R 2, (t) = (g(t), h(t)), suave, f(, ) contínua em. e, ao invés de i usarmos i = i i 1, onde P i = ( i, i ), na definição de integral curvilínea, obtemos a integral curvilínea de f sobre em relação a, dada (e denotada) por: f(, )d = lim 5 f(u i, v i ) i i

Analogamente, f(, )d = lim f(u i, v i ) i Estas novas integrais podem ser calculadas através das formas: Observação: f(, )d = f(, )d = b a b a i f(g(t), h(t))g (t)dt f(g(t), h(t))h (t)dt Tudo o que foi feito até aqui é generalizável de maneira análoga para três ou mais variáveis. Eercício proposto Calcular 2 d e 2 d quando: a) é o segmento de (, ) até (1, 1). b) é a parábola = 2, 1. c) é o segmento de (1, 1) até (, ). eja : [a, b] R 3, (t) = (g(t), h(t), k(t)) suave. ejam f 1 (,, z), f 2 (,, z) e f 3 (,, z) funções contínuas em. A soma f 1 (,, z)d + f 2 (,, z)d + f 3 (,, z)dz será indicada por f 1 (,, z)d + f 2 (,, z)d + f 3 (,, z)dz Intrepretação Física uponhamos forças contínuo uma curva suave, trajetória de uma partícula sujeita a um campo de F (,, z) = f 1 (,, z) i + f 2 (,, z) j + f 3 (,, z) k 6

e F é constante e uma reta, temos que Trabalho = F (vetordeslocamento), onde denota o produto escalar. e F não é constante ou não é uma reta, particionamos num número finito de arcos. e é pequena, o trabalho realizado por F ao longo do arco P i 1 P i pode ser aproimado por W i = F (P i 1 ) ( i i + i j + z i k) = f1 (P i 1 ) i + f 2 (P i 1 ) i + f 3 (P i 1 ) z i A P i 1 F (P i 1 ) P i B O trabalho W realizado por F ao longo de é, por definição: W = lim Wi, isto é, W = f 1 (,, z)d + f 2 (,, z)d + f 3 (,, z)dz A integral anterior pode ser epressa em forma vetorial. É o que faremos a seguir. ejam : [a, b] R 3, (t) = (g(t), h(t), k(t)) [ ou na notação vetorial r(t) = g(t) i + h(t) j + k(t) k ] uma curva suave e um campo contínuo sobre. = = Então: f 1 (,, z)d + f 2 (,, z)d + f 3 (,, z)dz = b a b a F (,, z) = f 1 (,, z) i + f 2 (,, z) j + f 3 (,, z) k [f 1 (g(t), h(t), k(t)). g (t) + f 2 (g(t), h(t), k(t)). h (t) + f 3 (g(t), h(t), k(t)). k (t)]dt = F ((t)) (t)dt campo F sobre. Notação === F d r, a qual será chamada de integral de linha do 7

B r (t) (t) z F ((t)) r(t) A Vejamos agora uma relação entre a integral de linha de um campo vetorial e a integral de linha com relação ao comprimento de arco. = Denotemos por T (P ) o vetor unitário tangente a em P. b b [ ] F d r = F ((t)) (t) (t)dt = F ((t)). (t) dt = (t) b a a [ F ((t)) T ((t))]. (t) dt Teorema ==== 2 a b a F ((t)) T ((t))ds Notação === F T ds z P = (t) T (P ) r(t) = (t) Resumindo: W = F d r = b a F ((t)) (t)dt = F T ds Obs: Notemos que F T é a componente tangencial de F com relação à curva. poderíamos ter deduzido a epressão do trabalho usando este fato. Assim, Eercícios resolvidos 1. Calcular F d r onde F (, ) = i + j e (t) = (cos t, sen t), t [, π]. Resolução: Observe que deveremos ter a integral igual a zero, uma vez que o deslocamento se processa perpendicularmente ao campo. 8

B A De fato: F d r = π (cos t i + sen t j) ( sen t i + cos t j)dt = π dt =. 2. Calcular o trabalho realizado por F ao longo de, onde F (, ) = (, ) e (t) = (t, t ), t [ 1, 1]. Resolução: W = = 1 1 1 F d r = F ((t)) (t)dt= F ((t)) (t)dt + F ((t)) (t)dt = 1 1 (t, t ) (1, 1)dt + 1 Uma pergunta que se coloca aqui: A integral (t, t ) (1, 1)dt = 1 Veremos a seguir que só depende do sentido de percurso. 2t dt + 1 2t dt = 1 + 1 = F d r depende da parametrização de? Teorema 3. ejam : [a, b] R 3 uma curva suave e h : [c, d] [a, b] uma mudança de parâmetros (isto é h > ou h < ). eja ainda λ = h uma reparametrização de. Então: F d r = F d r, se h (τ) > λ ou F d r = F d r, se h (τ) < λ 9

Prova: λ = h z c τ d a t b h uponhamos h (τ) <. Neste caso, h(c) = b e h(d) = a. Pela Regra da Cadeia, λ (τ) = (h(τ)). h (τ). Fazendo a mudança t = h(τ) obtemos F d r = b O caso h (τ) > é semelhante. a F ((t)) (t)dt = c d = F (λ(τ)) λ (τ)dτ = c Observação: Relembre a definição de d F ((h(τ))) (h(τ)). h (τ)dτ = λ F d r f(, )ds. Fica claro que este tipo de integral independe também do sentido de. Prove isto com o mesmo tipo de argumento usado na demonstração do teorema anterior. Eercícios resolvidos 1. Calcular F d r onde F (, ) = ( 2, 2 ) quando: (a) 1 é o segmento de reta que liga (, ) a (1, 1). (b) 2 é a parábola = 2, 1. (c) 3 é o segmento de reta que liga (1, 1) a (, ). Resolução: (a) uma parametrização da curva pode ser 1 (t) = (t, t), t 1. 1

