Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 72 CAPÍTULO 6 DINÂMICA DO MANIPULADOR 6.1 INTRODUÇÃO O modelo matemático (ou modelo dinâmico) do manipulador desempenha um papel preponderante na simulação do movimento, na análise da estrutura do manipulador e no projeto dos algoritmos de controle. Ele fornece uma descrição da relação entre as forças generalizadas (forças e torques) aplicadas nas juntas e o movimento do manipulador. Neste capítulo são introduzidos dois métodos da Mecânica que possibilitam deduzir tal modelo matemático. Inicialmente, será apresentada a chamada formulação de Euler-Lagrange, a qual é conceitualmente simples e sistemática. O segundo método refere-se a uma formulação alternativa, conhecida com formulação de Newton-Euler, que permite obter o modeoo matemático de uma forma recursiva e computacionalmente mais eficiente. 6.2 FORMULAÇÃO DE EULER-LAGRANGE Nesta seção será apresentado, sem dedução (o leitor interessado deve referir-se a obras de Mecânica Analítica), um sistema de equações diferenciais, conhecidas como Equações de Euler- Lagrange, o qual descreve o movimento de um sistema mecânico sujeito a restrições holonômicas, isto é, aqueles que apresentam equações de restrição ligando suas coordenadas generalizadas. Quando o movimento de um sistema mecânico estiver de alguma maneira restrito, surgem também as chamadas forças de restrição, isto é, as forças necessárias para que as restrições sejam satisfeitas. A determinação das forças de restrição (também denominadas forças de vínculo ou forças internas) nem sempre é uma tarefa fácil. Sob esse aspecto, a formulação Lagrangiana é uma alternativa vantajosa, pois ela não requer a determinação das forças de restrição para a obtenção das equações do movimento.
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 73 6.2.1 Coordenadas generalizadas Considere-se um sistema de k partículas sujeito a l restrições holonômicas e possuindo uma quantidade de graus de liberdade igual à diferença entre a quantidade de graus de liberdade que o sistema teria se não houvessem restrições e l. Nesse caso, é possível expressar as coordenadas das k partículas em termos de n coordenadas generalizadas q 1, q 2,..., q n, isto é, r i = r i (q 1, q 2,..., q n ) i = 1, 2,..., k (6.2.1) onde q 1, q 2,..., q n são todas independentes. Como ilustração, seja um pêndulo simples constando de uma massa punctual m fixada a um fio inextensível de comprimento L, conforme mostra a fig. 6.1. Fig. 6.1 Coordenada generalizada independente θ de um pêndulo simples Considere-se um sistema de coordenadas cartesianas com origem no centro de oscilação e sejam x e y as coordenadas cartesianas da massa. Pode-se ver facilmente que existe uma equação de restrição para o sistema, vinculando x e y, obtida pelo fato de que L é constante, que é: x 2 + y 2 = L 2 (6.2.2) Se não existisse a restrição acima, a massa teria dois graus de liberdade. Portanto, a quantidade de graus de liberdade é dada pela diferença 2-1 = 1, logo é possível expressar a posição da massa em termos de n = 1 coordenada generalizada independente (no caso, q 1 = θ, o ângulo que o fio faz com a vertical). Resumindo, sendo n a quantidade de graus de liberdade (igual à quantidade de coordenadas generalizadas independentes), l a quantidade de equações de restrição e p a quantidade de graus de liberdade do sistema se não existissem restrições, pode-se afirmar que: n = p - l (6.2.3) A idéia de coordenadas generalizadas pode ser usada mesmo quando existe uma infinidade de partículas. Por exemplo, um corpo rígido tal como uma barra possui uma infinidade de partículas, mas como a distância entre as mesmas não varia durante o movimento, somente seis coordenadas são suficientes para especificar completamente a posição da barra: três coordenadas para a posição do centro de massa da barra e três ângulos de Euler para a orientação do corpo.
