Álgebra Linear Diagonalização de Operadores

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Aplicações Referências Álgebra Linear Diagonalização de Operadores Universidade Estadual Vale do Acaraci - Sobral - CE Semana da Matemática 2011 26 a 30 de setembro

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Aplicações Referências Índice 1 Introdução e Motivação 2 Preliminares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Transformações Lineares e Matrizes 3 Diagonalização de Operadores Autovalores e Autovetores Diagonalização de Operadores Formas Canônicas de Jordan 4 Aplicações Potências de uma matriz Exponencial de uma matriz Sistemas de Equações Lineares com coeficientes constantes Classificação de Cônicas 5 Referências

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Aplicações Referências Introdução e Motivação Álgebra Linear o estudo sobre transformações lineares, que são representados por matrizes agindo sobre vetores. Autovalores, autovetores e auto-espaços são propriedades de uma matriz. Eles capturam todas as propriedades essenciais da matriz ou o correspondente transformação. Historicamente, a importância de autovalores e os autovetores correspondentes surgiu a partir de estudos em física e no estudo das formas quadráticas e equações diferenciais. Estes têm aplicações em diversas áreas da ciência, em particular, na economia, engenharia mecânica, finanças, quantum, matemática e estatística. Muitas das aplicações envolvem o uso de autovalores e autovetores no processo de transformar uma determinada matriz em uma matriz diagonal, discutimos este processo neste mini-curso.

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Aplicações Referências Introdução e Motivação Matrizes diagonais são interessantes porque elas são fáceis de trabalhar - elas comportam-se como escalares quando são somadas ou multiplicadas. Diagonalização significa transformar uma matriz não diagonal em uma matriz que é equivalente ao uma matriz diagonal. Todos os operadores lineares que vamos falar sobre agir em espaços de finite dimensional diferente de zero.

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Espaços Aplicações Vetoriais Referências Transformações Lineares Transformações Li Espaços Vetoriais Intuitivamente, um espaço vetorial é um conjunto de elementos, que chamamos vetores, com os quais podemos efetuar combinações lineares, isto é, somas de elementos e multiplicação de elementos por números, que chamamos escalares. Definição 1 Seja K um corpo. Um espaço vetorial é um conjunto V, não vazio, munido de duas operações: soma + : V V V (v,w) v + w e multiplicação por escalar : K V V (k,v) k v tais que para quaisquer u, v e w V e a,b K as seguintes propriedades são satisfeitas:

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Espaços Aplicações Vetoriais Referências Transformações Lineares Transformações Li 1 (u + v) + w = u + (v + w) (propriedade associativa em relação à adição). 2 u + w = w + v (propriedade comutativa ). 3 0 V tal que u + 0 = u (0 é chamado vetor nulo). 4 u V tal que u + ( u) = 0. 5 a (u + v) = a u + a v. 6 (a + b) u = a u + a v. 7 (a b )v = a (b v) (propriedade associativa). 8 1 u = u. Exemplos R n e C n M m n (K); K = R ou C P n (K); K = R ou C

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Espaços Aplicações Vetoriais Referências Transformações Lineares Transformações Li Transformações Lineares Definição 2 Sejam V e W espaços vetoriais sobre um mesmo corpo K, e n, m números naturais. Uma função T: V W é dita linear se satisfaz: (i) T(u + v) = T(u) + T(v) u,v V, λ K. (ii) T(λu) = λu Transformações lineares preservam as operações que definem um espaço vetorial, soma e multiplicação por escalar. Em outras palavras, elas preservam combinações lineares. Definição 3 Uma transformação linear T: V V é dita operador linear. Notação: L(V ) = L(V,V).

