Isometrias
Isometria: do grego ισο + μέτρο (ισο = iso = igual; μέτρο = metria = medida) Uma isometria é uma transformação geométrica que preserva as distâncias entre pontos e consequentemente as amplitudes dos ângulos, transformando uma figura noutra figura congruente.
Existem quatro tipos de isometrias: Rotação Translação Reflexão Reflexão deslizante
ROTAÇÃO A Fig. 2 O que é uma rotação? O Rodar uma figura em torno de um ponto chamado centro de rotação (O). Fig. 1 A 180º A distância dos pontos ao centro de rotação mantém-se constante.
ROTAÇÃO Numa rotação: um segmento de recta é transformado num segmento de recta congruente um ângulo é transformado noutro ângulo congruente e com o mesmo sentido Uma rotação é uma transformação geométrica, associada a um ponto, o centro da rotação, e a um ângulo, cuja amplitude pode ser positiva ou negativa.
ROTAÇÃO Associado ao conceito de rotação está o conceito de ângulo orientado. Convencionou-se que a rotação tem sentido positivo quando a rotação se efectua no sentido contrário ao do movimento dos ponteiros de um relógio. Quando se efectua uma rotação no sentido do movimento dos ponteiros de um relógio, então diz-se que se efectuou uma rotação no sentido negativo. Sentido positivo ângulo orientado +90º Sentido negativo ângulo orientado -90º
Rotação no sentido positivo Rotação no sentido negativo
Pavimentações usando as rotações
Pavimentações usando as rotações
TRANSLAÇÃO O que é uma translação? Vector v Fig. 1 Fig. 2 Deslocamento de uma figura segundo um vector (um vector é um ser matemático que é caracterizado por uma direcção, um sentido e um comprimento).
TRANSLAÇÃO Em baixo, a figura B é a imagem da figura A pela translação T no plano. A figura A é a figura original (o objecto) e a figura B é a sua imagem (o transformado) através de uma translação. José Carvalho@2007 11
TRANSLAÇÃO Na figura que podes observar agora, o deslocamento foi feito segundo a mesma direcção e o mesmo sentido, mas não foi mantida a distância em todos os deslocamentos. A figura D não foi obtida por translação da figura C. Não existe nenhuma translação que permita obter a figura D a partir da figura C. José Carvalho@2007 12
TRANSLAÇÃO Uma translação transforma uma figura numa outra figura geometricamente igual. Todos os pontos da figura transformada (imagem) resultam de um deslocamento de todos os pontos da figura original definidos por: uma direcção; um sentido; um comprimento. José Carvalho@2007 13
TRANSLAÇÃO Todos os segmentos orientados que têm a mesma direcção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento (ou norma) representam o mesmo vector. O vector é o representante de todos os segmentos de recta equipolentes (ou seja, com a mesma direcção, mesmo sentido e mesmo comprimento). José Carvalho@2007 14
TRANSLAÇÃO Um vector fica então definido desde que se conheça: a direcção (que é dada pela recta onde esse vector se encontra: - a recta suporte do vector) o sentido (um dos dois possíveis na direcção) o comprimento (ou norma) José Carvalho@2007 15
TRANSLAÇÃO Consideremos o triângulo da figura abaixo e vamos obter a sua imagem através da translação associada ao vector representado a vermelho. 1.º passo: A partir de cada um dos vértices do triângulo, com régua e esquadro, vamos traçar paralelas com a direcção do vector dado José Carvalho@2007 16
TRANSLAÇÃO 2.º passo: Abrimos o compasso com comprimento igual ao do vector dado 3.º passo: Marcam-se as imagens dos vértices, respeitando o sentido indicado pelo vector José Carvalho@2007 17
TRANSLAÇÃO 4.º passo: Traçam-se os lados do novo triângulo cujos vértices são as imagens obtidas, obtendo-se a translação da figura original José Carvalho@2007 18
PROPRIEDADES DA TRANSLAÇÃO Concluindo: Uma translação transforma um segmento de recta num outro segmento de recta paralelo e congruente. Uma translação transforma um ângulo noutro ângulo congruente (com a mesma amplitude). Uma translação transforma uma figura noutra figura geometricamente igual. José Carvalho@2007 19
Translação associada ao vector u=(1,1)
Pavimentações usando as translações
Pavimentações usando as translações
REFLEXÃO O que é uma reflexão? Reflexão em redor de um eixo. Dada uma recta L chama-se reflexão em torno do eixo L ao movimento que transforma um ponto C em outro ponto C' verificando que: O segmento CC' é perpendicular a L. Os pontos C e C' são equidistantes do eixo L. Dito de outra forma o eixo L é a mediatriz do segmento CC'
Reflexão
Exemplos de Reflexões
REFLEXÃO DESLIZANTE O que é uma reflexão deslizante? A reflexão deslizante é a combinação de uma reflexão com uma translação. A figura que resulta da combinação de uma reflexão com uma translação chama-se de reflexão deslizante. O vector associado à translação tem de ser paralelo ao eixo de reflexão
Reflexão deslizante O quadrilátero [ABCD] é reflectido segundo uma reflexão obtendo-se o quadrilátero [A B C D ]. Em seguida, sofre uma translação associada ao vector u, obtendo-se o quadrilátero [A B C D ]. Assim, o quadrilátero [A B C D ] é a imagem do quadrilátero [ABCD] segundo uma reflexão deslizante.