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 74 6.2.2 Equações de Euler-Lagrange Uma vez que tenha sido escolhido um conjunto de coordenadas generalizadas independentes q j, j = 1, 2,..., n, onde n é a quantidade de graus de liberdade do sistema mecânico, define-se o Lagrangiano do sistema mecânico como L = K V (6.2.4) onde K é a energia cinética e V é a energia potencial do sistema. Então, as Equações de Euler- Lagrange (ou, simplesmente, Equações de Lagrange) são expressas como: (6.2.5) onde τ i é a força generalizada não conservativa (torque ou força) na direção da coordenada generalizada independente q i. Recorde-se, aqui, que uma força não conservativa é aquela que não pode ser obtida por derivação da energia potencial. Assim, a força elástica de uma mola (que pode ser obtida derivando-se a energia potencial elástica nela acumulada) e a força peso (que pode ser obtida derivando-se a energia potencial de posição) são forças conservativas e, portanto, não contribuem para a formação do membro direito das eqs. (6.2.5). Observe-se que as eqs. (6.2.5) constituem um sistema de n equações diferenciais, uma para cada grau de liberdade. A seguir, um exemplo elucidativo da aplicação das Equações de Lagrange. Exemplo Ilustrativo: Manipulador com um só braço Seja o manipulador da fig. 6.2, consistindo de um braço rígido acoplado a um motor CC através de um trem de engrenagens: Fig.6.2 Manipulador com um só braço Sejam θ l e θ m os deslocamentos angulares do braço e do motor, respectivamente. Nesse caso, sendo n a relação de transmissão do trem de engrenagens, tem-se θ l = θ m /n. A energia cinética do sistema é dada por
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 75 onde J l e J m são os momentos de inércia de massa do braço e do motor, respectivamente. A energia potencial é dada por onde M é a massa total do braço e l é a distância do centro de massa do braço ao eixo de rotação. Portanto, o Lagrangiano do sistema vale Levando L nas Equações de Lagrange, obtem-se A força generalizada τ consiste do torque do motor (entrada) u e dos torques não conservativos de amortecimento, e Observe-se que estão sendo desprezados os torques restauradores devidos à elasticidade dos eixos, isto é, estão sendo considerandos eixos rígidos. Transferindo tudo para o eixo do motor: Portanto, a expressão completa para a dinâmica desse sistema é dada por onde Em geral, a aplicação das Equações de Lagrange a sistemas robóticos conduz a um sistema de equações diferenciais ordinárias não-lineares de segunda ordem, onde as variáveis dependentes são as coordenadas generalizadas e a variável independente é o tempo t. Serão, a seguir, deduzidas expressões convenientes para as energias cinética e potencial de um objeto rígido, de modo a facilitar o cálculo do Lagrangiano para posterior aplicação nas Equações de Lagrange.
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 76 6.3 EXPRESSÕES PARA AS ENERGIAS CINÉTICA E POTENCIAL 6.3.1 Cálculo da Energia Cinética A energia cinética é constituída por dois termos: a energia cinética de translação, obtida concentrando-se a massa total do objeto no seu centro de massa, e a energia cinética de rotação, em torno do seu centro de massa. Seja um objeto contínuo de massa específica ρ, função da posição espacial. Logo, a massa do objeto será dada por (6.3.1) onde B denota a região do espaço ocupada pelo objeto. Então, a energia cinética do objeto é dada por onde v é o vetor velocidade da partícula dm localizada nas coordenadas (x, y, z). Por outro lado, o centro de massa do objeto é localizado pelas coordenadas (6.3.2) ou, em uma forma vetorial mais compacta: (6.3.3) onde r c é o vetor posição do centro de massa do objeto. (6.3.4) Suponha-se, agora, que um sistema móvel de coordenadas seja fixado ao objeto, com a origem coincidindo com o centro de massa do objeto. À medida que o objeto se move no espaço, a velocidade de um ponto arbitrário do mesmo, em relação a um sistema inercial, é dada por (6.3.5) onde v c é a velocidade linear do centro de massa, r é o vetor posição do ponto arbitrário e ω é a velocidade angular do sistema de referência ligado ao objeto, tudo em relação ao sistema inercial. Entretanto, para o cálculo da energia cinética, é mais conveniente usar a velocidade em termos do sistema móvel, o que é possível, já que a mudança de sistema de referência não afeta o módulo do
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 77 vetor velocidade. Assim, pode-se usar a eq. (6.3.5), porém tendo sempre em mente que a mesma estará sendo expressa em relação ao sistema móvel de coordenadas. A eq. (6.3.5) pode ser rescrita como (6.3.6) de acordo com a propriedade da matriz antissimétrica S(ω) estabelecida no Cap.5. Levando a eq. (6.3.6) na eq. (6.3.2): (6.3.7) Será agora expandido o produto dentro do sinal de integração, composto de quatro termos. O primeiro termo nos dá (6.3.8) onde foi levado em conta que o vetor v c não depende da variável de integração m. Essa quantidade é justamente a energia cinética de translação de uma partícula de massa m localizada no centro de massa do objeto. O segundo termo é dado por (6.3.9) porque (6.3.10) já que o centro de massa está localizado na origem do sistema de coordenadas. Pelo mesmo motivo o terceiro termo, dado por também é nulo. Já o quarto termo demanda algum trabalho. Seja ele definido como (6.3.11) (6.3.12) Existe uma propriedade das matrizes anti-simétricas, que pode ser facilmente comprovada, pela qual S(ω) r = - S(r) ω (6.3.13) Aplicando a propriedade de transposição aos dois membros da equação acima: r T S T (ω) = - ω T S T (r) (6.3.14) Levando as eqs. (6.3.13) e (6.3.14) na eq. (6.3.12):
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 78 K 1 T [ T 4 -ω S ( r)][ -S( r) ω B = 2 (6.3.15) Como ω não depende de m: ]dm K 1 T 4 r B T = ω { S ( r) S( )dm}ω 2 (6.3.16) Tendo em vista que o vetor r pode ser escrito sob forma de matriz anti-simétrica, conforme eq. (5.2.4), tem-se: 0 - z S( r) = z 0 - y x pode-se desenvolver a eq. (6.3.16), obtendo-se: y - x 0 (6.3.17) 0 1 T K ω 4 = - z 2 B y - x Finalmente, é possível rescrever a eq. (6.3.18) como z 0 - y 0 x z 0 - y - z 0 x y - x ω 0 (6.3.18) onde I é a matriz inércia, definida a partir da eq. (6.3.18) como (6.3.19) (6.3.20) O quarto termo, K 4, representa a energia cinética de rotação do objeto. Assim, a energia cinética total do objeto rígido é dada por (6.3.21) Considere-se, agora, um manipulador composto por n membros. Foi visto, no capítulo 5, que as velocidades linear e angular de qualquer ponto de qualquer membro podem ser expressas simplesmente em termos do Jacobiano e das derivadas das variáveis das juntas. Como, no caso, as variáveis das juntas são as coordenadas generalizadas, segue-se que, para matrizes Jacobianas apropriadas: (6.3.22)
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 79 onde a matriz R i T (q) leva em conta o fato de que a velocidade angular deve ser expressa no sistema de referência fixado ao membro i. Supondo que o membro i tenha massa m i e que a sua matriz inércia I i tenha sido calculada em relação ao sistema de coordenadas do membro i, então, da eq. (6.3.21), seguese que a energia cinética total do manipulador é dada por Em outras palavras, a energia cinética total do manipulador tem a forma (6.3.23) (6.3.24) onde D(q), denominada matriz inércia generalizada, é uma matriz simétrica positivo definida que depende, em geral, da configuração do manipulador. 6.3.2 Cálculo da Energia Potencial Quanto à energia potencial, ela também é obtida concentrando-se a massa total do objeto no seu centro de massa. No caso de corpos rígidos, a sua única fonte é a gravidade. Seja g o vetor aceleração da gravidade, expresso no sistema inercial. Então, a energia potencial de uma partícula infinitesimal de massa dm, localizada no ponto r do objeto é dada por g T rdm. Logo, a energia potencial total do objeto é (6.3.25) ou seja, a energia potencial do objeto é obtida concentrando a massa de todo objeto no seu centro de massa. 6.4 EQUAÇÕES DO MOVIMENTO Serão considerados, nesta seção, dois casos especiais para a aplicação das Equações de Lagrange: (1) a energia cinética é uma função quadrática do vetor velocidade generalizada, na forma onde a matriz inércia D(q) é simétrica e positivo-definida para cada q R n. (6.4.1)
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 80 (2) a energia potencial V = V(q) é independente da velocidade generalizada (os manipuladores robóticos satisfazem essa condição). As equações de Euler-Lagrange serão deduzidas a seguir, para tal sistema. Tendo em vista que tem-se e (6.4.2) (6.4.3) Também (6.4.4) (6.4.5) Assim, as Equações de Lagrange podem ser escritas Trocando a ordem no somatório e considerando a simetria, pode-se mostrar que (6.4.6) Portanto, (6.4.7) Os termos (6.4.8) (6.4.9) são conhecidos como símbolos de Christoffel de primeira espécie. Note-se que, para um k fixado, tem-se c ijk = c jik, o que reduz à metade o trabalho envolvido no cálculo. Finalmente, definindo então as Equações de Lagrange se tornam (6.4.10)
