Revião de Algun Conceito Báico da Fíica Experimental Marcelo Gameiro Munhoz munhoz@if.up.br Lab. Pelletron, ala 245, r. 6940
O que é uma medida? Medir ignifica quantificar uma grandeza com relação a algum padrão tomado como unidade; Por exemplo, ao medir o tamanho de um objeto com uma régua, etamo comparando a marcação calibrada da régua com o objeto endo medido. 26-02-2013 Revião 2
Uma medida pode er feita em deixar dúvida? 2 3 Por exemplo, medida da largura da folha de ulfite 2 3 Por exemplo, medida da epeura da mea 26-02-2013 Revião 3
O que io ignifica? A cada medida repetida, ou cada experimentador diferente que realizar a medida ou cada intrumento diferente que uarmo, o reultado da medida pode er diferente! Ma, o que io ignifica? 26-02-2013 Revião 4
Conceito envolvido em uma medida experimental Supondo que exite um valor verdadeiro aociado à grandeza que etá endo medida, nunca iremo obter ee valor em noa mediçõe. Io ocorre devido a caracterítica da própria grandeza endo medida ou limitaçõe intríneca e inevitávei do noo intrumento e técnica de medida. 26-02-2013 Revião 5
Conceito envolvido em uma medida experimental efinindo: Erro = valor verdadeiro - valor medido pode-e afirmar que toda medida experimental apreenta um erro, que precia er etimado e compreendido. Incerteza = etimativa etatítica do valor do erro Portanto: Uma medida empre terá uma incerteza. 26-02-2013 Revião 6
Como repreentar uma medida? Toda medida deve er repreentada com ua incerteza: (alor ± incerteza) onde: a incerteza terá apena um ou doi algarimo ignificativo. Por que? a incerteza determina o número de algarimo ignificativo do valor medido da grandeza. Como? 26-02-2013 Revião 7
Algarimo ignificativo Regra geral: Só faz entido colocar um ou doi algarimo ignificativo na incerteza. E a incerteza é que determina o número de algarimo ignificativo da medida. Forma correta: (2,74 ± 0,05) cm 26-02-2013 Revião 8
Por que temo dúvida obre o valor deta medida? 2 3 Se eu repetir vária veze eta medida, devo encontrar valore diferente? Provavelmente, NÃO. Porém, quanto podemo confiar na marcação da régua? Ela é perfeita? Qual eria uma boa etimativa para ua imperfeição? 26-02-2013 Revião 9
Incerteza intrumental Quando a menor divião do meu equipamento de medida é muito maior do que a definição da grandeza que etou medindo (por exemplo, largura e epeura da folha ulfite), a incerteza da medida reide na incerteza do equipamento. Qual é uma boa etimativa para a incerteza do equipamento? Incerteza = Metade da menor divião Por que uar ea fórmula? Quai o fatore que determinam a incerteza intrumental? 26-02-2013 Revião 10
Incerteza intrumental A incerteza intrumental tem origem na fabricação e qualidade do intrumento. Sua avaliação também é etatítica. Média = 11,814 cm evio padrão = 0,039 cm 26-02-2013 Revião 11
Por que temo dúvida obre o valor deta medida? 2 3 Se eu repetir vária veze eta medida, devo encontrar valore diferente? Provavelmente, SIM. Como etimar a incerteza nete cao? 26-02-2013 Revião 12
Incerteza Etatítica Quando a menor divião do equipamento é muito menor que variaçõe na medida devido a dificuldade de e definir a própria grandeza que etamo medindo (por exemplo, altura da mea) ou limitaçõe no procedimento experimental, a incerteza deve er determinada a partir de vária medida da grandeza. A variação na medida deve refletir a incerteza intríneca da própria grandeza e/ou do procedimento experimental uado. 26-02-2013 Revião 13
