Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 01 a) Falsa. Por exemplo, para n =, temos 3n = 3 = 6, ou seja, um número par. b) Verdadeira. Por exemplo, para n = 1, temos n = 1 =, ou seja, um número par. c) Falsa. Por exemplo, para n =, temos 3n + 1 = 3 + 1 = 7, que não é múltiplo de 4. d) Falsa. Por exemplo, para n =, temos n = = 4, que não é primo. e) Falsa. Por exemplo, para n = 5, temos n n + n + 5 = 5 5 + 5 + 5 = 5 (5 4 + ), que não é primo, pois é divisível por 5 (5 4 + ) e também por 1 e por 5. Resposta: B 1
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 0 Sejam x, r e n : x 3 r n x = 3n + r; com r Se r = 0, x = 3n é múltiplo de 3. Se r = 1, x = 3n + 1 não é múltiplo de 3. Se r =, x = 3n + não é múltiplo de 3. Se r = 1, x = 3n 1 = 3n 3 + = 3 (n 1) + não é múltiplo de 3. Se r =, x = 3n = 3n 3 + 1= 3 (n 1) + 1 não é múltiplo de 3. Dessa análise, observe que todo inteiro não múltiplo de 3 pode ser representado por 3n ou 3n 1 ou 3n + 1 ou 3n +. Resposta: C
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 03 I. Verdadeira. Todo número da forma k, com k, é par. Assim, para m, n, com m, n, temos: m + n = m + n, que é par. ( ) II. Verdadeira. Todo número da forma k + 1, com k, é ímpar. Assim, para m, n, com m, n, temos: m + 1+ n + 1 = m + n + 1, que é par. ( ) III. Verdadeira. Das afirmações (I) e (II), concluímos que (III) é verdadeira. IV e V. Verdadeiras. Resposta: E Para k, repare que ( ) k = 4k = k é par, ou seja, o quadrado de um número par é par. Repare, também, que ( k + 1) = 4k + 4k + 1 = ( k + k) + 1 é ímpar, ou seja, o quadrado de um número ímpar é ímpar. 3
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 04 I. Verdadeira. k, a = k + 1 a = k + 1 = 4k + 4k + 1 = k + k + 1 é ímpar. ( ) ( ) II. Falsa. Observe o contraexemplo. a = 3 a = 3 = 3 é ímpar. Portanto, a não precisa ser inteiro e ímpar para que a seja ímpar. III. Verdadeira. Como a é inteiro, então a é par ou a é ímpar. O quadrado de um par é par, e o quadrado de um ímpar é ímpar; logo, se a é ímpar e a é inteiro, então a é ímpar. Resposta: V F V 4
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 05 a b = 5 a) ( a+ b) ( a b) = 5 Repare que, nas condições do enunciado, temos: 5= 51 ou 5= 15 ou 5 = ( 1) ( 5) ou 5 = ( 5) ( 1) Daí, vem: a+ b = 5 a+ b = 1 a+ b = 1 a+ b = 5 ou ou ou a b = 1 a b = 5 a b = 5 a b = 1 a+ b = 5 Do sistema, somando as equações, temos: a b = 1 a+ b+ a b = 5+ 1 a = 6 a = 3 Substituindo a = 3na equação a+ b = 5 b =. a+ b = 1 Do sistema, somando as equações, temos: a b = 5 a+ b+ a b = 1+ 5 a = 6 a = 3 Substituindo a = 3 na equação a+ b = 1 b =. a+ b = 1 Do sistema, somando as equações, temos: a b = 5 a+ b+ a b = 1+ ( 5) a = 6 a = 3 Substituindo a = 3 na equação a+ b = 1 b =. a+ b = 5 Do sistema, somando as equações, temos: a b = 1 a+ b+ a b = 5+ ( 1) a = 6 a = 3 Substituindo a = 3na equação a+ b = 5 b =. a, b de números inteiros que são solução Assim, os pares ordenados ( ) da equação a b = 5são: (3, ), (3, ), ( 3, ) e ( 3, ) b) a = ab + 13 a ab = 13 ( ) a a b = 13 5