1 (1,1) Assim, F d r = 1 1 (t 3, t 3 ) (1, 1)dt = 1 2t 3 dt =... = 1 2 (b) uma parametrização da curva pode ser 2 (t) = (t, t 2 ), t 1. (1,1) 2 Assim, 2 F d r = 1 (t 4, t 4 ) (1, 2t)dt = 1 t 4 + 2t 5 dt =... = 8 15 (c) uma parametrização da curva pode ser 3 (t) = (1 t, 1 t), t 1. (1,1) 3 Assim, F d r = 3 1 ((1 t) 3, (1 t) 3 ) ( 1, 1)dt = 1 2(1 t) 3 dt = = 1 2 Observemos neste eercício que podemos obter dois valores diferentes para a integral de linha ao longo de duas curvas ligando (, ) a (1, 1). 2. Calcular a área da região R representada a seguir: 11

z z = 2 R (1,1,) (,2,) 3 Resolução: ejam z = f(, ) = 2 e (t) = (t, 2 t), t [, 1]. 1 Área de R = f(, )ds = t 2. 2 2 dt = 3 u.a. 3. Calcule 2d + d + dz, onde é a intersecção do cilindro = 2 com o parabolóide z = 2 2 2, contida no octante,, z. (1, 1, ) a (,, 2). Resolução: Uma visualização da curva: O caminho é percorrido de z (,, 2) = 2 z = 2 2 2 (1, 1, ) Uma parametrização de pode ser dada por (t) = ( 1 t, (1 t) 2, 2 (1 t) 2 (1 t) 4 ), t 1. Temos 1 2d + d + dz = [ 2(1 t) 2(1 t) + 2(1 t) + 4(1 t) 3 ]dt = 1 = [2(t 1) + 4(1 t) 3 ]dt = [(t 1) 2 (1 t) 4 1 ] = 12

Eercícios propostos 1.1 1. Calcular 2 d + 2 d, onde é a curva indicada a seguir. (2, 1) (2, ) 2. Considere o campo vetorial sobre R 2, definido por F (, ) = i + j. Encontre uma curva começando no ponto (1, 2) de comprimento 1 tal que F d r =. 3. Calcule a área da região R representada a seguir z R 3 2 + 2 = 4, z = 4. Calcule z = F d r onde F (, ) = (2 + 3 ) i + 3 2 j e é a curva indicada na figura a seguir 3 2 1 1 5 2 Observação: Volte a fazer este eercício após a leitura da secção a seguir. 1.2 Campos Conservativos e Integrais de Linha Teorema 4 (Teorema Fundamental para Integrais de Linha). ejam R n um aberto e f : R de classe C 1. eja : [a, b] R n dada por (t) = ( 1 (t),..., n (t)) uma curva 13

suave por partes tal que (a) = A e (b) = B. Então, f d r = f(b) f(a). Prova: (i) e é suave: f d r = b Pela Regra da Cadeia a f((t)) (t)dt B d f f((t)) = dt 1 ((t)). f 1 (t) + + n ((t)). n(t) = f((t)) (t). A Do Teorema Fundamental do Cálculo segue que: b f d r = a (ii) e é suave por partes: = 1 m, onde i d f((t))dt = f((b)) f((a)) = f(b) f(a) dt é suave, i = 1,..., m m f d r = f d r i=1 / i / / = f(a 1 ) f(a)+ f(a 2 ) f(a 1 ) 1 A 1 2 A 2 3 B A / + +f(b) f(a m 1 ) =f(b) f(a). Definição 5. Uma curva : [a, b] R n é dita fechada quando (a) = (b). Notação: Quando a curva é fechada, costuma-se denotar por. Quando está no plano, usa-se ainda ou. Corolário 6. e F = f onde f : R n R com f C 1 e : [a, b] R n é suave por partes e fechada, então F d r =. 14

Eercícios resolvidos 1. Calcular d + d em cada um dos casos abaio: i) é o segmento de (, ) a (1, 1) ii) é a parábola = 2, 1 (1, 1) iii) é a curva indicada ao lado. iv) é a circunferência (cos t, sen t), t 2π Resolução: d + d = (, ) d r. (1, 1) eja f(, ) = 1 2 ( 2 + 2). Então f(, ) = (, ). Logo, d + d = f d r. Respostas para (i), (ii), (iii): f(1, 1) f(, ) = 1 Respostas para (iv):, pois A = B. 2. Calcular d + d onde é uma curva suave unindo (, 1) a (2, 3). Resolução: d + d = (, ) d r. eja g(, ) =. Então g(, ) = (, ). Logo, d + d = g(2, 3) g(, 1) = 6. Observação: O teorema anterior afirma que, sob certas condições, a integral de linha independe do caminho de integração, mas somente dos pontos etremos. Conforme já visto anteriormente, nem todas as integrais de linha tem esta propriedade. Veremos uma recíproca do Teorema anterior. Definição 7. R n é dito coneo se quaisquer dois pontos em podem ser ligados por uma curva suave por partes, inteiramente contida em. Uma região é um conjunto aberto e coneo. 15

Eemplos: Nos casos abaio 1 é coneo e 2 não é coneo. 1 = { (, ) R 2 ; > 1 } 2 = { (, ) R 2 ; > 1 } Teorema 8. ejam R n uma região e F : R n R n um campo vetorial contínuo. e a integral de linha F d r é independente da curva suave por partes ligando A a X em, onde A é fiado e X é arbitrário, então a função real definida por é de classe C 1 e satisfaz f = F em. Prova: f(x) = X A F d r Para simplificar a notação vamos fazer a prova para n = 2. Inicialmente observemos que em virtude da independência de caminho a fórmula para f(, ) fornece uma função sem ambigüidade. Precisamos mostrar que f(, ) = F (, ), ou seja (F 1 (, ), F 2 (, )). ( ) f (, ), f (, ) Escolhemos curva suave por partes ligando A a (, ) contida em (que eiste pois é coneo) e a estendemos horizontalmente até o ponto ( + t, ), t < δ (isto é possível pois é aberto). = (, ) ( + t, ) A f( + t, ) f(, ) = Assim: = (+t, ) (,) F d r F d r = A A (+t, ) t F d r = (,) F ( + τ, ) (1, )dτ = f f( + t, ) f(, ) 1 (, ) = lim = lim t t t t F 1 ( + τ, )dτ = = d ( t ) / F 1 ( + τ, )dτ dt t = = F 1(, ) 16 t t F 1 ( + τ, )dτ

onde usamos nas igualdades anteriores a definição de derivada de função de uma variável e o Teorema Fundamental do Cálculo. Analogamente f (, ) = F 2(, ). Logo f(, ) = (F 1 (, ), F 2 (, )) = F (, ). Resumindo os teoremas 4 e 8, podemos enunciar: R n região. curva suave por partes, ligando A a B. F campo vetorial contínuo sobre. F d r é independente de f tal que F = f em. Definição 9. Um campo vetorial F para o qual eiste uma função real f tal que F = f é chamado um campo gradiente ou conservativo. A função f é chamada o potencial de F. A motivação para chamarmos um campo gradiente por conservativo será colocada a seguir. uponhamos uma partícula de massa m percorrendo um caminho : [a, b] R n suave por partes, sob a ação de um campo contínuo F. Temos: Trabalho = W = F d r = b a F ((t)) (t)dt. Da segunda Lei de Newton temos: F ((t)) = m. (t) Portanto, F ((t)) (t) = m. (t) (t) = d [ ] 1 dt 2 m. (t) (t) = = d [ ] 1 dt 2 m. (t) 2 = d [ ] 1 dt 2 m(v(t))2, A B onde v(t) = (t) é a velocidade escalar da partícula. Portanto, W = b a [ ( )] d 1 dt 2 m(v(t))2 dt = 1 2 m(v(b))2 1 2 m(v(a))2 = = K(b) K(a), onde K(t) = 1 2 m(v(t))2 é a energia cinética da partícula no instante t. Assim, 17

