Seqüências Numéricas

Seqüências Numéricas É uma seqüência composta por números que estão dispostos em uma determinada ordem pré-estabelecida. Alguns exemplos de seqüências numéricas: (,, 6, 8, 0,,... ) (0,,, 3,, 5,...) (,, 9, 6, 5, 36,...) (0, 5, 0, 5, 30) é uma seqüência de números pares positivos. é uma seqüência de números naturais. é uma seqüência de quadrados perfeitos. é uma seqüência de números múltiplos de 5, maiores que cinco e menores que 35. Vale para qualquer seqüência numérica: (a, a, a 3, a,..., a n ) seqüência finita. (a, a, a 3, a,..., a n,... ) seqüência infinita. primeiro termo segundo termo terceiro termo quarto termo enésimo termo

Para obtermos os elementos de uma seqüência é preciso ter uma lei de formação da seqüência. Por exemplo: a n = n +, n Î N* Determine os cinco primeiros elementos dessa seqüência: a n = n + primeiro termo segundo termo terceiro termo quarto termo quinto termo n = n = n = 3 n = n = 5 a = + a = 3 a = + a = 5 a 3 = 3 + a 3 = 9 a = + a = 7 a 5 = 5 + a 5 = 33 Logo a seqüência será: ( 3, 5, 9, 7, 33,...) Progressão Aritmética P.A. Observe as seqüências numéricas abaixo: (,, 6, 8, 0,,... ) r = razão positiva ( -7, -3,, 5, 9, 3 ) r = P.A. crescente ( 90, 80, 70, 60, 50,, 0... ) r = -0 razão negativa (, -3, -8, -3, -8, -3 ) r = -5 P.A. decrescente ( 8, 8, 8, 8, 8, 8,...) r = 0 razão nula P.A. constante Note que as seqüências acima obedecem uma lógica: cada termo, após o primeiro, é igual ao anterior somado sempre um mesmo número. Este número é chamado de razão (r).

Para encontrar a razão de uma P.A. Basta diminuir qualquer termo de seu anterior: +r +r +r +r (, 6, 0,, 8,...) a a a 3 a a 5 a - a = r 6 = a 3 - a = r 0 6 = a - a 3 = r 0 = Progressão Aritmética P.A. Observe um exemplo de P.A. abaixo: É uma P.A. onde r = 3 +r +r +r +r (, 5, 8,,,...,,...) a a a 3 a a 5 a n a = a + ( ) r a 3 = a + ( ) r a = a + ( 3 ) r a 5 = a + ( ) r a 6 = a + ( 5 ) r a 7 = a + ( 6 ) r a 5 = a + ( 5) r Fórmula do Termo Geral a n = a + (n - )r a 9 = a + ( 9 - ) r a 9 = a + 90 r 3

É uma P.A de razão 6! a = Quanto vale a 9? a 9 = a + 90r a 9 = + 90(6) a 9 = + 50 a 9 = 5 (, 8,,, 0, 6, 3, 38,, 50, 56, 6, 68, 7, 80, 86, 9, 98 0, 0, 6,, 8, 3, 0,,,,, 70, 76, 8, 88, 9, 00, 06,,,,,,, 8, 5, 60, 66, 7, 78, 8,,,,, 3, 30, 36, 33, 338, 3, 350, 356,,,,, 386, 39, 398, 0, 0, 6,, 8,,,,,,,,,,,,, 6 5 58 6 8 30 36 90 96 30 308 36 368 37 380 3 0 6 5 58 6 70 76 8 88 9 500 506, 5, 58, 5, 530, 536, 5, 58, 55, 560, 566, 57,,,,, 60, 608, 6,... ) 578 58 590 596 Termo Geral de uma P.A. Fórmula do Termo Geral a n = a + (n - )r enésimo termo primeiro termo posição do enésimo termo razão da P.A.