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números Repare que, nas condições do enunciado, temos: 13 = 13 1 ou 13 1 13 13 13 1 13 = 1 13 = ou = ( ) ( ) ou ( ) ( ) Daí, temos: a = 13 a = 1 a = 13 a = 1 ou ou ou a b = 1 a b = 13 a b = 1 a b = 13 a = 13 Do sistema, substituindo a = 13 na equação a b = 1, vem a b = 1 b = 1. a = 1 Do sistema, substituindo a = 1 na equação a b = 13, vem a b = 13 b = 14. a = 13 Do sistema, substituindo a = 13 na equação a b = 1, a b = 1 vem b = 1. a = 1 Do sistema, substituindo a = 1 na equação a b = 13, a b = 13 vem b = 1. Assim, os pares ordenados ( a, b) de números inteiros que são solução da equação a = ab + 13 são: (13, 1), (1, 1), ( 13, 1) e ( 1, 1) c) a ab 4 + = a ( a+ b) = 4 Repare que, nas condições do enunciado, temos: 4= 41 ou 4 14 4 4 1 4 = 1 4 ou 4 = ou 4 = ( ) ( ) Daí, temos: a = 4 a = 1 ou a + b = 1 a + b = 4 a = ou a + b = a = 4 Do sistema a + b = 1 b = 3. Do sistema b = 3. Do sistema b = 3. = ou = ( ) ( ) ou ( ) ( ) ou a = 4 a + b = 1 ou a = 1 a + b = 4 ou a = a + b =, substituindo a = 4 na equação a+ b = 1, vem a = 1, substituindo a = 1 na equação a+ b = 4, vem a + b = 4 a = 4, substituindo a = 4na equação a+ b = 1, vem a + b = 1 6
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números Do sistema vem b = 3. Do sistema b = 0. Do sistema a = 1 a + b = 4, substituindo a = 1 na equação a+ b = 4, a =, substituindo a = na equação a+ b =, vem a + b = a = a + b =, substituindo a = na equação a+ b =, vem b = 0. Assim, os pares ordenados ( a, b) de números inteiros que são solução da equação a + ab = 4 são: (1, 3), (, 0), (4, 3), ( 1, 3), (, 0) e ( 4, 3) d) a + b = ab a+ b ab = 0 a ( 1 b) = b b a = 1 b b+ 1 1 a = 1 b b+ 1 1 a = 1 b 1 b 1 a = 1 1 b Como a, 1 b é divisor de 1, ou seja, 1 b = 1 ou 1 b = 1. De 1 b = 1, vem b = 0. De 1 b = 1, vem b =. 1 Se b = 0, então a = 1 = 0. 1 0 1 Se b =, então a = 1 =. 1 Assim, os pares ordenados ( a, b) de números inteiros que são solução da equação a + b = ab são: (0, 0) e (, ) Respostas: a) (3, ), (3, ), ( 3, ) e ( 3, ) b) (13, 1), (1, 1), ( 13, 1) e ( 1, 1) c) (1, 3), (, 0), (4, 3), ( 1, 3), (, 0) e ( 4, 3) d) (0, 0) e (, ). 7
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 06 a) O maior inteiro de 4algarismos é 9999. 9999 1 3 833 9999 = 833 1 + 3 9999 3 = 833 1 9996 = 833 1 Assim, 9996 é o maior inteiro de 4 algarismos que é múltiplo de 1. b) O menor inteiro de 4 algarismos é 1000. 1 000 1 4 83 1 000 = 83 1 + 4 1 000 4 = 83 1 996 = 83 1 996 + 1 = 83 1 + 1 1 008 = 84 1 Assim, 1 008 é o menor inteiro de 4 algarismos que é múltiplo de 1. c) Dos itens a e b, os múltiplos de 1 compreendidos entre 1 000 e 9999 são { 1 008, 1 00, 1 03,..., 9996 }. Repare que essa sequência é uma PA com a1 = 1 008, r = 1 e an = 9996. Daí, temos: 9996 = 1 008 + n 1 1 ( ) 8988 = n 1 1 ( ) 749 = n 1 n = 750 Assim, há 750 múltiplos de 1 compreendidos entre 1 000 e 9999. Respostas: a) 9 996 b) 1 008 c) 750 8
