Produto interno no espaço vectorial R n

ALGA - 008/09 - Produto interno 8 Produto interno no espaço vectorial R n A noção de produto interno de vectores foi introduzida no ensino secundário, para vectores de R e R : Neste capítulo generaliza-se ao espaço R n esta noção e outras noções associadas. Produto interno euclidiano Se x = (x 1 ; : : : ; x n ) e y = (y 1 ; : : : ; y n ) são vectores de R n, então o produto interno euclidiano (ou usual) x y é de nido por x y = x 1 y 1 + x y + + x n y n Como casos particulares desta de nição temos os produtos internos já conhecidos em R e R : Exemplo: Em R 5 ; (1; ; ; 4; 5) (5; 4; ; ; 1) = 1 5 + 4 + + 4 + 5 1 = 5: Propriedades do produto interno: Se u; v; w são vectores de R n e R, então: 1. u v = v u.. u (v + w) = u v + u w:. 8 R; (u) v = (u v) = u (v) : 4. 8u; u u 0 5. u u = 0 se e só se u = (0; 0; : : : ; 0). Nota: Pode-se de nir produto interno de muitas outras maneiras, desde que as propriedades de 1 a 5 sejam respeitadas. Neste curso só vamos considerar o produto interno euclidiano, a que também se costuma chamar produto interno usual. Estas propriedades do produto interno são de dedução imediata a partir da de nição. Norma euclidiana Sejam u e v vectores de R n : De ne-se: 1. Norma euclidiana de u, kuk = p u u = p u 1 + u + + u n.. Distância entre os vectores u e v; d (u; v) = ku vk. Exemplo: Em R 5 : k(1; ; ; 4; 5)k = p 1 1 + + + 4 4 + 5 5 = p 55 d ((1; ; ; 4; 5) ; (5; 4; ; ; 1)) = k(1; ; ; 4; 5) (5; 4; ; ; 1)k = k( 4; ; 0; ; 4)k = p 40

ALGA - 008/09 - Produto interno 9 Propriedades da norma: Sejam u e v vectores de R n e R, então: 1. kuk 0 e kuk = 0 se e só se u = (0; 0; : : : ; 0) :. d (u; v) 0 e d (u; v) = 0 se e só se u = v:. kuk = jj kuk : 4. ku + vk kuk + kvk (desigualdade triangular). 5. ju vj kuk kvk (desigualdade de Cauchy-Schwarz). Estas propriedades da norma podem ser deduzidas, com mais ou menos manipulações algébricas, a partir da de nição de norma e das propriedades do produto interno. A desigualdade triângular pode ser facilmente visualizada em R como se mostra na seguinte gura: Aplicando a regra do paralelogramo para obter a soma u + v, observa-se na gura que se obtêm dois triângulos em que os lado medem kuk ; kvk e ku + vk : Ora num triângulo, qualquer lado é menor do que a soma dos outros dois, donde ku + vk kuk + kvk Ângulo de dois vectores Em R o conceito de ângulo de dois vectores é claro e a sua de nição a partir do produto interno euclidiano também. Recordemos como se fazem os cálculos em R antes de tratarmos da generalização a R n. Na gura seguinte aparecem dois vectores perpendiculares u e v. A construção para obter a soma através da regra do paralelogramo conduz a um triângulo rectângulo cujos catetos medem kuk e kvk e cuja hipotenusa mede ku + vk :

ALGA - 008/09 - Produto interno 0 De acordo com o teorema de Pitágoras: ku + vk = kuk + kvk : Por outro lado, calculando ku + vk a partir da de nição obtém-se: ku + vk = (u + v) (u + v) = u u + v v + u v = kuk + kvk + u v: Então, conclui-se facilmente que, sendo os vectores perpendiculares, será u v = 0: Consideremos agora os vectores u e v não perpendiculares em R e a projeção u do vector v sobre o vector u : Vamos agora construir um vector w perpendicular a u e tal que v = u + w: v = u + w =) v u = (u + w) u = u u + w u. Ora, como os vectores w e u são perpendiculares, sabe-se que w u = 0: Então obtém-se = v u u u = v u kuk : Por outro lado, pode-se determinar o ângulo entre os vectores u e v, considerando o triângulo rectângulo que tem catetos de comprimentos iguais a kuk e kwk e hipotenusa kvk, tendo em conta que cos = kuk kvk = kuk kvk = v u kuk kuk kvk = v u ou, escrevendo de kuk kvk