Trabalho = W = variação da energia cinética. uponhamos agora que F = f. abemos do Teorema 4 que W = f(b) f(a). Comparando com a fórmula anterior, temos: f(b) f(a) = K(b) K(a) ou seja, K(b) f(b) = K(a) f(a). A quantidade f(p ) é chamada energia potencial da partícula em P. Portanto, a soma da energia potencial com a energia cinética permanece constante quando a partícula se move ao longo de um campo gradiente. Esta é a razão de chamarmos este tipo de campo como Campo Conservativo. Eercício Encontrar o trabalho realizado pelo campo F (,, z) = curva : [, 2π] R 3, dada por (t) = (cos t, sen t, t) Resolução: Poderíamos resolver usando a definição. Tentaremos resolver aplicando o Teorema 4. K 2 + 2 + z 2 ( i + j + z k) ao longo da Procuramos f tal que f (,, z) = K 2 + 2 + z 2 (1) z B = (1,, 2π) f (,, z) = K 2 + 2 + z 2 (2) f z (,, z) = Kz 2 + 2 + z 2 (3) A = (1,, ) 18

Integrando (1) em relação a obtemos Assim, f(,, z) = K 2 + 2 + z 2 d + φ(, z) = K 2 ln(2 + 2 + z 2 ) + φ(, z) (4) f (,, z) = K 2 + 2 + z 2 + φ (, z). Comparando com (2) temos φ (, z) = e assim φ = φ(z), isto é φ não depende de. Logo (4) pode ser escrita como f(,, z) = K 2 ln(2 + 2 + z 2 ) + φ(z) Diferenciando com respeito a z e comparando com (3) obtemos φ (z) = e assim φ C. Tomemos φ. Portanto f(,, z) = K 2 ln(2 + 2 + z 2 ). Assim W = F d r = f d r = f(1,, 2π) f(1,, ) = K 2 ln(1 + 4π2 ). Problema: Dado F, como saber se f tal que f = F? Teorema 1. eja F (, ) = A(, ) i + B(, ) j, onde A(, ) e B(, ) são de classe C 1 num retângulo R = [a, b] [c, d]. A = B em R f tal que f = F em R. Prova: ( ) e f = F então A = f e B = f. Logo A = 2 f Teo. chwarz ======= 2 f = B ( ) Desenvolveremos argumento semelhante ao feito na prova do Teorema anterior. Fiemos (, ) R. 19

eja f(, ) definida em R por: f(, ) = F d r, onde é a curva indicada na figura ao lado. R (, ) 1 (, ) 2 (, ) Consideremos as parametrizações 1 : [, ] R dada por 1 (t) = (t, ) e 2 : [, ] R dada por 2 (t) = (, t). Assim f(, ) = A(t, )dt + f ( ) Então: (, ) == B(, ). B(, t)dt. f ( )+( ) (, ) B hip. === A(, ) + (, t)dt === A(, ) + A ( ) + (, t)dt == A(, ) + A(, ) A(, ) = = A(, ). Onde estamos usando: (*) Teorema Fundamental do Cálculo. (**)Teorema de Derivação sob o inal de Integração. Portanto, f(, ) = F (, ). Observação: O teorema anterior continua válido se ao invés do retângulo R considerarmos uma região simplesmente conea, isto é, não apresenta buracos. [Mais precisamente, uma região R n é dita simplesmente conea se toda curva fechada contida em puder ser deformada continuamente dentro de até reduzir-se a um ponto.] No entanto, o teorema não é válido para regiões quaisquer, conforme mostra o eemplo a seguir. simplesmente conea não simplesmente conea Eemplo: 2

eja (t) = (cos t, sen t), t [, 2π]. F (, ) = 2 + 2 i + 2 + 2 j ; (, ) D = R 2 {} 6 A(, ) = 2 + 2 A (, ) = 2 2 ( 2 + 2 ) 2 B(, ) = 2 + 2 B (, ) = 2 2 ( 2 + 2 ) 2 e eistir f tal que f = F em D, então F d r = f d r =. Mas, calculando pela definição, 2π F d r = 1dt = 2π. Portanto, f definida em D com a propriedade acima. No entanto, para qualquer curva fechada Λ contida em um retângulo contido em D teremos: F d r = Λ Um resultado análogo ao teorema anterior Λ também é válido para R 3. Vejamos. Teorema 11. eja F (,, z) = A(,, z) i+b(,, z) j +C(,, z) k onde A, B e C são de classe C 1 no paralelepípedo R = [a, b] [c, d] [e, f]. Então F é conservativo em R se e somente se A = B, A z = C e B z = C em R Observação: A prova é semelhante à do teorema anterior, sendo que a função potencial do campo pode ser obtida integrando F sobre uma poligonal contida em R como abaio: z 3 21

Observação: O teorema anterior continua válido se ao invés do paralelepípedo R considerarmos uma região simplesmente conea como na Observação depois do Teorema 1. Note que no R 3 uma região simplesmente conea pode apresentar buracos como entendidos na linguagem comum. Tal é o caso de uma bola da qual foi retirada o centro. Já uma bola da qual foi retirado um diâmetro não é uma região simplesmente conea. Não simplesmente conea implesmente conea Eercícios resolvidos 1. eja r(t) = cos t i + sen t j, t [, π/2] F (, ) = 2 i + (2 e ) j. Calcular F d r. Resolução: 1 ō Método: (, 1) Pela definição: F d r = π/2 ( sen 2 t, 2 cos t sen t e sen t) ( sen t, cos t)dt =... 2 ō Método: F é do tipo gradiente? A = 2 = B em qualquer retângulo. Portanto é gradiente. Procuremos f tal que f = F, isto é, (1, ) f (, ) = 2 (1) f (, ) = 2 e (2) Logo f(, ) = 2 + φ() 22

f (, ) = 2 + φ (2) () === 2 e Logo, φ () = e φ() = e f(, ) = 2 e F d r = f(, 1) f(1, ) = 1 e 3 ō Método: abemos que F é do tipo gradiente em R 2. Logo, a integral não depende da curva. Vamos calcular sobre o segmento de (1,) até (,1). Consideremos Γ(t) = (1 t) i + t j, t [, 1] Assim: F d r = F d r = Γ 1 (t 2, 2t(1 t) e t ) ( 1, 1)dt= 1 [ t 2 +2t(1 t) e t] dt=1 e 2. Calcular ( + sen )d + ( + e )d onde é uma curva suave por partes, de (, 1) a (π, ). Resolução: A = B em R 2 Portanto vale a condição do Teorema 1 1 em qualquer retângulo R. π Aqui, para encontrarmos a função potencial f vamos utilizar um método alternativo, baseado no raciocínio desenvolvido na demonstração do Teorema 1. eja f(, ) definida em R 2 por f(, ) = F d r, Γ (, ) onde Γ é a curva indicada ao lado (, ) Γ 1 Γ 2 (, ) Assim: f(, ) = sen t dt + ( + e t )dt = + e cos 23

