AULA 001 1 MATEMÁTICA
PROFESSOR AULA 001 MATEMÁTICA DAVIDSON VICTOR 2
AULA 01 - CONJUNTOS NUMÉRICOS CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS É o primeiro e o mais básico de todos os conjuntos numéricos. Pertencem a esse conjunto os números inteiros positivos (não negativos), incluindo o zero, ou seja, de zero até + (mais infinito/infinito positivo). Seus elementos são representados pela letra N da seguinte forma: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,..., + } Naturais não nulos (N*): N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,..., + } CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS São todos os números que pertencem ao conjunto dos naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). Seus elementos são representados pela letra Z da seguinte forma: Z = {-,..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..., + } Alguns subconjuntos importantes de Z: Inteiros não nulos (Z*): Z* = {-,..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,..., + } Inteiros não negativos (Z+): Z+ = {0, 1, 2, 3,..., + } Observe que Z+ = N Inteiros não positivos (Z-): Z- = {-,..., -3, -2, -1, 0} CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o numerador e denominador є Z). Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas. Seus elementos são representados pela letra Q da seguinte forma: Q = {x x= a, com a є Z, b є Z e b 0} b Fazem parte ainda desse conjunto as dízimas periódicas e os decimais exatos. Ex.: 0,666... e 7,18 Lembre-se de que NÃO HÁ DIVISÃO POR ZERO!!! Transformação de uma dízima periódica em fração (FRAÇÃO GERATRIZ) Primeiramente é preciso observar se após a vírgula há apenas a parte periódica, ou se há também uma parte não periódica além da parte periódica. Verifique quantas casas periódicas e não periódicas existem depois da vírgula. Em seguida, pegue o número sem a vírgula até o primeiro período e subtraia, se houver, a parte não periódica. O resultado será o numerador da fração. Em relação ao denominador, este será tantos 9 quantos forem as casas do período seguidos de tantos 0 quantos forem as casas não periódicas, caso existam. Ex.: 0,222... = 2 9 3
0,278278... = 278 999 0,21777... = 217 21 900 1,6434343... = 1643 16 990 = 196 900 = 1627 990 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS Os números irracionais são todos aqueles que NÃO podem ser colocados na forma de fração. Esse conjunto é representado pela letra I e fazem parte dele todas as dízimas não periódicas e as raízes não exatas. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS Os números reais são o conjunto formado pela união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. Seus elementos são representados pela letra R da seguinte maneira: É possível ainda, e bastante comum, representar os números reais sobre uma reta, chamada Reta Real ou Eixo Real. OPERAÇÕES E PROPRIEDADES MATEMÁTICAS ADIÇÃO: Na adição, os números/elementos envolvidos na operação são chamados de TERMOS, SOMANDOS ou PARCELAS, e o resultado é chamado de SOMA ou TOTAL. Propriedades 1. Comutativa: a ordem das parcelas não altera a soma. 4
Ex.: 3 + 7 = 7 + 3 = 10 2. Associativa: a execução da adição em blocos de parcelas não altera a soma. Ex.: 3 + 7 + 2 + 8 = (3 + 7) + (2 + 8) = 10 + 10 = 20 COMMENT: Lembre-se de que qualquer número somado ao zero é ele mesmo. Logo, podemos dizer que o zero é o elemento neutro da adição. Ex.: 0+7 = 7 SUBTRAÇÃO: Na subtração, o primeiro termo envolvido na operação recebe o nome de MINUENDO, e o segundo termo (valor que é subtraído do minuendo), de SUBTRAENDO. O resultado da subtração é o que chamamos de DIFERENÇA ou RESTO. Ex.: 15 7 = 12 COMMENT: Lembre-se de que se o minuendo for menor que o subtraendo, a diferença será NEGATIVA!!! Ex.: 7 15 = 12 SE LIGA BIZONHO!!! NA ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES DEVEMOS VERIFICAR SE OS DENOMINADORES SÃO OS MESMOS PARA AS FRAÇÕES ENVOLVIDAS OU SE SÃO DIFERENTES. NO CASO DE SEREM IGUAIS, BASTA CONSERVAR O DENOMINADOR E SOMAR/SUBTRAIR OS NUMERADORES. NO ENTANTO, SE FOREM DIFERENTES, É PRECISO TIRAR O MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.) Ex.: 3 5 + 4 5 = 8 5 Ex.: 1 + 3 = 4 + 9 = 13 3 4 12 12 12 MULTIPLICAÇÃO: Na multiplicação, os números/elementos envolvidos na operação são chamados de FATORES, e o resultado é chamado de PRODUTO. Se tomarmos aleatoriamente dois números m e n e efetuarmos a multiplicação de ambos (m x n) estaremos somando o número m com ele mesmo n vezes, ou ainda, somando o número n por ele próprio m vezes. Ex.: 3 x 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 ou 3 x 4 = 4 + 4 + 4 = 12 Propriedades 1. Comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto. Ex.: 2 x 5 = 5 x 2 = 10 2. Associativa: a execução da multiplicação em blocos de fatores não altera o produto. Ex.: 2 x 5 x 3 x 4 = (2 x 5) x (3 x 4) = 10 x 12 = 120 COMMENT: Lembre-se de que qualquer número multiplicado por um é ele mesmo. Logo, o número um é o elemento neutro da multiplicação. Ex.: 7 x 1 = 7 5