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Espaços Aplicações Vetoriais Referências Transformações Lineares Transformações Li Exemplos de Operadores Lineares em R 2 Reflexão em torno do eixo x : T(x,y) = (x, y) Reflexão em torno do eixo y : T(x,y) = ( x,y) Reflexão em torno da origem: T(x, y) = ( x, y) Reflexão em torno da reta y = x : T(x,y) = (y,x) Rotação: T(x,y) = (x cos θ y sen θ,x sen θ + y cos θ) Dilatação ou Contração k > 1 : dilatação k < 1 : contração T(x,y) = (kx,ky)

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Espaços Aplicações Vetoriais Referências Transformações Lineares Transformações Li Matriz Associada a uma Transformação Linear Transformações lineares estão ligados a matrizes. Seja B = (b ij ) uma matriz m n e seja y = Bx onde x R n, e considere a aplicação T B (x) = Bx. Então T B : R n R m define uma transformação linear. Em particular, qualquer matriz A, n n pode ser visto como uma aplicação de R n para R n. Reciprocamente temos a seguinte proposição: Proposição Se T : V W é linear, dimv = n e dimw = m, então T(v) = Av, onde A M m n (K), a matriz A é única a memos de isomorfismo.

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Espaços Aplicações Vetoriais Referências Transformações Lineares Transformações Li Proposição Sejam V e W espaços vetoriais tais que {v 1,,v n } é uma base de V e {w 1,,w n } vetores arbitrários em W. Então!T : V W linear tal que T(v i ) = w i i = 1,,n. Definição Sejam T : V W linear, dimv = n, dimw = m,β V = {v 1,v 2,,v n } e β W bases de V e W, respectivamente. Dizemos que [T β V β W = [ [T(v 1 ) βw [T(v n ) βw m n é a matriz de T em relação as bases β V e β W. Definição Quando β e β são bases de V e I : V V é a identidade, a matriz de I em relação às bases β e β é chamada matriz mudança de base de β para β. Notação: [I β. β

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Espaços Aplicações Vetoriais Referências Transformações Lineares Transformações Li Proposição Sejam V, W espaços vetoriais de dimensão finita e T: V W linear. Considere α,α bases de V e β,β bases de W então: [T α β = [Iβ β [T α β [Iα α. T [V α V [w β W I I T [V α V [w β W Observe que [T α β e [T α β são matrizes semelhantes.

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Espaços Aplicações Vetoriais Referências Transformações Lineares Transformações Li Exemplos Exemplo 1: As matrizes associadas a alguns dos operadores lineares no espaço vetorial R 2 em relação à base canônica. [ 1 0 Reflexão em torno do eixo x : 0 1 [ cos θ sen θ Rotação : sen θ cos θ Exemplo 2: Considere a transformação linear T : M 2 2 (R) R 3 T ([ a c b d ) = (a + b, c d, 2a) Determine [T A,B, onde A e B são as bases canônicas de M 2 2 (R) e de R 3

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Autovalores Aplicações e Autovetores Referências Diagonalização de Operadores For Autovalores e Autovetores Definição Sejam K corpo, T L(V ) e V espaço vetorial sobre o corpo K, de dimensão n. Dizemos que λ K é um autovalor de T se existe v (V \ {0}) tal que T(v) = λv. Neste caso, dizemos que v é um autovetor de T associado a λ. Em resumo Um autovetor é um vetor que mantém sua direção depois de passar por uma transformação linear. Uma autovalor é o valor escalar que o autovetor foi multiplicado por durante a transformação linear.

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Autovalores Aplicações e Autovetores Referências Diagonalização de Operadores For Definição Seja λ e um autovalor do operador linear T. O conjunto V λ = {v V T(v) = λv} = ker(t λi) de todos os autovetores associados a λ juntamente com o vetor nulo 0 V, e denominado autoespaço correspondente ao autovalor λ. A dimensão de V λ é chamado multiplicidade geométrico do autovalor. Definição O conjunto de todos os autovalores de T é chamado de espectro de T.

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Autovalores Aplicações e Autovetores Referências Diagonalização de Operadores For Exemplo ( ) 1 O vetor x = é um autovetor da matriz 2 corresponde [ a autovalor ( ) λ = ( 3, pois ) 3 0 1 3 Ax = = = 3x 8 1 2 6 ( ) 2 O vetor x = não é um autovetor da matriz 3 pois não [ existe escalar ( ) λ tal( que ) 3 0 2 6 Ax = = = λx 8 1 3 13 [ 3 0 8 1 [ 3 0 8 1

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Autovalores Aplicações e Autovetores Referências Diagonalização de Operadores For Cálculo de Autovalores, Autovetores e Autoespaços Para determinar os autovalores de uma matriz A, considere a equação Ax = λx (A λi)x = 0 (1) A equação (1) tem um solução não nulo se e somente se det(a λi) = 0 (2) Equação (2) é chamado a equação característica de A.