Logo, f(, ) = F (, ) = ( + sen, + e ) e portanto ( + sen )d + ( + e )d = f d r = f(π, ) f(, 1) = 3 e 3. Considere F (,, z) = 2 i + (2 + e 3z ) j + 3 e 3z k. Encontre uma função f tal que f = F. Resolução: Queremos f(,, z) tal que: f (,, z) = 2 (1) f (,, z) = 2 + e 3z (2) f z (,, z) = 3 e 3z (3) Integrando (1) com respeito a, obtemos: f(,, z) = 2 + φ(, z) (4) Assim f (,, z) = 2 + φ (, z). Comparando com (2) obtemos φ (, z) = e 3z. Logo φ(, z) = e 3z + h(z). Reescrevendo (4): f(,, z) = 2 + e 3z + h(z). Diferenciando com relação a z e comparando com (3) obtemos h (z) = e assim h(z) = K. Logo: f(,, z) = 2 + e 3z + K é tal que f = F. 4. eja F um campo de quadrado inverso tal que F (,, z) = c r 3 r, onde r = i + j + z k e c é uma constante. ejam P 1 e P 2 pontos cujas distâncias à origem são d 1 e d 2, respectivamente. 24

Epresse em termos de d 1 e d 2 o trabalho realizado por F ao longo de uma curva suave por partes unindo P 1 a P 2. Resolução: F (,, z) = c ( 2 + 2 + z 2 (,, z) ) 3/2 z d 1 P 1 P 2 d 2 3 Notemos que F (,, z) = c 2 + 2 + z 2, ou seja, F é do tipo quadrado inverso. Observemos então que F (,, z) = f(,, z) onde f(,, z) = Assim: W = f(p 2 ) f(p 1 ) = c d 2 + c d 1 = c(d 2 d 1 ) d 1 d 2. c [ 2 + 2 + z 2 ] 1/2. Eercícios propostos 1.2 1. Calcular 2 + 2 d + 2 d, onde é a fronteira do disco unitário, centro em (2, ). + 2 2. Calcular (3 2 sen )d + 3 d onde é a curva (t) = ((1 π)t 2 + π, t), t [, 1] 3. Calcular d + d onde é uma curva suave unindo (1,1) a (2,3). 4. Prove: e F é um campo vetorial contínuo definido numa região R n, então são equivalentes: (a) F d r = para qualquer curva fechada. 25

(b) F d r é independente do caminho suave por partes,, ligando dois pontos em. 5. Calcular o trabalho realizado pelo campo F (, ) = (2 5 + ) i + j ao deslocarmos uma partícula de massa unitária ao longo do triângulo de vértices (2,2), (3,1) e (3,2), no sentido anti-horário. 1.3 Teorema de Green Definição 12. Uma região B R 2 é dita uma região simples se toda reta paralela a um dos eios coordenados corta a fronteira de B em um segmento ou, no máimo, em dois pontos. região simples região não simples união finita de regiões simples Teorema 13 (de Green). eja D região plana limitada, que é reunião finita de regiões simples, cada uma com fronteira constituída de uma curva suave por partes. e A(, ) e B(, ) são de classe C 1 num aberto contendo D e a sua fronteira, então: A(, )d + B(, )d = D [ B ] A (, ) (, ) d d onde é percorrida deiando D sempre à esquerda (dizemos -orientada positivamente). De maneira abreviada: A d + B d = D ( B A ) d d 26

D Prova: 1 ō Caso: uponhamos D-região simples (com o aspecto abaio, por eemplo) b = h 1 () D = h 2 () a D B (, )d d = b a h2 () d h 1 () B (, )d = = = b a b a [B(h 2 (), ) B(h 1 (), )] d = B(h 2 (), )d + a b B(h 1 (), )d = B(, )d A última igualdade ocorre, uma vez que a parte paralela ao eio em nada contribui com a integral. Analogamente, A(, )d = D A (, )d d A soma destas igualdades fornece a prova deste primeiro caso. 2 ō Caso: uponhamos D = D 1 D n reunião finita de regiões simples, cada uma com uma fronteira constituída de uma curva suave por partes i, i = 1,..., n. 27

Temos já provado: Ad + Bd = i D i ( B A ) d d A soma das integrais sobre D i é uma integral sobre D. Logo, ( B D A ) n d d = Ad + Bd ( * ) i i=1 A fronteira de D é constituída de partes das curvas i. Podem eistir partes das curvas i que não fazem parte de, como mostra a figura a seguir. D Estas partes serão percorridas duas vezes, uma em cada sentido, em nada contribuindo com o membro direito de ( ). Logo, D ( B A ) d d = Ad + Bd Aplicação: Área de uma região plana Tomando-se A e B(, ) =, temos Área de D = Tomando-se A(, ) = e B, temos Área de D = D D d d = d d = Ainda, somando-se as duas igualdades anteriores temos Área de D = 1 2 Eercícios resolvidos 1. Use o Teorema de Green para calcular quadrado de vértices (, ), (a, ), (, a) e (a, a). 28 d. d d + d. (1 + 1 + 2 )d + (6 + 5 2 )d, onde é o

Resolução: (1 + 1 + 2 )d + (6 + 5 2 )d = = = R R a d [(6 + 1) (1 + 2)] d d = 4 d d = a 4 d = = 2a 3. R 2. Calcular 2 d + 3 d, onde é a curva indicada na figura. 1 1 = 3 = 2 Resolução: eja D a região limitada pela curva. A(, ) = 2, B(, ) = 3, A (, ) = 2 B (, ) = 2 d + 3 d = = D 1 2 d d = 3. Calcular a área limitada pela elípse 2 a 2 + 2 b 2 = 1. 1 2/3 d 2 d = ( 8/3 3 )d = = 1 44. 29

b a Resolução: eja (t) = (a cos t, b sen t), t [, 2π] Área = 1 d d = 1 2 2 = 1 2 2π ab dt = π ab 2π (a cos t b cos t + b sen t a sen t)dt = 4. D = {(, ) R 2 / 2 + 2 1} A(, ) = A(r), B(, ) = B(r) ; funções de classe C 1 que dependem somente da distância r à origem. Prove que D ( B A ) d d =. Resolução: eja (t) = (cos t, sen t), t [, 2π] Pelo Teorema de Green, D ( B A ) d d = A(1)d + B(1)d D Considerando agora A(, ) = A(1) e B(, ) = B(1), (, ) D (isto é, estendemos A e B como constantes em D ) e aplicando novamente o Teorema de Green obtemos A(1)d + B(1)d = D ( B A ) d d = d d = D Assim: D ( B A ) d d = 3

