Regra de três simples

Regra de três simples Aula 7 Velocidade Ricardo Ferreira Paraizo Tempo e-tec Brasil Matemática Instrumental

Meta Apresentar os conceitos sobre grandezas direta e inversamente proporcionais e regra de três. Objetivos Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de: 1. reconhecer grandezas diretamente proporcionais; 2. reconhecer grandezas inversamente proporcionais; 3. aplicar o conceito de regra de três na solução de problemas que envolvem grandezas direta e inversamente proporcionais.

Uma simples regra 161 É muito comum calcular as despesas que fazemos no dia-a-dia. Por exemplo: Quanto vou pagar por 450 g de pão francês? Quanto vou pagar por 5,6 m de pano? Quantos litros de gasolina gasto da minha cidade até ao Rio de Janeiro. Tudo isso é resolvido utilizando-se um instrumento muito importante na Matemática, que é a Regra de Três. Esse é o assunto da nossa aula de hoje e, para que você possa acompanhá-lo com facilidade, vamos começar compreendendo as grandezas. Aula 7 Regra de três simples Compreendendo as grandezas Primeiramente, vamos revisar dois conceitos importantes que são os pré-requisitos para o entendimento da resolução dos problemas: o que são grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais. Sem reconhecer essas grandezas, não temos os requisitos necessários para resolver os problemas. Vamos recordar, então: grandeza é tudo o que se pode aumentar ou diminuir. O preço do quilo de feijão, a altura de uma árvore e o consumo de gás são alguns exemplos de grandeza. Atenção! Razão é o quociente de dois números (ou duas quantidades ou duas medidas). Exemplo: a razão entre o volume de uma lata de refrigerante (350 ml) e o volume de uma garrafa de vinho (900 ml) é. Proporção é a igualdade de duas razões. Exemplo:. (Lê-se: 350 está para 900 assim como 7 está para 18.) Podemos escrever: 350 : 900 12 4 = 34 7 : 18 Meios Extremos Numa proporção vale dizer que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. No caso anterior, temos, então, que 900 x 7 = 350 x 18.

162 Grandezas diretamente proporcionais e-tec Brasil Matemática Instrumental Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra também dobra; triplicando uma delas, a outra também triplica, e assim por diante. Craig Jewell Fonte: www.sxc.hu Figura 7.1: Uma torneira gotejando desperdiça 40 litros de água por dia. Em dez dias o desperdício é de 400 litros.

Observe o exemplo a seguir: 163 Um carro percorre 60 km em 1 hora e 120 km em 2 horas. Billy Alexander Aula 7 Regra de três simples Fonte: www.sxc.hu Você pode perceber que o número de quilômetros aumentou, assim como o número de horas. Portanto, essas grandezas são diretamente proporcionais. Ou seja, Número de quilômetros Número de horas Logo, as grandezas são diretamente proporcionais. Nas grandezas diretamente proporcionais, a razão entre as grandezas precisa ser constante. Veja o exemplo anterior com os dados colocados numa tabela. Tempo (h) Espaço percorrido (km) 1 60 2 120 A razão entre as grandezas tempo (coluna da esquerda) e espaço (coluna da direita) é igual (ou seja, é constante). Veja: 1 60 = 2 120

164 Essa é uma característica importante das grandezas diretamente proporcionais, e-tec Brasil Matemática Instrumental isto é, a razão entre tais grandezas é uma constante. Grandezas inversamente proporcionais Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra se reduz pela metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte, e assim por diante. Marcelo Terraza Fonte: www.sxc.hu Figura 7.2: A previsão para este prédio ficar pronto é de 12 meses. Se a construtora responsável pelo empreendimento dobrar o número de operários, a obra será concluída em aproximadamente 6 meses. Veja outro exemplo: Para realizar certo serviço, 8 homens gastam 12 dias e 16 homens gastam 6 dias. Agora o número de operários aumentou e o número de dias diminuiu. Portanto, essas grandezas são inversamente proporcionais. Ou seja, Número de operários Número de dias Logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Nas grandezas inversamente proporcionais, o produto entre as grandezas precisa ser constante. Veja o exemplo anterior com os dados colocados numa tabela.

Nº de operários Tempo para desenvolver o serviço (dias) 8 12 16 6 O produto entre as grandezas, número de operários (coluna da esquerda) e tempo para desenvolver o serviço (coluna da direita) é igual (ou seja, é constante). Veja: Aula 7 Regra de três simples 165 8 x 12 = 16 x 12 Essa é uma característica importante das grandezas inversamente proporcionais, isto é, o produto entre tais grandezas é uma constante. Agora é a sua vez de praticar! Você precisa reconhecer com precisão se as grandezas envolvidas nos problemas são direta ou inversamente proporcionais. Faça as atividades a seguir com atenção, para que você compreenda a próxima seção da aula. Atividade 1 Atende ao Objetivo 1 Uma máquina produz 40 peças em 1 dia e 80 peças em dois dias. Agora, marque a opção correta em cada item: a. O número de peças: aumentou ( ) diminuiu ( ) b. O número de dias: aumentou ( ) diminuiu ( ) c. Essas grandezas são direta ou inversamente proporcionais? direta ( ) inversa ( )

166 e-tec Brasil Matemática Instrumental Atividade 2 Atende ao Objetivo 2 Numa indústria, 30 máquinas realizam um trabalho em 10 dias; 20 máquinas realizam o mesmo trabalho em 15 dias. Agora, marque a opção correta para cada item: a. o número de máquinas: aumentou ( ) diminuiu ( ) b. o número de dias: aumentou ( ) diminuiu ( ) c. as grandezas são direta ou inversamente proporcionais? direta ( ) inversa ( ) Uma regra para todas as horas Você lembra o que é uma regra de três simples? Essa regra é um processo prático para resolver problemas que envolvem grandezas direta ou inversamente proporcionais. Nesse processo, três dados do problema são conhecidos; falta determinar o quarto, ou seja, a resposta. Fonte: www.sxc.hu Figura 7.3: O relógio também é um bom exemplo de aplicação da regra de três: sabemos que uma hora tem sessenta minutos e, com isso, podemos descobrir quantos minutos têm 5 horas, 7 horas, 12 horas etc.

Para resolvermos uma regra de três, o mais importante é reconhecermos o tipo de grandeza envolvida no problema. Vimos que, quando usamos as mesmas palavras para comparar as grandezas, temos grandezas diretamente proporcionais e, quando usamos palavras inversas, temos grandezas inversamente proporcionais. Agora que você já sabe reconhecer as grandezas direta e inversamente proporcionais, preste atenção nos exemplos a seguir e veja como é fácil trabalhar com a regra de três simples: Exemplo 1 Aula 7 Regra de três simples 167 Se 5 toneladas de cana produzem 350 litros de álcool, quantos litros de álcool produzirão 18 toneladas de cana? Manoel Silva Figura 7.4: Quanto maior a quantidade de cana, maior será a produção de álcool. Resolução: Primeiramente, anotamos os dados do problema em forma de tabela. Veja: Toneladas Litros 5 350 18 X

168 Agora, verificamos se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. e-tec Brasil Matemática Instrumental Fazendo a análise, temos: Número de toneladas Número de litros Ficou em dúvida? Preste atenção! Observe que 5 toneladas de cana produzem 350 litros de álcool. Ora, se aumentarmos de 5 para 18 toneladas de cana, a produção de álcool também vai aumentar. Logo, as grandezas são diretamente proporcionais. Como as grandezas são diretamente proporcionais, então a razão entre essas grandezas é uma constante. Montamos a proporção: 5 350 = 18 x Então, vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, ou seja, multiplica-se cruzado. Assim, temos: E por fim: x = 350.18 5 5 350 = 18 x 5. x = 350. 18 = 70.18 = 1260 litros Então, com 18 toneladas de cana podem-se produzir 1.260 litros de álcool. Saiba mais... Regra de três passo a passo 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação. Seguindo esse roteiro, você não terá dificuldade em solucionar problemas desse tipo.

Exemplo 2 169 Se 12 operários constroem uma obra em 90 dias, em quanto tempo essa obra seria construída por 15 operários? Resolução: Organizando as informações do problema, temos: Operários Dias 12 90 15 x Aula 7 Regra de três simples Verificando se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais, temos: Número de operários Número de dias Veja, agora, que aumentar a quantidade de operários na obra implica concluí-la em menos dias. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Como as grandezas são inversamente proporcionais, o produto entre elas é uma constante. Veja: E, finalmente: x = 12.90 15 12. 90 = 15. x 15x = 12. 90 = 12.6 = 72 dias Então, podemos afirmar que a obra ficará pronta em 72 dias. Exemplo 3 Doze marinheiros pintam o casco de um barco em 4 dias e 4 horas. Quantos marinheiros, com a mesma capacidade de trabalho, pintariam o mesmo casco em 3 dias e 3 horas?