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 81 Na eq. (6.4.11) existem três tipos de termos: (1) termos envolvendo as segundas derivadas das coordenadas generalizadas; (6.4.11) (2) termos quadráticos das primeiras derivadas de q, onde os coeficientes podem depender de q, os quais podem ser classificados em: 2. (2.1) termos centrífugos: envolvem produtos do tipo q i.. (2.2) termos de Coriolis: envolvem um produto do tipo onde i j q q (3) termos envolvendo somente q mas não as suas derivadas, os quais surgem da derivação da energia potencial. É comum escrever a eq. (6.4.11) na forma matricial i j onde o k,j-ésimo elemento da matriz C é definido como (6.4.12) (6.4.13) A seguir, é apresentado o enunciado de um teorema relacionando as matrizes D e C que aparecem na eq. (6.4.12), o qual será muito útil no problema de controle de manipuladores. Teorema: Seja a matriz definida por Então N é antissimétrica, isto é, n jk = - n kj. (6.4.14) (O leitor interessado na demonstração do teorema poderá consultar Spong & Vidyasagar, pág. 143). Seja examinado, agora, um caso especial importante, em que a matriz inércia é diagonal e independente de q. Nesse caso, segue-se da eq. (6.4.9) que todos os símbolos de Christoffel são nulos, pois cada d ij é uma constante. Além disso, a quantidade d kj não é nula se e somente se k = j, de tal modo que as eqs. (6.4.11) desacoplam na forma (6.4.15)
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 82 Em resumo, o desenvolvimento mostrado nesta seção é muito geral e se aplica a qualquer sistema mecânico em que a energia potencial seja independente de q.. Na próxima seção será aplicado tal desenvolvimento a configurações robóticas específicas. 6.5 ALGUMAS CONFIGURAÇÕES COMUNS 6.5.1 Manipulador cartesiano com dois membros Seja o manipulador cartesiano da fig. 6.3, onde estão ilustradas as massas e as coordenadas generalizadas dos membros: Fig. 6.3 Manipulador cartesiano com dois membros Como as coordenadas generalizadas das juntas têm dimensões de comprimento, as forças generalizadas associadas, aplicadas nas juntas, têm dimensões de força e são dadas por f i, i = 1, 2. A energia cinética tem a forma da eq. (6.41), ao passo que a energia potencial é função apenas de q 1 e q 2. Portanto, pode-se usar as fórmulas da seção anterior para obter as equações dinâmicas. Por outro lado, como as juntas são prismáticas, o Jacobiano da velocidade angular é nulo e a energia cinética de cada membro consiste somente do termo translacional. A velocidade do centro de massa do membro 1 é dada por onde (6.5.1) (6.5.2) Analogamente, onde (6.5.3) (6.5.4)
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 83 Portanto, a energia cinética é dada por Comparando com a eq. (6.4.1), vê-se que a matriz de inércia é dada simplesmente por (6.5.5) (6.5.6) A energia potencial do membro 1 é dada por m 1 g q 1, enquanto que a do membro 2 é dada por m 2 g q 2, logo a energia potencial total é (6.5.7) Pode-se, então, escrever as equações do movimento. Tendo em vista que a matriz de inércia é constante, os símbolos de Christoffel são nulos. Além disso, os vetores φ k são dados por Substituindo na eq. (6.4.11), chega-se a (6.5.8) (6.5.9) 6.5.2 Manipulador planar articulado (cotovelar) Seja o manipulador da fig. 6.4, onde os ângulos das juntas q 1 e q 2 servem de coordenadas generalizadas: Fig. 6.4 Manipulador cotovelar
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 84 Seja I I momento de inércia do membro i em torno de um eixo perpendicular ao plano xy e passando pelo centro de massa do membro i. Tendo em conta que estamos usando as variáveis das juntas como coordenadas generalizadas, pode-se usar o conteúdo da seção 6.4. Inicialmente, onde (6.5.10) Analogamente, onde (6.5.11) (6.5.12) (6.5.13) Portanto, a parcela translacional da energia cinética é dada por (6.5.14) A seguir, serão tratados os termos da velocidade angular. Devido à simplicidade deste manipulador, muitas das dificuldades não aparecem. Em relação ao sistema inercial, tem-se (6.5.15) Entretanto, conforme assinalado anteriormente, é necessário exprimir essas velocidades angulares em relação ao sistemas locais. Felizmente, os eixos z estão todos paralelos nesse caso, de modo que a expressão acima é também válida em relação aos sistemas locais. Além disso, como ω i está alinhado com k, o triplo produto ω i T I i ω i reduz-se simplesmente a (I 33 ) i multiplicado pelo quadrado do módulo da velocidade angular. A quantidade (I 33 ) i é, na verdade, o que foi chamado acima de I i. Portanto, a energia cinética de rotação do sistema total é (6.5.16) Está tudo pronto para a montagem da matriz de inércia D(q). Para tanto, tem-se apenas que adicionar as duas matrizes dadas nas eqs. (6.5.14) e (6.5.16), respectivamente. Assim: Executando a multiplicação acima e usando relações trigonométricas elementares, chega-se a (6.5.17)
