Aulão - Ministério da fazenda Matemática Financeira Professor: Ronilton Loyola Estudo das Taxas de Juros 1. Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes A classificação mais geral de uma taxa é em simples ou composta. A primeira para quando estivermos trabalhando no regime de capitalização simples, e a segunda para o regime de capitalização composta. 1.1. Taxas proporcionais São aquelas tal que seus valores formam uma proporção com os seus respectivos períodos de tempo. Por exemplo, consideremos as taxas de 72% a.a. (12 meses) e 6% ao mês. Elas são proporcionais, pois existe a proporção: 72% = 6%. 12 meses 1 mês 1

Vejamos outros exemplos: a) Qual a taxa mensal proporcional a 24% a.a.? b) Qual a taxa anual proporcional a 1,5% a.m.? c) Qual a taxa trimestral proporcional a 36% a.a.? 1.2 Taxas Equivalentes: São aquelas que, aplicadas sobre o mesmo capital, no mesmo prazo, produzem juros ou montantes iguais. Portanto, quando duas taxas são equivalentes, o efeito delas sobre o capital é o mesmo. Por exemplo, consideremos as taxas de 1% a.m. e 12% a.a, aplicadas sobre o mesmo capital de R$ 1.000,00, durante o prazo de 1 ano. O juro referente à taxa de 1% a.m. é: J = CiT = (1.000).(1%).(12) = R$ 120,00. O juro referente à taxa de 12% a.a é dado por: J = CiT = (1.000).(12%).1 = R$ 120,00. Logo, as taxas de 1% a.m. e 12% a.a são equivalentes. Importante!!! Fique atento no seguinte: no regime de capitalização simples, as taxas equivalentes também são proporcionais e vice-versa. Portanto, quando a questão for de juros simples, e vier falando em taxas equivalentes, entenderemos esse conceito como sinônimo de taxas proporcionais. O mesmo NÃO podemos dizer a respeito do sistema de capitalização composta. 2

2. Taxa Nominal e Taxa Efetiva Denomina-se taxa nominal de juros aquela apresentada em período diferente do regime de capitalização. Devemos converter a taxa nominal para o período dado na capitalização, utilizando o conceito de taxas proporcionais, já visto anteriormente. A taxa produzida no mesmo período da capitalização éataxaefetiva dejuros.ataxaefetivaéataxa verdadeiramente paga em uma aplicação. Exemplos: Dada uma taxa nominal de 24% ao ano, capitalizada mensalmente, devemos transformá-la em uma taxa igual a 24%/12 = 2% ao mês, que é a taxa efetiva da transação. Dada uma taxa nominal de 48% ao ano, capitalizada semestralmente, devemos transformá-la em uma taxa de 48%/2 = 24% ao semestre, que é a taxa efetiva da transação. 3. Taxas Equivalentes no Regime de Juros Compostos Duas taxas são ditas equivalentes quando, aplicadas sobre o mesmo capital, no mesmo prazo, produzem os mesmos montantes. Conforme vimos anteriormente, no caso de juros simples, as taxas equivalentes são sempre proporcionais. Por exemplo, 12% ao ano é proporcional e equivalente a 1% ao mês. O mesmo não podemos afirmar para o sistema de juros compostos. Vejamos o exemplo a seguir: Um capital de R$ 100,00 foi aplicado durante 12 meses, a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, com capitalização mensal. Qual a taxa anual equivalente? 3

Conclusão!!! Pelo exemplo vimos que: a taxa de 4% ao mês, para o mesmo capital e o mesmo prazo, é equivalente (produz o mesmo montante) que 60,10% ao ano, isto é, a taxa de 4% ao mês, capitalizada mensalmente, é equivalente à taxa de 60,10% ao ano, capitalizada anualmente. Observe que, no exemplo, 4% ao mês é proporcional a 48% ao ano (taxa nominal), mas não é equivalente, pois estamos diante de um regime de juros compostos. Importante perceber que duas taxas serão equivalentes quando seus fatores de capitalização forem iguais, no mesmo prazo. Vejamos: M 1 =M 2 C(1 + i 1 ) t 1 =C(1+i 2 ) t 2 (1 + i 1 ) t 1 =(1+i 2 ) t 2, onde i 1 ei 2 são as taxas equivalentes; t 1 e t 2 são prazos iguais em períodos diferentes (por exemplo, t 1 =12 meses e t 2 = 1 ano). Vamos aos exemplos seguintes, sobre taxas equivalentes no regime de juros compostos: a) Qual a taxa anual equivalente a uma taxa de 3% ao mês, capitalizada mensalmente? b) Qual a taxa efetiva anual de uma taxa nominal de 40% ao ano, com capitalização trimestral? 4

7. Taxa Real e Taxa Aparente Taxa real é a taxa efetiva depois de expurgarmos os efeitos da taxa inflacionária. Taxa aparente é a taxa em que não foram eliminados os efeitos inflacionários. Imagine uma pessoa que realiza um depósito de R$ 1.000,00 em um banco a uma taxa efetiva de 8% ao ano. No mesmo período de aplicação, foi apurada uma taxa inflacionária de 5% ao ano. Então, a taxa oferecida pelo banco não é a taxa real, e sim a taxa aparente, pois a remuneração do investimento, t no mesmo período, sofreu variações inflacionárias. Vejamos: Montante de aplicação a juros compostos de 8% ao ano: M=C(1+i) T = 1.000(1 + 8%) 1 = R$ 1.080,00. Montante após a correção monetária de 5% ao ano: M=C(1+i) T = 1.000(1 + 5%) 1 = R$ 1.050,00. Observe que, se o investidor recebe R$ 1.050, não há ganhos, mas apenas uma correção monetária do capital aplicado. Se o investidor recebe R$ R$ 1.080, o ganho real é de R$ 1.080,00 R$ 1.050,00 = R$ 30,00; o ganho aparente é R$ 1.080,00 00 R$ 1.000,00 = R$ 80,00. 00 Arelaçãoentreataxaaparente(i),ataxareal(r)eataxade inflação (f) é dada pela seguinte expressão, chamada Fórmula de Fischer: (1 + i) = (1 + f).(1 + r). 5

Exemplos de aplicações da fórmula: a) Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a uma taxa de 8% ao ano, durante 1 ano. A taxa de inflação nesse período foi de 5% ao ano. Qual a taxa de ganho real? b) Em um período com inflação de 12%, certa categoria de trabalhadores teve reajuste salarial de 6,4%. Qual a perda real de um trabalhador dessa categoria? Questões de Concursos 1. (Esaf/CVM) A taxa anual equivalente à taxa composta trimestral de 5% é: a) 19,58% b) 19,65% c) 19,95% d) 20,00% e) 21,55% 6

2. (Esaf/RFB) Em um período de um ano, a taxa aparente de juros foi de 15%, e a taxa de inflação, de 5%. Assim, a taxa real foi de: a) 9,52% b) 8,95% c) 10,00% d) 7,50% e) 20,75% 7