Incerteza Etatítica Erro Etatítico ou Aleatório: Reultam de variaçõe aleatória no reultado da medição devido a fatore que não podem er controlado; A etimativa dee erro é chamada de incerteza etatítica; Ea incerteza é obtida por método etatítico, como o devio padrão da média. 26-02-2013 Revião 14
Incerteza Etatítica Se o reultado experimental varia a cada nova medida, como repreentá-lo? Quantitativamente, preciamo: do valor que repreenta o reultado da medida e da incerteza da medida. Como calcular ee valore a partir de um conjunto de medida? 26-02-2013 Revião 15
Incerteza Etatítica Se o reultado experimental varia a cada nova medida, como repreentá-lo? Quantitativamente: Reultado da medida Média: N = x i i x = 1 N onde N medida x i foram realizada 26-02-2013 Revião 16
Incerteza Etatítica Quantitativamente: Incerteza Flutuação do dado evio Padrão: N N i= 1 2 d i= 1 i = = N 1 ( x x) 1 26-02-2013 Revião 17 N onde N medida x i foram realizada Repreenta a média do módulo da diferença entre a medida e a média da medida. i 2
Incerteza Etatítica Ma, ao aumentar o número de medida, noo reultado não deveria er melhor? Será que o devio padrão é a incerteza da medida? Incerteza da média evio Padrão da Média: m = N onde N medida x i foram realizada 26-02-2013 Revião 18
Erro Etatítico ou Aleatório Inicialmente, que caracterítica devemo eperar para a ditribuição do dado obtido? Simétrica em torno de um certo valor, e decrece ao e afatar dee valor. 26-02-2013 Revião 19
Incerteza Intrumental e Etatítica Medida do período de ocilação do pêndulo uando um relógio analógico; Nete cao, toda a medida (ou quae toda) reultaram no memo valor. Por quê? Io ocorre poi a precião do equipamento de medida (1 ) é maior que a flutuaçõe do dado (~0,2 ). Portanto, nete cao, devemo uar a incerteza intrumental (0,5 ). 26-02-2013 Revião 20
Incerteza Intrumental e Etatítica E e a incerteza intrumental e etatítica tiverem valore próximo, qual da dua devemo coniderar? Por exemplo, na medida do período de ocilação do pêndulo com o relógio analógico: incerteza relógio ( intrumental ) = 0,5 ; incerteza etatítica ( etatitico ). Nee cao, combinamo a dua com uma oma quadrática: ( ) ( ) 2 etatitic = + o 2 intrumental 26-02-2013 Revião 21
Incerteza Sitemática Incerteza itemática ão aquela que, ao invé de cauar uma flutuação no dado, ela alteram o dado empre para a mema direção; Por exemplo, e o zero do micrômetro etiver delocado de 0,5 mm, toda a ua medida etarão 0,5 mm maior; Incerteza itemática, quando encontrada, podem er uada para corrigir o dado. 26-02-2013 Revião 22
Como interpretar o ignificado da incerteza? O que ignifica dizer que minha medida, é 2,74 ± 0,02 mm? Eu tenho confiança que o valor verdadeiro da grandeza medida etá entre (2,74-0,02) e (2,74 + 0,02): 2,72 2,73 2,74 2,75 2,76 26-02-2013 Revião 23
Como comparar o reultado de dua medida? É precio e levar em conideração empre a incerteza de medida. Como devemo coniderar a incerteza, no perguntamo e a medida ão compatívei ao invé de iguai ; Por exemplo, 2,74 ± 0,02 mm é compatível com 2,80 ± 0,05 mm? 2,70 2,75 2,80 2,85 26-02-2013 Revião 24
Média (alor da Medida) e evio Padrão da Média (Incerteza) Quae Impoível Muito Pouco Provável Pouco Provável Provável Muito Provável Provável Pouco Provável Muito Pouco Provável Quae Impoível 26-02-2013 Revião 25
