Dualidade - Definições

Dualidade - Definições Associado a cada problema de programação linear (P) existe um problema (D), denominado problema dual. Relação importante (interpretações econômicas) Para cada dual de um dado PPL (D), temos o seu primal, e vice-versa. JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 1

Dualidade - Definições Se o primal é um problema de maximização, então o dual é um problema de minimização. De igual forma, se o primal é um problema de minimização, o seu dual associado é um problema de maximização. Definimos as variáveis para um problema de maximização como z,x 1,x 2,...,x n e as variáveis do problema de minimização como w,y 1,y 2,...,y m. JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 2

Dualidade - Definições Como encontrar o dual de um problema de maximização no qual as variáveis são não negativas e todas as restrições são da forma (problema de maximização normal)? Como encontrar o dual de um problema de minimização no qual as variáveis são não negativas e todas as restrições são da forma (problema de minimização normal)? JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 3

Dualidade - Definições (P) Max z =c1x1+...+cnxn s.a a11x1+...+a1nxn b 1 a21x1+...+a2nxn b 2... am1x1+...+amnxn bm xj 0, (j=1,,n) JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 4

Dualidade - Definições (D) Min w =b1y1+...+bmym s.a a11y1+...+am1ym c 1 a12y1+...+am2ym c 2... a1ny1+...+amnym cn yi 0, (i=1,,m) JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 5

Dualidade Forma Normal (P) Max z =60x1+30x2+20x3 s.a 8x1+6x2+x3 48 4x1+2x2+1.5x3 20 2x1+1.5x2+0.5x3 8 x1,x2,x3 0 b c c b A A t JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 6

Dualidade Relação entre os problemas (P) Max z =60x1+30x2+20x3 s.a 8x1+6x2+x3 48 4x1+2x2+1.5x3 20 2x1+1.5x2+0.5x3 8 x1,x2,x3 0 (D) Min w=48y1+20y2+8y3 8y1+4y2+2y3 60 6y1+2y2+1.5y3 30 1y1+1.5y2+0.5y3 20 y1,y2,y3 0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 7

Dualidade Relações A i-ésima restrição do dual corresponde à i-ésima variável (coluna) do primal xi. A i-ésima variável do dual yi está associada à i-ésima restrição do primal. JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 8

Dualidade (P) Min w=50y1+20y2+30y3+80y4 (Problema da dieta) s.a 400y 1 +200y 2 +150y 3 +500y 4 500 (calorias) 3y 1 +2y 2 6 (chocolate) 2y 1 +2y 2 +4y 3 +4y 4 10 (açúcar) 2y 1 +4y 2 +y 3 +5y 4 8 (gordura) y 1,y 2,y 3,y 4 0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 9

Dualidade (D) Max w=500x1+6x2+10x3+8x4 s.a 400x 1 +3x 2 +2x 3 +2x 4 50 200x 1 +2x 2 +2x 3 +4x 4 20 150x 1 +4x 3 +x 4 30 500x 1 +4x 3 +5x 4 80 x 1,x 2,x 3,x 4 0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 10

Resumindo: PESQUISA OPERACIONAL I DUALIDADE - 2º SEM. 2016 Dualidade Max z=cx s.a Ax b x 0 Min w=yb ya c (A t y t ) y 0 Amxn bmx1 c1xn xnx1 y1xm JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 11

Dualidade (P) Max z=2x1+x2 s.a x 1 +x 2 5 x 1 +2x 2 8 x 1 4 x 1,x 2 0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 12

Dualidade (P) Max z=2x1+x2 s.a x 1 +x 2 5 x 1 +2x 2 8 x 1 4 x 1,x 2 0 (D) Min w=5y1+8y2+4y3 s.a y1+y2+y3 2 y1+2y2 1 y 1,y 2, y 3 0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 13

Dualidade Como colocar um problema na forma normal? Max z=2x 1 +x 2 s.a x 1 +x 2 =2 2x 1 -x 2 3 x 1 -x 2 1 x 1 0 x 2 R JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 14