ALGA - 008/09 - Produto interno 1 outra maneira: v u = kuk kvk cos : A de nição de produto interno em R n permite generalizar a de nição de ângulo entre dois vectores v e u : Através da desigualdade de Cauchy-Schwarz, tem-se, para u e v não nulos, ju vj kuk kvk,, ju vj kuk kvk 1,, 1 u v kuk kvk 1: (1) Como é sabido, se é um ângulo cuja medida varia entre 0 e, então cos percorre todos os valores entre 1 e 1. Este facto e as desigualdades (1) permitem a seguinte de nição: Ângulo de dois vectores não nulos u e v; ^ (u; v) ; é o ângulo ; 0 ; tal que cos = u v ; isto é, o ângulo tal que kuk kvk cos ^ (u; v) = u v kuk kvk Esta era a de nição já conhecida anteriormente para ângulo entre vectores de R ou de R. De () obtém-se também a fórmula, já conhecida, para o produto interno de dois vectores: u v = kuk kvk cos ^ (u; v) : () Exemplo: Em R 5 : ^ (1; 1; 1; 0; 1) ; 1; 1; 1; p ; 0 = (1; 1; 1; 0; 1) 1; 1; 1; p ; 0 = arccos k(1; 1; 1; 0; 1)k 1; 1; 1; p ; 0 = 1 = arccos =

ALGA - 008/09 - Produto interno Ortogonalidade O cálculo do ângulo de dois vectores permite determinar quais os vectores de R n que são ortogonais, isto é, quais os vectores que formam entre si um ângulo de medida : Da igualdade () veri ca-se que se u e v são dois vectores não nulos então cos ^ (u; v) = 0 se e só se u v = 0: Isto motiva a seguinte de nição: De nição: Dois vectores u e v de R n dizem-se ortogonais se u v = 0: Nota: De acordo com a de nição o vector nulo é ortogonal a qualquer vector pois u (0; 0; : : : ; 0) = 0; 8u R n : Exemplos: Em R 4 os vectores u = (; 1; ; 4) e v = (; 1; 4; 1) são ortogonais pois (; 1; ; 4) (; 1; 4; 1) = 0: A noção de ortogonalidade permite generalizar o teorema de Pitágoras ao espaço R n : Teorema (Pitágoras): Se u e v são vectores ortogonais de R n ; então ku + vk = kuk + kvk : Demonstração: Bases ortonormadas ku + vk = = (u + v) (u + v) = = (u u) + (u v) + (v u) + (v v) = {z } {z } =0 =0 = kuk + kvk Um conjunto de vectores de R n diz-se ortogonal se os vectores do conjunto forem ortogonais dois a dois. Um conjunto ortogonal diz-se ortonormado se a norma de cada vector do conjunto for 1. Se nenhum dos vectores de um conjunto ortogonal é o vector nulo, pode-se obter a aprtir dele um conjunto ortonormado efectuando o produto de cada vector pelo inverso da sua norma, dado que, 8v R n n f(0; 0; : : : ; 0)g ; 1 kvk v = 1 kvk kvk = 1 kvk = 1; kvk A este processo de multiplicar um vector pelo inverso da norma chama-se normalização do vector v:

ALGA - 008/09 - Produto interno Exemplos: 1. O conjunto de vectores f(0; 1; 0) ; (1; 0; 1) ; (1; 0; 1)g é ortogonal, pois (0; 1; 0) (1; 0; 1) = 0; (0; 1; 0) (1; 0; 1) = 0 e (1; 0; 1) (1; 0; 1) = 0:. Para obter um conjunto ortonormado a partir do conjunto do exemplo 1, basta normalizar os vectores. Como k(0; 1; 0)k = 1; k(1; 0; 1)k = p e k(1; 0; 1)k = p 1 1 o conjunto (0; 1; 0) ; p (1; 0; 1) ; p (1; 0; 1) é ortonormado. De nição: Uma base de R n é ortogonal se é um conjunto ortogonal de vectores e é ortonormada se é um conjunto ortonormado de vectores. Exemplos: 1. A base canónica de R n é ortonormada.. O conjunto ortonormado de nido no exemplo acima, como é um conjunto linearmente independente com vectores em R ; é uma base ortonormada de R : Método de ortonormalização de Gram-Schmidt É possível encontrar uma base ortonormada para qualquer subespaço vectorial de R n. Isso pode ser feito a partir de qualquer base desse subespaço, utilizando um processo que se chama método de ortonormalização de Gram-Schmidt: A partir de uma base fu 1 ; : : : ; u k g de um subespaço, constrói-se um novo conjunto de vectores fv 1 ; : : : ; v k g da seguinte forma: v 1 = u 1 ; v = u u v 1 kv 1 k v 1; v = u u v 1 kv 1 k v 1 u v kv k v ;. Xk 1 v k = u k j=1 u k v j kv j k v j: Normalizando o conjunto obtido fv 1 ; : : : ; v k g ; que é ortogonal, obtém-se a base ortonormada de F v1 kv 1 k ; : : : ; v k : kv k k