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 07 100 18 10 5 100 = 18 5 + 10 100 10 = 18 5 90 = 18 5 90 + 18 = 18 5 + 18 108 = 18 6 1 000 18 10 55 1 000 = 18 55 + 10 1 000 10 = 18 55 990 = 18 55 Daí, os múltiplos de 18 entre 100 e 1 000 são { 108, 16, 144,...,990}. Repare que essa sequência é uma PA com a1 = 108, r = 18 e an = 990. Dessa forma, temos: 990 = 108 + n 1 18 ( ) ( ) 88 = n 1 18 49 = n 1 n = 50 Assim, há 50 múltiplos de 18 entre 100 e 1 000. Resposta: 50 9
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 08 a) Da expressão a 7a + 10, temos a equação a 7a + 10 = 0. Resolvendo essa equação, obtemos a = ou a = 5. Daí, a expressão a 7a 10 1 a a 5, ou +, na forma fatorada, é ( ) ( ) seja, a 7a + 10 = ( a ) ( a 5). b) Para que a 7a 10 a a 5, seja um número primo, são condições necessárias: a = 1 ou a = 1 ou a 5 = 1 ou a 5 = 1 Da equação a = 1, vem a = 3. Da equação a = 1, vem a = 1. Da equação a 5 = 1, vem a = 6. Da equação a 5 = 1, vem a = 4. Agora, vamos verificar o valor da expressão a 7a + 10 para cada um dos valores obtidos para a. Se a = 3, a 7a + 10 = 3 7 3 + 10 =, ou seja, primo. Se a = 1, a 7a + 10 = 1 7 1+ 10 = 4, ou seja, não é primo. Se a = 6, a 7a + 10 = 6 7 6 + 10 = 4, ou seja, não é primo. Se a = 4, a 7a + 10 = 4 7 4 + 10 =, ou seja, primo. Dessa forma, a 7a + 10 é primo para a = 3 e para a = 4. Respostas: a) (a ) (a 5) b) 3 e 4 +, ou ainda ( ) ( ) 10
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 09 Da expressão a 6a + 5, temos a equação a 6a + 5 = 0. Resolvendo essa equação, obtemos a = 1 ou a = 5. Daí, a expressão a 6a 5 1 a 1 a 5, ou seja, + na forma fatorada é ( ) ( ) ( ) ( ) +, ou ainda ( a 1) ( a 5) a 6a 5 1 a 1 a 5 + =. Para que a 6a 5, seja um número primo, são condições necessárias: a 1= 1 ou a 1= 1 ou a 5 = 1 ou a 5 = 1 Da equação a 1= 1, vem a =. Da equação a 1= 1, vem a = 0. Da equação a 5 = 1, vem a = 6. Da equação a 5 = 1, vem a = 4. Agora, vamos verificar o valor da expressão a 6a + 5 para cada um dos valores obtidos para a. Se a =, a 6a + 5 = 6 + 5 = 3, ou seja, primo. Se a = 0, a 6a+ 5 = 0 6 0+ 5 = 5, ou seja, primo. Se a = 6, a 6a+ 5 = 6 6 6+ 5 = 5, ou seja, primo. Se a = 4, a 6a+ 5 = 4 6 4+ 5 = 3, ou seja, primo. Dessa forma, o único primo positivo da forma a 6a + 5 é o 5. Resposta: 5 11