5. Considere F (, ) = A(, ) i + B(, ) j A, B C 1 com B = A na região hachurada abaio. 2 1 Prove que: F d r = F d r 1 2 Resolução: Pelo Teorema de Green: F d r 2 F d r = 1 F d r = 2 F d r 1 6. Considere F (, ) = 2 + 2 i + t [, 2π]. Calcular F d r. Γ ( B A ) d d = 2 + 2 j, (, ) (, ) e Γ(t) = (2 cos t, 3 sen t), 3 2 Γ Resolução: Torna-se difícil calcular diretamente. Ainda: não podemos aplicar diretamente o Teorema de Green. Observamos que B = A na região hachurada ao lado. 31

3 1 2 Γ 1 Γ Pelo eercício anterior temos: Eercícios propostos 1.3 2π F d r = F d r = 1 dt = 2π. Γ Γ 1 1. Calcular ( 2 + )d + (2 + 2)d, onde é a curva indicada na figura. 1 1 1 2. Use o Teorema de Green para calcular a integral 1 2 1 F d r, onde: F (, ) = (sen 2 ) i + ( cos + 2 ) j e é a circunferência 2 + 2 = 1, orientada positivamente. ( + )d ( )d 3. Calcule 2 + 2 horário., onde Γ é a circunferência 2 + 2 = r 2, sentido anti- (ugestão: usar a definição). 1.4 Integrais de uperfície Consideremos o problema de definir área de uma superfície : z = f(, ) sobre R 2. 32

z 3 3 Comecemos com uma superfície plana : z = A + B + C sobre um retângulo R, como a seguir. abemos que área de = a b, onde: ponto inicial de a = (,, A + B + C) ponto final de a = ( +,, A( + ) + B + C) Logo a = (,, A ) ou seja a = i + A k. z b a + R + 3 Analogamente, b = j + B k a b = i j k A B = A i B j + k. Logo, área de = A 2 + B 2 + 1. Antes de passarmos ao caso geral, introduziremos uma nova nomenclatura. 33

Uma superfície será dita suave se o seu vetor normal unitário η variar continuamente através de. e : z = f(, ), (, ), então é suave se e somente se f é de classe C 1 sobre (isto é, f e f são contínuas sobre um aberto contendo ). Ainda, se : z = f(, ), (, ) onde é do tipo considerado para integrais duplas (fronteira contida em um número finito de conjuntos suaves) diremos que tem projeção regular no plano. Consideremos então : z = f(, ), suave, com projeção regular no plano. eja G uma rede cobrindo a região. eja ( i, j ) o centro de cada retângulo coordenado R ij determinado por G. z R ij 3 Aproimamos a área de sobre o retângulo R ij pela área do plano tangente a pelo ponto ( i, j, f( i, j )). A equação do plano tangente é: ( i ) f ( i, j ) + ( j ) f ( i, j ) (z f( i, j )) = ou z = f ( i, j ) + f ( i, j ) + C ij 34

R ij 3 ( i, j, ) Área sobre R ij, no plano tangente considerado é: [ f ] 2 [ ] f 2 ( i, j ) + ( i, j ) + 1 i j Esta epressão dá uma estimativa para a área da superfície sobre R ij. omando, teremos uma estimativa para a área de. Fazendo m(g), temos: ( f ) 2 + ( ) f 2 + 1 d d == def. Área de Eemplos: 1. Ache a área da região do plano z = + 1 que está dentro do cilindro 2 + 2 = 1. z 35

eja z = f(, ) = + 1 = {(, ) R 2 / 2 + 2 1} f (, ) = f (, ) = 1 A() = 1 + 1 da = 2 de raio 1. da = 2 π, onde usamos o fato que da é a área do círculo 2. Calcular a área do parabolóide hiperbólico z = que fica dentro do cilindro 2 + 2 = 1. Área = 2 + 2 + 1 d d Integrando em coordenadas polares: 2π 1 Área = dθ r 2 + 1 r dr = = 2 [ 3 π 2 ] 2 1 3. Dar a área da parte do cilindro z = 2 que fica sobre o triângulo de vértices (, ), (, 1) e (1, 1). z 36

A() = = 1 4 2 + 1 d d = 1 d 4 2 + 1 d = 4 2 + 1 d = = 1 12 (5 5 1) eja : z = f(, ) suave, com projeção regular no plano. η = vetor unitário normal a por (,, f(, )). ejam α, β e os ângulos que η faz com os semi-eios positivos,, z, respectivamente. η z a b 3 (, ) η = cos α. i + cos β. j + cos. k ( * ) Convencionamos: η é tomado de modo que π 2 (normal superior). Observação: Com estas hipóteses, a situação = π 2 não ocorre. (Justifique) eja o retângulo ilustrado e a sua correspondente imagem no plano tangente a por (,, f(, )). A equação deste plano pode ser escrita como: Pelo visto anteriormente, a b = z = f (, ) + f (, ) + C [ f (, ) i f (, ) j + ] k 37

Comparando com ( ), η = Assim a b a b = Variando o ponto (, ) : = (, ) f (, ) i f (, ) j + k [f (, )] 2 + [f (, )] 2 + 1 1 cos = [f (, )] 2 + [f (, )] 2 + 1 [f (, )] 2 + [f (, )] 2 + 1 = sec. [f (, )] 2 + [f (, )] 2 + 1 = sec (, ) Área de = sec (, )d d De modo análogo: e : = g(, z) com hipóteses semelhantes às anteriores, teremos: Área de = sec α(, z)d dz z α 3 η Massa de uma Lâmina Curva Consideremos uma lâmina que tenha a forma de uma superfície, a qual se projeta regularmente em, no plano. Problema: Definir a massa da lâmina. 38

z ij R ij e a densidade ρ é constante, então massa = ρ (Área de ). uponhamos ρ = ρ(,, z) contínua. : z = f(, ) suave, com projeção regular no plano. eja G uma rede cobrindo. eja ( i, i ) o centro de cada retângulo coordenado R ij determinado por G. Consideremos ij : z = f(, ); (, ) R ij. e R ij é pequeno, a densidade em ij é aproimadamente ρ( i, j, f( i, j )) ( ρ é contínua ) e assim, massa de ij ρ( i, j, f( i, j )) Área ij ρ( i, j, f( i, j )) [f ( i, j )] 2 + [f ( i, j )] 2 + 1 i j omando, teremos uma estimativa para a massa de. Fazendo m(g), temos massa de def. === = ρ(,, f(, )) f(, 2 ) + f 2 (, ) + 1 d d ρ(,, f(, )) sec (, )d d Eercício resolvido 1. Calcular a massa de uma lâmina que tem a forma do cone z 2 = 2 + 2 entre os planos z = 1 e z = 4, se a densidade é proporcional à distância ao eio z. 39