ALGA - 008/09 - Produto interno 4 Produto externo e produto misto Ao contrário do produto interno, que pode ser de nido de forma muito geral em qualquer espaço vectorial de dimensão nita ou não nita, a de nição de produto externo de vectores é limitada a espaços de dimensão três. Vamos apresentar aqui a de nição de produto externo de vectores em R. Ao longo desta secção todos os vectores considerados são vectores do espaço R : De nição de produto externo Se u = (u 1 ; u ; u ) e v = (v 1 ; v ; v ) são vectores de R então o produto externo de u e v é o vector: u v = (u v u v ; u 1 v + u v 1 ; u 1 v u v 1 ) ou, em linguagem de determinantes, u u u v = det v v # ; det u 1 u v 1 v # ; det u 1 u v 1 v #! Sendo e 1 = (1; 0; 0) ; e = (0; 1; 0) e e = (0; 0; 1) os vectores da base canónica de R ; para facilitar a memorização desta de nição, podemos encontrar u v fazendo o desenvolvimento ao longo da primeira linha do determinante simbólico: u v = = \ det 4 e 1 e e u 1 u u 5 = = det v 1 v v # u u e 1 det v v u 1 u v 1 v # e + det u 1 u v 1 v # e Exemplo: Se u = (1; ; ) e v = (4; 5; ) u v = = \ det 4 e 1 e e 1 5 = 4 5 # # 1 = det (1; 0; 0) det (0; 1; 0) + det 5 4 = (1; 0; 0) ( ) (0; 1; 0) + ( ) (0; 0; 1) = ( ; ; ) 1 4 5 # (0; 0; 1) = Veri ca-se que ( ; ; ) (1; ; ) = 0 e ( ; ; ) (4; 5; ) = 0; ou seja, o vector u v é ortogonal ao vector u e ao vector v: Esta propriedade é geral, como vamos ver de seguida.

ALGA - 008/09 - Produto interno 5 Propriedades do produto externo Sejam u; v; w R e k R. Se [u; v; w] é linearmente independente:. (u v) u = 0 (u v é ortogonal a u). 4. (u v) v = 0 (u v é ortogonal a v). 5. ku vk = kuk kvksen] (u; v) :. Se u = (u 1 ; u ; u ), v = (v 1 ; v ; v ) e u v = (z 1 ; z ; z ) então det 4 u 1 u u v 1 v v 5 > 0: z 1 z z. u v = (v u) : 8. u (v + w) = (u v) + (u w) : 9. (u + v) w = (u w) + (v w) : 10. k (u v) = (ku) v = u (kv) : Se fu; vg é linearmente dependente, então 11. u v = (0; 0; 0) : 1. Em particular, u u = (0; 0; 0) e u (0; 0; 0) = (0; 0; 0) u = (0; 0; 0) : Através da propriedade ku vk = kuk kvksen] (u; v) ; pode-se facilmente obter que ku vk fornece o valor da área do paralelogramo cujos lados não paralelos são os vectores u e v, como se pode ver na gura: De nição de produto misto Se u; v; w R ; então o produto misto de u; v e w é u (v w) :

ALGA - 008/09 - Produto interno O produto misto de três vectores é, portanto, um número real que pode ser calculado, sendo u = (u 1 ; u ; u ) ; v = (v 1 ; v ; v ) e w = (w 1 ; w ; w ), por: Propriedades do produto misto Sendo u; v; w R ; então u 1 u u u (v w) = det 4 v 1 v v 5 w 1 w w 1. u (v w) = 0 se e só se o conjunto de vectores fu; v; wg é linearmente dependente.. u(v w) = (u v)w (no produto misto as operações podem ser trocadas, mantendo a ordem dos vectores) De facto, u (v w) = = det 4 u 1 u u v 1 v v 5 = w 1 w w w 1 w w = det 4 v 1 v v 5 = = det 4 u 1 u u w 1 w w u 1 u u 5 = v 1 v v = w (u v) = (u v) w Analogamente se veri ca que:. u (v w) = v (w u) 4. u (v w) = (u (w v)) = (v (u w)) = (w (v u)) Aplicações do produto externo e produto misto 1. O produto externo pode ser utilizado sempre que se pretenda encontrar, em R, um vector que seja simultaneamante ortogonal a dois vectores dados (que sejam linearmente independentes).. É sabido que equação de um plano com a direcção de dois vectores dados u; v e que passe pela origem é da forma ax + by + cz = 0

ALGA - 008/09 - Produto interno em que (a; b; c) é um vector ortogonal a u e a v: Para encontrar essa equação pode-se considerar para (a; b; c) o vector u v: De acordo com o exemplo da página 4, a equação do plano com a direcção dos vectores u = (1; ; ) e v = (4; 5; ) e que passa na origem pode ser x + y z = 0. O volume do paralelipípedo de nido por três vectores u; v e w é dado por ju (v w)j como é ilustrado na seguinte fugura: