Instituto Municipal de Ensino Superior de Catanduva SP Curso de Licenciatura em Matemática 3º ano Prática de Ensino da Matemática III Prof. M.Sc. Fabricio Eduardo Ferreira fabricio@fafica.br Estudo de Proporcionalidade, Porcentagem, Juros e Regra de Três Razão Razão é uma forma de comparação entre duas grandezas. Normalmente a razão vem expressa através de uma fração entre dois números inteiros, porém ela pode ser expressa na forma decimal ou na forma percentual. Por exemplo, se uma jarra de suco comporta 2 L de suco de abacaxi e outra jarra comporta 5 L de suco de abacaxi, comparando a capacidade da primeira jarra com a segunda jarra temos: 2 = 0,4 = 40% 5 isto significa: que a cada 2 partes da primeira jarra equivalem a 5 partes da segunda; se a capacidade da segunda jarra fosse dividida em partes a capacidade da primeira jarra ocuparia 4 destas partes (quatro décimos); ou que a capacidade da primeira jarra equivale a 40% da capacidade da segunda jarra. Porcentagem Porcentagem é uma razão cujo denominador vale 0. As porcentagens são úteis no dia a dia por fazer uma comparação de uma coleção de objetos com uma coleção de 0 objetos, indiferente da espécie que eles são constituídos. Alguns exemplos de porcentagem são: 13% = 13 0 8% = 8 0 = 4 50 = 2 25 0,7% = 0,7 7 = 0 0 = 7 1 = 7 0 00 É importante que o aluno tenha habilidade para converter as três formas racionais entre si: fracionária, decimal e percentual pois, dependendo da situação, uma forma é mais exigida do que outra. Alguns exemplos de conversão entre as formas racionais são: Forma Percentual Forma Fracionária Forma Decimal 20 % 20 0 = 1 20 0,20 2 % 2 0 = 1 50 0,02 75 % 75 0 = 3 4 0,75 140 % 140 0 = 14 = 7 5 1,40 1) Escreva na forma de porcentagem cada uma das seguintes razões: a) 11 20 c) 21 e) 14 15 g) 5 7 i) 13 15 b) 7 5 d) 5 f) 2 3 h) 3 4 j) 157 200 2) Escreva as porcentagens abaixo na forma de frações irredutíveis. a) 55 % e) 4 % b) 8 % f) 7 % c) % g) 22 % d) 120 % h) 2 %
Problemas envolvendo porcentagens Basicamente existem quatro tipos de problemas que envolvem porcentagens: problemas para determinar quanto uma porcentagem vale de um total; problemas para determinar quanto um valor representa em porcentagem de um total; problemas para aumentar ou diminuir uma porcentagem; problemas para determinar a porcentagem de um acréscimo ou decréscimo. Problemas para determinar a porcentagem de um total 1) Um aluno pode ter, no máximo, 25 % de faltas sobre o total de aulas dadas durante o ano letivo. Sabendo que um colégio tem 204 dias letivos previstos no seu calendário anual e uma carga horária diária de 5 aulas, calcule quantas aulas o aluno poderá faltar. Primeiramente vamos calcular o total de aulas anuais do colégio: 204 dias X 5 aulas = 20 aulas Agora vamos transformar a porcentagem na forma decimal: 25% = 25 0 = 0,25 Para determinar a porcentagem de um total procedemos da seguinte forma: 0,25 de 20 = 0,25 20 = 255 faltas Problemas para determinar quanto um valor representa em porcentagem de um total 2) Em determinada sala de aula 3 alunos são portadores de necessidades especiais. Sabendo que esta sala possui 40 alunos no total, os alunos portadores de necessidades especiais representam qual porcentagem do total? Neste caso basta determinarmos a razão entre os alunos portadores de necessidades especiais e o total de aluno da sala. 3 = 0,075 = 7,5% 40 OBSERVAÇÃO: Caso queiramos determinar a porcentagem de alunos não portadores de necessidades especiais basta deduzimos o valor encontrado de 0% (total). 0 % 7,5 % = 92,5 % Problemas para aumentar ou diminuir uma porcentagem 3) O litro de óleo de milho custava R$ 2,80 para o consumidor antes do aumento de 15 %. Qual o preço atual do litro de óleo de milho? Primeiramente podemos calcular quanto vale 15 % de R$ 2,80. 0,15 2,80 = 0,42 Depois é só adicionar o valor encontrado no preço original do óleo: 2,80 + 0,42 = 3,22 Outra maneira de resolver este problema é multiplicando o valor original pelo fator de acréscimo: 1 + 0,15 = 1,15 2,80 1,15 = 3,22 Problemas para determinar a porcentagem de um acréscimo ou decréscimo 4) Uma duplicata no valor de R$ 84,00 foi paga após a data de vencimento. Sabendo que o valor pago foi de R$ 94,50, pergunta-se: qual foi a taxa de juros cobrada nesta operação? Primeiramente devemos determinar qual foi a quantidade de juros em reais que o indivíduo pagou a mais: 94,50 84,00 =,50 Agora basta determinarmos a razão entre a quantia paga em reais e o valor original da duplicata.,50 = 0,125 = 12,5% 84,00