Dualidade 1º Passo: Multiplique cada restrição da forma por -1. 2º Passo: Substitua cada restrição da forma = por duas restrições da forma e. Novamente, para as restrições da forma, siga o passo 1. 3º Passo: Cada variável livre x i deve ser substituída por x i -x i, tal que x i 0 e x i 0. (ou x n+1,x n+2,..,x n+2k, k = n o variáveis livres) JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 15

Dualidade Max z=2x 1 +x 3 -x 4 s.a x 1 +x 3 -x 4 =2 2x 1 - x 3 +x 4 3 x 1 - x 3 +x 4 1 x 1 0 x 2 R Max z=2x 1 +x 3 -x 4 s.a x 1 +x 3 -x 4 2 x 1 +x 3 -x 4 2-2x 1 + x 3 -x 4-3 x 1 - x 3 +x 4 1 x 1, x 3,x 4 0 Max z=2x 1 +x 3 -x 4 s.a -x 1 -x 3 +x 4-2 x 1 +x 3 -x 4 2-2x 1 + x 3 -x 4-3 x 1 - x 3 +x 4 1 x 1, x 3,x 4 0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 16

Dualidade Min w=2y 1 +4y 2 +6y 3 s.a y 1 +2y 2 +y 3 2 y 1 -y 3 1 y 2 +y 3 =1 2y 1 +y 2 3 y 2, y 3 0 y 1 R JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 17

Dualidade Min w=2y 4-2y 5 +4y 2 +6y 3 s.a y 4 -y 5 +2y 2 +y 3 2 y 4 -y 5 -y 3 1 y 2 +y 3 =1 2 y 4-2y 5 +y 2 3 y 2, y 3, y 4,y 5 0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 18

Dualidade Min w=2y 4-2y 5 +4y 2 +6y 3 s.a y 4 -y 5 +2y 2 +y 3 2 y 4 -y 5 -y 3 1 y 2 +y 3 1 y 2 +y 3 1-2 y 4 +2y 5 -y 2-3 y 2, y 3, y 4,y 5 0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 19

Dualidade Min w=2y 4-2y 5 +4y 2 +6y 3 s.a y 4 -y 5 +2y 2 +y 3 2 y 4 -y 5 -y 3 1 y 2 +y 3 1 -y 2 -y 3-1 -2 y 4 +2y 5 -y 2-3 y 2, y 3, y 4,y 5 0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 20

Dualidade Ex: Coloque o problema abaixo na forma normal: Max z=2x 1 +x 2 s.a 2x 1 +x 2 =2 2x 1 -x 2 3 x 1 -x 2 1 x 1 0 e x 2 R JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 21

Dualidade Max z=2x 1 + x 3 -x 4 s.a 2x 1 +x 3 -x 4 2-2x 1 -x 3 +x 4-2 -2x 1 + x 3 -x 4-3 x 1 - x 3 +x 4 1 x 1,x 3, x 4 0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 22

Dualidade Primal (Maximização) Dual (Minimização) Restrição i do tipo = Variável yi livre Restrição i do tipo Variável yi 0 Restrição i do tipo Variável yi 0 Variável xj livre Restrição j é do tipo = Variável xj 0 Restrição j é do tipo Variável xj 0 Restrição j é do tipo JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 23

Dualidade Ex: Encontre o dual do problema abaixo: Max z=2x 1 +x 2 s.a 2x 1 +x 2 =2 2x 1 -x 2 3 x 1 -x 2 1 x 1 0 e x 2 R JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 24

Dualidade Max z=2x 1 +x 2 s.a 2x 1 +x 2 =2 y 1 livre 2x 1 -x 2 3 y 2 0 x 1 -x 2 1 y 3 0 x 1 0 e x 2 R 1ª restrição e 2ª restrição = JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 25

Dualidade Min z=2y 1 +3y 2 +y 3 2y 1 +2y 2 +y 3 2 y 1 -y 2 -y 3 =1 y 1 R,y 2 0,y 3 0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 26

Dualidade Encontre o dual do problema abaixo: Min w=2y 1 +4y 2 +6y 3 s.a y 1 +2y 2 +y 3 2 y 1 -y 3 1 y 2 +y 3 =1 2y 1 +y 2 3 y 2, y 3 0 y 1 R JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 27

