ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTALIZAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA TICA ANÁLISE DE MÉTODOS M MÁTEMÁTICOSTICOS CONTEXTO HISTÓRICO Leia e descubra que eu não vim do além Ensino de Matemá Prof. M.Sc.. Armando Paulo da Silva 1
A criação da teoria dos conjuntos As noções que deram origem à Teoria dos Conjuntos estão diretamente ligadas aos estudos matemáticos ticos ingleses Augustus De Morgan (1806-1871) 1871) e George Boole (1815-1864), 1864), considerados fundadores da lógica l moderna. Ensino de Matemá 2
A criação da teoria dos conjuntos Boole publicou em 1854 uma obra onde eram apresentados os fundamentos de uma álgebra específica para o estudo da Lógica. Em seus trabalhos, ele utilizou freqüentemente entemente relações entre conjuntos de objetos. Entretanto, não chegou a desenvolver o conceito de conjunto de modo adequado. Ensino de Matemá 3
A criação da teoria dos conjuntos Somente em 1890, o matemático tico russo Georg Cantor (1845-1918), 1918), que desenvolvia estudos sobre a Teoria dos Números, N publicou na Alemanha uma série s de proposições e definições que vieram a se constituir numa linguagem simbólica para a Lógica, L a Teoria dos Números N e outros ramos de Matemá.. Em função disso, Cantor é conhecido como o criador da Teoria dos Conjuntos. Ensino de Matemá 4
A criação da teoria dos conjuntos Na formulação dessa teoria, Cantor utilizou também m formas de representação em diagramas que jáj tinham sido utilizadas no estudo da Lógica L por Leonhard Euler (1707-1783) 1783) e por John Venn (1834-1923). 1923). Ensino de Matemá 5
O nascimento do númeron A noção de número n tem provavelmente a idade do homem e certamente sempre esteve ligada à sua necessidade de registrar e interpretar os fenômenos que o cercavam. Ensino de Matemá 6
O nascimento do númeron Os primeiros símbolos s numéricos conhecidos surgiram com o intuito de representar a variação numérica em conjuntos com poucos elementos. Ensino de Matemá 7
O nascimento do númeron Com a ampliação e a diversificação de suas atividades, o homem sentiu a necessidade de criar novos símbolos s numéricos e processos de contagem e desenvolver sistemas de numeração. Ensino de Matemá 8
O nascimento do númeron A maioria dos sistemas de numeração tinha como base os números n 5 ou 10, numa clara referência ao número n de dedos que temos nas mãos. Esses sistemas ainda não possuíam a notação posicional nem o número n zero. Ensino de Matemá 9
O nascimento do númeron Os principais registros da utilização da notação posicional ocorreram na Babilônia, por volta de 2500 a.c. JáJ o aparecimento de um símbolo s específico para a representação do zero data do século IX e é atribuído aos hindus. Ensino de Matemá 10
O nascimento do númeron Também m atribui-se aos hindus o atual sistema de numeração posicional decimal, que foi introduzido e difundido na Europa pelos Árabes. Por essa razão, esse sistema é costumeiramente chamada de sistema de numeração indo-ar arábico. Ensino de Matemá 11
O nascimento do númeron Deve-se a Leonardo de Pisa (1175-1240),também m chamado de Fibonacci,, a difusão do sistema indo-ar arábico na Europa, através s de sua obra Liber Abacci, de 1202. Ensino de Matemá 12
A natureza e o conceito de função No início do século s XVII, quando o estudo da natureza começou ou a se basear na observação dos fenômenos e nas leis que procuravam explicá-los, los, surgem as primeiras idéias ias sobre o conceito de função. Ensino de Matemá 13
A natureza e o conceito de função Galileu Galilei (1564-1642) 1642) e Isaac Newton (1642-1727) 1727) utilizaram em seus trabalhos as noções de lei e dependência entre fenômenos, que estão diretamente ligadas ao conceito de função. Ensino de Matemá 14
A natureza e o conceito de função No século s culo XVIII, o matemá suíç íço Jean Bernonilli (1667-1748) 1748) começou ou a utilizar o termo função para designar valores obtidos de operações entre variáveis veis e constantes. Nesse mesmo século, o matemático tico Leonhard Euler fez uso do conceito de função. Ensino de Matemá 15
A natureza e o conceito de função Apesar desse conceito ter sito amplamente utilizado durante o século s culo XVIII, a definição que mais se aproximou da atualmente aceita foi apresentada apenas na primeira metade do século s XIX, pelo matemático tico alemão Peter G. Lejeune Dirichlet (1805-1859). 1859). Ensino de Matemá 16
A natureza e o conceito de função Esta definição apenas se diferencia da atual pelo fato de, na época, ainda não ter sido desenvolvida a Teoria dos Conjuntos. Ensino de Matemá 17
A natureza e o conceito de função Modernamente, o conceito de função baseia-se na idéia ia elementar de par ordenado e no estabelecimento de relações entre conjuntos. Ensino de Matemá 18
Álgebra Século III a.c. ou antes: uso de letras em matemá para designar grandezas ou incógnitas (Euclides) Ensino de Matemá 19
Álgebra Século XVII d.c.: A álgebra resolver equações numa incógnita ou sistemas de duas equações a duas incógnitas, com coeficientes numéricos, derivados de problemas comerciais ou geométricos. Ensino de Matemá 20