170 e-tec Brasil Matemática Instrumental Fonte: www.sxc.hu Figura 7.5: Este barco precisa ficar pronto o mais rápido possível; precisamos de mais alguns marinheiros. Resolução: Marinheiros Horas 12 100 x 75 Analisando as grandezas, concluímos que são inversamente proporcionais. O produto entre as grandezas é igual. Ou seja: 12.100 = x. 75 x = 12.100 75 75x = 12.100 simplificando por 25 x = 12.4 3 = 16

Então, podemos afirmar que 16 marinheiros pintam o casco do navio em 75 horas (3 dias e 3 horas). Atenção! Fixando as regras de três direta e inversa (i) Regra de três simples com grandezas diretamente proporcionais. Aula 7 Regra de três simples 171 O cálculo é feito mantendo a ordem das grandezas (ii) Regra de três simples com grandezas inversamente proporcionais. O cálculo é feito mantendo a ordem das grandezas

172 Possivelmente, você já ouviu alguém falar que, para aprender Matemática, são e-tec Brasil Matemática Instrumental necessários 90% de transpiração e 10% de inspiração. Dessa forma, pratique um pouco nas atividades a seguir. Atividade 3 Atende ao Objetivo 2 Com certa quantidade de ração é possível alimentar 50 coelhos durante 60 dias. Com essa mesma quantidade de ração, se o número de coelhos for outro, por quanto tempo poderão ser alimentados? Complete a tabela a seguir: Nº de coelhos Nº de dias 50 60 100 A 150 B C 40 D 30 E 120 F 300

173 Atividade 4 Atende ao Objetivo 2 Em 30 litros de água, à temperatura ambiente, é possível dissolver até 9.000 g de sal. Qual a quantidade máxima de sal que pode ser dissolvida em 1.800 litros de água? Aula 7 Regra de três simples Atividade 5 Atende ao Objetivo 2 Para encher 50 sacos iguais são necessários 1500 kg de adubo.

174 a. Quantos quilos cabem em cada saco? e-tec Brasil Matemática Instrumental b. Qual a quantidade de adubo necessária para encher 200 sacos iguais a este? c. Quantos sacos poderão ser enchidos com 600 kg de adubo? Atividade 6 Atende ao Objetivo 3 Em 5 hectares de um sítio plantou-se 8.000 pés de café. Quantos hectares seriam necessários para se plantar 36.000 pés de café?

175 Atividade 7 D E S A F I O Atende ao Objetivo 3 DESAFIO Um agricultor trabalhando sozinho faz uma horta em 6 horas e meia. Outro, mais experiente, leva 5 horas. Trabalhando juntos, em quanto tempo os dois agricultores fariam uma horta da mesma proporção que a primeira? Aula 7 Regra de três simples Nesta aula, desenvolvemos os conceitos de grandezas direta e inversamente proporcionais e regra de três, por meio de situações cotidianas e eventualmente relacionadas com outras áreas de conhecimento. Dessa forma, você teve a chance de compreender e fixar todo o conteúdo apresentado, que será de grande importância para o entendimento da próxima aula.

176 e-tec Brasil Matemática Instrumental Resumindo... Grandeza é tudo o que se pode aumentar ou diminuir. Por exemplo: a velocidade de um carro, o consumo de energia elétrica etc. Quando usamos as mesmas palavras para comparar as grandezas, temos grandezas diretamente proporcionais. Por exemplo: um forno tem a produção de ferro fundido de acordo com a tabela a seguir: Tempo (minutos) Produção (kg) 5 100 10 200 Ou seja, aumenta o tempo, aumenta também a produção. Assim, o tempo e a produção são grandezas diretamente proporcionais. As grandezas são inversamente proporcionais quando usamos palavras inversas. Por exemplo: um motociclista percorre determinada distância com a velocidade de 80km/h em 1 hora. Se ele percorrer a mesma distância diminuindo a velocidade para 40 km/h, gastará 2 horas para fazer esse percurso. Note que, diminuindo a velocidade, o tempo de percurso fica aumentado. Assim, a velocidade e o tempo para percorrer determinado espaço são grandezas inversamente proporcionais. A regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvem grandezas direta ou inversamente proporcionais, em que são conhecidos três dados do problema. Para resolver uma regra de três simples, basta seguir o passo-a-passo: 1º) Construir uma tabela, organizando as informações; 2º) verificar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais; 3º) montar a proporção e resolver a equação.

Informação sobre a próxima aula 177 Na próxima aula, vamos trabalhar com porcentagem. Atividade 1 Respostas das Atividades Aula 7 Regra de três simples a. aumentou b. aumentou c. diretamente proporcionais Atividade 2 a. diminuiu b. aumentou c. inversamente proporcionais Atividade 3 Analisando as linhas 1 e 2, vemos que estamos dobrando a quantidade de coelhos, significando que o tempo durante o qual vai durar a ração para esses coelhos ficará reduzido à metade (pois dobrou a quantidade de coelhos, mas não aumentou a quantidade de ração). Temos, nesse caso, grandezas inversamente proporcionais. Nº de coelhos Nº de dias 50 60 Linha 1 100 30 Linha 2 Observe que o produto entre as grandezas é constante: 50.60 = 100.30. Analisando as linhas 1 e 3. A quantidade de coelhos é multiplicada por três e a quantidade de ração não aumentou. Isso significa que as grandezas são inversamente proporcionais. Então, o tempo que essa ração vai durar para esses coelhos ficará reduzido à terça parte.