Uma medida obtida de outra medida tem incerteza? SIM!!! A incerteza de uma medida (nete cao, a incerteza na areta do cubo) e propaga para a medida obtida da mema (o volume do cubo). O volume de um cilindro é dado por: = π (/2) 2 h onde, é o diâmetro do cilindro e h a ua altura. ±Δ h ±Δh 26-02-2013 Revião 26
Propagação de incerteza Nete cao iremo calcular a incerteza no volume devido a incerteza no raio e a incerteza no volume devido a incerteza na altura e depoi combinar a dua incerteza. Incerteza no volume devido a incerteza no raio: max (devido a Δ) = π[(+δ)/2)] 2 h min (devido a Δ) = π[(-δ)/2] 2 h Δ devido a Δ = ( max - min )/2 -Δ +Δ h h h 26-02-2013 Revião 27
Propagação de incerteza Partindo da dependência do volume de um cilindro com o diâmetro: = π 2 h é fácil perceber que: = 2 26-02-2013 Revião 28
26-02-2013 Revião 29 Propagação de incerteza ( ) ( ) df dx f x x f x x x x = + ʹ ʹ ʹ ʹ lim Δ Δ Δ Δ 0 2 ( ) ( ) + = 2 Alguma emelhança entre a dua expreõe abaixo? ( ) ( ) + = 2 =
Propagação de incerteza Nete cao iremo calcular a incerteza no volume devido a incerteza no raio e a incerteza no volume devido a incerteza na altura e depoi combinar a dua incerteza. Incerteza no volume devido a incerteza na altura: max (devido a Δh) = π(/2) 2 (h+δh) min (devido a Δh) = π(/2) 2 (h-δh) Δ devido a Δh = ( max - min )/2 h-δh h h+δh 26-02-2013 Revião 30
Propagação de incerteza E combinamo a dua incerteza com uma oma quadrática. Fazemo io poi aumimo que a incerteza devido ao diâmetro é independente da incerteza devido à altura: Δ 2 = (Δ devido a Δ ) 2 + (Δ devido a Δh ) 2 ±Δ h ±Δh 26-02-2013 Revião 31
Propagação de incerteza A incerteza do volume do cilindro ( ) é dada pela propagação da incerteza do diâmetro ( ) e da altura ( h ), ou eja, a incerteza em devido a incerteza em e a incerteza em devido a incerteza em h: ( ) ( ) 2 h 2 = + E como calcular e h? 26-02-2013 Revião 32
26-02-2013 Revião 33 Propagação de incerteza ( ) ( ) h h h h h h h + = 2 h h h = Portanto: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 h h h + = + = ( ) ( ) + = 2 =
26-02-2013 Revião 34 Propagação de incerteza Expreão geral: ada uma grandeza f que depende de outra grandeza x, y,..., z, tem-e que: 2 2 2 2 2 2... z y x f z f y f x f + + =
Repreentação Gráfica A repreentação gráfica de dado é uma ferramenta muito poderoa durante a análie de um experimento amo tomar como exemplo o etudo de um corpo em queda livre. Medimo a poição em função do tempo, obtendo a velocidade do objeto em queda em função do tempo. 26-02-2013 Revião 35
Repreentação Gráfica Repreentaremo graficamente a velocidade (eixo-y ou variável dependente) em função do tempo (eixo-x ou variável independente). Não e equeça ao fazer o gráfico de: Ecolher uma ecala adequada para o eixo, ito é, a relação entre egundo (no cao do eixo-x) ou cm/ (no cao do eixo-y) e o centímetro do papel devem facilitar a leitura do gráfico; Não equecer de colocar legenda e unidade no eixo; Repreente a incerteza na velocidade (como?). 26-02-2013 Revião 36
Eixo em um gráfico eve-e ecolher a ecala que melhor e adapte ao tamanho do papel utilizado IMPORTANTE: Não ue ecala difícei de e compreender. Sempre utilize ecala múltipla de 1, 2 ou 5 Gradue o eixo de 1 em 1 cm (ou 2 em 2). Evite ecala muito epaçada ou muito comprimida 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t() 0 2 4 6 8 10 t() 0 0,5 11,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,510 t() 0 10 20 t() PRÓXIMA AFASTAA 26-02-2013 Revião 37