Equações algébricas Viète (1540-1603) 1603) Francês quem deu o passo que permitiu pela primeira vez a abordagem generalizada do estudo das equações algébricas. Formado em direito - juventude. Ensino de Matemá 21
Equações algébricas Membro do conselho do rei Henrique III e depois Henrique IV. Para A elevado ao quadrado a evolução foi o seguinte: A quadratum,, e depois Aq e para o símbolo s (=) aequal. Ensino de Matemá 22
Equações algébricas Até Viète as equações algébricas sós tinham coeficientes positivos. Pai da abordagem analí da trigonometria Hudde (1633-1704) 1704) A partir de 1657 que as equações algébricas passaram a ter coeficientes positivos e negativos. Ensino de Matemá 23
Equações algébricas Descartes (1596-1650) 1650) superou a notação de Viète te,, passando a representar a, b, c,... Indicar n parâmetros, x, y, z,... Variáveis e x a potência enésima de x. Ensino de Matemá 24
Do papiro às s funções polinomiais do 1º 1 grau na variável vel x O surgimento do conceito de função polinomial do 1º 1 grau na variável vel x está diretamente ligado à evolução histórica dos processos de solução, da formalização e da representação gráfica de equações de 1º 1 grau. Ensino de Matemá 25
Do papiro às s funções polinomiais do 1º 1 grau na variável vel x Os primeiros registros de resoluções de equações 1º 1 grau são encontradas na civilização egípcia e constam do papiro de Ahmés,, de aproximadamente 2.000 a.c. Ensino de Matemá 26
Equações e de sistemas de 1º 1 grau Também m são dessa época processos de resolução de equações e de sistemas de 1º grau, encontrados na civilização babilônica. Ensino de Matemá 27
Equações e de sistemas de 1º 1 grau Entre os gregos, que davam ao estudo das equações um tratamento geométrico, destacam-se se os trabalhos de Diofanto de Alexandria (300 d.c.). Ele formulou métodos m de solução de equações de 1º 1 grau, com um ou duas incógnitas, e de sistemas de equações de 1º 1 grau. Ensino de Matemá 28
Problemas de 1º 1 grau Nos séculos s culos VI e VII, entre os matemáticos ticos hindus, encontram-se indicações de regras para resolver problemas de 1º 1 grau, especialmente nos trabalhos de Aryabhata e Brahmagupta. Ensino de Matemá 29
Problemas de 1º 1 grau Entre os séculos s culos IX e XII, os matemáticos ticos árabes deram um impulso decisivo na solução de problemas algébricos. As técnicas t algébricas desenvolvidas pelos Árabes influenciaram sobremaneira os matemáticos ticos europeus da Idade Média. M Ensino de Matemá 30
Equações de 1º 1 grau Entre estes destacou-se se também Fibonacci,, que apresenta, em sua obra Liber Abacci,, soluções para equações determinadas e indeterminadas de 1º 1 grau, entre outros trabalhos. Ensino de Matemá 31
Equações de 1º 1 grau Após s a sistematização da notação algébrica, encontramos na obra de René Descartes (1596-1650) 1650) a representação gráfica da equação ax + by + c = 0 por intermédio de uma reta. Ensino de Matemá 32
A evolução das funções polinomiais do 2º 2 grau na variável vel x A função polinomial do 2º 2 grau na variável vel x tem sua evolução associada ao desenvolvimento da resolução e representação gráfica das equações do 2º grau. Ensino de Matemá 33
A evolução das funções polinomiais do 2º 2 grau na variável vel x Por volta de 2.000 a.c., os egípcios pcios e babilônios apresentavam soluções para diversos tipos de equações de 2º 2 grau, aproximando-se bastante de processos algébricos que ainda hoje são utilizados. Ensino de Matemá 34
A evolução das funções polinomiais do 2º 2 grau na variável vel x Euclides, em 300 a.c., registrou na sua obra Os Elementos processos geométricos de soluções de algumas equações de 2º 2 grau, jáj desenvolvidas por volta de 500 a.c. pelos pitagóricos. Ensino de Matemá 35
A evolução das funções polinomiais do 2º 2 grau na variável vel x Na primeira metade do século s culo IV, Diofanto de Alexandria, por muitos considerado o pai da Álgebra, apresentou, em Arithmé,, soluções algébricas para diversos tipos de equações de 2º 2 grau. Ensino de Matemá 36
A evolução das funções polinomiais do 2º 2 grau na variável vel x Entre os árabes, jáj no século s IX, podemos destacar Al-Khowarismi Khowarismi,, que em sua obra Al-Jabr Jabr,, da qual deriva o nome Álgebra lgebra,, expõe processos de resoluções de equações, especialmente as equações de 2º 2 grau. Ensino de Matemá 37
A evolução das funções polinomiais do 2º 2 grau na variável vel x Também m os hindus Brahmagupta (século VII) e Bhaskara (século XII) desenvolveram processos de resolução de equações de 2º 2 grau. Ensino de Matemá 38
A evolução das funções polinomiais do 2º 2 grau na variável vel x No século s culo XVII, o matemático tico francês François Viète te,, a quem devemos grande parte de generalização da notação algébrica atual, notabilizou-se pelo desenvolvimento de métodos m de resolução de equações quadrás. Ensino de Matemá 39
A evolução das funções polinomiais do 2º 2 grau na variável vel x O formato atual (expressão literal igualada a zero) é devido a Thomas Harriot (1560-1621), 1621), e a representação gráfica dessa equação é encontrada nos trabalhos de Descartes. Ensino de Matemá 40