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 85 Pode-se, agora, calcular os símbolos de Christoffel usando a definição (6.4.9), obtendo (6.5.18) (6.5.19) logo: A energia potencial do manipulador é dada pela soma das energias potenciais dos dois membros, (6.5.20) Portanto, as funções φ k definidas em (6.4.10) tornam-se (6.5.21) (6.5.22) Finalmente, pode-se escrever as equações dinâmicas como em (6.4.11). Substituindo nessa equação as várias quantidades e omitindo os termos nulos, obtemos (6.5.23) Nesse caso, a matriz é dada por (6.5.24)
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 86 6.5.3 Manipulador planar articulado (cotovelar) com acionamento remoto Será, agora, ilustrada uma situação em que as coordenadas generalizadas independentes não são as variáveis das juntas, conforme definidas em capítulos anteriores. Considere-se, novamente, o manipulador cotovelar, mas supondo, agora, que ambas as juntas são acionadas por motores localizados na base, conforme mostra a fig. 6.5: Fig 6.5 Manipulador cotovelar com acionamento remoto A primeira junta é acionada diretamente pelo atuador 1, enquanto a outra é acionada pelo atuador 2, através de uma transmissão por correia. Pode-se escolher as coordenadas generalizadas p 1 e p 2, de acordo com a fig. 6.6. O ângulo p 2 é determinado pelo acionador 2, que está na base, não sendo afetado (independente, portanto) pelo ângulo p 1. Fig. 6.6 Coordenadas generalizadas para o manipulador da fig. 6.5 Tendo em vista que p 1 e p 2 não são os ângulos das juntas, não se pode usar os Jacobianos deduzidos no cap. 5, devendo-se efetuar a análise diretamente. É fácil verificar que
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 87
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 88 6.6 FORMULAÇÃO DE NEWTON-EULER A formulação de Newton-Euler leva aos mesmos resultados obtidos através da formulação de Euler-Lagrange, embora percorrendo um caminho bastante diferente. Na formulação Lagrangiana, trata-se o robô como um todo e realiza-se a análise usando a função Lagrangiana (diferença entre as energias cinética e potencial). Na formulação Newtoniana, considera-se cada membro separadamente e escreve-se as equações que descrevem os seus movimentos linear e angular. Evidentemente, como cada membro está acoplado aos demais, a equação do movimento de um membro contem forças e torques de restrição, que aparecem também nas equações do movimento dos demais membros. Utilizando um procedimento recursivo, é possível determinar todos esses termos de acoplamento e eventualmente chegar à descrição do manipulador como um todo. A análise dinâmica de um sistema mecânico consiste em achar relações entre as coordenadas generalizadas q e as forças generalizadas τ, já apresentadas anteriormente. Deve-se fazer a distinção entre os dois casos seguintes: - no primeiro caso, há interesse em obter equações em forma fechada que descrevam a evolução temporal das coordenadas generalizadas; - no segundo caso, deseja-se saber quais forças generalizadas necessitam ser aplicadas, a fim de realizar uma evolução temporal particular das coordenadas generalizadas. A distinção reside no fato de que, no segundo caso, quer-se apenas saber qual função temporal τ produz uma trajetória particular, sem preocupação com a relação entre as duas. Pode-se dizer que, no
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 89 primeiro caso, a formulação Lagrangiana é superior, ao passo que, no segundo caso, a formulação Newtoniana é mais adequada. Já no caso de estudos mais avançados, tais como aqueles que consideram as deformações elásticas dos membros, a formulação Lagrangiana é claramente superior. A Mecânica Newtoniana repousa sobre as seguintes Leis: 1. Terceira Lei de Newton: A toda ação corresponde uma reação igual e de sentido oposto. Assim, se o corpo 1 aplica uma força f e um torque τ sobre o corpo 2, então o corpo 2 aplica uma força -f e um torque -τ sobre o corpo 1. 2. Segunda Lei de Newton: A taxa de variação da quantidade de movimento linear é igual à força total aplicada ao corpo. 