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Autovalores Aplicações e Autovetores Referências Diagonalização de Operadores For Exemplo Determine os autovalores de 0 1 0 0 0 1 4 17 8

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Autovalores Aplicações e Autovetores Referências Diagonalização de Operadores For Diagonalização de Operadores Dado um operador linear T : V V, queremos encontrar uma base β de V na qual a matriz do operador nessa base ([T β β ) seja uma matriz diagonal. Problema 1: Dada uma matriz A,n n, existe uma base de R n de autovetores de A? Problema 2: Dada uma matriz A, n n, existe uma matriz invertível P 1 tal que P 1 AP seja diagonal? Definição Uma matriz quadrada A é diagonalizável se existe uma matriz invertível P tal que P 1 AP é uma matriz diagonal. Dizemos que P diagonaliza A.

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Autovalores Aplicações e Autovetores Referências Diagonalização de Operadores For Teorema Se A é uma matriz n n, então são equivalentes A é diagonalizável A possui n autovetores linearmente independentes Exemplo Verifique se A = 0 0 2 1 2 1 1 0 3 é diagonalizável.

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Autovalores Aplicações e Autovetores Referências Diagonalização de Operadores For Solução: Equação característica: (λ 1)(λ 2) 2 = 0 1 0 λ 1 = 2 v 1 = 0 1, v 2 = 1 0 λ 2 = 1 v 3 = 2 1 1 Existe 3 autovetores linearmente independentes, portanto A é diagonalizável. 1 0 2 P = 0 1 1 diagonaliza A. 1 0 1

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Autovalores Aplicações e Autovetores Referências Diagonalização de Operadores For P 1 AP = = 1 0 2 1 1 1 1 0 1 2 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 2 1 2 1 1 0 3 1 0 2 0 1 1 1 0 1 Exemplo Verifique se A = 1 0 0 1 2 0 3 5 2 é diagonalizável.

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Autovalores Aplicações e Autovetores Referências Diagonalização de Operadores For Solução: Equação característica: (λ 1)(λ 2) 2 = 0 0 λ 1 = 2 v 1 = 0 1 1 8 λ 2 = 1 v 2 = 1 8 1 Como A é uma matriz 3 3, mas existe somente 2 autovetores, A não é diagonalizável.

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Autovalores Aplicações e Autovetores Referências Diagonalização de Operadores For Teorema Se A é uma matriz n n, Para qualquer autovalor de A, a multiplicidade geométrica é menor ou igual a multiplicidade algébrica. A é diagonalizável se e somente se, para qualquer autovalor, a multiplicidade geométrica é igual a multiplicidade algébrica.

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Autovalores Aplicações e Autovetores Referências Diagonalização de Operadores For Formas Canônicas de Jordan Definição Seja λ K. Um λ - bloco de Jordan é uma matriz quadrada com todas as entradas da diagonal iguais a λ, as entradas imediatamente abaixo da diagonal iguais a 1 e as demais entradas nulas. Notação: J λ. Exemplo [ 1 1 J 2 = 0 1 1 1 0 J 3 = 0 1 1 0 0 1

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Autovalores Aplicações e Autovetores Referências Diagonalização de Operadores For Uma outra definição que pode ser encontrada em alguns livros para um λ - bloco de Jordan é: Uma matriz quadrada com todas as entradas da diagonal iguais a λ, as entradas imediatamente acima da diagonal iguais a 1 e as demais entradas nulas. Exemplo Uma matriz A está na forma canônica de Jordan se ela é escrita com blocos de Jordan na diagonal e as outras entradas nulas, ou seja, J λ1 0 0 0 0 J λ2 0 0 A =. 0 0..... 0......... 0 0 0 J λr onde cada J λi tem um tamanho específico não necessariamente igual aos dos outros.

