Ângulo entre ponteiros do relógio 2016 Exemplos: Calcule o valor do menor ângulo entre os ponteiros dos relógios. a) 4h b) 4h 10min c) 4h 12 min www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 9
d) 4h 38 min e) 10h 22 min f) 10h 25 min www.nsaulasparticulares.com.br Página 2 de 9
1. (Uepg 2016) Um relógio analógico marca duas horas e trinta minutos. Ao lado deste, um segundo relógio marca um fuso horário diferente: dez horas e trinta minutos. Considerando o menor ângulo formado entre o ponteiro dos minutos e o ponteiro das horas, em cada um dos relógios, assinale o que for correto. 01) O ângulo no primeiro relógio é menor que 120. 02) O ângulo no segundo relógio é maior que 140. 04) No primeiro relógio, o ângulo é maior que no segundo. 08) O módulo da diferença entre os ângulos dos dois relógios é 30. 2. (Uepg 2014) Sobre arcos e ângulos, assinale o que for correto. 01) O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 1 hora e 40 minutos é 170. 02) Um trem desloca-se na velocidade constante de 60km h num trecho circular de raio igual a 500m. Então, em um minuto ele percorre um arco de 2rad. 04) Uma pessoa caminhando em volta de uma praça circular descreve um arco de 160 ao percorrer 120m. O diâmetro da praça é maior que 100m. 08) Em 50 minutos, o ponteiro dos minutos de um relógio percorre 5 rad. 3 3. (G1 - ifce 2014) Considere um relógio analógico de doze horas. O ângulo obtuso formado entre os ponteiros que indicam a hora e o minuto, quando o relógio marca exatamente 5 horas e 20 minutos, é a) 330. b) 320. c) 310. d) 300. e) 290. 4. (Unesp 2014) A figura mostra um relógio de parede, com 40 cm de diâmetro externo, marcando 1 hora e 54 minutos. Usando a aproximação 3, a medida, em cm, do arco externo do relógio determinado pelo ângulo central agudo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos, no horário mostrado, vale aproximadamente a) 22. b) 31. c) 34. d) 29. e) 20. Para ajudar nas resoluções: www.nsaulasparticulares.com.br Página 3 de 9
5. (G1 - cftmg 2013) Se o relógio da figura marca 8 h e 25 min, então o ângulo x formado pelos ponteiros é a) 12 30. b) 90. c) 102 30. d) 120. 6. (Udesc 2012) O relógio Tower Clock, localizado em Londres, Inglaterra, é muito conhecido pela sua precisão e tamanho. O ângulo interno formado entre os ponteiros das horas e dos minutos deste relógio, desprezando suas larguras, às 15 horas e 20 minutos é: a) 12 b) 36 c) 6 d) 18 e) 9 7. (Espcex (Aman) 2012) Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 14 horas e 30 minutos. 8. (Uel 2011) Um relógio marca que faltam 20 minutos para o meio-dia. Então, o menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos é: a) 90 b) 100 c) 110 d) 115 e) 125 Para ajudar nas resoluções: www.nsaulasparticulares.com.br Página 4 de 9
9. (G1 - cps 2008) A roda-gigante de um parque de diversões tem dezoito cadeiras, igualmente espaçadas ao longo do seu perímetro e move-se no sentido anti-horário, isto é, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Na figura, as letras A, B, C,... e R indicam as posições em que as cadeiras ficam cada vez que a roda gigante para. Com a roda gigante parada, Bruna senta-se na cadeira que está na posição A, posição mais baixa da roda gigante. A roda gigante move-se 5 6 de uma volta e para. Nesse momento, a letra relativa à posição da cadeira ocupada por Bruna é a) D. b) I. c) K. d) P. e) R. 10. (Ufsm 2007) No último pleito, o horário de encerramento das votações, segundo determinação do TSE para todo o estado do Rio Grande do Sul, foi às 17 horas. Passados 5 minutos do encerramento, o menor ângulo entre os ponteiros do relógio era de a) 123 b) 122 30' c) 122 d) 120 30' e) 120 Para ajudar nas resoluções: www.nsaulasparticulares.com.br Página 5 de 9