3. Lei de Euler: A taxa de variação da quantidade de movimento angular é igual ao torque total aplicado ao corpo. Nas aplicações robóticas, a massa m pode ser considerada constante, de modo que a Segunda Lei de Newton pode ser escrita como ma = f (6.6.1) onde a é a aceleração linear do centro de massa do corpo e f é a resultante das forças externas aplicadas, tudo em relação a um sistema inercial de coordenadas. Aplicando a Lei de Euler ao movimento angular de um corpo: (6.6.2a) onde I 0 é o momento de inércia do corpo ω 0 é a velocidade angular do corpo τ 0 é a soma dos torques aplicados externamente ao corpo tudo em relação a um sistema inercial x 0 y 0 z 0, cuja origem coincide com o centro de massa do corpo. Em muitos casos, é mais conveniente usar a Lei de Euler em relação a um sistema móvel de coordenadas xyz, fixado ao corpo, cuja origem coincide com o centro de massa do corpo: onde d(iω) = τ dt I é o momento de inércia do corpo ω é a velocidade angular do corpo τ é a soma dos torques aplicados externamente ao corpo (6.6.2b)
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 90 tudo em relação a um sistema móvel xyz, cuja origem coincide com o centro de massa do corpo. Existe uma diferença essencial entre os movimentos linear e angular: enquanto a massa de um corpo é constante na maioria das aplicações, o seu momento de inércia pode ser ou não constante. Para ilustrar isso, suponha-se que I seja a matriz de inércia do corpo em relação a um sistema local de coordenadas, fixado ao corpo. Então, I permanece constante, não importando que movimento o corpo execute. Entretanto, a matriz I 0, em relação ao sistema da base, é dada por onde R é a matriz de rotação do sistema local em relação ao sistema da base. Logo, em geral, a matriz I 0 não é constante, mas varia com o tempo. Uma maneira de contornar essa dificuldade consiste em escrever a equação para o movimento angular em relação a um sistema local fixado ao corpo, o que conduz a (6.6.4) onde I é a matriz de inércia (constante) do corpo em relação ao sistema local; ω é a velocidade angular expressa no sistema local; τ é o torque total sobre o corpo, também expresso em relação ao sistema local. Será deduzida, agora, a eq. (6.6.4), mostrando de onde vem o termo ω x [Iω], denominado termo giroscópico. Seja R a matriz de rotação do sistema local em relação ao sistema da base, a qual varia com o tempo. Então, a eq. (6.6.3) fornece a relação entre I e I 0. Por outro lado, pós-multiplicando a eq. (5.3.1) por R T : (6.6.5) Em outras palavras, a velocidade angular do corpo, expressa em relação ao sistema da base, é dada pela eq. (6.6.5). Já em relação ao sistema local, ela é dada por Portanto, a quantidade de movimento angular, expressa no sistema da base, vale (6.6.6) (6.6.7) Derivando em relação ao tempo e levando em conta que I é constante, obtem-se uma expressão para a taxa de variação da quantidade de movimento angular: (6.6.8)
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 91 Agora, Portanto, com relação ao sistema inercial, (6.6.9) (6.6.10) Com relação ao sistema local, a taxa de variação da quantidade de movimento angular é (6.6.11) o que mostra o estabelecimento da eq. (6.6.4). Embora seja possível escrever a equação acima em relação ao sistema inercial, muitos vetores tornam-se constantes em relação ao sistema do corpo, o que leva a simplificações significativas nas equações. Será, agora, usada a formulação de Newton-Euler para deduzir as equações do movimento de um manipulador de n membros. Para isso, escolhem-se n sistemas de coordenadas, sendo o sistema 0 um sistema inercial e o sistema i um sistema local rigidamente fixado ao membro i, para i 1. A origem do sistema i coincide com o centro de massa do membro i. Considerem-se vários vetores, todos expressos no sistema local i. O conjunto seguinte de vetores está relacionado às velocidades e acelerações de várias partes do manipulador: a c,i = aceleração do centro de massa do membro i; a e,i = aceleração da extremidade do membro i (junta i + 1); ω i = velocidade angular do sistema i com relação ao sistema 0; α i = aceleração angular do sistema i com relação ao sistema 0. Já o conjunto abaixo diz respeito a forças e torques: g i = aceleração da gravidade expressa no sistema i; f i = força exercida pelo membro i 1 sobre o membro i; τ i = torque exercido pelo membro i 1 sobre o membro i; R i+1 i = matriz de rotação do sistema i + 1 em relação ao sistema i. O último conjunto de vetores, a seguir, define características físicas do manipulador, sendo independentes da configuração q: m i = massa do membro i; I i =matriz de inércia do membro i em relação ao sistema i; r i,ci = vetor com origem na junta i e extremidade no centro de massa do membro i; r i+1,ci = vetor com origem na junta i + 1 e extremidade no centro de massa do membro i; r i,i+1 = vetor com origem na junta i e extremidade na junta i+1.
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 92 Considere-se, agora, o diagrama de corpo livre da fig. 6.7, a qual mostra o corpo i com todas as forças e torques que atuam sobre ele: Fig. 6.7 Forças e torques sobre o corpo i Analisando a figura acima, vê-se que f i é a força aplicada pelo corpo i-1 sobre o corpo i. Pela 3 a Lei de Newton, o corpo i+1 aplica uma força f i+1 sobre o corpo i, devendo-se pré-multiplicar essa força pela matriz de rotação R i+1 i. obtendo-se - R i+1 i f i+1. Explanação análoga se aplica aos torques τ i e - R i+1 iτ i+1. A força m i g i é a força gravitacional. Escrevendo a 2 a Lei de Newton para o corpo i: f i - R i+1 i f i+1 + m i g i = m i a c,i (6.6.12) A seguir, será escrita a Lei de Euler. Para isto, é importante notar que o momento exercido por uma força f em torno de um ponto P pode ser dado por f x r, onde r é o vetor cuja origem é o ponto de aplicação da força e cuja extremidade é o ponto P. Além disso, como o peso não exerce momento em relação ao centro de massa, tem-se a Lei de Euler τ i - R i+1 i τ i+1 + f i x r i,ci (R i+1 if i+1 )x r i+1,ci = I i α i + ω i x (I i ω i ) (6.6.13) A essência da formulação de Newton-Euler consiste em encontrar os vetores f 1, f 2,..., f n e τ 1,..,. q τ 2,..., τ n, correspondentes a um dado conjunto de vetores q q e. Em outras palavras, consiste em achar as forças e os torques que correspondem a um dado conjunto de coordenadas generalizadas e suas duas primeiras derivadas temporais. Essa informação pode ser usada tanto para obter equações em forma fechada que descrevem a evolução temporal das coordenadas generalizadas, como para saber quais forças generalizadas necessitam ser aplicadas, a fim de realizar uma trajetória particular. A idéia geral pode ser estabelecida assim: dadosq.., q. e q, suponha-se que, de algum modo, seja possível determinar todas as velocidades e acelerações de várias partes do manipulador, isto é, todas as quantidades a c,i, ω i e α i. Então, pode-se resolver as eqs. (6.6.12) e (6.6.13) recursivamente para achar todas as forças e torques, da seguinte maneira: (1) fazer f n+1 = 0 e τ n+1 = 0, o que exprime o fato de que não existe o corpo n+1; (2) resolver a eq. (6.6.12) para obter f i = R i+1 i f i+1 + m i a c,i - m i g i (6.6.14) Substituindo, sucessivamente, i = n, n-1,..., 1, pode-se encontrar todas as forças f i.
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 93 Semelhantemente, pode-se resolver a eq. (6.6.13) para obter τ i = R i+1 i τ i+1 - f i x r i,ci + (R i+1 if i+1 )x r i+1,ci + I i α i + ω i x (I i ω i ) (6.6.15) Substituindo, sucessivamente, i = n, n-1,..., 1, pode-se encontrar todos os torques τ i. A solução estará completa calculando-se as relações entre q.., q. e q e a c,i, ω i e α i. Isso pode ser feito através de um procedimento recursivo no sentido crescente de i, o qual será ilustrado a seguir, para o caso de juntas rotativas (o caso de juntas prismáticas é ainda mais simples). A fim de distinguir as quantidades expressas no sistema i daquelas expressas no sistema da base, será usado o símbolo (0) como sobrescrito para as últimas. Considere-se, inicialmente, as velocidade e aceleração angulares. A velocidade angular do sistema i é igual à velocidade angular do sistema i 1 somada à velocidade angular da junta i: (6.6.16) Para obter uma relação entre ω i e ω i-1 é preciso apenas expressar a equação acima no sistema i, levando em conta que ω i e ω i-1 estão expressos em sistemas diferentes. Isso conduz a onde (6.6.17) (6.6.18) é o eixo de rotação da junta i expresso no sistema i. Considere-se, agora, a aceleração angular α i. É importante notar aqui que (6.6.19) Em outras palavras, α i é a derivada da velocidade angular do sistema i, porém expressa no sistema i, ou seja, não é verdadeira a expressão Uma situação semelhante será encontrada com a velocidade e a aceleração do centro de massa. Da eq. (6.6.16), vê-se que Passando para o sistema i: (6.6.20) (6.6.21) Considere-se, agora, as velocidade e aceleração lineares. Note-se que, em contraste com a velocidade angular, a velocidade linear não aparece nas equações dinâmicas. Contudo, há necessidade de uma expressão para a velocidade linear, para a dedução de uma expressão para a aceleração linear.