Dualidade Encontre o dual do problema abaixo: Min w=2y 1 +4y 2 +6y 3 s.a y 1 +2y 2 +y 3 2 x 1 0 y 1 -y 3 1 x 2 0 y 2+ y 3 =1 x 3 R 2y 1 +y 2 3 x 4 0 y 2, y 3 0 y 1 R 2ª e 3ª restrição e 1ª restrição = JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 28

Dualidade Max z=2x 1 +x 2 +x 3 +x 4 s.a x 1 +x 2 +2x 4 =2 2x 1 +x 3 +x 4 4 x 1 -x 2 +x 3 6 x 1,x 2 0, x 3 R, x 4 0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 29

Dualidade Interpretação Econômica Considere o problema da dieta a seguir: Calorias Chocolate* Açúcar* Gordura* Preço Brownie 400 3 2 2 50 Sorvete 200 2 2 4 20 Refrigerante 150 0 4 1 30 Bolo de Queijo 500 0 4 5 80 Quantidades 500 6 10 8 *Valores em onças (1 onça = 28,43 g) JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 30

Dualidade Interpretação Econômica (P) Minimizar z=50x1+20x2+30x3+80x4 s.a 400x1+200x2+150x3+500x4 500 (Calorias) 3x1+2x2 6 (Chocolate) 2x1+2x2+4x3+4x4 10 (Açúcar) 2x1+4x2+x3+5x4 8 (Gordura) x1,x2,x3,x4 0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 31

Dualidade Interpretação Econômica (D) Maximizar w=500y1+6y2+10y3+8y4 s.a 400y1+3y2+2y3+2y4 50 (Brownie) 200y1+2y2+2y3+4y4 20 (Sorvete) 150y1+4y3+y4 30 (Refrigerante) 500y1+4y3+5y4 80 (Bolo de Queijo) y1,y2,y3,y4 0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 32

Dualidade Interpretação Econômica Suponha Doces SA é um vendedor "nutrientes" que vende calorias, chocolate, açúcar e gordura. A ideia é determinar os preços máximos pelos seus nutrientes e manter-se competitivo em relação a quem vende o Brownie, o sorvete, o refrigerante e bolo de queijo. y1= preço por quantidade de caloria y2= preço por quantidade de chocolate y3= preço por quantidade de açúcar y4= preço por quantidade de gordura. JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 33

Dualidade Interpretação Econômica A Doces SA quer maximizar a sua receita com a venda dos ingredientes (dieta). Na definição dos preços dos nutrientes, a Doces SA deve definir preços baixos o suficiente para manter o interesse de quem está fazendo a compra de seus produtos. JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 34

Dualidade Interpretação Econômica 400y1+3y2+2y3+2y4 50 (Brownie) Por exemplo, através da compra de um brownie por 50 cents, a pessoa que está fazendo a dieta pode obter 400 calorias, 3 onças de chocolate, 2 onças de açúcar e 2 onças de gordura. Assim, a Doces SA não pode cobrar mais de 50 cents para esta combinação de nutrientes. JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 35

Dualidade Interpretação Econômica 200y1+2y2+2y3+4y4 20 (Sorvete) Por exemplo, através da compra de um sorvete por 20 cents, a pessoa que está fazendo a dieta pode obter 200 calorias, 2 onças de chocolate, 2 onças de açúcar e 4 onças de gordura. Assim, a Doces SA não pode cobrar mais de 20 cents para esta combinação de nutrientes. JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 36

Dualidade Interpretação Econômica Um fabricante de móveis deseja determinar o mix ideal de produção, levando em conta preços devenda dos produtos e a quantidade disponível de insumos. Produto Insumo Escrivaninha Mesa Cadeira Qtd Tábua 8 6 1.0 48 Acabamento 4 2 1.5 20 Carpintaria 2 1.5 0.5 8 Lucro 60 30 20 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 37