SIMETRIAS
Existe uma simetria para cada um dos quatro tipos de isometrias: Simetria de Reflexão Simetria de Rotação Simetria de Translação Simetria de reflexão deslizante
SIMETRIA DE REFLEXÃO Existe, pelo menos, uma reflexão que deixa a figura globalmente invariante. Tal pode ser identificado se conseguirmos dobrar a figura de tal modo que as duas partes obtidas se sobreponham exactamente se conseguirmos colocar um espelho sobre a figura de modo a que a junção da parte reflectida com a não reflectida seja exactamente igual à figura toda
SIMETRIA DE REFLEXÃO A simetria de reflexão também se designa por simetria axial; o eixo de reflexão também se designa por eixo de simetria ou linha de simetria
EIXO DE SIMETRIA Eixo de simetria de uma figura é a recta sobre a qual se faz a dobra ou se coloca o espelho/mira que divide a figura ao meio de modo que uma metade da figura seja a reflexão da outra metade. Caso contrário, a recta não é eixo de simetria.
EIXOS DE SIMETRIA 1 eixo 2 eixos 6 eixos 1 eixo 2 eixos Não tem eixos
EIXOS DE SIMETRIA numa circunferência Os eixos de simetria duma circunferência são as rectas que passam pelo centro. Uma circunferência tem uma infinidade de eixos de simetria.
EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares Triângulo Quadrado Pentágono Hexágono Octógono 3 lados 4 lados 5 lados 6 lados 8 lados 3 eixos 4 eixos 5 eixos 6 eixos 8 eixos Um polígono regular com n lados tem n eixos de simetria
EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares Se o número de lados do polígono regular é ímpar, cada um dos eixos de simetria une um vértice ao ponto médio do lado oposto
EIXOS DE SIMETRIA em polígonos regulares Se o número de lados do polígono regular é par, cada um dos eixos de simetria une dois vértices opostos ou une os pontos médios dos lados opostos
SIMETRIA DE ROTAÇÃO Existe, pelo menos, uma rotação com uma amplitude superior a 0º e inferior a 360º que deixa a figura globalmente invariante. Tal pode ser identificado se conseguirmos girar a figura em torno de um ponto fixo (centro da figura), de modo a que a imagem resultante, através da rotação, coincida com a figura original.
SIMETRIA DE ROTAÇÃO Figura original Um terço de volta 120º Dois terços de volta 240º Um volta inteira 360º O centro da simetria rotacional é o ponto em torno do qual a figura roda (centro da figura) O ângulo da simetria rotacional é o ângulo orientado que descreve o movimento da figura
Exemplos de simetrias de rotação
SIMETRIA DE REFLEXÃO DESLIZANTE Esta simetria de reflexão deslizante caracteriza-se por ser uma reflexão que envia a pegada de baixo para cima seguida de um deslizamento que a faz avançar um passo. r 1º A pegada sofre uma reflexão em torno da recta r. 2º A pegada sofre uma translação na direcção e no sentido de um vector paralelo ao eixo de simetria. NOTA: Só existe simetria de reflexão deslizante em figuras infinitas
FIM