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 94 Aplicando a eq. (5.3.6), obtem-se a velocidade linear do centro de massa do corpo i: Já a aceleração linear pode ser obtida a partir da eq. (5.3.9): (6.6.22) (6.6.23) Tendo em conta que (6.6.24) pode-se executar a multiplicação e usar a propriedade das matrizes de rotação Transformando a c,i-1 para o sistema i: (6.6.25) (6.6.26) Para achar a aceleração da extremidade do corpo i, pode-se usar a eq. (6.6.26), substituindo r i,ci por r i,i+1. Assim: (6.6.27) Agora, a formulação recursiva está completa. Pode-se, então, estabelecer a Formulação de Newton-Euler da seguinte maneira: (1) começar com as condições iniciais nulas (6.6.28) e resolver as eqs. (6.6.17), (6.6.21), (6.6.27) e (6.6.26) (nessa ordem!) para calcular ω i, α i e a c,i, para i crescendo de 1 a n. (2) começar com as condições terminais e usar as eqs. (6.6.14) e (6.6.15) para calcular f i e τ i para i decrescendo de n a 1. (6.6.29)
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 95 6.7 APLICAÇÃO AO MANIPULADOR COTOVELAR Será, agora, aplicada a formulação recursiva de Newton-Euler ao manipulador cotovelar da fig. 6.4. Começa-se com a recursão avante (sentido crescente de i) para expressar as várias velocidades e acelerações em termos de q 1, q 2 e suas derivadas. Neste caso simples é fácil verificar que (6.7.1) de tal modo que não há necessidade de usar as eqs. (6.6.17) e (6.6.21). Além disso, os vetores que são independentes da configuração são expressos como (6.7.2) (6.7.3) 6.7.1 Recursão Avante: Corpo 1 Usando a eq. (6.6.26) com i = 1 e notando que a l,0 = 0: (6.7.4) Observe-se como é simples esse cálculo, quando realizado com relação ao sistema 1, em comparação ao cálculo que seria feito com relação ao sistema 0! Finalmente, tem-se (6.7.5) onde g é a aceleração da gravidade. Observe-se que as terceiras componentes das acelerações são, obviamente, nulas. Analogamente, são também nulas a terceira componente de todas as forças e as duas primeiras componentes de todos os torques. Para completar a recursão avante do corpo 1, deve-se calcular a aceleração da extremidade do corpo 1, a qual é obtida a partir da eq. (6.7.4), substituindo l c,1 por l 1. Assim: (6.7.6)
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 96 6.7.2 Recursão Avante: Corpo 2 Novamente, usa-se a eq. (6.6.26), substituindo ω 2 conforme eq. (6.7.1), o que dá (6.7.7) Na eq. (6.7.7), a única quantidade que depende da configuração é o primeiro termo do membro direito, o qual pode ser calculado como Substituindo na eq. (6.7.7): (6.7.8) O vetor gravidade é dado por: (6.7.9) (6.7.10) Como existem apenas dois corpos, não há necessidade de calcular a l,2 e as recursões avantes estão concluídas. 6.7.3 Recursão retroativa: membro 2 Será feita, agora, a recursão retroativa para calcular as forças e os torques nas juntas. Neste exemplo, os torques nas juntas são as quantidades aplicadas externamente e o objetivo é deduzir as equações dinâmicas envolvendo tais torques. Aplica-se, inicialmente, a eq. (6.6.14) com i = 2, notando que f 3 = 0, o que resulta em (6.7.11) (6.7.12) Pode-se agora substituir, na equação acima, ω 2 e α 2 da eq. (6.7.1) e a c,2 da eq. (6.7.9). Observe-se, também, que o termo giroscópico é nulo, pois ω 2 e I 2 ω 2 estão alinhados com k. Também o produto vetorial f 2 x l c2 i está alinhado com k e o seu módulo é a componente de f 2. O resultado final é
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 97 Como τ 2 = τ 2 k, vê-se que a equação acima é a segunda equação da eq. (6.5.23). (6.7.13) 6.7.4 Recursão retroativa: membro 1 Para completar a dedução, aplica-se as eqs. (6.6.14) e (6.6.15), para i = 1. As equações das forças e dos torques são, respectivamente, e (6.7.14) (6.7.15) São possíveis algumas simplificações. Inicialmente, pode-se fazer R 1 2 τ 2 = τ 2, pois a matriz de rotação não afeta a terceira componente de um vetor. Em segundo lugar, o termo giroscópico é ainda nulo. Finalmente, substituindo f 1 da eq. (6.7.14) na eq. (6.7.15), obtem-se, após alguma álgebra: (6.7.16) Os produtos vetoriais são obtidos diretamente, o único cálculo difícil sendo o de R 1 2 f 2. O resultado final é (6.7.17) Se, agora, for substituído τ 1 da eq. (6.7.13) e rearranjados os termos, obtem-se a primeira equação da eq. (6.5.23).
Cap. 6 Dinâmica do Manipulador 98 PROBLEMAS 6.1 Verificar a expressão 6.3.19. 6.2 Dado o cilindro oco da figura 6.8, mostrar que Fig. 6.8 Cilindro oco 6.3 Muitos robôs incorporam acionamentos harmônicos ( harmonic drives ) para obter grandes reduções de velocidades. Tais mecanismos introduzem elasticidade torcional nas juntas, conforme modelado na fig. 6.9. Usando as Equações de Lagrange, deduzir as equações do movimento para este sistema, considerando que existe uma força generalizada de entrada, τ m, atuando sobre o eixo do motor. Fig. 6.9 Acionamento com redutor Harmonic drive 6.4 Considere um manipulador cartesiano de 3 membros. (a) Calcular o tensor de inércia J i para cada membro, i = 1, 2, 3. Assumir que os membros são vigas retangulares uniformes, iguais, de comprimento 1, largura ¼, altura ¼ e massa 1; (b) Calcular a matriz de inércia 3 x 3 D(q); (c) Mostrar que os símbolos de Christoffel c ijk são todos nulos para este manipulador; o que significa isso para as equações dinâmicas do movimento? (d) Deduzir as equações do movimento na forma matricial