Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível 3 Prof. ícero Thiago Aula 8 Teorema de Menelaus e problemas de colinearidade Teorema 1. Se uma reta intersecta as retas, A e A de um triângulo A nos pontos L, M e N, respectivamente, então L L N NA AM M = 1. Inversamente, se L, M e N são pontos sobre os lados, A e A do triângulo A tais que L L N NA AM = 1, então L, M e N são colineares. M Demonstração. A Q N P M R L Sejam AP, Q e R as perpendiculares traçadas a partir de A, e, respectivamente, à reta em que se encontram L, M e N. É fácil ver que os triângulos retângulos APN e QN são semelhantes, assim como os triângulos retângulos QL e RL. Então N AN = Q AP e L L = R Q. Por outro lado, os triângulos retângulos APM e RM também são semelhantes. De modo que AM M = AP R.
POT 2012 - Geometria - Nível 3 - Aula 8 - Prof. ícero Thiago Portanto, N AN L L AM M = Q AP R Q AP R = 1. A N N 1 M L Suponha, de maneira falsa, que L L N NA AM = 1 e os pontos L, M e N não são M colineares. Prolongue LM até intersectar A em N 1. Pelo que foi provado acima temos que L L N 1 N 1 A AM M = 1, assim N1 N 1 A = N NA N = N 1. Dessa forma, L, M e N são colineares. Teorema 2. (Pascal) Seja ADEF um hexágono inscrito em um círculo e sejam H, K e I os pontos de intersecção de A e ED, e FE e AF e D, respectivamente. Então, H, K e I são colineares. Demonstração. As retas A, D e EF determinam o triângulo XYZ. onsidere as retas AFI, K e HDE que cortam as retas que formam o triângulo XYZ. Aplicando o teorema de Menelaus, temos XA AZ ZF FY YI IX = 1, X Z ZK KY Y X = 1, XH HZ ZE EY YD DX = 1. Multiplicando as três igualdades e considerando que XA X = X XD =,Y YD = YE YF e ZE ZF = ZA Z(provaremos a validade destas igualdades na aula de Potência 2
POT 2012 - Geometria - Nível 3 - Aula 8 - Prof. ícero Thiago deponto e Eixoradical), obtemos YI XH ZK = 1. Pelo teorema demenelaus temos que IX HZ KY I, K eh sãocolineares. OteoremadePascal permitevariaçõescomooexercícioresolvido2. I Z F A E Y D X K H Exercícios resolvidos 1. Dadas três circunferências 1, 2 e 3 de centros O 1, O 2 e O 3 e raios r 1, r 2 e r 3, respectivamente. Seja X a intersecção das tangentes comuns externas de 1 e 2, Y a intersecção das tangentes comuns externas de 1 e 3 e, finalmente, Z a intersecção das tangentes comuns externas de 2 e 3. Prove que X, Y e Z são colineares. Solução. Éfácil verificarquex, O 1 eo 2 sãocolineares. Assim, XO 1 P 1 XO 2 P 2 e, com isso, O 1X O 2 X = O 1P 1 = r 1. Analogamente, O 3Y O 2 P 2 r 2 O 1 Y = r 3 e O 2Z r 1 O 3 Z = r 2. Portanto, r 3 O 1 X O 2 X O3Y O 1 Y O2Z O 3 Z = 1. Pela recíproca do teorema de Menelaus concluímos que X, Y e Z são colineares. Este resultado é conhecido como teorema de Monge. 3
POT 2012 - Geometria - Nível 3 - Aula 8 - Prof. ícero Thiago Z Y O 2 O 1 X P 1 P 2 O 3 2. SejaP umpontonointerior dotriângulo A. Sejam M en as projeções dep sobre A e A, respectivamente. Seja K a projeção de A sobre P e seja L a projeção de A sobre P. Prove que KM, LM e são concorrentes. Solução. É fácil ver que A, K, M, P, N e L são concíclicos. No hexágono AKMPNL temos que AM LP =, AN KP =, KM LN = Q. 4
POT 2012 - Geometria - Nível 3 - Aula 8 - Prof. ícero Thiago Pelo teorema de Pascal temos que, e Q são colineares, ou seja, KM, LM e são concorrentes. A L K N M P Q 3. Prove que as bissetrizes internas de dois ângulos de um triângulo isósceles e a bissetriz externa do terceiro ângulo do triângulo intersectam os lados opostos em três pontos colineares. Solução. No triângulo A, M e N são bissetrizes internas dos ângulos e, respectivamente, e AL é a bissetriz externa do ângulo A. Pelo teorema da bissetriz interna temos que AM M = A e N NA = A. Além disso, pelo teorema da bissetriz externa temos que Assim, L L = A A. 5
POT 2012 - Geometria - Nível 3 - Aula 8 - Prof. ícero Thiago AM M N NA L L = A A A A = 1. Pela recíproca do teorema de Menelaus temos que N, M e L são colineares. N A M L 4. Seja G o baricentro do triângulo A e sejam AM, N e K as bissetrizes internas com M em, N em A e K em A. Prove que umadas alturas do triângulo A é igual a soma das outras duas se, e somente se, G pertence a um lado do triângulo MNK. Solução. Vamos supor que o baricentro G pertence ao lado NK do triângulo MNK. Seja X AN o ponto médio de A. K M G A D N onsidere o triângulo AX, em que K, G e N são colineares e pertencem, respectivamente, às retas A, X e XA. Pelo teorema de Menelaus temos AK K G GX XN NA = 1. (1) Além disso, pelo toerema da bissetriz interna e por G ser o baricentro temos AK K = A e G GX = 2. (2) 6