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 10 a) 4 a + 4 Repare que ( ) 4 a a 4a 4 4 ( a + ) 4a = a + 4 4 a + 4 = ( a + ) ( a) 4 a + 4 = ( a + ) + ( a) ( a + ) ( a) 4 a + 4 = ( a + a + ) ( a a + ) + = + +. Daí, vem: b) Para que a 4 4 a + a + a a +, seja um número primo, são condições necessárias: a + a + = 1 ou a + a + = 1 ou a a + = 1 ou a a + = 1 Da equação a + a + = 1, vem a = 1. A equação a + a + = 1 não admite solução real. Da equação a a + = 1, vem a = 1. A equação a a + = 1 não admite solução real. 4 Agora, vamos verificar o valor da expressão a + 4para cada um dos valores obtidos para a. 4 Se a = 1, a + 4 = ( 1) 4 + 4 = 5, ou seja, é primo. 4 4 Se a = 1, a + 4 = 1 + 4 = 5, ou seja, é primo. 4 Dessa forma, o único primo da forma a + 4 é o 5. Respostas: a) (a + a + ) (a a + ) b) 5 +, ou ainda ( ) ( ) 1
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 11 Observe o algarismo das unidades nestas potências: 1 7 = 7 7 = 49 3 7 = 343 4 7 = 401 6 7 = 117649 7 7 = 83543 8 7 = 5764801 9 7 = 40353607 5 7 = 16807 Usando a tabela, nota-se que o algarismo das unidades de e x 1 pode ser somente 7, 9, 3 ou 1. a) Da tabela, o algarismo das unidades de b) Da tabela, o algarismo das unidades de c) Da tabela, o algarismo das unidades de d) Da tabela, o algarismo das unidades de 007 é 9. 3 007 é 3. 4 007 é 1. 5 007 é 7. x 7, com x e) Repare que: 014 4 503 Dessa divisão, o algarismo das unidades de algarismo das unidades de 007, ou seja, 9. 014 007 é o mesmo Respostas: a) 9 b) 3 c) 1 d) 7 e) 9 13
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 1 a) Usando a tabela dada no enunciado, nota-se que o algarismo das x unidades de 3, com x e x 1 pode ser somente 3, 9, 7 ou 1. No caso da base 7, as possibilidades são: 7, 9, 3 e 1. Repare que: 009 4 1 50 Dessa divisão, o algarismo das unidades de 1 das unidades de 3, ou seja, 3. 009 3 é o mesmo algarismo 43 b) Analogamente ao item a, o algarismo das unidades de 3 é o mesmo 3 algarismo das unidades de 3, ou seja, 7, e o algarismo das unidades 651 3 de 7 é o mesmo algarismo das unidades de 7, ou seja, 3. Observe os algarismos das unidades das potências x, com x e x 1. 1 = = 4 3 = 8 4 = 16 5 = 3 6 9 = 51 = 64 7 = 18 8 = 56 58 4 14 Dessa divisão, o algarismo das unidades de 58 é o mesmo algarismo das unidades de, ou seja, 4. 43 651 58 Dessa forma, o algarismo das unidades de 3 + 7 é 7+ 3 4 = 6. Resposta: a) 3 b) 6 14
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 13 Do enunciado: 3000 7 4 48 3000 = 7 48 + 4 A igualdade 3000 = 7 48 + 4 significa que se passaram 48 semanas e 4 dias. Como 0 de julho de 008 foi um domingo, temos: segunda terça quarta quinta sexta sábado domingo segunda terça quarta quinta sexta sábado domingo segunda terça quarta Dessa forma, os 4 dias que sobraram significa que 0 de julho de 008 caiu numa quinta-feira. Resposta: A 15
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 14 Primeiro modo: Do enunciado, temos: n 1 7 q n = 1q + 7 n= 4 3q+ 4+ 3 n = 4 ( 3q + 1) + 3 Da equação n = 4 ( 3q + 1) + 3, o resto da divisão de n por 4 é 3. Segundo modo: Como o resto da divisão do número n por 1 é 7, sem perda de generalidade, podemos tomar n= 7, pois: 7 1 7 0 Repare que: 7 4 3 1 Dessa forma, o resto da divisão de n por 4 é 3. Resposta: D 16