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Autovalores Aplicações e Autovetores Referências Diagonalização de Operadores For Exemplo 3. 0 0. 0 0. 2 0. 0 0. 1 2. 0 0. 0 0. 2

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Autovalores Aplicações e Autovetores Referências Diagonalização de Operadores For Teorema Seja T L(V ) onde V é um espaço vetorial, sobre K, de dimensão n. Suponhamos Então: p T (x) = (x λ 1 ) s1 (x λ 2 ) s2 (x λ r ) sr e m T (x) = (x λ 1 ) d1 (x λ 2 ) d2 (x λ r ) dr. 1 Existe, pelo menos, um bloco de Jordan de tamanho d i d i associado ao autovalor λ i. 2 O número de blocos de Jordan de T associados ao autovalor λ i é a dimensão do autoespaço associado a λ i, ou seja, é igual a dimensão de E λi = Ker(T λ i I n ).

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Autovalores Aplicações e Autovetores Referências Diagonalização de Operadores For Exemplo Seja A uma matriz de ordem 9 9 cujo polinômio característico é (x 3) 5 (x 2) 4 e cujo polinômio minimal é (x 3) 3 (x 2) 2. A menos de isomorfismos, as possíveis formas Canônicas de Jordan de A são: 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Autovalores Aplicações e Autovetores Referências Diagonalização de Operadores For 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Autovalores Aplicações e Autovetores Referências Diagonalização de Operadores For Sejam T L(V ) e V espaço vetorial, sobre o corpo K, de dimensão n. Problema: O que fazer caso o operador T não seja diagonalizável? Existem alguns teoremas que nos garantem a existência de uma base para V, na qual T tem uma representação matricial mais conveniente? Além da Forma Canônica de Jordan, vejamos mais um resultado que nos permite obter uma representação matricial mais conveniente para T:

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Autovalores Aplicações e Autovetores Referências Diagonalização de Operadores For Teorema Se m T (x) = (x λ 1 ) d1 (x λ 2 ) d1 (x λ r ) dr então existe uma base α para V tal que [T α α = D + N, D operador diagonal e N operador nilpotente.

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Autovalores Aplicações e Autovetores Referências Diagonalização de Operadores For Algumas Conseqüências

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema Aplicação 1: Potências de uma matriz A maior aplicação direta de diagonalização é que ele nos dá uma maneira fácil para calcular grandes potências de uma matriz A, o que seria impossível de outra forma. Caso I Seja A uma matriz de ordem n diagonalizável, então existe uma matriz inversível M tal que M 1 AM = D ou A = MDM 1 onde M uma matriz formada colocando uma base de autovetores de A como colunas, e D é uma matriz diagonal com os autovalores de A na diagonal.

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema Portanto, podemos escrever A k = (MDM 1 ) k = (MDM 1 )(MDM 1 ) (MDM 1 )(MDM 1 ) }{{} k vezes = MD(M 1 M)D(M 1 M)D D(M 1 M)DM 1 = MD k M 1 Sendo que a última expressão é fácil de calcular, mesmo para k grande, porque uma potência de uma matriz diagonal é apenas a potência das entradas diagonais.

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema Exemplo 1 Se A = Solução [ 4 4 1 4, determine A 23. A matriz A tem auto ( valores ) λ 1 = ( 2 e λ) 2 = 6 com respectivos 2 2 auto-vetores v λ1 = e v 1 λ2 =. 1 Portanto, [ [ 2 0 2 2 D = e M = 0 6 1 1 [ 2 0 Então M 1 AM = = D onde M 0 6 1 = 1 4 Portanto A = MDM 1 e [ 1 2 1 2

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema A 23 = MD 23 M 1 = 1 [ 2 2 4 1 1 que é mais fácil de calcular. Caso II [ 2 23 0 0 6 23 [ 1 2 1 2 Seja A uma matriz de ordem n não diagonalizável com autovalores λ 1,λ 2, λ n contando com multiplicidade, então existe uma matriz de Jordan J e uma matriz inversível M tal que M 1 AM = J ou A = MJM 1 sendo