Exemplo de Exercício de P.A. Sabendo que uma P.A. tem a = 8 e sua razão é igual a 5, determine a 3 : a 3 = a + (3 - )r a 3 = a + r Fórmula do Termo Geral a n = a + (n - )r a 3 = 8 + (5) a 3 = 8 + 60 a 3 = 68 a 3 ( 8, 3, 8, 3, 8, 33, 38, 3, 8, 53, 58, 63, 68,...) Progressão Aritmética P.A. Pela fórmula do termo geral podemos relacionar qualquer termo da P.A. com outro termo anterior. Observe: +r +r +r +r +r +r +r +r (,, 6, 8, 0,,, 6, 8,...,,... ) a a a 3 a a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a n a 7 = a + ( 6 ) r a 7 = a 5 + ( ) r a 7 = a + ( 5 ) r a 7 = a + ( 3 ) r a 9 = a 3 + ( 6 ) r Podemos relacionar quaisquer dois termos da P.A. a n = a k + ( n - k)r 5

Exemplo de Exercício de P.A. Sabendo que uma P.A. tem a 9 = e a 5 = 0 determine sua razão e o a n = a k + (n - k)r primeiro termo: a 9 = a 5 + (9-5)r - 7 0 3 6 9 a a a 3 a a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 5 = a + (5 - )r a 5 = a + r 0 = a + (3) 0 = a + 0 - = a a = - a 9 = a 5 + r = 0 + r 0 = r = r r = / r = 3 Exercícios de Sala: pág. 0) A seqüência (9 6x, + x, + 6x) são termos consecutivos de uma P.A. Então o valor de x é: 9 6x + x + 6x a 3 a = r a a = r a a a 3 a 3 a = a a ( + 6x) ( + x) = ( + x) (9 6x) + 6x x = + x 9 + 6x x = 0x 7 8x = 6 x = a 3 a = a a Para confirmar! (9 6x, + x, + 6x) ( 9 6, +, + 6 ) ( 9, + 8, + ) ( 7, 0, 3 ) 6

Exercícios de Sala: pág. 0) Em uma P.A., a 5 = 30 e a 6 = 8. Calcular a razão da P.A.: a 5 = 30 a 6 = 8 a n = a k + ( n - k)r a 6 = a 5 + ( )r 6 5 8 = 30 + r r = 8 30 r = 88 r = 88/ r = 8 Exercícios de Sala: pág. 03) Determine a razão de uma P.A. com 0 termos, sabendo que a soma dos dois primeiros é 5 e a soma dos dois últimos é 53? a a a 3 a a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 0 a = a + r a + a = 5 a 9 + a 0 = 53 Fórmula do Termo Geral a n = a + (n - )r a + r = 5 (-) a + 7r = 53 a 9 = a + 8r a 0 = a + 9r a + a + r = 5 a + 8r + a + 9r = 53 + -a r = -5 a + 7r = 53 6r = 8 r = 3 7

Representações Especiais Para facilitar a resolução de problemas em P.A. podemos utilizar os seguintes artifícios: para três termos em P.A. x r, x, x + r razão = r para quatro termos em P.A. x 3r, x r, x + r, x + 3r razão = r para cinco termos em P.A. x r, x r, x, x + r, x + r razão = r Exemplo: Três números estão em P.A.. A soma deles é e o produto 8. O termo do meio é: x r, x, x + r (x r) + (x) + (x + r) = x r + x + x + r = x + x + x = 3x = x = /3 x = 8

Propriedades da P.A. Um termo qualquer, excetuando os extremos é a média aritmética entre o termo anterior e o posterior. (,, 6, 8, 0,, ) = + 6 6 = + 8 0 = 8 + Propriedades da P.A. Numa P.A. limitada, a soma dos termos extremos é igual a a soma dos termos eqüidistantes dos extremos. Numa P.A. de quantidade de termos ímpar, o termo central é a média aritmética dos extremos e dos eqüidistantes aos extremos. (, 5, 8,,, 7, 0 ) 8 + = 5 + 7 = + 0 = 9

Interpolação Aritmética É a ação de inserir ou interpolar uma quantidade de meios aritméticos entre dois números que vão se tornar extremos de uma progressão aritmética. A fórmula utilizada é: a n = a k + ( n - k)r exemplo: interpolar entre e 0 cinco meios aritméticos: 5 8 7 0 a a a 3 a a 5 a 6 a 7 a 7 = a + 6r 0 = + 6r 0 = 6r 8 = 6r r = 3 Soma de Termos da P.A. A soma de Termos de uma P.A. é dada pela fórmula: S n = a + a n n exemplo: somar o números inteiros de até 0: 3 5 6 7 8 9 0 a a a 3 a a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 0 0

Soma de Termos da P.A. A soma de Termos de uma P.A. é dada pela fórmula: S n = a + a n n exemplo: somar o números inteiros de até 0: 3 5 6 7 8 9 0 a a a 3 a a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 0 a = a 0 = 0 n = 0 + 0 S 0 = 0 S 0 = 5 0 S 0 = 55 Exercícios de Sala: pág. 5 0) Quantos meios aritméticos devemos interpolar entre 00 e para que a razão seja? 00 0 08 6 0 a a n = a k + ( n - k)r a n = a + (n )r = 00 + (n ) = (n ) / = (n ) 6 = (n ) n = 7 a n se n = 7, então a P.A. tem 7 termos, logo vamos interpolar 5 meios aritméticos.

(a + b) = (a + b)(a + b) (a + b) = a + ab + ab + b (a + b) = a + ab + b (a - b) = a - ab + b (a + b)(a b) = a ab + ab - b (a + b)(a b) = a - b Exercícios de Sala: pág. 5 0) O perímetro de um triângulo retângulo mede 60m. Sabendo que seus lados estão em P.A., o valor da hipotenusa, é: 0 r 0 + r 0 (0 + r) = (0 r) + (0) 00 + 0r + r = 00 0r + r + 00 0r = 0r + 00 80r = 00 r = 5 (x r) + (x) + (x + r) = 60 x r + x + x + r = 60 5 3x = 60 x = 60/3 x = 0 0 5

Exercícios de Sala: pág. 5 03) Marque no cartão resposta a ÚNICA proposição correta. A soma dos múltiplos de 0, compreendidos entre e 995, é: 0. 98.000 0. 9.950 0. 99.000 08..99.00 6. 9.900 995 0 0 30 970 980 990 a a n = a + ( n ) r 990 = 0 + ( n )0 980 = ( n )0 98 = ( n ) n = 99 S n = S n = a + a n S n = 000 0 + 990 n 99 99 a n S n = 000 99 S n = 99000 Progressão Geométrica P.G. Observe as seqüências numéricas abaixo: (,, 8, 6, 3, 6,... ) q = ( -8, -7, -9, -3, - ) q = /3 P.G. a > 0 e q > crescente a < 0 e 0 < q < ( 000, 500, 50, 5,... ) ( -0, -30, -90, -70, -80 ) q = / q = 3 a > 0 e 0 < q < P.G. a < 0 e q > decrescente ( 5, -0, 0, -0, 80, -60 ) q = - q < 0 P.G. alternante ( 8, 8, 8, 8, 8, 8,...) q = q = P.G. constante Observe que cada termo, após o primeiro, é igual ao anterior multiplicado sempre um mesmo número. Este número é chamado de razão (q). 3

Para encontrar a razão de uma P.G. Basta dividir qualquer termo de seu anterior: q q q q (,, 8, 6, 3,...) a a a 3 a a 5 a a = q a 3 a = q a a 3 = q 8 6 = = = 8 Progressão Geométrica P.G. Observe um exemplo de P.G. abaixo: É uma P.G. onde q = 3 q q q q (, 3, 9, 7, 8,...,,...) a a a 3 a a 5 a n a = a q ( ) a 3 = a q ( ) a = a q ( 3 ) a 5 = a q ( ) a 6 = a q ( 5 ) a = a q ( ) a 6 = a q ( ) Fórmula do Termo Geral 60 a n = a q ( n - )

Progressão Geométrica P.G. Pela fórmula do termo geral podemos relacionar qualquer termo da P.G. com outro termo anterior. Observe: q q q q q (,, 8, 6, 3, 6,...,... ) a a a 3 a a 5 a 6 a n a 6 = a q ( 5 ) a 6 = a q ( ) a 6 = a q ( ) a 6 = a 3 q ( 3 ) Podemos relacionar quaisquer dois termos da P.G. a n = a k q ( n - k ) a 9 = a 5 q ( ) Exercícios de Sala: pág. 7 0) A seqüência (x + 5, x +, x/,...) é uma progressão geométrica de termos positivos. O décimo terceiro termo dessa seqüência é: a a = q a 3 a = q x + 5, x +, x/ a a a 3 a a a = 3 a (a ) = a a 3 (a ) = a a 3 (x + ) = (x + 5) ( x ) x +x + = x + 5x x + 5, x +, x/ () + 5, () +, / 9, 3,,... x + = 5x = 5x x x = 5

Exercícios de Sala: pág. 7 0) A seqüência (x + 5, x +, x/,...) é uma progressão geométrica de termos positivos. O décimo terceiro termo dessa seqüência é: x + 5, x +, x/ a a a 3 9, 3,,... Fórmula do Termo Geral a n = a q ( n - ) q = /3 a 3 = a q () a 3 = 9 ( ) () 3 3 3 - a 3 = 3 3 - a 3 = 3 + (-) a 3 = 3 - a 3 = 3-0 Exercícios de Sala: pág. 7 0) Determine o número de termos da P.G. (3, 6,..., 768): ( 3, 6,..., 768) 56 8 6 3 6 8 a a a n a n = a q ( n - ) 768 = 3 ( n - ) 768 3 = ( n - ) 56 = ( n - ) 8 8 = ( n - ) a a = q 6 = q 3 q = A P.G. tem nove termos! 8 = n - 8 + = n n = 9 6

Exercícios de Sala: pág. 7 03) Em uma progressão geométrica o primeiro termo é e o quarto é 5. O quinto termo dessa P.G. é: a = e a = 5 a n = a q ( n - ) a = a q ( - ) 5 = q 3 5 = q3 3 7 = q 3 7 = q q = 3 a 5 = a q a 5 = 5 3 a 5 = 6 Representações Especiais Para facilitar a resolução de problemas em P.G. podemos utilizar os seguintes artifícios: para três termos em P.G. x q, x, x q razão = q para quatro termos em P.G. x q 3, x, q x q, x q 3 razão = q 7

Propriedades da P.G. Numa P.G. de três termos (a, a, a 3 ) podemos dizer que o termo central é a média geométrica entre o anterior (a ) e o posterior (a 3 ), ou seja: ( a, a, a 3 ) (a ) = a a 3 Propriedades da P.G. Numa P.G. limitada, o produto dos extremos é igual ao produto dos termos eqüidistantes dos extremos. (,, 8, 6, 3, 6 ) 8 6 = 8 3 = 8 6 = 8 8

Interpolação Geométrica É a ação de inserir ou interpolar uma quantidade de meios geométricos entre dois números que vão se tornar extremos de uma progressão geométricos. A fórmula utilizada é: exemplo: a n = a k q ( n - k ) interpolar entre e 3 quatro meios geométricos: 3 9 7 8 3 a a a 3 a a 5 a 6 a 6 = a q 5 3 = q 5 5 3 = q 5 3 = q q = 3 Produto dos termos de uma P.G. O módulo do produto dos termos de uma P.G. finita é dado pela fórmula: P n = (a a n ) n 9

Soma de Termos de uma P.G. Podemos somar os termos de uma P.G. finita ou infinita. Se for uma P.G. finita: S n = a ( q n ) q ou S n = a n q a q Se a razão da P.G. for igual a, basta calcular: S n = n a Se for uma P.G. infinita: 8 8 + + + + + + + 6 + 3... = 6 /6 /8 / / 8 8 0,5 0,5 área completa do quadrado igual a 6 u.a. + 0,5 0,065 0,035 5,96875 0

Se for uma P.G. infinita: Dada uma P.G. em que 0 < q <, sua soma pode ser calculada pela fórmula: S = a - q 8 8 + + + + + + + 6 + 3... = 6 a a a 3 a a 5 a 6 a 7 a 8 a 9... S = a - q S = 8 - ½ S = 8 ½ S = 6 sempre que q = ½ S = a Exercícios de Sala: pág. 0 0) A soma de três termos em P.G. vale e o produto 6. Calcule a razão dessa P.G.: x q x x q = 6 x x x q q se q = ½ = 6 x 3 = 6 x = 3 6 x = 8,, se q =,, 8 x q q q + x + x q = + + q = + q = 0 + q = 0q q q q 0q + = 0 () q 5q + = 0 q = ½ ou q =

Exercícios de Sala: pág. 0 0) Numa P.G. de 0 termos, sabe-se que S 0 = 3069 e que a razão vale, o valor do quinto termo é: S n = a ( qn ) q S 0 = a ( 0 ) 3069 = a ( 0 ) 3069 = a ( 03) a = 3 e q = a 5 = a q a 5 = 3 a 5 = 3 6 a 5 = 8 3069 = a 03 a = 3 Exercícios de Sala: pág. 0 x x x 03) A solução da equação: x + + + +... = 5 é: 3 9 7 S = a - q trata-se da soma de infinitos termos de uma P.G. onde a = x e q = ⅓ 5 = x - ⅓ 5 = x ⅔ 5 5 = x 3 x = 0

P.A. x + x pot. P.G. a 8 = a + 7r a 8 = a q (7) a 3 = a 0 + 3r a 3 = a 0 q (3) S n = a + a n n P n = ( a a n ) n x r, x, x + r x q, x, x q 3