Resolução: ρ(,, z) = k 2 + 2 z f(, ) = 2 + 2 f (, ) = 2 + 2 f (, ) = 2 + 2 f 2 + f 2 + 1 = 2 sec (, ) = 2 3 3 2 + 2 = 16 2 + 2 = 1 massa = k 2 + 2 2 d d = 2π 2 k dθ 4 1 r r dr = = 2 ( 4 3 ) 1 2 kπ. 3 : z = f(, ) suave, com projeção regular no plano. eja ainda H(,, z) contínua em um aberto contendo. Definição 14. A integral de superfície de H sobre é definida (e denotada) por: H(,, z) d = H(,, f(, )) sec (, )d d Observação: Notemos que a Integral de uperfície é uma generalização da integral de linha. Trabalhamos com: Na integral de Linha: (função).(comprimento de arco). Na integral de superfície: (função).(área). Casos Especiais: (i) H(,, z) 1 d = Área de. (ii) H(,, z) = densidade no ponto (,, z) de uma lâmina. H(,, z)d = massa da lâmina. 4

Aplicação: Fluo de um Fluído através de uponhamos imersa num fluído que escoa com velocidade V (variando de ponto a ponto mas não com o tempo). Fluo através de = volume do fluído que atravéssa na unidade de tempo. Casos Particulares: (i) - plana V - constante V V Fluo por = volume do cilindro = = V (área de ). (ii) - plana V - constante V - não perpendicular a Fluo por = volume do cilindro (A) = = volume do cilindro (B) = (A) = ( V η) (Área de ). (B) η (unitário) V Caso Geral: : z = f(, ) suave, com projeção regular no plano. V = V (,, z) - contínuo. Problema: 41

Definir fluo através de. eja G uma rede cobrindo, com retângulos R ij dividindo em pedaços ij. ( i, j ) - centro de R ij. z η ij V R ij e ij é pequeno, supomos que V = constante = V ( i, j, f( i, j )) em todo ij. Tomamos o plano tangente a por ( i, j, f( i, j )) e substituímos ij pela imagem de R ij no plano tangente, denotando por ij. Fluo por ij V ( i, j, f( i, j )) η( i, j, f( i, j )) (área de ij ) = = V ( i, j, f( i, j )) η( i, j, f( i, j )) sec ( i, j ) i j omando e fazendo m(g), temos: Fluo por === def. V (,, f(, )) η(,, f(, )) sec (, )d d = def. === V (,, z) η(,, z) d ==== abrev. V η d Observação: e trocarmos η por η, o sinal da integral será trocado. Teorema 15. : z = f(, ), onde f C 1 em = projeção regular de no plano. η - normal superior (unitário) V - campo vetorial contínuo 42

Então: V η d = (a integranda calculada em (,, f(, )). Prova: ( v 1 f v 2 f + v 3 )d d Estamos supondo V (,, z) = v 1 (,, z) i + v 2 (,, z) j + v 3 (,, z) k. Lembremos que η = f i f j + k. sec (, ) Logo, [ V η d = V (,, f(, )) f (, ) i f (, ) j + ] k d d = = ( v 1 f v 2 f + v 3 )d d. Eercícios resolvidos 1. Calcule a integral 1 + 2 d, onde : z = 1 2 2, 1, 1. z Resolução: 1 Temos f(, ) = 1 2 2. Assim: sec (, ) = f 2 + f 2 + 1 = 1 + 2 1 + 2 d = 1 + 2 1 1 + 2 d d = d 1 (1 + 2 )d = = 4 3 2. Ache a massa de uma lâmina triangular com vértices (1,, ), (, 1, ) e (,, 1), cuja densidade é proporcional ao quadrado da distância ao plano z. 43

z 1 Resolução: 1 Temos que ρ(,, z) = k 2 Massa = ρ(,, z) d = : z = f(, ) = 1 ρ(,, f(, )) sec (, )d d sec (, ) = 1 + 1 + 1 = 3 Massa = 1 d 1 k 2 3 d = = 1 12 3 k 3. Determine o fluo de V (,, z) = 2 i + z 2 k através de : z =, com 1 e 1. z η 1 V 1 Resolução: Fluo = = 1 d V η d ==== T eo.15 1 ( 2 2. + 2 2 )d = ( v 1 f v 2 f + v 3 )d d = Observação: notemos que neste eercício V é tangente a, e assim o fluo seria. 4. ejam : z = 9 2 2, z, e V (,, z) = 3 i + 3 j + z k 44

Calcular V η d Resolução: z 2 + 2 = 9 Consideremos : 2 + 2 9 e f(, ) = 9 2 2 [ V η d = (3) ( 2) (3) ( 2) + (9 2 2 ) ] d d = [ = 5( 2 + 2 ) + 9 ] 2π 3 d d = dθ (5r 2 + 9)r dr = = 567 2 π Consideremos agora : = g(, z) suave, com projeção regular no plano z. Definimos: H(,, z) d = H(, g(, z), z) sec β(, z)d dz z β η Analogamente, se : = h(, z) suave, com projeção regular no plano z, definimos: H(,, z) d = H(h(, z),, z) sec α(, z)d dz 45

z α η Com estas considerações, podemos definir quando é uma superfície fechada. Nesse caso, convencionamos tomar η como a normal eterna a. A integral v η d mede o fluo que escoa para fora de. e for positiva, o fluo para fora ecede o fluo para dentro (dizemos que dentro de temos uma fonte).caso contrário, dizemos que dentro de temos um sumidouro ou poço. Eercício resolvido Calcule o fluo total de V (,, z) = i + 4z 2 j z k para fora do cubo 1, 1, z 1. Resolução: Face η V η Fluo z η z = 1 k z R d d = 1 2 z = k z R d d = = 1 i R d dz = 1 2 = i d dz = R η η 3 3 = 1 j 4z 2 R 4z2 d dz = 4 3 = j 4z 2 R d dz = η V η d = 4 3. Assim, temos uma fonte no interior do cubo. 46