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema J = λ 1 1 0 λ 2 1 0... λ3 1 0...... 1... λn + = 0 1 0 0 1 0... 0 1... 0 λ 1... λ 2 0... λ3...... 1... 0 0...... λn + ou seja J = D + N

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema onde D é uma matriz diagonal e N é uma matriz nilpotente de ordem n, ou seja N n = 0. Como DN = ND, temos que J k = (D + N) k ( = D k k + 1 ) ( D k 1 k N + + n 1 ) D k n+1 N n 1 ( ) Portanto para k 2, A k = MJ k M 1, onde J k é a expressão em ( ).

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema Exemplo 2 Se A = Solução [ 9 4 9 3, determine A n. A matriz ( A tem ) auto valor λ 1 = 3 com multiplicidade 2 e auto-vetor 2 v λ1 =. Portanto ela não diagonalizável e 3 [ 3 1 J = 0 3 = D + N = [ 3 0 0 3 [ 0 1 + 0 0 ( ) [ a 2 a Procuramos um outro vetor v = tal que M = é b 3 b inversível e M 1 AM = J. Escolhemos a = 1, b = 1. Portanto,

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema M = [ 2 1 3 1 e M 1 = Agora, como DN = ND e N 2 = 0, temos [ 1 1 3 2 J n = (D + n) n = D n + nd n 1 N = [ [ 3 n 0 3 n 1 0 = 0 3 n + n 0 3 n 1 [ 3 n n3 = n 1 0 3 n [ 0 1 0 0 = Logo A n = MJ n M 1 = [ 2 1 3 1 [ = 3 n 1 3 + 6n 4n 9n 3 6n [ 3 n n3 n 1. 0 3 n [ 1 1 3 2 =

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema Aplicação 2: Exponencial de uma matriz Agora, se podemos calcular grandes potências de uma matriz, então podemos tentar fazer Series de Taylor com matrizes também! (Teríamos que se preocupar se eles convergem também, mas isso não é uma questão para esta curso). Em análoga com a série e x =, então nós define a matriz n=1 exponencial de uma n n, matriz A por e A = k=0 A k k! = Id + A + A2 2! + A3 3! + + Ap p! + Fato A soma acima converge para uma matriz com entradas finito para qualquer matriz A.

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema Proposição e 0 = Id Se A e B são duas matrizes que comuta de mesma ordem então e A+B = e A e B Se A e B são duas matrizes de mesma ordem com B inversível, então que e BAB 1 = Be A B 1 Para qualquer matriz quadrada A, temos que e A é sempre inversível com inversa e A. Se D = d dt então D(eA t ) = A e A t Agora vamos estudar a forma de calcular a exponencial de uma matriz:

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema Caso I Se A uma matriz nilpotente (A k+1 = 0 para algum k) então a série é uma soma finita: e A = Id + A + A2 2! + A3 3! + + Ak k! Exemplo 3 0 1 2 Se A = 0 0 1, calcule e A. 0 0 0

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema Solução Calculamos potências de A : 0 0 1 A 2 = 0 0 0, A 3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Logo A n = 0, n 3. Portanto e A = Id + A + 1 2 A2 = 1 1 5/2 0 1 1 0 0 1

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema Caso II Se A uma matriz diagonalizável, ou seja,. λ.. 1 λ 2 0 A = MDM 1. onde D =... λ3... 0..... λn então a série é uma soma infinita: e λ. 1.. e λ 2 0 e A = Me D M 1. = M.. e λ 3.... 0..... e λ n M 1.

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema Exemplo 3 [ 4 4 Se A = 1 4 Solução Do Exemplo 1 acima D = Logo [ 2 0 0 6 e A = M, calcule e A. [ 2 2, M = 1 1 [ e 2 0 0 e 6 e M 1 = 1 4 [ 1 2 1 2 M 1 = 1 [ 2e 2 + 2e 6 4e 6 4e 2 4 e 6 e 2 2e 2 + e 6.

