Equações Diferenciais Lineares

Universidade Federal de Campina Grande Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar Equações Diferenciais Lineares Prof. Ms. Hallyson Gustavo G. de M. Lima Pombal - PB

Conteúdo Introdução 3. Definições Preliminares.............................. 3 Equações Diferenciais de Primeira Ordem 5. Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem.............. 5. Problema de Valor Inicial.............................. 7.3 Equações Diferenciais Não-Lineares de Primeira Ordem............ 8.3. Equação de Bernoulli............................ 8.3. Equação de Ricatti..............................3.3 Equações Exatas...............................3.4 Fator Integrante............................... 6.3.5 Equação Separavél............................. 9.3.6 Equação Redutível à forma Separável...................4 Teorema de Existência e Unicidade e o Método das Iterações Sucessivas de Picard......................................... 3.4. O Teorema de Existência e Unicidade: Caso Linear.......... 5.4. O Método das Aproximações Sucessivas ou Método de Iteração de Picard.................................... 7.4.3 O Teorema de Existência e Unicidade: Caso Não-linear........ 8.5 Aplicações...................................... 3.5. Crescimento e Decrescimento....................... 3.5. Epidemia.................................. 33.5.3 Trajetórias Ortogonais........................... 34.5.4 Problemas de Temperatura e a Lei de Resfriamento e Aquecimento de Newton.................................. 36.5.5 Misturas................................... 37.5.6 Circuitos Elétricos............................. 38.5.7 Problemas de Crescimento e Declínio.................. 39

.5.8 Datação por Carbono 4.......................... 39.5.9 Investimentos Financeiros......................... 39.5. Equações Autônomas e Dinâmica Populacional............ 39.5. Exercícios.................................. 46 3 Equações Diferenciais de Segunda Ordem 49 3. Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem.............. 49 3. Equações de Segunda Ordem com Coeficiente Constantes.......... 5 3.. Raizes Reais e Distintas.......................... 53 3.. Raizes Complexas............................. 54 3..3 Método de Redução de Ordem...................... 56 3..4 Raizes Repetida............................... 58 3.3 Equações Diferenciais de Segunda Ordem Não - Homogêneas........ 6 3.4 Oscilações Mecânicas................................ 66 3.4. Oscilação Livre Não-Amortecidas.................... 68 3.4. Oscilação Livre Amortecidas....................... 7 4 Equações Diferenciais de Ordem Superior 74 4. Equações Diferenciais de Ordem Superior.................... 74 4. Equação de Euler-Cauchy Homogêneas de ordem três............. 8 5 Sistemas de Equações Lineares de Primeira Ordem 84 5. Sistema de Equações Lineares........................... 84 5. Independência Linear................................ 85 5.3 Autovalores e Autovetores............................. 86 5.4 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem....... 87 5.4. Sistemas Homogêneos com coeficientes constantes.......... 88 5.4. Sistemas Hermitianos........................... 9 5.4.3 Autovalores Complexos.......................... 95 5.4.4 Autovalores Repetidos........................... 98 5.5 Sistemas de Equações Diferenciais Não-Homogêneos............. 3

Capítulo Introdução. Definições Preliminares Definição. Equações Diferenciais Uma Equação Diferencial é uma equação que envolve uma função incognita e ao menos uma das suas derivadas. Exemplo Se y = fx ou y = ft é a função de uma única variável independente então as equações abaixo são exemplos de Equações Diferenciais Ordinárias EDO. a d y dx 5 dy dx + 6y = b y + 3y + 3y + y = c dy dt + y t = t Exemplo Se w = fx, y, z é a função da variável tempo t e das variáveis x, y e z então temos como exemplos de equações diferenciais parciais EDP. w a x + w y + w z = w b C x + w y + w z = w t Definição. Ordem A ordem de uma equação é a ordem da derivada de maior grau que aparece na equação. Observação.3 Uma equação diferencial de ordem n é uma expressão da forma F x, y, y, y,..., y n =.

Definição.4 Solução Uma função y = ϕx é a solução da equação. se y C n e além disso F x, ϕx, ϕ x, ϕ x,..., ϕ n x =. Exemplo 3 A equação d y dx 5dy dx + 6y = tem como uma solução a expressão y = ex. De fato. Observe que, y = e x e y = 4e x. Daí, d y dx 5dy dx + 6y = = 4ex 5 e x + 6e x = = e x e x = = =. Exemplo 4 Verifique se y = e 3x também é solução de d y dx 5dy + 6y =. dx Observação.5 Na verdade toda solução da equação anterior é da forma y = c e x + c e 3x Definição.6 Equação Linear Uma equação diferencial de ordem n, da forma F x, y, y, y,..., y n = é dita linear se a mesma é mesma é função linear da variavéis y, y, y,..., y n. Observação.7 A forma geral de uma EDL de ordem n é a xy n + a xy n +... + a n xy = gx, onde, a x Exemplo 5 a A equação cosxy + 7y + x + y = ln x é linear. 4 Defina L[x] = cosxy + 7y + x + y. Assim, L[y + y ] = cosxy + y + 7y + y + x + y + y = = cosxy + y + 7y + y + x + y + y = = cosxy + cosxy + 7y + 7y + x + y + x + y = = cosxy + 7y + x + y + cosxy + 7y + x + y = L[y ] + L[y ] L[ky] = cosxky + 7ky + x + ky = cosxky + 7ky + x + ky = = kcosxy + k7y + kx + y = k[cosxy + 7y + x + y] = kl[y] b A equação d y dx 5 dy + 6y = é linear. dx c A equação y + y + y = não é linear d A equação y y = senx não é linear.

Capítulo Equações Diferenciais de Primeira Ordem. Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem Definição. A forma geral de uma Equação Diferencial Ordinária Linear de Primeira Ordem é y + pxy = qx. onde p e q, são funções contínuas em um intervalo aberto I. Observação. Quando qx = para todo x I a equação é dita Equação Homogênea. Método de Resolução "O lado esquerdo da equação. é a derivada do produto envolvendo y". Suponha que exista ux tal que, uxy + uxpxy = uxqx. e além disso uxy + uxpxy = d uxy.3 dx De.3, sendo y e ux, temos que uxy + uxpxy = uxy + u xy uxpx = u x logo u x ux = px.