Eercícios propostos 1.4 1. eja : z = f(, ) suave, com projeção regular no plano. Interprete geometricamente H(,, z) d, onde H(,, z) C >. 2. Mostre que uma integral dupla g(, )d d do tipo considerado no Capítulo anterior é um caso particular de integral de superfície. 1.5 Divergente - Rotacional eja F (,, z) = A 1 (,, z) i + A 2 (,, z) j + A 3 (,, z) k um campo de vetores com derivadas parciais. Definição 16. A divergência de F, div F, é definida por: div F P = A 1 (P ) + A 2 (P ) + A 3 z (P ). No plano: F (, ) = A1 (, ) i + A 2 (, ) j div F (, ) = A 1 (, ) + A 2 (, ). Eemplos: 1. F (,, z) = 2 i j + z k div F (,, z) = + 2. F (,, z) = i + j div F (,, z) = z 3. F (,, z) = i + j + z k div F (,, z) = 3 47

z Definição 17. eja F = A 1 i + A 2 j + A 3 k, com derivadas parciais. O rotacional de F, rot F, é definido por: rot F P = ( A3 (P ) A ) ( 2 z (P ) A1 i + z (P ) A ) ( 3 (P ) A2 j + (P ) A ) 1 (P ) k Pode ser calculado através do determinante simbólico: i j k rot F = z A 1 A 2 A 3 No plano: F (, ) = A1 (, ) i + A 2 (, ) j Eercícios resolvidos [ rot F A2 (, ) = (, ) A ] 1 (, ) k 1. F (,, z) = i + j 2. F (,, z) = i + j + z k rot F = rot F = i j k z = 2 k (rotação pura) Eercícios propostos 1. ejam φ(,, z) = 2 z 3 e F (,, z) = z i 2 j + 2 2 k Calcular: a) grad φ b) div F c) rot F d) div (φ F ) e) 48 rot (φ F )

2. Prove que div( rot F ) =, onde F = A1 i + A 2 j + A 3 k, com derivadas parciais segundas contínuas. 3. Prove que rot ( grad f) =, onde f C 2. Observação: Consideremos o operador (nabla) definido por: Então: = i + j + k z. grad f = i f + j f + k f ( z = i notação que já vínhamos usando para o gradiente. + j + k z As notações abaio, encontradas em muitos tetos, são sugestivas: ) f = f, div F = F rot F = F. Com a introdução do rotacional, podemos resumir alguns resultados já alcançados (Teoremas 4, 8 e 11) do seguinte modo: eja F um campo vetorial de classe C 1 num paralelepípedo R = [a, b] [c, d] [e, f]. As seguintes afirmações são equivalentes: 1. F é conservativo em R. 2. rot F = em R. 3. F d r = para qualquer curva fechada R, suave por partes. 4. F d r é independente da curva suave por partes R, ligando dois pontos em R. De fato: (1) (2) - (Teorema 11) (1) (4) - (= Teorema 4); ( = Teorema 8) (3) (4) - ( Eerício 4, pg. 26) 49

1.6 Teoremas: Gauss - tokes uponhamos A, B, Γ, D nas condições do teorema de Green (Teo. 13). Então: ( A B d + A d = + B ) d d D T D Colocando F (, ) = B(, ) i + A(, ) j η V (, ) = A(, ) i + B(, ) j a equação acima fica: F d r = D div V d d. Lembrando que F d r = F T ds (vide observação após a interpretação da integral de linha como trabalho). e notando que F T = V η ( * ) obtemos V η ds = D div V d d Prova de ( ): eja η = (a, b) e T = ( b, a) ( rotação de 9 de η no sentido anti-horário ). Temos: Assim: F = ( B, A) e V = (A, B). F T = Bb + Aa = V η. O teorema de Green, na formulação anterior, admite uma etensão. Teorema 18 (da Divergência (ou Teorema de Gauss)). eja um sólido limitado por uma superfície fechada, formada por um número finito de superfícies suaves e seja η a normal eterna 5

unitária. e as componentes de V (,, z) tem derivadas parciais contínuas num aberto contendo, então: V η d = div V d d dz z η η Lembremos, antes de prosseguir, o Teorema do Valor Médio do Cálculo Integral: eja f : [a, b] R contínua. Então, eiste c (a, b) tal que b a f()d = f(c) (b a). Resultado análogo continua válido para integrais triplas. Mais especificamente: g : E R contínua na esfera E. Então eiste P no interior de E tal que: g(,, z)d d dz = g(p ) vol(e) Interpretação Física da Divergência E P - ponto arbitrário. B ε - bola fechada de centro P, raio ε >, imersa em um fluído. ε - superfície de B ε. V (,, z) - velocidade do fluído no ponto (,, z), com derivadas parciais contínuas. Pelo teorema da Divergência, temos: V η d = div V d d dz ( * ) ε B ε Logo, div V d d dz = fluo para fora de ε. B ε Aplicando o Teorema do Valor Médio para o segundo membro de ( ), temos: V η d = div V Pε vol(b ε ) ε 51

P ε P β ε onde P ε B ε, ou seja: Fazendo ε temos que P ε P div V P = lim ε div V Pε = e assim ε V η d vol (B ε ) ε V η d vol (B ε ) def. == intensidade do fluo em P Assim: div V P é o valor limite do fluo por unidade de volume sobre uma esfera de centro em P, quando o raio da esfera tende a zero. e conhecermos div V P e tomamos uma pequena esfera de centro em P, temos: vol. do fluído para fora por unidade de tempo vol. da esfera div V P Logo: e div V P > então o fluído se afasta de P, isto é, P é uma fonte. e div V P < então o fluído se aproima de P, isto é, P é um poço ou sumidouro. e div V P =, P, dizemos que o fluído é incompressível. div V = é chamada equação de continuidade dos fluídos incompressíveis. Observação: Podemos repetir o raciocínio acima para fluo magnético ou elétrico. Eercícios resolvidos 1. Comprove o teorema da divergência para o caso: - tetraedro limitado pelos planos coordenados e por + + z = 1. V (,, z) = 3 2 i + j + z k Resolução: 52

div V (,, z) = 6 + + 1 = 7 + 1 Consideremos: 3 z 4 : + + z = 1 2 1 3 1 1 1 div V d d dz = (7 + 1)d d dz = = 1 8 V η d = (3 2 i + j + k) ( k)d = 1 1 V η d = ( i + j + z k) ( i)d = 2 2 V η d = (3 2 i + j + z k) ( j)d = 3 3 4 : z = f(, ) = 1, (, ) 1 V η d T eo.15 ==== 4 ( v 1 f v 2 f + v 3 )d d = 1 Logo, V η d = = 1 d 1 div V d d dz 2. ejam: - sólido limitado por 2 + 2 = 4, z =, z = 3 [ 3 2 + + (1 ) ] d d = = 1 8 V (,, z) = i + j + z k e Use o teorema da divergência para calcular o fluo V η d. Resolução: 53

z z = 3 z = 2 em calcular, sabemos que V η d >. Por que? Calculando: V η d = 3 d d dz = 3.vol() = 3.12π = 36π 3. Idem ao eercício anterior, com V (,, z) = i + j. Resolução: em calcular, sabemos que V η d =. Por que? Calculando: V η d = d d dz = Eercícios propostos 1.6 - A 1. e é o cubo unitário [, 1] [, 1] [, 1], calcule o fluo de V (,, z) = i + j + z k para fora de. 2. Calcule o fluo de V = i + 2 2 j + 3z 2 k para fora do sólido : 2 + 2 9, z 1. Voltemos a eaminar o Teorema de Green. uponhamos A, B,, D nas condições do Teorema. Então: A d + B d = D ( B A ) d d ( ) 54