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 15 Do enunciado, temos: N 1 994 148 q N = 1994 q + 148 Daí, vem: N = 1 994 q + 148 N + 000 = 1 994 q + 148 + 000 N + 000 = 1 994 q + 148 + 1 994 + 6 N + 000 = 1 994 q + 1 + 154 ( ) Assim, a divisão de N + 000 por 1994 deixa resto 154. Resposta: 154 17
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 16 Do enunciado, devemos ter: k + 13 k + 13 4 + 4 k 4 + 17 k 4 17 17 = = = + = 1+ k 4 k 4 k 4 k 4 k 4 k 4 Para que k 4 seja um divisor de k + 13, basta que k 4 seja um divisor (k 4) 1, 17, 1, 17. de 17, ou seja, { } Assim, temos: k 4 = 1 k = 5 ou k 4 = 17 k = 1 ou k 4 = 1 k = 3 ou k 4 = 17 k = 13 Resposta: { 13, 3, 5, 1} 18
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 17 Dizer que k 4 é múltiplo de k + 13 é o mesmo que dizer que k + 13 é divisor de k 4. Daí, temos: k 4 k 4 + 13 13 k + 13 17 k + 13 17 17 = = = = 1 k + 13 k + 13 k + 13 k + 13 k + 13 k + 13 Com (k + 13) { 1, 17, 1, 17}. Assim: k + 13 = 1 k = 1 ou k + 13 = 17 k = 4 ou k + 13 = 1 k = 14 ou k + 13 = 17 k = 30 Resposta: { 30, 14, 1, 4} 19
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 18 Do enunciado, devemos ter: k + 13 k + k + 13 k + k + 13 4 4 + 4 + 4 k 4 k 4 1 1 = = = + + = + k 4 k 4 k 4 k 4 k 4 k 4 k 4 Com (k 4) { 1, 3, 7, 1, 1, 3, 7, 1}. Assim: k 4 = 1 k = 5 ou k 4 = 3 k = 7 ou k 4 = 7 k = 11 ou k 4 = 1 k = 5 ou k 4 = 1 k = 3 ou k 4 = 3 k = 1 ou k 4 = 7 k = 3 ou k 4 = 1 k = 17 Resposta: { 17, 3, 1, 3, 5, 7, 11, 5} 0
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 19 Verificação da primalidade do 187 Pelo crivo de Eratóstenes, temos: 3 4 5 6 7/ 8 9 10 11 1 13 187 é divisível por 11, logo, não é primo. Verificação da primalidade do 191 Pelo crivo de Eratóstenes, temos: 3 4 5 6 7/ 8 9 10 11 1 13 191 é primo. Resposta: 187 não é primo; 191 é primo. 1
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 0 Observe que 131 é primo, ou seja: 131= 1 131 131= 131 1 131= 1 131 131= 131 1 ( ) ( ) ( ) ( ) Assim, são quatro pares ordenados (x, y): ( 1, 131 ), ( 131, 1 ), ( 1, 131) ( 131, 1). Resposta: 4 e
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 1 mmc( x, y) mdc( x, y) = x y mmc ( x, y) 1 = 1 67 167 mmc( x, y) = 1 mmc x, y = 1 056 ( ) Resposta: 1 056 3
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números Cálculo do mmc ( 010, 018 ) : 010, 018 1 005, 1 009 3 335, 1 009 5 67, 1 009 67 1, 1 009 1 009 1, 1 3 5 67 1 009 mmc ( 010, 018) = 08090. Cálculo do mdc ( 010, 018 ) : 010, 018 1 005, 1 009 1 mdc ( 010,018) =. Resposta: mmc = 08 090; mdc = 4