6 dai, portanto, Note que, Encontrando a solução de y d dx ln ux = u x ux, d ln ux = px ln ux = dx ux = e R px dx px dx + C, onde C =.4 De. e.3 obtemos, e finalmente obtemos d uxy = uxqx dx uxy = uxqx dx + C y = uxqx dx + C ux.5 ou ainda, y = e R px dx [ e R px dx qxdx + C ].6 As expressões.5 e.6 são chamadas de solução geral de.. ux é fator integrante. Exemplo 6 Resolva a equação ty + y = sent, com t >. Determine como se comporta a solução yt quando t Solução: Temos que ty + y = sent = y + y t = sent t Neste caso pt = t, então ut = e R t dt = e ln t = e ln t = t Assim o fator integrante é ut = t. Deste modo temos, y + y t = sent t = t y + ty = tsent

7 isto é d dt t y = tsent = t y = tsent dt + C = t y = sent tcost + C. Logo, yt = Observe que yt quando t. sent tcost + C t Exercício : Resolva as equações abaixo e determine como as soluções se comportam quando t +. a y + 3y = t + e t e y y = 3e t i ty y = t e t b y y = t e t f y + ty = te t j y + y = 5cost c y + y = te t + g + t y + 4ty = + t k y + y = 3t d y + t y = 3cost, t> h y + y = 3t. Problema de Valor Inicial Definição.3 Uma equação diferencial dy dx = fx, y, juntamente com a condição inicial yx = y, constituem o que chamamos de Problema de Valor Inicial PVI, a qual geralmente é denotada por dy = fx, y, dx yx = y. Exemplo 7 Resolva o seguinte PVI ty + y = sent, se t >, π y =. Solução: Já vimos no exemplo que.7 yt = sent tcost + C t

π. Queremos agora que, y =, isto é, π = y = π π π sen cos + C π. 8 π Segue que, C =. 4 Logo a solução do PVI é yt = π sent tcost + 4. t Teorema Fundamental Se as funções px e qx são contínuas em um intervalo aberto I = α, β contendo o ponto x = x então existe uma única função y = φx que satisfaz a equação, e a condição inicial yx = y. y + pxy = qx, x I.3 Equações Diferenciais Não-Lineares de Primeira Ordem Aqui estudaremos métodos de resolução da equação diferencial y = fx, y, onde f é uma função não linear em relação a y..3. Equação de Bernoulli Definição.4 Uma equação diferencial, não linear, da forma, é chamada de Equação de Bernoulli EB y + pxy = qxy n.8 Note que se n = ou n = a equação de Bernoulli torna-se linear n =, y + pxy = qx, n =, y + px qxy =.

9 Método de Resolução Considere n ou n. Deste modo, vamos procurar uma solução y = yx diferente de zero y. Assim, seja w = y n.9 daí, w = dw dx = ny n y.. Multipliquemos então.8 por ny n. Deste modo temos, ny n y + ny n pxy = ny n qxy n Aplicando.9 e. em. obtemos ny n y + ny n px = nqx. w + npxw = nqx. a qual é uma EDL de o ordem em w, a qual sabemos resolver. Pela relação em.9 encontramos a solução da Equação de Bernoulli. Exemplo 8 Resolva a equação diferencial y + x y = x 6 y 3, com x >. Solução: Temos uma EB com n = 3. Assim seja w = y, daí, w = yy 3. Segue então que, y + x y = x 6 y 3 y 3 y + y 3 x y = y 3 x 6 y 3 ou seja, onde w y 3 y 4x y = x 6 y 3 y 4x y = x 6 w 4 w = x 6 é uma EDL de o ordem. x Fator Integrante 4 w = x 6 x

ux = e R 4 x dx = e 4 ln x = x 4 ; wx = x 4 x 6 dx + C x 4 wx = x7 3 Portanto, a solução da EB em estudo é dado por + Cx 4 yt = ± x 7 + Cx 3 4 Exercício : Resolva as equações de Bernoulli abaixo: a y + y x = xy, com x > c xy y = x 3 y 4, com x > b t y + ty y 3 =, com t >.3. Equação de Ricatti Definição.5 A equação de Ricatti ER é uma equação diferencial da forma dy dx = q x + q xy + q 3 xy.3 onde q x, q x e q 3 x são funções definidas em um intervalo I. Método de Resolução Suponha que y x é uma solução da equação ER. Considere, Temos então que Substituindo dy e y em ER encontramos, dx y = y +, vx x. vx dy dx = dy dx v x [vx]

dy dx v x [vx] = dy dx [vx] v x = dy dx dv [vx] dx = dy dx [ dv [vx] dx = q x + q x y + ] [ + q 3 x y + ] = vx vx dy dx dv [vx] dx = q x + q xy + q x vx + q 3xy + q 3xy + q 3x vx [vx] = dy dx dv [vx] dx = q x + q xy + q 3 xy + q x vx + q 3xy + q 3x vx [vx] = Sendo y solução de ER, segue que dv [vx] dx = q x vx + q 3xy + q 3x vx [vx] = dv dx = q xvx + q 3 xy vx + q 3 x = dv dx + [q x + q 3 xy ]vx + q 3 x =.4 Logo, obtemos em.4 uma EDL de a ordem em v. Portanto, a solução de uma ER é dada pela relação y = y + vx Exemplo 9 Determine a solução das seguintes equações de Ricatti a y = + x xy + y, onde y x = x b dy dx [cos x sen x + y ] cosx Solução: a Neste caso temos, Daí, =, onde y x = senx q x = + x, q x = x, e q 3 x =. Logo, dy dx = x + xvx = dy dx y = x + c x = = dv = dx = v = x + c.

b Temos que, Assim, Daí, dv dx = dy dx [cos x sen x + y ] cosx + dy dx = = = dy dx = [cos x sen x + y ] cosx [ cosx sen x cosx ] + y cosx q x = cosx sen x cosx, q x =, e q 3 x = cosx senx vx cosx = dv dx + cosx senx vx = cosx Deste modo, obtemos uma EDL de a ordem em v, a qual tem solução, = cosx Logo vx = senx y = senx + senx + ccosx + c cosx Exercício 3: Determine a solução da seguinte equação de Ricatti,.3.3 Equações Exatas dy dx = ex + + e x y + y, onde y x = e x Antes de tratamos a definição de Equações Exatas vamos trabalhar com um pequeno exemplo, do que será importante neste tópico. Observação.6 Seja w = fu, v onde u = gx = x e v = hx = y com u = φx. Note que Assim, w = fu, v = fx, y = fx, φx dw dx = w u u x + w v v x = w u du dx + w v dv dx = dw dx = w u + w v y

3 Exemplo Vamos resolver a equação abaixo x + y + xyy =, Solução: Note que temos x + y dx + xydy =, Além disso a função, w = fx, y = x + xy verifica, w x = x + y e w y = xy Logo a equação * pode ser escirta como, ou seja, w u + w v y = = dw dx = = w = c x + xy = c Definição.7 Uma equação diferenciável da forma Mx, ydx + Nx, ydy = é denominada exata se existe uma função f = fx, y tal que fx, y x = Mx, y e fx, y y = Nx, y Neste caso a solução é dada implicitamente pela função fx, y = c Teorema Importante: Se as funções Mx, y, Nx, y, M y x, y e N x x, y, forem contínuas em um retângulo R, então a equação, Mx, ydx + Nx, ydy = é exata se, e somente se, M y = N x Exemplo Resolva a equação e y dx + xe y + ydy =

4 Solução: Temos uma equação da forma Mx, ydx + Nx, ydy = onde Mx, y = e y e Nx, y = xe y + y. Além disso, M y = ey = N x Logo a equação e y dx + xe y + ydy = é exata. Deste modo existe uma função fx, y tal que, f x = ey e f y = xey + y Encontrando a função fx, y. Temos que, f x = ey = fx, y = e y dx = xe y + hy + D, com D constante Para obter a solução implícita na forma fx, y = C, obtemos, que comparando Portanto, concluimos que f y = xey + h y xe y + h y = xe y + y = h y = y = hy = y xe y + y = fx, y = xe y + y = C Passos para resolver os problemas Verifique se a equação é exata Derive com relação a x Integrar com respeito a y Calcular o h x comparando Depois substituir hx em fx, y Exemplo ye xy cosx e xy senx + xdx + xe xy cosx 3dy = Temos que,