Lembrando que se V (, ) = A(, ) i + B(, ) j, então podemos reescrever a fórmula (*) acima como: [ ] rot V B A (, ) = (, ) (, ) k, V d r = ( rot V ) k d d D O teorema de Green, na formulação anterior, admite uma etensão. Teorema 19 (de tokes). eja : z = f(, ) superfície suave que se projeta numa região do plano, nas condições do Teorema de Green. η - normal unitária superior Γ - curva que delimita orientada no sentido positivo. eja a imagem de Γ por f, orientada no mesmo sentido de Γ. e as componentes de V tem derivadas parciais contínuas num aberto contendo, então: V d r = rot V ) η d ( z η Γ 3 Eercícios resolvidos 1. Comprove o Teorema de tokes para o caso: : parte da superfície esférica 2 + 2 + z 2 = 1, z e V (,, z) = i + j + z k Resolução: 55

z Notemos que rot V = Logo, rot V ) η d = d = ( Ainda: eja (t) = (cos t, sen t, ), t [, 2π] 2π 2π V d r = (cos t, sent, ) (sent, cost, )dt = dt = 2. Verifique o Teorema de tokes para o caso: : z = 1 2 2, 1 z 9 e V (,, z) = 3z i + 4 j + 2 k Resolução: Queremos verificar que: rot V η d = V d r + V d r 1 2 z 2 1 (t) = (3 cos t, 3 sen t, 1), t [, 2π] 2 (t) = (cos t, sen t, 9), t [, 2π] 1 3 V d r = 1 = V d r = 2 = 2π (3, 12 cos t, 6 sen t) ( 3 sen t, 3 cos t, )dt = 2π 2π ( 9 sen t + 36 cos 2 t)dt = 36 1 (1 + cos 2t)dt = = 36π. 2 2π (27, 4 cos t, 2 sen t) ( sen t, cos t, )dt = 2π 2π ( 27 sen t 4 cos 2 t)dt = 4 1 (1 + cos 2t)dt = = 4π. 2 56

rot V = i j k z 3z 4 2 = 2 i + 3 j + 4 k eja f(, ) = 1 2 2, 1 2 + 2 9 rot V η d = = = = 2π 2π 2π [ 2 ( 2) 3 ( 2) + 4] d d = dθ 3 1 [4r cos θ + 6r sen θ + 4] r dr = [ ] 4 3 3 r3 cos θ + 2r 3 sen θ + 2r 2 dθ = 1 ( ) 14 cos θ + 52 sen θ + 16 dθ = = 32π. 3 V d r + V d r = 1 2 rot V η d Interpretação Física do Rotacional A integral V T ds é chamada circulação ao longo de fluído circular ao longo da curva ). V T contribui para movimento circulatório. (mede a tendência média do V T = não contribui para movimento circulatório. V 2 T V T Consideremos: P ponto arbitrário. D ε disco arbitrário de centro P, raio ε >, imerso em um fluído. ε circunferência de D ε. η D ε P P ε T T vetor tangente unitário. 57 V (,, z) velocidade do fluído no ponto (,, z) com derivadas parciais contínuas.

Usando os teoremas de tokes e do Valor Médio para integrais duplas, obtemos: V T ds = V d r = rot [ ] V η d = rot V η (πε 2 ) ε ε D ε P ε [ ] rot V η = 1 V P ε πε 2 T ds ε Fazendo ε, temos que P ε P e assim [ ] rot V η = lim 1 V P ε πε 2 T ds. ε [ Portanto: Em cada ponto P a componente de rot V em qualquer direção η é o valor limite ]P da circulação de V [ ] por unidade de área no plano normal a η. rot V η tem máimo quando η [ P ] [ é paralelo a rot V. Logo, a direção de rot V é a direção para a qual a circulação ao longo P [ ]P da fronteira de um disco perpendicular a rot V atinge seu valor máimo quando o disco tende ]P a reduzir-se a um ponto. Uma outra relação entre rot V e os aspectos rotacionais do movimento pode ser feita no caso que descrevemos a seguir: Consideremos um fluído em rotação uniforme em torno de um eio. Definimos o vetor-velocidade angular, w, por: (i) tem a direção do eio de rotação. (ii) tem o sentido positivo em relação à rotação (da ponta de w, vê-se a rotação no sentido anti-horário). (iii) w def. == velocidade angular def. == V r. Da figura ao lado, notando que V = w r, concluímos que V = w r. 58

e w = w 1 i + w 2 j + w 3 k P = (,, z) P = (,, z ) Então: V = i j k w 1 w 2 w 3 z z = w r P P V V = [w 2 (z z ) w 3 ( )] i + [w 3 ( ) w 1 (z z )] j + [w 1 ( ) w 2 ( )] k. Calculando rot V, temos rot V = 2w 1 i + 2w 2 j + 2w 3 k. Assim rot V = 2 w. Observação: e temos o movimento de um fluído incompressível e irrotacional, no plano, então: div V = A + B = rot V = B A = que são as equações de Cauch-Riemann, muito utilizadas na teoria das funções de variáveis compleas. Eercícios propostos 1.6 - B 1. eja parte da superfície esférica 2 + 2 + z 2 = 1, z, orientada pela normal superior, e seja F (,, z) = (, 3z 2, ). Avalie r o t F η d. 2. Verifique o Teorema de tokes sobre o triângulo de vértices (2,, ), (, 2, ), (,, 2) e para o campo V (,, z) = 4 i + j + z 4 k. 59

Resumo dos Teoremas Os principais resultados vistos são generalizações do Teorema Fundamental do Cálculo. Colocamos a seguir uma relação de resultados (sem suas hipóteses) para que o leitor possa sentir suas semelhanças essenciais. Notemos que em cada caso temos do lado esquerdo uma integral de uma derivada sobre uma região, e do lado direito, temos os valores da função original somente na fronteira da região. 1. Teorema Fundamental do Cálculo b a F ()d = F (b) F (a) a b 2. Teorema Fundamental para Integrais de Linha f d r = f(b) F (A) B A 3. Teorema de Green D ( B A ) d d = Ad + Bd D 4. Teorema da Divergência ou de Gauss div V d d dz = V η d η η 6

5. Teorema de tokes (rot V ) η d = V d r η 61