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema Caso III Se A uma matriz de ordem n não diagonalizável, então existe uma matriz de Jordan J e uma matriz inversível M tal que M 1 AM = J, sendo J = D + N, onde D diagonal e N nilpotente de ordem n. Como DN = ND e N n = 0 temos que { } e J = e D+N = e D.e N = e D I + N + N2 2! + + Nn 1 (n 1)! Portanto, e A = Me J M 1.

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema Exemplo 4 [ 9 4 Se A = 9 3 Solução, calcule e ta. Do Exemplo [ 2 acima 3 1 J = = D +N, M = 0 3 Logo Portanto e A = e 3t.M [ 2 1 3 1 e M 1 = e Jt = e Dt.e Nt = e Dt (I + tn) = e 3t [ 1 t 0 1 [ 1 t 0 1 [ M 1 = e 3t 1 + 6t 9t [ 1 1 3 2 4t 1 6t.

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema Aplicação 3: Sistemas de Equações com coeficientes constantes Um sistema de equações diferenciais ordinárias lineares com coeficientes constantes pode ser escrito na forma matricial por Ẋ = AX, onde A é uma matriz n n com coeficientes constantes x 1 x 1 x 2 x 2 X = x 3 e Ẋ = x 3 (Notação: Ẋ = dx dt ).. x n x n Podemos escrever A como MJM 1 onde J é uma matriz diagonal ou na forma canônica de Jordan. Fazendo a mudança X = MY, o sistema fica equivalente a Ẏ = JY que é mais fácil de resolver.

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema Exemplo 5 Resolve os sistema { x1 = 3x 1 + 4x 2 x 2 = 3x 1 + 2x 2 dado que quando t = 0, X(0) = (x 1,x 2 ) t = (6,1) t. Solução: { x1 = 3x 1 + 4x 2 x 2 = 3x 1 + 2x 2 [ x1 x 2 = [ 3 4 3 2 [ 3 4 Seja A =. Então 3 2 [ 3 λ 4 P A (λ) = det = (λ 6)(λ + 1) 3 2 λ [ 6 0 λ 1 = 6, λ 2 = 1. Portanto J = 0 1 [ x1 x 2

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema Para λ 1 = 6, temos o sistema: [ [ [ 3 4 x 0 = 3 4 y 0 V λ1 = (4,3) t Para λ 2 = 1, temos o sistema: [ [ [ 4 4 x 0 = V 3 3 y 0 λ2 = (1, 1) t [ 4 1 Portanto a matriz, M = 3 1 O sistema é equivalente a Portanto, Ẏ = JY { y1 = 6y 1 y 1 (t) = c 1 e 6t y 2 = y 2 y 2 (t) = c 2 e t Y = ( y1 y 2 ) ( c1 e = 6t ) c 2 e t

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema Logo, a solução é [ ( 4 1 c1 e X = MY = 6t ) ( 4c1 e 3 1 c 2 e t = 6t + c 2 e t ) 3c 1 e 6t c 2 e t Se x 1 = 6 e x 2 = 1 quando t = 0, então ( ) 4c1 + c X(0) = 2 = 3c 1 c 2 ( 6 1 e portanto c 1 = 1 e c 2 = 2. Logo, a solução do problema do valor inicial é dada por ( 4e X = 6t + 2e t ) 3e 6t 2e t )

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema Exemplo 6 Ache a solução do sistema ẋ = Ax sujeita a condição x(0) = (3, 3) t onde A = [ 9 4 9 3. Solução: Do Exercício 2, A = MJM 1, onde J = [ 3 1 0 3 e M = [ 2 1 3 1 Fazendo a mudança X = MY, o sistema é equivalente a Ẏ = JY { y1 = 3y 1 + y 2 y 2 = 3y 2 y 2 (t) = c 2 e 3t