POT 2012 - Geometria - Nível 3 - Aula 8 - Prof. ícero Thiago Se = a, A = b e A = c e substituindo (2) em (1) temos Temos que AN = bc a+c Então, Substituindo em (3) temos b XN 2 a NA = 1. (3) pelo teorema da bissetriz interna. Por outro lado, XN = AN AX = bc a+c b 2 = bc ba 2(a+c). XN AN = bc ba 2(a+c) a+c = c a bc 2c. 1 = 2 b a c a ac = bc ab 2c bc = ac+ab. (4) Se s = [A] e h A, h e h são as alturas do triângulo A correspondentes aos vértices A, e temos que Então, se em (4) multiplicarmos por ou seja, 2s = a h A = b h = c h. s, temos que abc s a = s b + s c, h A = h +h. Reciprocamente, se h A = h +h, fazendo o processo inverso chegamos em AK K G GX XN NA = 1. Assim, pelo teorema de Menelaus temos que K, G e N são colineares. 7
POT 2012 - Geometria - Nível 3 - Aula 8 - Prof. ícero Thiago 5. (Reta de Newton) Seja AD um quadrilátero tal que A e D intersectam - se em E, AD e intersectam - se em F e sejam N, L e M os pontos médios de EF, A e D, respectivamente. Prove que N, L e M são colineares. Solução. E A P M L D Q N R F Sejam P, Q e R os pontos médios de E, E,, respectivamente. Pelo teorema da base média temos que Q, L e R são colineares e QL LR = EA A. Da mesma forma, P, MR e R são colineares e e N, Q e P são colineares e RM MP = D DE, PN NQ = F F. Aplicando o teorema de Menelaus no triângulo E cortado pela transversal ADF temos EA A F F D DE = 1, portanto QL LR RM MP PN NQ = EA A D DE F = 1. Pelo teorema de Menelaus aplicadoaotriângulopqreospontosm, LeN concluímos quem, LeN F sãocolineares. Exercícios propostos 8
POT 2012 - Geometria - Nível 3 - Aula 8 - Prof. ícero Thiago 1. Prove que as bissetrizes externas dos ângulos de um triângulo, não isósceles, intersectam os lados opostos em três pontos colineares. 2. O ortocentro de um triângulo A é o ponto médio da altura relativa ao vértice. Prove que cos = cos A cos, em que A, e são os ângulos do triângulo A. 3. A bissetriz AD de um triângulo A divide o lado na razão 2 : 1. Determine a razão em que a mediana E divide a bissetriz. 4. (Macedônia) Seja Γ a circunferência circunscrita ao triângulo A. Seja D a intersecção da tangente à Γ, em A, com o lado, E a intersecção da tangente à Γ, em, com o lado A e F a intersecção da reta tangente à Γ, em, com o lado A. Prove que D, E e F são colineares. 5. (OM) No triângulo A, D é ponto médio de A e E ponto sobre o lado tal que E = 2 E. Sabendo que AD = AE, calcule o valor de A. 6. (IMO) As diagonais A e E de um hexágono regular ADEF são divididas internamente pelos pontos M e N, respectivamente, narazão AM A = N = r. Determine E r se, M e N são colineares. 7. Seja A um triângulo e sejam E e D pontos sobre o lado tal que E = ED = D. Seja F o ponto médio de A e G o ponto médio de A. Seja H a intersecção de EG e FD. Determine o valor de EH HG. 8. Seja AD um trapézio com A D e seja X um ponto no segmento A. Se P é a intersecção de e AD, Y a intersecção de D e PX, R a intersecção de AY e 1 D e T a intersecção de PR e A. Prove que AX = 1 AX + 1 A. 9. (one Sul) Seja uma circunferência de centro O, A um diâmetro dela e R um ponto qualquer em distinto de A e de. Seja P a intersecção da perpendicular traçada por O a AR. Sobre a reta OP se marca o ponto Q, de maneira que QP é a metade de PO e Q não pertence ao segmento OP. Por Q traçamos a paralela a A que corta a reta AR em T. hamamos de H o ponto de intersecção das retas AQ e OT. Provar que H, R e são colineares. 9
POT 2012 - Geometria - Nível 3 - Aula 8 - Prof. ícero Thiago 10. Seja AD um quadrilátero. Seja P a intersecção de e AD, Q a intersecção de A e D e R a intersecção de A e D. Prove que os pontos de intersecção de e QR, de A e RP e de A e PQ são colineares. ibliografia 1. Leccture Notes on Mathematical Olympiad ourses For senior Section, vol. 1 Xu Jiagu 2. Advanced Euclidean Geometry Alfred Posamentier 3. III Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2006 Jorge Tipe, John uya, laudio Espinoza e Sergio Vera. 4. Explorations in Geometry ruce Shawyer 5. oleção Elementos de Matemática, vol.2 Marcelo Rufino de Oliveira 6. The theorem of Menelaus. Orach Quantum - May/Jun 2001 7. Problemas de Geometría - Planimetria I. Shariguin 10