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 3 Capacidade de cada recipiente: x litros Total de recipientes com gasolina: m Total de recipientes com álcool: n 13 m x = 13 m = x 96 n x = 96 n = x Para que m+ n seja mínimo, devemos ter m mínimo e n mínimo, o que quer dizer que x deve ser máximo. Como x é divisor de 96 e 13 e é máximo, x = mdc ( 96,13). 96, 13 48, 66 4, 33 3 8, 11 3 x = 3 = 1 13 m = = 11 e 1 96 n= = 8 1 Assim, a capacidade de cada recipiente é 1 litros, sendo necessário um total de 11+ 8 = 19 recipientes. Resposta: Capacidade de 1 litros, com 19 recipientes 5
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 4 Piloto A: 3min40s = 0s 0, 440, 660,... { } a a a 1 volta volta 3 volta Piloto B: 3min50s = 30s 30, 460, 690,... { } a a a 1 volta volta 3 volta Para que os pilotos A e B se encontrem, basta que exista o mesmo número em cada uma das sequências acima. Observe que a sequência do piloto A é formada pelos múltiplos de 0, enquanto a sequência de B, pelos múltiplos de 30. Dessa forma, eles se encontrarão nos múltiplos comum de 0 e 30. 0, 30 110, 115 55, 115 5 11, 3 11 1, 3 3 1, 1 5 11 3 mmc ( 0,30) = 5 11 3 = 5060 O menor intervalo de tempo para que eles se encontrem no ponto em questão é 5 060 s, ou seja, 1h 4min 0s Resposta: 1h 4min 0s 6
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 5 Observe a figura: Do enunciado, x é divisor de 960 e 1 80. Se x = mdc ( 960,1 80), o número de placas necessário para cobrir a superfície será mínimo. 960, 1 80 480, 640 40, 30 10, 160 60, 80 30, 40 15, 0 5 6 3, 4 5 6 x = 5 = 30 Nessas condições, o número de placas é: 960 1 80 = 1 30 30 Resposta: 1 placas 7
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 6 a) mmc( a,b) mdc( a,b) = a b 105 5 = 35 b 105 5 = 35 b 15 = b b = 15 b) 105 5 = a b a b = 3 5 7 Possibilidades: a = 5,b = 3 5 7 = 105 a = 3 5 = 15,b = 5 7 = 35 a = 5 7 = 35,b = 3 5 = 15 a = 3 5 7 = 105,b = 5 Respostas: a) 15 b) (5, 105), (15, 35), (35, 15) e (105, 5). 8
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 7 Observe a figura: Seja x (em centímetros) a medida do lado do piso, então x deve ser divisor de 00 e de 500 ; logo, x deve ser divisor do mdc ( 00,500 ). 00, 500 100, 50 50, 15 5 10, 5 5, 5 5 Como x é divisor de 5 α, x é do tipo 5 β { 0, 1, }. Assim: 0 0 β= 0 x = 5 = 1 0 1 α= 0 β= 1 x = 5 = 5 0 β= x = 5 = 5 1 0 β= 0 x = 5 = 1 1 α= 1 β= 1 x = 5 = 10 1 β= x = 5 = 50 0 β= 0 x = 5 = 4 1 α= β= 1 x = 5 = 0 β= x = 5 = 100 β, em que { 0, 1, } α e Resposta: 1,, 4, 5, 10, 0, 5, 50 e 100 (são os divisores positivos comuns de 00 e 500). 9
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 8 n 4 q 1 n= 4 q + 1 n = 4 q 1 n 6 q n= 6 q + n = 6 q Repare quen é múltiplo de 4 e de 6, ou seja, n é múltiplo do mmc 4, 6. ( ) 4, 6, 3 1, 3 3 1, 1 3 = 1 Como147 < n < 167, temos: 145 < n < 165 O único múltiplo de 1 entre 145 e 165 é 156. Daí: n = 156 n = 158 Resposta: 158 30