1) Para uma festa de formatura cada três alunos deverão vender 200 convites. Carla recebeu 90 convites, Juliana recebeu 60 convites e Ângela recebeu 50 convites. Se Carla conseguiu vender 80 % de seus convites, Juliana vender 40 % de seus convites e Ângela vender 60 % de seus convites, quantos convites não serão vendidos? 2) Salgando-se 20 litros de água com 4 kg de sal, e 50 litros de água com kg de sal, qual é a água mais salgada? 3) Comprei um objeto por R$ 745,20. Tornei a vendê-lo com um lucro de 15 %. Quanto recebi pela venda? 4) Um clube possui 5200 sócios com direito a voto. Para a escolha do novo presidente, votaram 3900 sócios. Qual a taxa percentual dos que deixaram de votar? Juros Simples Juro (J) é a quantidade de dinheiro paga por uma determinada quantia emprestada (C) por um determinado período de tempo (t) a uma determinada taxa de juros (i). No sistema de capitalização simples a taxa de juros (i) incide sempre sobre o dinheiro emprestado inicialmente (C). Para determinar o valor dos juros simples podemos utilizar a relação: J = C i t onde J é a quantidade de juros a ser paga, C é o capital inicialmente emprestado, i é a taxa de juros na forma percentual e t é o tempo em que a operação durou. Exemplo: Quanto rende de juros um capital de R$ 15 000,00, durante 3 anos, à taxa de 24 % ao ano? J = C i t J = 15000 3 0,24 J = 800 Caso desejarmos saber qual o montante final que o investimento possui devemos somar o capital com os juros produzidos. M = C + J = 15000 + 800 = 25800 OBS.: A taxa de juros (i) e o tempo (t) sempre devem estar na mesma unidade, caso contrário devemos fazer a conversão. Exemplo: Calcule os juros produzidos por um capital de R$ 1 200,00 à taxa de 24 % ao ano, durante 4 meses. Primeiramente devemos transformar a taxa anual em mensal: 24 % ao ano = 24 : 12 = 2 % ao mês. J = C i t J = 1200 0,02 4 J = 96 1) Calcule os juros de R$ 2500,00 à taxa de 18% ao ano, durante 2 anos. 2) Durante quantos meses deve ser aplicado um capital de R$ 5000,00 à taxa de 4% ao mês para render R$ 1200,00 de juros? 3) Calcule a taxa a que deve ser aplicado o capital de R$ 48000,00, para render R$ 1536,00 em 4 meses. 4) Calcule o capital que deve ser aplicado à taxa de 4 % ao mês, para render R$ 8000,00 em 5 meses. Grandezas Proporcionais Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido e é abstrato. São exemplos de grandezas: massa, tempo, temperatura, comprimento, largura, quantidade, etc... As grandezas podem relacionar-se entre si de duas maneiras: diretamente ou inversamente. Grandezas Diretamente Proporcionais (D.P.) são aquelas que ao aumentarmos uma a outra aumenta na mesma proporção, ou que ao diminuirmos uma a outra também diminui na mesma proporção. Exemplos: A quantidade de litros que abastecemos o tanque do carro é diretamente proporcional ao valor a ser pago na bomba. A quantidade de minutos falados ao telefone é diretamente proporcional ao valor a ser pago no final do mês. A quantidade de consumo de energia elétrica é diretamente proporcional ao valor a ser pago no final do mês.
Grandezas Inversamente Proporcionais (I.P.) são aquelas que ao aumentarmos uma a outra diminui na mesma proporção, ou que ao diminuirmos uma a outra aumenta na mesma proporção. Exemplos: A velocidade desenvolvida para percorrer uma distância é inversamente proporcional ao tempo gasto para percorrêla. O número de operários para executar uma obra é inversamente proporcional ao tempo gasto para efetuá-la. O número de costureiras para executar uma tarefa é inversamente proporcional ao tempo gasto para executá-la. Regra de Três Simples A regra de três é um procedimento que envolve três grandezas conhecidas para determinarmos uma quarta desconhecida, todas referentes ao mesmo fenômeno. Uma regra de três é simples quando envolver apenas duas grandezas que devem ser dispostas em colunas. Uma forma prática de executar uma regra de três é utilizar flechas que indicam o maior número numa determinada grandeza. Caso as flechas tenha o mesmo sentido as grandezas serão D.P. e devemos multiplicar em cruz. Caso as flechas tenham sentidos opostos as grandezas serão I.P. e devemos multiplicar em frente. Observe os exemplos: 1) Com kg de farinha de trigo são fabricados 400 pães. Quantos pães iguais aos primeiros serão fabricados com 4 kg de farinha de trigo? Massa Quantidade 400 4 x Neste caso ao diminuirmos a quantidade de farinha, diminui-se também a quantidade de pães produzidos. Trata-se de um exemplo que envolve grandezas diretamente proporcionais e devemos multiplicar em cruz. x = 1600 x = 1600 = 160 pães 2) Uma torneira enche uma caixa d água em 5 horas, despejando 8 L de água por minuto. Quanto tempo levará para encher a mesma caixa uma torneira que despeja L de água por minuto? Tempo Vazão 5 8 x Neste caso ao aumentarmos a vazão da torneira, a quantidade de tempo para encher a caixa d água diminui. Trata-se de um exemplo que envolve grandezas inversamente proporcionais e devemos multiplicar em frente. x = 40 x = 40 x = 4 minutos 1) De um saco de 60 kg de arroz com casca resultam 40 kg de arroz beneficiado. Para obtermos 500 kg de arroz beneficiado, quantos quilos de arroz com casca serão necessários? 2) Um metalúrgico ganha R$ 426,00 com 12 dias de trabalho. Quanto receberá em 25 dias de trabalho? 3) Completamente abertas, 2 torneiras enchem um tanque em 75 minutos. Em quantos minutos 5 dessas torneiras encheriam esse mesmo tanque? 4) Para colocar azulejos num edifício, 5 pedreiros de igual capacidade levam 27 dias. Com apenas 3 desses pedreiros, o mesmo trabalho poderá ser feito em quantos dias?
Regra de Três Composta Uma regra de três é composta quando envolver mais que duas grandezas ao mesmo tempo. Para resolver a regra de três composta primeiramente devemos colocar a coluna com a incógnita entre as demais colunas. Em seguida devemos colocar as flechas sempre indicando a maior quantidade. Para finalizar observamos as flechas para determinar se a grandeza é D.P. ou I.P. e efetuar as multiplicações. Observe os exemplos: 1) Se 5 operários, trabalhando durante 6 dias, montam 40 bicicletas. Quantas bicicletas desse mesmo tipo serão montadas por 7 operários, trabalhando 9 dias? Operários Dias Bicicletas 5 6 40 7 9 x Primeiramente devemos colocar a coluna com a incógnita X entre as demais colunas. Operários Bicicletas Dias 5 40 6 7 x 9 Agora vamos analisar separadamente as colunas: Se 5 operários fazem 40 bicicletas, 7 operários farão uma maior quantidade de bicicletas (D.P.); Se em 6 dias foram feitas 40 bicicletas, em 9 dias serão feitas uma maior quantidade de bicicletas (D.P.). Como tratam-se de grandezas diretamente proporcionais devemos multiplicar os valores em cruz. 5 x 6 = 7 40 9 30x = 2520 x = 2520 = 84 bicicletas 30 2) Trabalhando 7 horas por dia, 18 operários fazem um determinado serviço em 12 dias. Em quantos dias, 12 operários que trabalham 9 horas por dia farão idêntico serviço? Operários Dias Horas 18 12 7 12 x 9 Se 18 operários fazem o serviço em 12 dias, 12 operários irão demorar mais para realizar o mesmo trabalho. (I.P.) Se trabalhando 7 horas os operários demoraram 12 dias, trabalhando 9 horas eles irão demorar menos tempo. (I.P.) 12 x 9 = 18 12 7 8x = 1512 x = 1512 8 = 14 dias 3) Em 4 dias, 8 máquinas produziram 160 peças. Em quantos dias 6 máquinas iguais às primeiras poderão produzir 360 dessas peças? Máquinas Dias Peças 8 4 160 6 x 360 Se 8 máquinas fazem o serviço em 4 dias, 6 máquinas vão demorar mais tempo para executar o mesmo serviço; Se para produzir 160 peças demorou 4 dias, para produzir 360 peças irá demorar mais tempo. 6 x 160 = 8 4 360 960x = 11520 x = 11520 960 = 12 dias 1) Quatro trabalhadores colhem 200 caixas iguais de laranjas, em 5 dias, trabalhando num certo ritmo. Quantas caixas de laranjas, iguais a essas, serão colhidas em 3 dias, por 6 trabalhadores, no mesmo ritmo de colheita?
2) Uma viagem entre duas cidades foi feita de carro, em 4 dias, a uma velocidade de 75 km por hora, viajando-se 6 horas por dia. Viajando a 80 km por hora, durante 5 horas por dia, em quantos dias iríamos de uma cidade á outra? 3) Em 50 dias uma escola usou 6000 folhas de papel para imprimir provas do tipo A e do tipo B para 1200 alunos. A escola tem 1150 alunos, no momento. Quantas folhas de papel serão usadas durante 20 dias, para imprimir dois tipos de provas semelhantes às anteriores? 4) Uma máquina tem duas rodas dentadas: uma grande e outra pequena, encaixadas uma na outra. A roda maior tem 30 dentes e a menor tem 20 dentes. A roda maior dá 12 voltas em 2 minutos. Quantas voltas dá a roda menor em 5 minutos? Porcentagem e Regra de Três Podemos utilizar a regra de três para auxiliar na resolução de problemas envolvendo porcentagens. Observe o exemplo: 1) Supondo que 60% dos alunos de uma classe sejam meninas e que os meninos sejam 20, calcular o total de alunos. Primeiramente devemos determinar a porcentagem de alunos que representam os meninos: 0 % 60 % = 40 % Alunos Porcentagem 20 40 x 0 Como as grandezas são diretamente proporcionais basta multiplicarmos em cruz. 40x = 2000 x = 2000 = 50 alunos 40