DIVISÃO: Na divisão, o número que vai ser dividido é chamado de DIVIDENDO, o número pelo qual ira se dividir é o DIVISOR, e o resultado é o QUOCIENTE. Caso a divisão não seja exata, teremos ainda o RESTO, um número que somado ao produto entre quociente e divisor resultará no dividendo (Prova Real da Divisão). SE LIGA BIZONHO!!! NA MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES NÃO É PRECISO SE PREOCUPAR SE OS DENOMINADORES SÃO DIFERENTES, POIS BASTA MULTIPLICAR NUMERADOR COM NUMERADOR, E DENOMINADOR COM DENOMINADOR (AINDA QUE DIFERENTES). JÁ A DIVISÃO DE FRAÇÕES É FEITA ATRAVÉS DA MULTIPLICAÇÃO DA PRIMEIRA FRAÇÃO PELO INVERSO DA SEGUNDA FRAÇÃO. Ex.: 3 5 4 5 = 12 25 Ex.: 3 5 4 7 = 3 5 7 4 = 21 20 POTENCIAÇÃO: A potenciação é a multiplicação de fatores fixos por tantas vezes que estiver especificado pelo expoente da base da potência. Ex.: 2³ = 2 2 2 = 8 Propriedades a 0 = 1 a 1 = a a n = 1/a n a n a m = a n+m a n a m = a n m (a n ) m = a n m a n/m m = a n RADICIAÇÃO: A radiciação é a operação com radicais (potências de expoente fracionário, como na última propriedade de potenciação). COMMENT: Não confunda RADICIAÇÃO com RACIONALIZAÇÃO. A racionalização é a retirada do radical da posição de denominador de uma fração. INTERVALOS NUMÉRICOS Dados dois números p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de números reais compreendidos entre p e q, podendo inclusive fazer parte ou não deste intervalo os números p e q. Os números p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p q, chamada de amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir p e q, o intervalo é fechado ( ou ), e caso contrário, o intervalo é dito aberto (> ou <). Ex.: 6
1 < x < 7 (exclui os limites 1 e 7) 1 < x 7 (exclui 1 e inclui 7) 1 x 7 (inclui os limites 1 e 7) COMMENT: É possível a representação de intervalos numéricos com a utilização de colchetes ou parênteses. Ex.: [1;7] = 1 x 7 (inclui os limites 1 e 7) (1;7] = 1 < x 7 (exclui 1 e inclui 7) (1;7) = 1 < x < 7 (exclui os limites 1 e 7) Ex.: SE LIGA BIZONHO!!! NÃO SE UTILIZA COLCHETE QUANDO UM DOS LIMITES FOR O INFINITO (POSITIVO OU NEGATIVO). NESTE CASO DEVE-SE UTILIZAR O PARÊNTESES PARA CONTER O INFINITO. [1; + ) = {x є R x 1} (valores maiores ou iguais a 1) ( ;7) = {x є R x < 7} (valores menores do que 7) MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO Os múltiplos de um número são os resultados da multiplicação desse número pelos números naturais. Logo, são infinitos os múltiplos de um número. Ex.: Os múltiplos de 2 são M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14...} COMMENT: Observe que o zero é primeiro múltiplo de qualquer número. DIVISORES DE UM NÚMERO Os divisores de um número são os valores pelos quais esse número é divisível, ou seja, valores para os quais a divisão é exata (o resto da divisão é zero). Ex.: Os divisores de 15 são D(15) = {1, 3, 5, 15} COMMENT: Note que diferentemente dos múltiplos, os divisores são finitos. Observe ainda que o 1 é o primeiro divisor de qualquer número. NÚMEROS PRIMOS Os números primos são aqueles que têm apenas dois divisores, o 1 e ele próprio. Ex.: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 43, 47... COMMENT: Note que o 2 é o único primo que é par. Todos os demais números primos são ímpares. É importante conhecer os números primos, pois eles servem para decompor outros números. Em outras palavras, qualquer número pode ser escrito como o produto de números primos. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) 7
O MMC de dois ou mais números é o menor número (depois de zero) que, ao mesmo tempo, é múltiplo todos esses números. Ex.: Vamos calcular o MMC entre 4 e 3: M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24...} M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28...} Note que o primeiro número após o zero que é múltiplo de 3 e também de 4 é o 12. Portanto, ele é o MMC entre 3 e 4. MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) O MDC de dois ou mais números é o maior valor que pode dividir (de forma exata) todos esses números ao mesmo tempo. Ex.: Vamos calcular o MDC entre 12 e 30: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} Note que o maior número que é divisor de 12 e também de 30 é o 6. Portanto, ele é o MDC entre 12 e 30. 01) Sabe-se que 2 a 3 b c 2 é a forma fatorada do número 1800. Qual é o valor da expressão a + b + c? 02) O número N é o maior divisor comum dos números 96, 144 e 240. Que número deve ser N? 03) (PUC/MG) O valor exato de 0,2929 0,222 0,555 +0,333 é: a) 3/25 b) 3/28 c) 4/34 d) 6/58 e) 7/88 04) O conjunto A = { -4, -3, -2, -1, 0, 1} pode ser representado por: a) {x є Z -4 < x < 1} b) {x є Z -4 < x 1} c) {x є Z -4 x 1} d) {x є Z -4 x < 1} e) {x є Z +4 < x < 1} 05) Considere x = 10 e y = 20. Calcule o valor de (x + y)² - 2xy. a) 900 b) 600 c) 500 d) 300 e) 200 8
06) Sejam x e y números reais tais que x = 0,11111... e y = 0,99999... Pode-se afirmar que: a) x y = 8/9 b) xy = 0,9 c) x + y = 1 d) xy = 1 e) 1/(x + y) = 0,9 GABARITO QUESTÃO 01 10 QUESTÃO 02 48 QUESTÃO 03 LETRA E QUESTÃO 04 LETRA C QUESTÃO 05 LETRA C QUESTÃO 06 LETRA E 9