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema Portanto, Portanto, y 1 = 3y 1 + c 2 e 3t y 1 (t) = (c 1 + c 2 t)e 3t Y = ( y1 y 2 ) ( (c1 + c = 2 t)e 3t ) c 2 e 3t Logo, a solução é [ ( 2 1 (c1 + c X = MY = 2 t)e 3t ) 3 1 c 2 e 3t Se x 1 = 3 e x 2 = 3 quando t = 0, então ( ) 2c1 c X(0) = 2 = 3c 1 + c 2 ( ) = e 3t 2c1 2c 2 t c 2 3c 1 + 3c 2 t + c 2 ( 3 3 e portanto c 1 = 0 e c 2 = 3. Logo, a solução do problema do valor inicial é dada por ( ) X = 3e 3t 1 2t 1 + 3t )

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema Aplicação 4: Classificação de Cônicas Uma cônica é uma curva descrita em coordenadas canônicas de R 2 pela equação Ax 2 + By 2 + Cxy + Ex + Fy + G = 0 ( ) onde A,B,C,E,F,G são constantes. A cônica esta na forma canônica se em relação ao coordenadas canônicas do R 2 a sua equação é da forma: Ãx 2 + By 2 + G = 0 ( ) Exemplos são os círculos, elipses, parabolas e hipérboles. A equação ( ) pode ser expressa matricialmente por: [ [ A C x y C B [ x y + [ E F [ x y + G = 0 ( )

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema Nosso objetivo é eliminar o termo [ misto Cxy. Para isso, A C observamos que a matriz K = é real simétrica e C B portanto é diagonalizável. Ou seja existe uma matriz ortogonal P cujas colunas são os autovalores normalizados de K tal que PKP 1 = D, é a matriz diagonal. Portanto, se colocamos [ [ x x y := P, y então a equação ( ) pode ser escrito como (pois P 1 = P T ) + [ E F [ P T x [ x y P T DP [ x y y + G = 0 ou seja [ x y D [ x y + [ E F P t [ x y + G = 0

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema [ λ1 0 Se D = 0 λ 2 temos que, λ 1 e λ 2 sendo os autovalores da matriz K, λ 1 x 2 + λ 2 y 2 + [ E F P t [ x y + G = 0 que não possui mais o termo misto e portanto a sua posição geométrica será facilmente reconhecida.

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema Exemplo 7 Descreva a cônica cuja equação é Solução: [ x y [ 5 2 2 8 5x 2 4xy + 8y 2 + 20 5 x 80 5 y + 4 = 0. [ x y [ 20 + 80 [ x 5 5 y +4 = 0 ( ) [ 5 2 Seja K =. 2 8 Então [ 5 λ 2 P K (λ) = det = λ 2 8 λ 2 13λ 36 = (λ 9)(λ 4) λ 1 = 9, λ 2 = 4.

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema Para λ 1 = 9, temos o sistema: [ [ [ 4 2 x 0 = 2 1 y 0 V λ1 = (1, 2) t Para λ 2 = 4, temos o sistema: [ [ [ 1 2 x 0 = 2 4 y 0 Seja P = [ 1 5 2 5 2 5 1 5 Fazendo a mudança [ u v [ 9 0 0 4 [ x y [ u v V λ2 = (2,1) t [ 1 5 então P 1 = P T = [ u = P em ( ) temos v [ 20 + 80 [ 5 1 5 5 2 5 2 5 1 5 2 5 2 5 1 5 [ u v +4 = 0

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Potências Aplicações de umareferências matriz Exponencial de uma matriz Sistema ou seja, 9u 2 + 4v 2 + 36u 8v + 4 = 0 Completando o quadrado temos que (u + 2) 2 (v 1)2 2 2 + 3 2 = 1 que é uma elipse. y 5 4 3 2 1 3 2 1 0 1 2 3 x

Introdução e Motivação Preliminares Diagonalização de Operadores Aplicações Referências Referências Bibliográficas 1 Lima, Elon Lages, Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento. Projeto Euclides. Rio de Janeiro: IMPA, 1998. 2 Vilches, Maurício, Introdução à Topologia Algébrica. Departamento de Análise - IME -UERJ. Rio de Janeiro, 2004, Edição online: www.ime.uerj.br/ calculo. 3 Hatcher, Allen, Algebraic Topology. Cambridge University Press, Edição online: www.math.cornell.edu/ hatcher/at/atpage.html 4 Croom, Fred H., Principles of Topology. Saunders College Publishing 1989.