Mx, y = ye xy cosx e xy senx + x = = M y x, y = exy cosx + xye xy cosx xe xy senx + x. Nx, y = xe xy cosx 3 = N x x, y = exy cosx + xye xy cosx xe xy senx. Como M y = N, então a equação é exata. Logo existe fx, y tal que, x a f x = yexy cosx e xy senx + x; b f y = xexy cosx 3. Vamos então calcular fx, y. Por b temos que fx, y = xe xy cosx 3 dy = xcosx e xy 3y + gx = e xy cosx 3y + gx x Derivando com relação a x, f x = yexy cosx e xy senx + g x Comparando com relação a f, obtemos que x g x = x = g x dx = x dx = gx = x. Portanto, fx, y = e xy cosx 3y + x = e xy cosx 3y + x = c Exemplo 3 Equação que não é exata ydx + x y xdy = Neste caso faremos a verificação ou teste. Mx, y = y = M x, y =. y Nx, y = x y x = N x, y = xy. x Assim, M N x, y x, y, ou seja, a equação não é exata. y x Façamos então o seguinte, multipliquemos a equação ydx + x y xdy = pelo fator. Daí, temos x Agora, ydx + x y xdy = = y x dx + y x dy = 5

6 Mx, y = y M = x y x, y = x. Nx, y = y x Assim, M y N x, y = x, y. x = N x x, y = x. Portanto, nosso objetivo agora é, dada uma equação não exata, Mx, ydx + Nx, ydy = determinar o fator, denotado por µx, y, que multiplicado em ambos os lados da equação acima, µx, y[mx, ydx + Nx, ydy] = µx, y = µx, ymx, ydx + µx, ynx, ydy =, obtenhamos em uma equação exata..3.4 Fator Integrante Se a equação com dx dx = e dy dx = y, ou seja, Mx, ydx + Nx, ydy = Mx, y + Nx, yy = não é exata, encontraremos uma função µx, y tal que a equação µx, y[mx, y + Nx, yy ] = se torne exata. A função µx, y é chamada de fator integrante. Exercício: Mostre que se y = φx é solução de Mx, y + Nx, yy =, então ele também é solução de µx, y[mx, y + Nx, yy ] =. Determinando o fator integrante µx, y Seja, a qual, para ser exata é necessário, µx, ymx, ydx + µx, ynx, ydy =, µm y = µn x,

7 ou seja, µm y = µn x, Observação.8 A equação µm y = µn x, é uma equação diferencial parcial. Assim temos, µ y M + µm y = µ x N + µn x Suponha agora que µx, y = µx, ou seja, que µ dependa somente de x. Então, Segue que, Portanto, Observação.9 µm y = dµ dx N + µn x, µ y = = dµ dx = µm y N x N dµ µ = My N x N µx = e dx = ln µ = My N x N My N x dx a Se considerarmos µx, y = µy, obtemos então, µy = e Nx M y M dy N dx.5.6 b Se a equação é exata, então temos e =, como sendo o fator integrante. Exemplo 4 Determine a solução das equações abaixo: a ydx + x y xdy = b 3x y + xy + y 3 dx + x + y dy = Solução: a Sendo a equação ydx + x y xdy =, observe que, Mx, y = y = M y = Nx, y = x y x = N x = xy Logo a equação não é exata. Deste modo vamos calcular o fator integrante µ. Assim, My N x xy xy xy = = =. N x y x x y x xxy Então, µx = e x dx = e ln x = µx = x

8 Daí, o fator integrante é µx = x. Vamos agora determinar a solução. Sabendo agora que a equação, y x dx + x y x dy = = y x x dx + y dy = x é exata. Deste modo, observe que, Mx, y = y x = M y = x Nx, y = y = x N x = x Assim, existe uma função fx, y tal que, Então, f x x, y = y x e = f y x, y = fx, y = y x y x dx = y x + hy. Logo, derivando fx, y com relação a y, e comparando a expressão com há dada, temos, Portanto, y x = f yx, y = x + h y = h y = y = hy = y. fx, y = y y y = x y x = C b Sendo a equação 3x y + xy + y 3 dx + x + y dy =, observe que, Mx, y = 3x y + xy + y 3 = M y = 3x + x + 3y Nx, y = x + y = N x = x Logo a equação não é exata. Deste modo vamos calcular o fator integrante µ. Assim, My N x 3x + x + 3y x 3x + 3y 3x + y = = = = 3. N x + y x + y x + y Então, Daí, o fator integrante é µx = e 3x. µx = e 3 dx = e 3x

9 Vamos agora determinar a solução. Sabendo agora que a equação, e 3x 3x y + xy + y 3 dx + e 3x x + y dy = é exata. Deste modo, observe que, Mx, y = e 3x 3x y + xy + y 3 = M y = e 3x 3x + x + 3y Nx, y = e 3x x + y = N x = 3e 3x x + y + xe 3x Assim, existe uma função fx, y tal que, Então, f x x, y = e 3x 3x y + xy + y 3 e = f y x, y = e 3x x + y fx, y = e 3x x + y dy = fx, y = e 3x x y + y3 + gx. 3 Logo, derivando fx, y com relação a x, e comparando a expressão com há dada, temos, e 3x 3x y+xy+y 3 = f x x, y = 3x ye 3x +y 3 e 3x +xye 3x +g x = g x = = gx = D. Portanto, fx, y = e 3x x y + y3 = e x 3x y + y3 = C 3 3.3.5 Equação Separavél Definição. Uma equação diferenciável é separável se pode ser escrita na forma dy dx = fx gy ou gydy = fxdx.7 Exemplo 5 Determine a solução da seguinte equação, dy dx = + y cosx y y = Solução: Observe que, dy dx = + y cosx y y = + y 4 dy = cosxdx = ln + y = senx + C y + y = cosxdx =

Da condição inicial obtemos 4 ln + [y] = sen + C = ln = + C = C =. 4 Portanto, ln + y = 4senx = y = ± e 4senx.3.6 Equação Redutível à forma Separável Equação Homogênea Definição. Função Homogênea Uma função fx, y é homogênea de grau n se Exemplo 6 fx, y = x + xy Observe que, ftx, ty = t n fx, y, com t R ftx, ty = tx + txty = t x + t xy = t x + xy = t fx, y Logo fx, y é homogênea de grau. y Exemplo 7 fx, y = sen x Observe que, Logo fx, y é homogênea de grau. Equação Homogênea ftx, ty = sen Definição. A equação diferenciável ty y = sen tx x Mx, ydx + Nx, ydy =.8 é homogênea se as funções M e N são homogêneas de mesmo grau n. A equação.8 pode ser escrita da forma, dy dx = fx, y, com fx, y = Mx, y Nx, y.9

Observe que fx, y é homogênea de grau zero. De fato, ftx, ty = Mtx, ty Ntx, ty = tn Mx, y t n Nx, y = Mx, y Nx, y = fx, y Importante: Se fx, y é homogênea de grau zero, fx, y = ftx, ty, com t R. Para t = x, temos, fx, y = f, y y = F x x Equação Homogênea Definição.3 A equação diferenciável dy dx é homogênea se a função depende unicamente da razão y x = fx, y. ou x. y Método de Resolução Se a equação. é homogênea então, dy ou dx = F y x Seja v = y então y = vx. Daí, x dy De, obtemos dx = xdv dx + v x dv dv + v = F v dx dx = F v v x dx x = dv F v v Observação.4 Resolvida a equação separável, a solução da equação homogênea é dada por v = y x Exemplo 8 a Resolva a equação Solução: Observe que, Sendo v = y = y = vx, então, x y = x + y x y = x + y x = + y x. y = x dv dx + v.

Deste modo temos que, Logo, Portanto, y = x + y x = x dv dv + v = + v = dx dx = x dx x = dv v = ln x + C, y = xln x + Cx. b Resolva a equação Solução: Sendo v = y x = y = vx, temos que, dy dx = y + xy x Daí, y + xy x = x v + xxv = x v + v x x = v + v = F v dy dx = y + xy x = x dv dx + v = v + v = dv dx = v + v x = dv v + v = dx x. Deste modo obtemos, dx x = dv dx dv v + v = x = v dv = ln x + C = ln v ln v + =. v + v = ln = ln x + C = ln v v + v + = ln x + ln k = = ln v v + = ln kx = v = kx = kxv + = v. v + Logo, v = kxv + = y y x = kx x + = y = kyx + kx Portanto, y = kx kx c Resolva a equação y = y y + xsen x x

3 Solução: Observe que, y = y y + xsen x x = y = y x + sen y x Sendo v = y x = y = vx, temos que, y = y y x + sen = y = v + senv x Daí, x dv dv + v = v + senv = dx dx = senv x = dv senv = dx x. Deste modo obtemos, dx x = dv = ln x + C = cossecv dv = ln x + C = ln cossecv cotgv =. senv = ln kx = ln cossecv cotgv = ln kx cossecv cotgv = = kx cossecv cotgv = Logo, y y kx = cossecv cotgv = kx = cossec cotg x x.4 Teorema de Existência e Unicidade e o Método das Iterações Sucessivas de Picard Até aqui buscamos determinar métodos de resolução de equações diferenciais de primeira ordem. Agora estamos interessados em saber se dado o problema de valor inicial dy = fx, y, dx. yx = y, este problema possui solução e se esta solução é única, caso exista. Isto porque o problema de valor inicial., às vezes, pode não ter solução e, em alguns casos, possui mais de uma solução. De fato, vejamos os exemplos abaixo. Exemplo 9 Mostre que o problema de valor inicial dy dx = y 3, y =, t,. possui infinitas soluções.

4 Prova. Notemos que a equação diferencial acima é separavél. Portanto, separando as variáveis e integrando, obtemos [ ] 3/, yt = 3 t + c t. Usando a condição inicial y =, segue que c =. Logo, [ ] 3/, yt = 3 t t. Por outro lado, a função y t = 3 t 3/, t. também é solução do problema.. Além disso, uma outra função que também é solução de. é a função y 3 t =, t. Em geral, para qualquer t >, a família de funções, se t t, y = ϕt = 3/, ±[ ] 3 tt t se t t, são contínuas, diferenciáveis em particular, em t = t e soluções do problema.. Exemplo Mostre que o problema de valor inicial dy dx = y, y =..3 possui mais de uma solução. Prova. É fácil ver que as funções y x = x 4, para x, e y x =. são soluções do problema de valor inicial.3. Para que o problema. tenha única solução será necessário colocarmos algumas hipóteses sobre a função f. Vamos analisar os casos em que a equação diferencial dada em. seja linear e o caso em que é não-linear.

5.4. O Teorema de Existência e Unicidade: Caso Linear Vejamos inicialmente o caso em que a equação diferencial dada em. é linear. Teorema.4. Se as funções p e g são contínuas num intervalo aberto I, α < t < β contendo o ponto t = t, então existe uma única y = ϕt solução do problema de valor inicial { y + pty = gt, yt = y, para cada t I, onde y é um valor inicial arbitrário prescrito. Prova. Existência: Multiplicando a equação diferencial por um fator integrante µt, obtemos.4 µty + ptµty = µtgt..5 A expressão à esquerda de.5 é a derivada do produto µty, desde que µt verifique d µt = µtpt..6 dt Logo, se existe µt satisfazendo.6, então segue de.5 que ou seja d [ ] µtyt = µtgt, dt µtyt = t µsgsds + C,.7 onde C é uma constante arbitrária. Podemos determinar o fator integrante µt a partir da equação.6. De fato, suponhamos inicialmente que µt >. Então de.6 segue que µt = e R t psds+c. Podemos escolher C = de tal modo que µt = e R t psds..8 Notemos que µt é realmente positivo. A Eq..8 determina µt a menos de um fator multiplicativo que depende do limite de integração. Se escolhermos esse limite inferior como sendo t, então Note que µt =. Neste caso, a solução é dada por R t t µt = e psds..9 yt = [ t ] µsgsds + C..3 µt t

Por outro lado, usando a condição inicial yt = y, tem-se C = y, pois µt =. Então a solução torna-se yt = [ t ] µsgsds + y,.3 µt t onde µt é dado em.9. Sendo p contínua em α < t < β, então µ está definida neste intervalo e é uma função diferenciável e não-nula. Como µ e g são contínuas, a função µg é integrável e a Eq..7 segue da Eq..6. Além disso, a integral de µg é diferenciável, de modo que y dado pela.7 existe e é diferenciável no intervalo α < t < β. Substituindo a fórmula para y dada pela Eq..7 ou Eq..3 na.4 pode ser facilmente verificada no intervalo α < t < β. A condição inicial é também facilmente verificada. Unicidade: A unicidade segue diretamente de.3. 6 Exemplo Determine o intervalo no qual o problema de valor inicial y + t y = 4t, y =,.3 tenha solução única e determine esta solução. Prova. Neste caso, temos gt = 4t é contínua para todo t, enquanto que pt = t é contínua para todo t, isto é, para t < ou para t >. Como a condição inicial y = vale apenas para t >, então interessa apenas o intervalo ], +. Logo o problema.36 ten solução única no intervalo < t < +. Para determinar a solução de.36, notemos primeiro que o fator integrante é Portanto, a solução de.36 é µt = e R t /sds = e lnt = t. yt = t t 4s 3 ds + C = t 4 + C = t + C t t. Usando a condição inicial y =, segue que C =. Logo yt = t + t, t >. Exemplo Determine o intervalo no qual o problema de valor inicial y + t y = 4t, y =,.33 tenha solução única e determine esta solução.

7 Prova. Neste caso, o problema terá solução no intervalo t <. Isto porque o intervalo que contém a condição inicial é o intervalo t < no qual pt = t é contínua. De modo análogo ao exemplo anterior, encontramos a solução yt = t + t, t <..4. O Método das Aproximações Sucessivas ou Método de Iteração de Picard No caso da função fx, y dada no problema de valor inicial., a demonstração do teorema de existência e unicidade foi relativamente simples por que foi possível determinar uma fórmula que daria a solução. Já no caso em que fx, y não é linear, não existe uma fórmula que dê a solução do problema de valor inicial.. Portanto, o teorema de existência e unicidade neste caso é bem mais difícil. Uma saída é colocar o problema de valor inicial. em uma forma mais conveniente. Se supusermos, temporariamente, que existe uma função y = ϕt que satisfaz o problema., então ft, ϕt é uma função contínua que só depende de t. Logo, podemos integrar y = ft, y do ponto inicial t até um valor arbitrário t, obtendo ϕt = y + t t f[s, ϕs]ds..34 Note que usamos a condição inicial yt = y e, também, s para denotar a variável de integração. A Eq..34 é chamada de equação integral. A equação integral não é uma fórmula para a solução do problema., mas fornece outra relação que é satisfeita por qualquer solução deste problema. Reciprocamente, se existe y = ϕt contínua satisfazendo.34, então ela também satisfaz.. Para ver isto, basta notar que o integrando que aparece na Eq..34, sendo contínuo, implica que ϕ t = ft, ϕt, devido ao Teorema Fundamental do Cálculo. E também, que yt = y. Portanto, o problema de valor inicial. e a equação integral.34 são equivalentes. Logo, a solução de um é também solução do outro. É mais conveniente mostrar que existe única solução da equação integral.34 em algum intervalo. A mesma conclusão será válida, então, para o problema de valor inicial.. Um método usado para mostrar que a equação integral.34 possui uma única solução é conhecido como método das aproximações sucessivas ou método de iteração de Picard. O método funciona da seguinte forma: Primeiro, escolhemos uma função inicial ϕ, arbitrária ou que aproxima, de alguma forma, a solução do problema de valor inicial.. A escolha mais simples é ϕ t = y, que, pelo menos, satisfaz a condição inicial em., embora, presupôe-se que não satisfaça

a equação diferencial y = ft, y. A segunda escolha ϕ é obtida substituindo-se yt na integral em.34 por ϕ t, ou seja, ϕ t = y + De modo análogo, escolhemos ϕ dada por ϕ t = y + Em geral, definimos a função ϕ n, pondo ϕ n t = y + t t f[s, ϕ s]ds. t t t f[s, ϕ s]ds. t f[s, ϕ n s]ds. Desse modo, geramos a sequência de funções {ϕ n } n N. Cada elemento da sequência satisfaz a condição inicial, mas em geral, nenhum deles satisfaz a equação deferencial. No entanto, se em algum estágio, por exemplo, para n = k, encontramos ϕ k t = ϕ k t, então ϕ k é uma solução da equação integral.34, consequentemente, do problema de valor inicial. e a sequência para neste ponto. Isso normalmente não acontece e é necessário considerar toda a sequência infinita. Por último, usando as hipóteses do Teorema.4., obtemos que a função ϕt = lim n ϕ n t é a solução única da equação integral.34 e, consequentemente, do problema de valor inicial.. 8.4.3 O Teorema de Existência e Unicidade: Caso Não-linear Vejamos agora o caso em que a equação diferencial dada em. é não-linear. Neste caso temos um teorema mais geral que é dado a seguir: Teorema.4. Suponhamos que a função fx, y e sua derivada f y R = {x, y R α < x < β, δ < y < γ} são contínuas no retângulo contendo o ponto x, y. Então o problema de valor inicial dy = fx, y, dx yx = y..35 possui uma única solução num intervalo contendo x.

Observações: Se no Teorema.4. colocarmos hipóteses mais fracas, por exemplo, que apenas f seja contínua em R, então não temos garantido a unicidade. De fato, vimos no exemplo 9 que o problema de valor inicial. possui infinitas soluções, mas isto não contradiz o Teorema.4., pois no problema. tem-se que f y = y /3 que não existe em t =, o 3 que implica que não é contínua neste ponto. Neste caso, pode-se ter existência, mas não a unicidade. Prova do Teorema.4.: Existência: Defina a sequência de funções y n t por y t = y e y n t = y + t t fs, y n sds, para n =,, 3,... Como ft, y é contínua no retângulo R, então existe uma constante positiva b tal que Assim, Como f y Assim, ft, y b, t, y R. y t y b t t, para α < t < β. é contínua no retângulo R, existe uma constante positiva a tal que ft, y ft, z a y z, para α < t < β e δ < y, z < γ. 9 e y t y t t t fs, y s fs, y s ds a ab t s t ds = ab t t t. t t y s y s ds y 3 t y t Por indução, supomos que t t fs, y s fs, y s ds a y s y s ds t t t a s t b ds = a b t t 3. t 6 y n t y n t a n b t t n n!

3 Então y n t y n t t fs, y n s fs, y n s ds a y n s y n s ds t t t a n s t n b ds = a n b t t n. n! n! t Estas desigualdads são válidas para α α < t < β β em que α e β são tais que δ < y n t < γ sempre que α < t < β. porque existem α e β?. Segue da última desigualdade que a n β α n y n t y n t b n! que é convergente. Como n= então y n t é convergente. Seja Como y m t y n t y n t = y + m k=n+ n= n y k t y k t, k= yt = lim n y n t. y k t y k t b m k=n+ então passando ao limite quando m tende ao infinito obtemos que yt y n t b k=n+ t a k β α k, k! a k β α k..36 k! Logo dado um ɛ >, para n suficientemente grande, yt y n t < ɛ 3, para α < t < β. Assim, yt é contínua, pois dado um ɛ >, para s suficientemente próximo de t, temos que y n t y n s < ɛ e para n suficientemente 3 o que implica que yt y n t < ɛ 3, e ys y ns < ɛ 3, yt ys yt y n t + y n t y n s + y n s ys < ɛ. Além disso, para α < t < β temos que t t t lim n fs, y n sds = t fs, lim y n sds = t n fs, ysds, t

3 pois, por.36, temos t t fs, y n sds fs, ysds fs, y n s fs, ys ds t t t t a k β α k a y n s ys ds abt t, t k! t que tende a zero quando n tende ao infinito. Portanto, yt = lim y n t = y + lim n = y + t n t k=n+ t fs, lim n y n sds = y + t fs, y n sds t t fs, ysds..37 Derivando em relação a t esta equação vemos que yt é solução do problema de valor inicial. Unicidade: Vamos supor que yt e zt sejam soluções do problema de valor inicial. Seja Como ut = t t ys zs ds. então yt = t t t t y sds = fs, ysds e zt = z sds = fs, zsds, t t t t u t = yt zt Ou seja, t t y s z s ds = t t fs, ys fs, zs ds a u t aut. Subtraindo-se aut e multiplicando-se por e at, obtemos d dt e at ut, com ux =. t t ys zs ds. Isto implica que e at ut =, pois ut. Segue então que ut =, para todo t. Logo, yt = zt, para todo t.

3.5 Aplicações.5. Crescimento e Decrescimento A equação diferencial com as condições iniciais dy dt = ky yt = y ocorre em muitas teorias envolvendo crescimento e decrescimento. Exemplo 3 O einsteinio 35 decai à taxa proporcional à quantidade de nuclideos presentes. Determinar a meia-vida T se o material perder um terço de sua massa em, 7 dias. Solução: Queremos determinar a meia-vida t do material Deste modo sendo a equação diferencial t =?; Qt = Q. dq dt = kq, k >, vamos separar as variáveis, Daí, dq Q = kdt ln Q = kt + C = Qt = e kt+c = Qt = Ce kt. Vamos supor que a quantidade inicial é Q = Q. Então obtemos, C = Q. De onde segue que, Qt = Q e kt. Assim, Lembrando que após, 7 dias a quantidade presente é de Q, ou seja, 3 Q, 7 = Q 3, Q 3 = Q e,7k = 3 = e,7k =, 7k = ln = k = 3, 7 ln = k =, 346 3 Assim, Qt = Q e,346t.

Observe que Qt, quando t. Vamos agora determinar o tempo para que a substância decaia a metade da quantidade inicial, ou seja, vamos determinar t de modo que Qt = Q. Nesta condições temos, Q = Q e,346t = = e,346t =, 346t = ln = t =, 346 ln = t = dias 33.5. Epidemia Exemplo 4 Em uma cidade vamos dividir a população em duas partes; x: Indivíduos sadíos, mas que podem ser infectados. y: Indivíduos infectados. Determine o número de dias para que toda a cidade seja infectada, sendo, Solução: dy dt = kxy Temos que x + y =, então x = y. Deste modo a equação torna-se, dy = k yy = dy dy = kdt = dt y y y y = kdt = = Assim, Logo, dy y + dy y = kdt = ln y ln y = kt + C = ln y y = kt + C = y y = Cekt y y = Cekt = y = Ce kt Ce kt y = + Ce kt y = Ce kt. yt = Ce kt + Ce kt Considerando que a quantidade inicial de infectados seja dada por, y = y

34 E aplicando esta a expressão, obtemos, C = y y. Daí, yt = y e kt y + y e y kt e kt Multiplicando por, obtemos, e kt yt = y y e kt + y y Observe que, yt quando t ou yt = y y + e kt y.5.3 Trajetórias Ortogonais Uma família de curvas é definida, em geral, por uma equação da forma F x, y, c =, onde x é a variável independente e y é a variável dependente, para cada c IR fixo. Por exemplo, a família de curvas y = cx, c >, está representada pela função F x, y, c = y cx, F x, y, c =, que corresponde a uma família de parábolas com vértice na origem de coordenadas e distância focal descrita em termos de c. Já a família de curvas x + y c = c, está representada pela função F x, y, c = x + y c c, F x, y, c =, que consiste num conjunto de círculos com centro, c e raio c. Dada uma família de curvas é possível determinar a equação diferencial que gera esta família de curvas. vejamos alguns exemplos: Exemplo 5 Encontre a equação diferencial que tem como solução a família de curvas y = cx 3.

35 Solução: Derivando a família de curvas em relação a x, obtemos y = 3cx. A equação acima já é uma equação diferencial, mas possui como solução um conjunto que contém estritamente a família de curvas y = cx 3. Para evitar isto, eliminamos c que é dado por c = y/x 3, obtendo y = 3 y, que é a equação diferencial que gera a família de x curvas y = cx 3. Definição.5 Duas curvas são ortogonais num ponto P se as retas tangentes as curvas no ponto P são ortogonais. Sabemos que duas retas y = m x + b e y = m x + b são ortogonais se o produto de suas inclinações é, isto é, m.m =. Na equação diferencial y = fx, y, o valor da função fx, y nos dá o valor das inclinações das retas tangentes a curva y = yx solução da equação. Portanto, para determinar a família de curvas ortogonais a y basta resolver a equação y = fx, y. Exemplo 6 Encontre a família de curvas ortogonais à família de curvas dada por y = ce x. Solução: Primeiro vamos determinar a equação diferencial que tem como solução a família de curvas acima. Derivando em relação a y, obtemos y = ce x. Notando que c = ye x, segue que a equação diferencial que gera a família de exponenciais é dada por y = y. Logo, para encontrar a família de curvas ortogonais à família de exponenciais, devemos resolver a equação diferencial Esta equação possui solução dada por y = y. y = x + C. Portanto, a família de parábolas y y = ce x. = x + C. é ortogonal à família de exponenciais

.5.4 Problemas de Temperatura e a Lei de Resfriamento e Aquecimento de Newton O problema consiste em determinar uma função θ que define a temperatura de um corpo em cada instante de tempo. Para isto, usaremos um princípio físico conhecido como a Lei de Esfriamento ou Aquecimento de Newton. Vejamos esta lei. 36 Lei de Esfriamento e Aquecimento de Newton: A taxa de variação da temperatura da superfície de um objeto é proporcional a diferença de temperatura do objeto com a temperatura do meio ambiente. Se θt é a temperatura de um objeto no instante de tempo t e T é a temperatura do meio ambiente, então a Lei de Esfriamento e Aquecimento de Newton nos diz que dθ dt = kθ T,.38 onde k > é a constante de proporcionalidade que depende do material de que é feito o objeto. Observações: a O sinal negativo que aparece no segundo membro da Eq..38 é devido ao fato de que o calor sempre flui da parte quente para a parte fria. Isto é, se o objeto tem temperatura maior que o meio ambiente, θ T > e a temperatura θ diminui até chegar ao ponto de equilíbrio térmico, isto é, a temperatura é uma função decrescente em relação ao tempo t. Com isso, < e o sinal negativo é necessário. dθ dt Analogamente, se θ T <, então a temperatura θ deve aumentar, tornando assim uma função crescente em relação ao tempo t. Com isso, dθ > e o sinal negativo dt novamente é necessário. b A Eq..38 é uma equação diferencial de primeira ordem que pode ser resolvida utilizando o método de variáveis separáveis. É fácil ver que a solução é dada por θt = T + Ce kt..39 Exemplo 7 Suponha que uma xícara de chá está a uma temperatura inicial de 95 C e um minuto depois a temperatura baixou para 7 C num quarto onde a temperatura é de 5 C. Determine a função que representa a temperatura em cada instante de tempo e o tempo que demorará a xícara de chá para atingir a temperatura de 3 C. Solução: Das condições do problema sabemos que o chá está inicialmente a temperatura de 95 C, isto é, θ = 95 C. A temperatura do quarto é de 5 C, isto é, T = 5 C. E um

minuto depois a temperatura baixou para 7 C, então, θ = 7 C. Neste caso a função que define θ em função de t é dada por θt = 5 + Ce kt. Usando que θ = 95 C, encontramos C = 7 C. Portanto, teremos Usando que θ = 7 C, teremos θt = 5 + 7e kt. 7 = 5 + 7e k e k = 45 7 = 9 4 k = ln4/9. Logo, a função que define θ em função de t é dada por θt = 5 + 7e ln4/9t. Vamos agora determinar um tempo t no qual a xícara atingirá 3 C. Temos 3 = 5 + 7e ln4/9t e ln4/9t = 5 7 = 4 t = ln4 ln4/9 Logo, a xícara atingirá 3 C depois de aproximadamente 6 minutos. 5, 97. 37.5.5 Misturas Exemplo 8 Num tanque há litros de salmoura contendo 3 gramas de sal em solução. Água sem sal entra no tanque à razão de 6 litros por minuto e a mistura se escoa à razão de 4 litros por minuto, conservando-se a concentração uniforme por agitação. Vamos determinar qual a concentração no tanque ao fim de 5 minutos, sabendo que o problema é modelado da forma, dq dt = 4 Q + t Q = 3 Solução: Observe que, dq dt = 4 Q + t dq = dt + 4 Q + t =. A qual é uma equação diferencial linear. Deste modo, fazendo equações separaveis temos, dq dt + 4 Q + t = = dq Q = 4 dt dq + t = Q = 4dt + t =

38 ln Q = ln + t + C = ln Q = ln + t + C = Q = C + t Então, a quantidade de sal é dada por, Assim, Sendo Q = 3, então, Q = Qt = C + t C C = 3 = + = C = 3 4 = 3 5 Qt = 3 5 + t. Sabendo que, a concentração ct é o quociente da quantidade de sal pelo volume que é igual a V t = + t, ou seja, ct = Qt V t Logo, quando t = 5, obtemos c5 =.5.6 Circuitos Elétricos = ct = 3 5 + t + t = ct = 3 5 + t 3 3 5 + 5 = 3 5 3 = 3 5 =, 375 gramas/litros 3 8 6 Um circuito RC é um circuito que tem um resistor de resistência R, um capacitor de capacitância C e um gerador que gera uma diferença de potencial V t ligados em série. Pela segunda lei de Kirchhoff, RI + Q C = V t,.4 onde It = dq e Qt é a carga no capacitor. Assim, a equação.4 pode ser escrita dt como dq dt + RC Q = V t,.4 R A Equação.4 é linear de primeira ordem cuja solução é dada por Qt = e RC t R t erc s V sds + C..4 Exemplo 9 Em um circuito RC uma bateria gera uma diferença de potencial de volts enquanto a resistência é de 3 ohms e a capacitância é de 4 farads. Encontre a carga Qt no capacitor em cada instante t, se Q =.

39.5.7 Problemas de Crescimento e Declínio.5.8 Datação por Carbono 4.5.9 Investimentos Financeiros.5. Equações Autônomas e Dinâmica Populacional Uma classe importante de equações de primeira ordem consiste naquelas nas quais a variável independente não aparece explicitamente. Tais equações são ditas autônomas e tem a forma dy = fy..43 dt Discutimos essas equações no contexto de crescimento ou declínio populacional de uma espécie dada, um assunto, importante em campos que vão da medicina à ecologia, passando pela economia global. A Equação.43 é separável e pode ser resolvida facilmente. Nosso objetivo aqui é obter informações qualitativas sobre a equação diferencial. Os conceitos de estabilidade e instabilidade de soluções destas equações tem grande importância nesse contexto. Crescimento Exponencial Se y = ϕt é a quantidade de uma população dada no instante t, a hipótese mais simples sobre a variação da população é que a taxa de variação de y é proporcional ao valor atual de y, isto é, dy = ky,.44 dt onde a constante de proporcionalidade k é chamada taxa de declínio se k < e taxa de crescimento se k >. Vamos supor aqui que k >, ou seja, que a população está sempre crescendo. Resolvendo a Equação.44 sujeita a condição inicial obtemos yt = y,.45 yt = y e kt..46 Logo o modelo matemático que consiste no problema de valor inicial.44-.45 com k >, prevê que a população crescerá exponencialmente sempre para diversos valores de y. Sob condições ideais, observou-se que a Equação.46 é razoavelmente precisa para muitas populações, pelo menos, por um período limitado de tempo. No entanto, é claro que tais condições ideais não podem perdurar indefinidamente, alguma hora as limitações sobre o espaço, o suprimento de comida ou outros recursos reduzirá a taxa de crescimento e acabará inibindo o crescimento exponencial.

Exemplo 3 A taxa de crescimento da população de uma cidade é proporcional ao número de habitantes. Se a população em 95 era de 5. e em 98 era de 75., qual a população esperada em? Solução: Seja pt a função que representa a população em cada instante de tempo t. Neste caso, p = 5. e pt = 5.e kt. Como p3 = 75., segue que k = ln3/. Logo 3 pt = 5.e ln3/ 3 t. Em, t = 6, logo p6 =.5 é a população em. Crescimento Limitado Suponhamos agora que uma quantidade cresça segundo uma taxa proporcional à diferença entre um número A > fixo e seu tamanho. Se y = ϕt é a quantidade presente em cada instante de tempo t, então d dy 4 = ka y,.47 onde k > é a constante de proporcionalidade e y < A, para todo t. A Equação.47 é separável e tem solução yt = A Be kt,.48 onde A, B e k são constantes positivas. Observação: Notemos que lim yt = A, isto é, y = A é assíntota horizontal para o t + gráfico de y = ϕt. O gráfico da função yt = A Be kt é denominado curva de aprendizagem. O nome é apropriado quando yt representa a competência segundo a qual uma pessoa realiza uma tarefa. Ao iniciar uma atividade, a competência de um indivíduo aumenta rapidamente e depois mais vagarosamente, já que uma experiência adicional tem pouco efeito na habilidade de realizar a tarefa. Exemplo 3 Um operário recém-contratado realiza uma tarefa com mais eficiência a cada dia que passa. Se y unidades forem produzidas por dia, após t dias no trabalho, então dy dt = k8 y, onde k > e y < 8, para todo t. O empregado produz unidades no promeiro dia de trabalho e 5 unidades por dia após dias de trabalho. a Quantas unidades por dia ele estará produzindo após 3 dias de trabalho? b Mostre que após 6 dias ele estará produzindo apenas unidade a menos do que seu potencial completo.

4 Solução: Resolvendo a equação diferencial encontramos yt = 8 Be kt. Sendo y =, tem-se que B = 6. Por outro lado, sendo y = 5, tem-se que k = ln. Desta forma, teremos yt = 8 6e ln t. a y3 = 7, 5. b y6 = 79, 65. O empregado estará produzindo 79 unidades por dia que é uma unidade a menos do potencial máximo que é 8. De fato, lim yt = lim 8 6e ln t = 8. t + t + Crescimento Logístico Considere agora a Equação.43 na forma d dy = fyy..49 Note que estamos substituindo k na Equação.44 pela função hy. Queremos escolher hy de modo que hy k > quando y for pequeno, hy decresça quando y crescer e hy < quando y for suficientemente grande. A função mais simples que tem essas propriedades é hy = r ay, onde a é, também, uma constante positiva. Logo escrevemos.49 na forma d = r ayy..5 dy A Equação.5 é conhecida como a equação de Verhuest ou equação logística. Muitas vezes é conveniente escrever a Equação.5 na forma equivalente d dy = r y y,.5 K onde K = r. A constante r é chamada taxa de crescimento intrínseco, isto é, a taxa de a cescimento na ausência de qualquer fator limitador. Observações:

a Na busca de soluções para a Equação.5, primeiro procuramos soluções do tipo mais simples possível, isto é, funções constantes. Para tais soluções, y =. Logo qualquer solução constante da Equação.5 deve satisfazer r y y =. K Logo, as soluções constantes são y = ϕ t = e y = ϕ t = K. Essas soluções são chamadas de soluções de equilíbrio da Equação.5. O nome é devido ao fato que não há variação no valor de y quando t cresce. De modo análogo, as soluções de equilíbrio da equação autônoma mais geral.43 são determinadas fazendo fy =. Os zeros de fy tmabém são chamados de pontos críticos. b Para visualisar outras soluções da Equação.5 e esboçar seus gráficos, vamos primeiro desenhar o gráfico de fy em função de y. No caso da Equação.5, fy = r y y, de modo que o gráfico é uma parábola com vértice no ponto K K/, rk/4 e cujos pontos críticos são, e K, que são os pontos de intersecção com os eixos dos y. Se < y < K, então dy >, isto é, y é crescente em t nesse dt intervalo. Se y > K, então dy < e, neste caso, y é uma função decrescente de t dt nesse intervalo. c O eixo dos y é muitas vezes chamado de reta de fase e é representado por uma reta vertical. Os pontos em y = e y = K são os pontos críticos ou soluções de equilíbrio. Quando y está próximo de ou de K, então o coeficiente angular fy fica próximo de zero, de modo que as curvas soluções são quase horizontais. Elas se tornam mais inclinadas quando o valor de y se afasta de ou de K. d Para esboçar os gráficos das soluções da Eq.5 no plano ty, começamos com as soluções de equilíbrio y = e y = K. Depois desenhamos outras curvas crescentes quando < y < K e decrescente quando y > K e que se aproximam de uma curva horizontal quando y se aproxima de um dos valores ou K. Devido ao teorema de existência e unicidade, apenas uma solução pode conter um ponto dado no plano ty. Assim, embora outras soluções possam ser assintóticas à solução de equilíbrio quando t +, elas não podem interseptá-las em um instante finito. e Derivando a Equação.43 em relação a t, obtemos d y dt = d dt fy = f y.y = f y.fy. Logo, o gráfico de y é convexo quando y >, isto é, quando f e f tem o mesmo sinal. Analogamente, o gráfico de y é côncavo quando y <, isto é, quando f e f tem sinais contrários. Os pontos de inflexão ocorre quando f y =. No caso da 4

Equação.5, as soluções são convexas para < y < K, onde f é positiva e crescente, de modo que ambas as funções f e f são positivas. As soluções também são convexas para y > K, onde f é negativa e decrescente e f e f são ambas negativas. Para K < y < K, as soluções são côncavas, já que f é positiva e decrescente, de modo que f é positiva e f é negativa. Existe um ponto de inflexão sempre que o gráfico de y em função de t cruza a reta y = K/. f Finalmente, note que K é uma cota superior que é aproximada, mas nunca atingida, para populações crescentes começando abaixo desse valor. É natural se referir a K como sendo o nível de saturação ou a capacidade ambiental de sustentação, para a espécie dada. g As soluções da equação não-linear.5 são surprendentemente diferentes das da equação linear, pelo menos para valores grandes de t. Independentemente do valor de K, isto é, não interessa quão grande seja a parcela não-linear da Equação.5, as soluções tendem a um valor finito quando t, enquanto que as soluções do problema linear cresce exponencialmente sem limite quando t. Assim, mesmo uma minúscula parcela não-linear na equaçaõ diferencial tem um efeito decisivo na solução para valores grandes de t. h Em muitas situações é suficiente ter informações qualitativas sobre a solução y = ϕt da Equação.5. Essa informação foi obtida a partir do gráfico de fy e mfunção de y e sem resolver a equação. Mas se quisermos ter uma descrição mais detalhada sobre o crescimento logístico, por exemplo, se quisermos saber o valor da população em algum instante particular, então precisamos resolver a Equação.5 sujeita a condição inicial y = y..5 Para isto, consideremos y e y K. Separando as variáveis, temos Integrando, obtemos que dy = rdt. y/ky ln y ln y/k = rt + c,.53 onde c é uma constante arbitrária a ser determinada pela condição inicial.5. Se < y < K, então teremos também < y < K e escrevemos.55 na forma y y/k = Cert, onde C = e c. Usando a condiçaõ inicial segue que C = dada por y y/k = y y /K ert, 43 y. Logo a solução é y /K

44 implicitamente. Resolvendo para y, encontramos y = y K..54 y + K y e rt Se y > K, então a abordagem da Equação.55 é um pouco diferente mas a solução é também dada por.56. Notemos que a Equação.56 também contém as soluções de equilíbrio y = ϕ t = e y = ϕ t = K, correspondente as condições iniciais y = e y = K, respectivamente. i Se y = tem-se da Equação.56 que yt = K para todo t. Se y >, então lim ft = y K = K. t y Portanto a solução tende à solução de equilíbrio y = ϕ t = K assintoticamente quando t. Neste caso, dizemos que a solução constante ϕ t = K é uma solução assintoticamente estável da Equação.5, ou que o ponto y = K é um ponto de equilíbrio, ou crítico, assintoticamente estável. Após um longo tempo, a população fica próxima ao nível de saturação K, independente do tamanho inicial da população, desde que seja positivo. Outras soluções tendem à solução de equilíbrio mais rapidamente quando r aumenta. Por outro lado, a situação para a solução de equilíbrio y = ϕ t = é bem diferente. Mesmo soluções que começam bem próximas de zero crescem quando t cresce e, como vimos, tendem a K quando t. Dizemos que ϕ t = é uma solução de equilíbrio instável ou que y = é um ponto de equilíbrio, ou crítico, instável. Isso significa que a única maneira de garantir que a solução permaneça nula é certificar-se de que seu valor inicial é exatamente iqual a zero. Concluimos que y = K é um ponto de equilíbrio, ou crítico, assintoticamente estável. Isto quer dizer que após um longo tempo, a população fica próxima ao nível de saturação K independente do tamanho da população inicial, desde que seja positivo. Outras soluções tendem a solução de equilíbrio mais rapidamente quando r aumenta. Um Limiar Crítico Considere agora a Equação.43 na forma d dy = r y y,.55 T com Y = y, obtemos um crescimento para a solução yt com um limiar crítico T, onde abaixo do limiar crítico T não existe crescimento e acima desse limiar a solução cresce indefinidamente. Isto significa que uma determinada população que se encontra abaixo do limiar crítico tende a se desaparecer, enquanto que um população que se encontra acima desse limiar, tende a crescer indefinidamente sem limitação.

As populações de algumas espécies exibem o fenômeno de limiar. Se está presente uma quantidade muito pequena, a espécie não se propaga com sucesso e a população torna-se extinta. No entanto, se for possível juntar uma população maior do que o limiar crítico, então ocorre um crescimento ainda maior. Como é claro que uma população não pode se tornar ilimitadamente, a Equação.55 deve ser modificada, finalmente, para se levar isso em consideração. Crescimento Logístico com um Limiar O modelo de limiar.55 precisa ser modificado de modo que não ocorra o crescimento ilimitado quando a solução está acima do limiar T. A maneira mais simples de fazer isso é introduzir um outro fator que tem o efeito de tornar dy/dt negativo quando y for grande. Assim, consideramos d dy = r y T y y,.56 K onde r > e < T < K. Estudando a equação do problema.56 sobre a condição inicial Y = y, obtemos que se y começa abaixo do limiar T, então y decresce até chegar à extinção. Por outro lado, se y começa acima do limiar T, então y acaba se aproximando da capacidade de sustentação K. Um modelo desse tipo geral descreve, aparentemente, a população de pombos selvagens que existia nos Estados Unidos em números imensos até o final do século XIX. Foi muito caçado para comida e por esporte e, em consequência, seus números estavam drasticamente reduzidos na década de 88. Infelismente, esses pombos selvagens só podiam se reproduzir com sucesso quando presentes em grandes concentrações, correspondendo a um limiar relativamente grande T. Embora ainda existisse um número relativamente grande de pássaros individuais ao final da década de 88, não havia um número suficiente concentrado em nenhum lugar que permitisse reprodução com suceso e a população diminuiu rapidamente até a extinção. O último sobrevivente morreu em 94. O declínio desenfreado na população de pombos selvagens de números imensos até a extinção em pouco mais de três décadas foi um dos primeiros fatores na preocupação sobre conservação naquele país. 45