Eixo em um gráfico eenhe o eixo. Não utilize o eixo e ecala pré-deenhada no papel Coloque legenda em cada um do eixo NUNCA ecreva o valore do ponto no eixo nem deenhe traço indicando o ponto 0 1,3 3,1 5,4 8,9 t () Não! 26-02-2013 Revião 38
Repreentação do ponto no gráfico Utilize marcadore viívei Repreente a barra de incerteza em y e x (quando houver) de forma clara NUNCA LIGUE OS PONTOS Conjunto de dado diferente devem er repreentado com ímbolo (ou core) diferente. Barra de incerteza Marcador Correto Errado 26-02-2013 Revião 39
Ajute de função Uma vez com o gráfico, como podemo verificar e a velocidade (v(t) ) apreenta uma dependência linear com o tempo (t ), ito é, v(t)=v 0 +g t? Podemo tentar ajutar uma reta ao dado, ito é, no perguntar e pode exitir uma reta que decreva bem o noo dado. 45 40 35 30 25 20 15 10 5 v(cm/) Gráfico v v t Compatível com modelo Não compatível 0,0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t () 26-02-2013 Revião 40
Ajute de função Em cao afirmativo, como encontrar a reta que decreve bem o dado? Ela erá a reta que mai e aproxima de todo o ponto experimentai coniderando-e a incerteza como peo 45 40 35 30 25 20 15 10 0,0 5 v(cm/) Gráfico v v t v= v0 + gt Reta ajutada 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t () 26-02-2013 Revião 41
Repreentação Gráfica Utilizando o gráfico de v(t) t, podemo encontrar a reta que mai e aproxima do ponto, ou eja, a reta que e ajuta ao noo dado; Uma vez encontrada a reta, podemo extrair o eu parâmetro: y = a + b x onde, a é o coeficiente linear da reta e b é o coeficiente angular da reta 26-02-2013 Revião 42
Análie Gráfica Como extrair ee parâmetro da reta ajutada? O coeficiente linear (a ) erá o ponto em y que a reta cruza o eixo vertical (x=0 ); O coeficiente angular (b ) é dado pela inclinação da reta (tan(θ) ): b = tan(θ) = cateto opoto/cateto adjacente 26-02-2013 Revião 43
Análie Gráfica y b = tan(θ) = cateto opoto/cateto adjacente 2 ponto quaiquer θ cateto opoto a cateto adjacente x 26-02-2013 Revião 44
Análie Gráfica Qual é a interpretação que podemo dar ao parâmetro da reta? Se o ponto e comportam de maneira linear, io erá uma indicação que o modelo da queda livre é bom para repreentar noo dado; Portanto, a interpretação do parâmetro é: y = a + b x v(t) = v 0 + g t 26-02-2013 Revião 45
Análie Gráfica Se o modelo de queda livre é adequado, e y = v(t), x = t, temo: a = v 0 e b = g Será que o valore obtido ão razoávei? Como avaliar io? Preciamo da incerteza de a (v 0 ) e b (g). 26-02-2013 Revião 46
Análie Gráfica Qual é a incerteza de a (v 0 ) e b (g)? Como podemo etimá-la? Também o faremo graficamente: tomando a reta de maior inclinação poível que ainda decrevem o ponto, o que determina o parâmetro máximo a max e mínimo b min ; e a reta de menor inclinação poível que ainda decrevem o ponto, o que determina o parâmetro mínimo a min e máximo b max ; 26-02-2013 Revião 47
Análie Gráfica 45 40 35 v(cm/) Gráfico v v t Reta máxima: a max e b min v= v0 + gt 30 25 20 15 Reta mínima: a min e b max 10 5 0,0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t () 26-02-2013 Revião 48
Análie Gráfica A incerteza de a (v 0 ) e b (g) ão dada por: Δa = (a max a min )/2 e Δb = (b max b min )/2 Uma vez com a incerteza calculada, podemo avaliar e o reultado etá de acordo com o modelo da queda livre, ito é, e o valore do parâmetro etão compatívei com o valore eperado egundo o modelo. 26-02-2013 Revião 49