178 Veja: e-tec Brasil Matemática Instrumental Nº de coelhos Nº de dias 50 60 Linha 1 100 30 Linha 2 150 20 Agora, vamos analisar as linhas 1 e 7. O tempo foi multiplicado por 5; isso significa que o número de coelhos ficará reduzido à quinta parte. Veja: Nº de coelhos Nº de dias 50 60 Linha 1 10 300 Linha 7 Outro jeito de completar a tabela seria assim: Nº de coelhos Nº de dias 50 60 Linha 1 x 300 Linha 7 Como as grandezas são inversamente proporcionais, o produto entre as grandezas é uma constante. Veja: 50.60 = x.300 Ou seja: 300x = 60.50 simplificando x = 60.50 300 = 6.5 = 2.5 = 10 3 Veja a tabela completa: Nº de coelho Nº de dias 50 60 Linha 1 100 30 Linha 2 150 20 Linha 3

Atividade 4 Organizando as informações, temos: 75 40 Linha 4 100 30 Linha 5 25 120 Linha 6 10 300 Linha 7 Aula 7 Regra de três simples 179 Litros Gramas de sal 30 9000 1800 x Como as grandezas são diretamente proporcionais, então a razão entre as grandezas é igual, ou seja: Multiplicando cruzado, temos: 30 9000 = 1800 x 30x = 9000.1800 Com isso, 9000. 1800 x = = 9000.60 = 540000 gramas 30 Logo, podemos dissolver no máximo 540.000 gramas de sal em 1.800 litros de água. Atividade 5 a. 1.500 50 = 30kg. Logo, cada saco tem 30 kg de adubo. b. Sacos Kg de adubo 50 1500 200 X

180 Temos grandezas diretamente proporcionais; então a razão entre as grandezas e-tec Brasil Matemática Instrumental é igual., Assim: Resolvendo, temos: 50 1500 = 200 x 50x = 200.1500 x = 200.1500 50 x = 40.150=6.000kg c. simplificando x = 200.150 5 Sacos Kg de adubo 50 1500 x 600 Temos grandezas diretamente proporcionais; então a razão entre as grandezas é igual. Assim: Resolvendo, temos: 1500x = 50600 x = 50. 600 1500 50 1500 = x 600 x = 50. 6 15 x=10.2 x = 20 sacos. Atividade 6 Montando a tabela com os dados do problema, temos: Área (ha) Nº de pés 5 8000 x 36000 Como as grandezas são diretamente proporcionais, então a razão entre as grandezas é igual, ou seja: 5 x = 8000 36000

Multiplicando cruzado, temos: 181 Com isso, 8000x = 536000 5. 36000 x = = 8000 45 2 =22,5 ha Portanto, 36.000 pés de café podem ser plantados num terreno com área de 22,5 hectares. Aula 7 Regra de três simples Atividade 7 DESAFIO Vamos chamar de t o tempo total para terminar a horta. Em 1 h o agricultor A 1 fará a horta em 1 t 6, 5 Em 1 h o agricultor A 2 fará a horta em 1 5 t 1 Os dois agricultores, juntos, em 1 h, farão a horta em t + 1 6, 5 5 t 1 Vamos transformar t em fração com denominador inteiro: 6, 5 X10 : 5 1 10 2 X10 5 6 5 =, 65 = : 13 1 1 2 1 10t + 13t 23 t + t = t + t = = t 6, 5 5 13 5 65 65 Os dois agricultores, juntos, em 1h, farão a horta em 23 65 t Em 1 h os dois agricultores, juntos, farão a horta em 23 65 t Em x h eles farão a horta em 65 65 t 23.x 65 = 1 1 1 h - 23 65 t x h - 65 65 t 23 65 t.x = 65 65 t 65 23.x = 65 x = h = 2 h e 19 minutos 23

182 Referências bibliográficas e-tec Brasil Matemática Instrumental GIOVANNI, José Ruy et al. A conquista da matemática. 8ª série. São Paulo: FTD. 2002. IEZZI, Gelson et al. Matemática e realidade. 5. ed. São Paulo: Atual, 2005. Bibliografia complementar MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: idéias e desafios. 14. ed. 6ª série. São Paulo: Saraiva. 2007.