11. (Uflavras 2000) Às 11 horas e 15 minutos, o ângulo á (figura a seguir) formado pelos ponteiros de um relógio mede a) 90 b) 112 30' c) 82 30' d) 120 e) 127 30' 12. (Ufrgs 2000) Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de /12 rad, o ponteiro maior percorre um arco de a) /6 rad. b) /4 rad. c) /3 rad. d) /2 rad. e) rad. 13. (Ufrgs 1998) Os ponteiros de um relógio marcam duas horas e vinte minutos. O menor ângulo entre os ponteiros é a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 e) 65 14. (Unicamp 1992) Um relógio foi acertado exatamente ao meio dia. Determine as horas e minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42. Para ajudar nas resoluções: www.nsaulasparticulares.com.br Página 6 de 9
Gabarito: Exemplos: a) 120º b) 65º c) 54º d) 89º e) 179º f) 162,5º ou 162º 30` Resposta da questão 1: 01 + 08 = 09. Sejam θ 1 e θ 2, respectivamente, os ângulos no primeiro e no segundo relógios. O deslocamento do ponteiro das horas em 30 minutos é igual a 15. Desse modo, temos θ1 120 15 105 e θ2 120 15 135. [01] Verdadeira. De fato, pois θ1 105 120. [02] Falsa. Sabemos que θ2 135 140. [04] Falsa. Na verdade, temos θ1 105 135 θ2. [08] Verdadeira. Com efeito, já que θ1 θ2 105 135 30. Resposta da questão 2: 01 + 02 + 08 = 11. [01] Correto. O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio à 1h 40min é dado por 5 30 20 170. [02] Correto. Como 60km h 1000m min, o trem percorre, em 1 minuto, um arco de 1000 1 2rad. 500 [04] Incorreto. Um arco de 160 corresponde a 160 8 rad. Logo, tomando 3,14, 180 9 120 segue que o raio da praça é dado por 43 m. Portanto, o diâmetro da praça é, 8 3,14 9 aproximadamente, igual a 86 m. [08] Correto. Em 50 minutos, o ponteiro dos minutos de um relógio percorre 50 2 5 rad. 60 3 Resposta da questão 3: O ângulo percorrido pelo ponteiro das horas em 20 minutos corresponde a 20 10. 2 Desse modo, o menor ângulo formado pelos ponteiros dos minutos e das horas, às 5 horas e 20 minutos, é igual a 30 10 40. Em consequência, o maior ângulo formado por esses ponteiros é igual a 360 40 320. Observação: Dizemos que um ângulo α é obtuso se 90 α 180. www.nsaulasparticulares.com.br Página 7 de 9
Resposta da questão 4: Cada minuto do relógio corresponde a 6 o, portanto, α 60 6 66. Partindo da ideia que enquanto o ponteiro dos minutos se desloca 60min, o ponteiro das horas se desloca 30, temos: 60min 30 54min β Logo, β 27, portanto o arco pedido mede 66 + 27 = 93. Calculando, em centímetros, o comprimento do arco de 93, temos: 93 2 20 31cm (considerando, 3) 360 Resposta da questão 5: [C] O deslocamento do ponteiro das horas, em 25 minutos, é igual a 25 12 30'. Logo, como o 2 ângulo entre as posições 5 e 8 mede 3 30 90, segue que x 90 12 30' 102 30'. Resposta da questão 6: [E] Considere a figura. A cada 5 minutos corresponde um ângulo de 360 30. 12 Logo, θ α 30, sendo α o resultado pedido. Por outro lado, como o ângulo θ corresponde ao deslocamento do ponteiro das horas, em 20 minutos, segue que 20min 30 θ 10. 60min Desse modo, 10 α 30 α 20 rad. 9 www.nsaulasparticulares.com.br Página 8 de 9
Resposta da questão 7: [D] Considere a figura. O arco compreendido entre quaisquer dois pontos consecutivos indicados, sobre a circunferência, na figura, vale 360 30. Logo, α 4 30 120. Por outro lado, 12 o deslocamento do ponteiro das horas, em 30 minutos, é 30 θ 15. 2 Portanto, o resultado pedido é dado por: 105º Resposta da questão 8: [C] Considere α a medida do ângulo procurado e calculando x, temos : ponteiro das horas ponteiro dos minutos o 30 60 min x 40 min Por tan to, x 20 o o o o Logo, α 90 20 110 Resposta da questão 9: [D] Resposta da questão 10: Resposta da questão 11: Resposta da questão 12: [E] Resposta da questão 13: Resposta da questão 14: 13h e 24min www.nsaulasparticulares.com.br Página 9 de 9