Dualidade Interpretação Econômica (P) Max z=60x1+30x2+20x3 8x1+6x2+x3 48 4x1+2x2+1.5x3 20 2x1+1.5x2+0.5x3 8 x1,x2,x3 0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 38

Dualidade Interpretação Econômica (D) Min w=48y1+20y2+8y3 8y1+4y2+2y3 60 6y1+2y2+1.5y3 30 1y1+1.5y2+0.5y3 20 y1,y2,y3 0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 39

Dualidade Interpretação Econômica Suponha uma situação onde há escassez de insumos e que outro fabricante de móveis deseja comprar os insumos disponíveis na fábrica de escrivaninhas, mesas e cadeiras. A pergunta-chave é: qual o ágio máximo a ser cobrado pelos insumos? y1 = ágio cobrado por uma tábua y2 = ágio cobrado por hora de acabamento y3 = ágio cobrado por hora de Carpintaria JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 40

Dualidade Interpretação Econômica O ágio total a ser cobrado por estes insumos corresponderá à função objetivo: Min w=48y1+20y2+8y3 O comprador deseja o menor preço, mas o preço deve ser atraente o suficiente para induzir o fabricante de escrivaninhas a vender seus insumos Ou seja, se comprarmos todos os insumos nas quantidades necessárias para produzir uma escrivaninha, o ágio a ser pago deve ser, no mínimo, o que o fabricante lucraria com a venda daquele produto. JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 41

Dualidade Interpretação Econômica As variáveis duais y podem ser interpretadas como sendo os preços associados às restrições do problema primal. Se o primal for um problema de produção, o dual pode ser interpretado como: Determinar os valores unitários y i 0 para os recursos de produção tais que o valor total das disponibilidades seja minimizado, e o lucro de cada produto não ultrapasse o que for gasto com a produção. JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 42

Dualidade Teoremas (P) Max z =c1x1+...+cnxn (D) Min w =b1y1+...+bmym s.a a11x1+...+a1nxn b 1 a21x1+...+a2nxn b 2... am1x1+...+amnxn bm xj 0, (j=1,,n) s.a a11y1+...+am1ym c 1 a12y1+...+am2ym c 2... a1ny1+...+amnym cn yi 0, (i=1,,m) JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 43

Dualidade Teorema da Dualidade Fraca Max z=cx s.a Ax b x 0 Min w=yb ya c (A t y t ) y 0 Amxn; bmx1; c1xn ; xnx1 y1xm Seja x t =[x 1,x 2,...,x n ] uma solução viável para o primal e y=[y 1,y 2,...,y m ] uma solução viável para o dual. Então, z(x) w(y) JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 44

Dualidade Teorema da Dualidade Fraca Multiplicando as restrições associadas ao problema primal por y, temos: yax yb Multiplicando as restrições associadas ao problema dual, temos: yax cx w=yb yax cx=z JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 45

Dualidade Teorema da Dualidade Fraca Se uma solução viável do primal ou do dual é conhecida, a dualidade fraca pode ser utilizada para obter um limitante (bound) para o outro problema. JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 46

Dualidade Teorema da Dualidade Fraca Considere o problema (P) abaixo: (P) Max z=5x 1 +2x 2 x 1 +2x 2 9 x 2 4 x1,x2 0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 47

z (x 1,x 2 ) 0 (0,0) 45 * (9,0) 13 (1,4) 8 (0,4) JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 48

Dualidade Teorema da Dualidade Fraca Considere o problema (D) abaixo: (D) Min w=9y 1 +4y 2 y 1 5 2y 1+ y 2 2 y 1,y 2 0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 49

Dualidade Teorema da Dualidade Fraca w (y 1,y 2 ) 54 (6,0) 45 * (9,0) 49 (5,1) Tome (x 1,x 2 )=(1,4) z(x)=13 Toda solução dual viável tem valor 13. (em particular o ótimo) Tome (y 1,y 2 )=(5,1) w(y)=49 Toda solução primal viável tem valor 49. (em particular o ótimo) JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 50

Dualidade Teorema da Dualidade Fraca (P) Max z =60x1+30x2+20x3 s.a 8x1+6x2+x3 48 4x1+2x2+1.5x3 20 2x1+1.5x2+0.5x3 8 x1,x2,x3 0 (D) Min w=48y1+20y2+8y3 8y1+4y2+2y3 60 6y1+2y2+1.5y3 30 1y1+1.5y2+0.5y3 20 y1,y2,y3 0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 51

Dualidade Teorema da Dualidade Fraca z (x1,x2,x3) w (y1,y2,y3) 280* (2,0,8) 680 (10,10,0) 240 (4,0,0) 440 (5,10,0) 110 (1,1,0) 280* (0,10,10) Não existe ponto (y 1,y 2,y 3 ) que tenha w<110 z=110 w 110 para todas as soluções duais viáveis z 680 para todas as soluções primais w=680 Não existe ponto (x 1,x 2,x 3 ) que tenha z>680 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 52

Dualidade Teorema da Dualidade Forte Max z=cx s.a Ax b x 0 Min w=yb ya c (A t y t ) y 0 Amxn; bmx1; c1xn ; xnx1 y1xm Seja x uma solução viável para o primal e y uma solução viável para o dual. Se z(x )=w(y ) x é ótimo para o primal e y é ótimo para o dual. JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 53

Dualidade Teorema da Dualidade Forte Max z = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 20 2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 20 x1, x2, x3, x4 0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 54

Dualidade Teorema da Dualidade Forte Max z = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 20 2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 20 x1, x2, x3, x4 0 Min w = 20y1 + 20y2 y1 + 2y2 1 2y1 + y2 2 2y1 + 3y2 3 3y1 + 2y2 4 y1, y2 0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 55

Dualidade Fraca e Forte Pode-se verificar que: x =(1,1,1,1) e y=(1,1) são soluções viáveis para o Primal e o Dual, respectivamente. Para o Primal tem-se: z = 10 e Para o Dual tem-se : w=40 Notar z w que satisfaz o teorema da Dualidade fraca. Assim sendo, o valor mínimo de w não pode ser menor que 10 e o valor máximo de z não pode exceder 40. JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 56

Dualidade Fraca e Forte Pode-se verificar que: x =(0,0,4,4) e y =(1.2,0.2) também são soluções viáveis para o Primal e o Dual, respectivamente. Para o Primal tem-se: z = 28 e para o Dual tem-se: w=28 Como z=w, temos que x e y são soluções ótimas para (P) e (D). Se um dos problemas possui uma solução ótima, então os dois problemas possuem soluções ótimas e os valores das funções objetivo no ótimo são iguais. JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 57

Dualidade Outros Resultados Se o primal é ilimitado, então o dual é inviável Max z=2x1+x2 x2 5 -x1+x2 1 x1,x2 0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 58

Dualidade Outros Resultados Se o primal é ilimitado, então o dual é inviável Min w=5y1+y2 -y2 2 y1+y2 1 y1,y2 0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 59

Dualidade Outros Resultados Se o problema primal não possuir solução ótima finita, esta pode ser arbitrariamente grande. Consequentemente, pelo Teorema da Dualidade Fraca, o conjunto de pontos y que satisfaz z(x) w(y) torna-se cada vez menor quando x cresce, sendo um conjunto vazio quando x + JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 60

Dualidade Outros Resultados Se o dual é ilimitado, então o primal é inviável. Resumindo: Se um problema possui a função objetivo ilimitada, então, o outro não tem solução viável. Esta propriedade é simétrica? A inviabilidade de um problema implica que o outro seja ilimitado? Resposta: Não necessariamente. JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 61

Dualidade Outros Resultados Esta propriedade é simétrica? A inviabilidade de um problema implica que o outro seja ilimitado? Resposta: Não necessariamente. Maximizar z=x1+x2 x1-x2-1 -x1+x2-1 x1,x2 0 (Não viável) Minimizar w=-y1-y2 y1-y2 1 -y1+y2 1 y1,y2 0 (Não viável) JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 62

Dualidade Outros Resultados Se o primal é inviável o dual é inviável ou ilimitado Se o dual é inviável o primal é inviável ou ilimitado Primal é inviável o dual é ilimitado na forma homogênea (ya 0) JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 63

Dualidade Teorema das Folgas Complementares Teorema: (condições necessárias e suficientes para otimalidade) Se x é uma solução viável de Max cx s.a Ax b e y é uma solução viável para Min yb s.a ya c, então, no ótimo cx=yb (ya-c)x=0 e y(b-ax)=0 Isto vale componente a componente, dado que xi 0 e ya c JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 64

Dualidade Teorema das Folgas Complementares Interpretação: No ponto de ótimo, sempre que uma restrição do problema primal não for ativa (Ax<b), a variável dual correspondente é nula. Considere x e y soluções viáveis α=y (b-ax ) 0 e β=(y A-c)x 0 α+β=y b-y Ax +y Ax -cx α+β=y b-cx 0 (dualidade fraca) No ótimo α+β=0. Mas, como α e β 0 α=0 e β=0 y (b-ax )=0 e (y A-c)x =0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 65

Dualidade Teorema das Folgas Complementares Exemplo1: Max z=4x1+3x2 x1+2x2 2 x1-x2 3 2x1+3x2 5 x1+x2 2 3x1+x2 3 x1,x2 0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 66

Dualidade Teorema das Folgas Complementares Exemplo1: (P) Max z=4x1+3x2 x1+2x2 2 x1-x2 3 2x1+3x2 5 x1+x2 2 3x1+x2 3 x1,x2 0 x*=(4/5,3/5) 4/5+2x3/5=2 (ativa) 4/5-3/5 = 1/5 <3 2x4/5+3x3/5=17/5 < 5 4/7+3/5=7/5 < 2 3x4/5+3/5 =3 (ativa) JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 67

Exemplo1: (D) Minimizar w=2y1+3y2+5y3+2y4+3y5 y1+y2+2y3+y4+3y5 4 2y1-y2+3y3+y4+y5 3 y1,y2,y3,y4,y5 0 Usando x*=(4/5,3/5) e a relação I y1 * (b 1 -A 1 x* (ativa))=0 y2 * (b 2 -A 2 x* >0)=0 y2 * =0 y3 * (b 3 -A 3 x* >0)=0 y3 * =0 y4 * (b 4 -A 4 x* >0)=0 y4 * =0 y*(b-ax*)=0 (relação I) (y*a-c)x*=0 (relação II) A i (coluna i da matriz dual) Ai (linha i da matriz dual) y*=(y1 *, y2 *,y3 *,y4 *,y5 * ) Usando y2, y3 e y4 e a relação II (y*a1-c1)x1 * =0; (y*a2-c2)x2 * y1 * +3y5 * =4 2y1 * +y5 * =3 y1 * =1 e y5 * =1 y5 * (b 5 -A 5 x* (ativa))=0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 68

Dualidade Teorema das Folgas Complementares Exemplo2: Max z=5x1+6x2+4x3 -x1-2x2+x3 1 5x1+x2+x3 3 x1 0 e x2 0,x3 0 Min w=y1+3y2 -y1+5y2 5-2y1+y2 6 y1+y2 4 y1,y2 0 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 69

Dualidade Teorema das Folgas Complementares Exemplo2: Min w=y1+3y2 -y1+5y2 5 5=5 (Ativa) -2y1+y2 6 1<6 y1+y2 4 1<4 y1,y2 0 y*=(y1*,y2*)=(0,1) JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 70

Dualidade Teorema das Folgas Complementares Exemplo2: y*(b-ax*)=0 (relação I) (y*a-c)x*=0 (relação II) A i (coluna i da matriz dual) Ai (linha i da matriz dual) y*=(y1 *, y2 * ) Usando y* e a relação II (y*a1-c1 ativa )x1 * =0 (y*a2-c2)x2 * =0 x2*=0 (y*a3-c3)x3 * =0 x3*=0 Usando x* e a relação I y2*(b2-a 2 x*)=0 (3-5x1 * )=0 x1 * =3/5 JOSÉ ANDRÉ DE M. BRITO ENCE/IBGE 71