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 9 Como p é primo positivo, p = ou p é um número ímpar. Se p mdc 6, 4. 6, 4 3, =, queremos calcular ( ) mdc ( 6, 4) = Se p for ímpar, p + será ímpar, o que significa que não pode ser mdc p +,4 = 1. divisível por nem por 4, ou seja, ( ) Resposta: Se p =, então mdc = ; se p >, então mdc = 1. 31
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 30 n 8 3 q 1 n= 8 q + 3 1 n 3 = 8 q 1 n 6 3 q n= 6 q + 3 n 3 = 6 q Repare que n 3 é múltiplo de 8 e 6, ou seja, n 3 é múltiplo do mmc 8, 6. ( ) 8, 6 4, 3, 3 1, 3 3 3 1, 1 3 = 4 Como 30 < n < 70, temos: 7 < n 3 < 67 O único múltiplo de 4 entre 7 e 67 é 48. n 3 = 48 n = 51 Resposta: 51 3
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 31 010 = 3 5 67 Do enunciado e da fatoração acima, vem: p = 67 Como n é o menor inteiro maior que 010 que também é divisível por 67, temos: n = 010 + p n = 3 5 67 + 67 n = 67 3 5 + 1 n = 67 31 ( ) Resposta: C 33
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 3 Os números que são divisíveis por, 3, 4 e 5 são os múltiplos do mmc (, 3, 4, 5 )., 3, 4, 5 1, 3,, 5 1, 3, 1, 5 3 1, 1, 1, 5 5 1, 1, 1, 1 3 5 = 60 Assim, queremos saber quantos números há na sequência { 60, 10, 180,..., 960 } que é uma PG com a1 = 60, an = 960 e r = 60. ( ) ( ) ( ) 960 = 60 + n 1 60 960 60 = n 1 60 900 = n 1 60 15 = n 1 n = 16 Resposta: D 34
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 33 O número n pode ser escrito na forma abc, sendo a o algarismo das centenas, b o algarismo das dezenas e c o algarismo das unidades. Daí: n = 100a + 10b + c, com a 0, b 0, c 0 p = 300a + 0b + c Como p = n + 40, temos: 300a + 0b + c = 100a + 10b + c + 40 00a + 10b = 40 0a + b = 4 Repare que a, b, c { 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Assim, obtemos: a= 1eb= 4 Já podemos escrever n na forma n = 14c. Como c 1, c 4 e c { 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, então c = ou c = 3 ou c = 5 ou c = 6 ou c = 7 ou c = 8 ou c = 9, ou seja, há 7 possíveis valores de n. Resposta: C 35
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 34 961< 987 < 104 31 < 987 < 3 Sendo n o menor inteiro positivo que adicionado a 987 o transforma em um quadrado perfeito, temos: 987 + n = 104 n = 37 Resposta: A 36
Matemática Unidade I Álgebra Série - Teoria dos números 35 O número r pode ser escrito na forma r = a 1 a,a 3, sendo a 1 o algarismo das dezenas, a o algarismo das unidades e a 3 o algarismo dos décimos. Do enunciado, temos: ( ) ( ) 10a1+ a = 4a 3 I a = a1+ a 3 II Da equação ( ) II, vem a3 = a a1. Substituindo a3 = a a1 na equação( I ), temos: ( ) 10a + a = 4 a a 10a1+ a = 8a 4a1 14a1 = 7a a = a 1 1 1 Como a é divisível por 3, então a = 0 ou a = 3 ou a = 6 ou a = 9. Se a = 0, então a1 = 0 (não convém). 3 Se a = 3, então a 1 = (não convém). Se a = 6, então a1 = 3. 9 Se a = 9, então a 1 = (não convém). Substituindo a = 6 e a 1=3 na equação( II ), vem: 6 = 3+ a a = 9 3 3 Resposta: E 37