Movimento em duas ou mais dimensões Prof. Ettore Baldini-Neto
A partir de agora, generalizamos a discussão que fizemos para o movimento retilíneo para mais dimensões. A grande diferença é que o cálculo vetorial volta à cena e as grandezas físicas relevantes tais como a posição, o deslocamento, a velocidade e a aceleração devem ser expressas e operadas como um vetor. Vejamos como fazer isto.
Vetor posição A localização de uma partícula tanto no plano (2D) ou no espaço (3D) é descrita, de maneira geral, pelo vetor posição que, também em geral, depende do tempo. y Particle (x, y) r(t) ~ =x(t)î + y(t)ˆ r = xî + yĵ yĵ xî x Generalizando para o 3D, temos: r(t) ~ =x(t)î + y(t)ˆ + z(t)ˆk
Vetor Deslocamento Como vimos em uma dimensão, o deslocamento entre dois instantes quaisquer é definido com sendo a diferença entre as posições da partícula, nestes instantes. ~r = ~r 2 (t) ~r 1 (t)
Como ~r 1 = x 1 î + y 1ˆ + z 1ˆk ~r 2 = x 2 î + y 2ˆ + z 2ˆk ~r = ~r 2 ~r 1 = (x 2 x 1 )î +(y 2 y 1 )ˆ +(z 2 z 1 )ˆk = xî + yˆ + zˆk Exemplo 1: O vetor posição de uma partícula é, inicialmente, r1=-3,0i+2,0j+5k. Mais tarde, esta partícula está em r2= 9,0i+2.0j+8k. Calcule seu deslocamento.
Velocidades média e instantânea Analogamente ao caso unidimensional, definimos as velocidades média e instantânea como v m = ~r t m s v = d~r dt m s A interpretação geométrica é a mesma, ou seja, a direção da velocidade instantânea de uma partícula em determinado ponto (instante) é tangente à trajetória da partícula neste ponto.
A direção da velocidade instantânea de uma partícula em determinado ponto (instante) é tangente à trajetória da partícula neste ponto. ~v = d~r dt = dx dt î + dy dt ˆ + dz dt ˆk = v x î + v yˆ + v zˆk Cuidado: Está implícito nesta equação que as componentes do vetor posição variam com o tempo, ou seja, x=x(t), y=y(t) e z=z(t). A regra de derivação é a mesma.
Acelerações média e instantânea Analogamente ao caso unidimensional, definimos as acelerações média e instantânea como m s 2 ~a m = ~v t ~a = d~v dt m s 2 A interpretação geométrica, assim como as regras de derivação continuam as mesmas. No caso geral, devemos lembrar que a aceleração pode depender do tempo.
Reescrevendo, ficamos com ~a = a x (t)î + a y (t)ˆ + a z (t)ˆk No caso de um movimento retilíneo uniforme em qualquer uma das direções, a aceleração nesta direção será constante, ou seja, não vai variar com o tempo. Exemplo 2: Uma partícula movimentando-se no plano tem o seguinte vetor posição ~r (t) =(2t 4)î +(t 2 2t + 1)ˆ Calcule sua velocidade e aceleração em função do tempo. Existe algum instante onde a velocidade se anula? Descreva o movimento para t>0.
Casos especiais Vamos estudar agora dois casos particulares do movimento em duas dimensões. Movimento circular uniforme Movimento de Projéteis
Movimento Circular Uniforme (MCU) Uma partícula descreve o MCU se estiver se movimento em uma circunferência ou arco de circunferência com velocidade escalar constante. Muito embora o módulo desta velocidade seja constante, a direção do vetor velocidade varia ao longo da trajetória, é sempre tangente à trajetória em cada instante do tempo. Portanto, o movimento possui uma aceleração, a qual chamamos de aceleração centrípeta que é dirigida para o centro da curva.
Cálculo da aceleração ~v = vsen î + vcos ˆ Da figura sen = y p r cos = x p r ~v = y p r vî + x p r vˆ Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade. Note que nem o raio nem a velocidade variam com o tempo. ~a = d~v dt = dy p dt v r î + dx p dt v r ˆ
Note que dy p dt = v y = vcos dx p dt = v x = vsen Finalmente: ~a = d~v dt = dy p dt v r î + dx p dt v r ˆ v r v r ~a = vcos î vsen ˆ v 2 v 2 ~a = r cos î r sen ˆ
Calculando o módulo deste vetor ~a = q a 2 x + a 2 y ~a = v2 r
Durante o movimento circular uniforme, o período de uma volta em um circunferência é simplesmente a razão entre o comprimento da mesma e sua velocidade escalar, ou seja: T = 2 R v (s) Podemos com o auxílio desta equação expressar a intensidade da aceleração centrípeta como função do período do movimento. a cp = v2 R a cp = 4 2 R T 2 m s 2 Definimos a frequência do movimento como sendo inversa ao período, ou seja: f = 1 T (Hz)
Exemplo 3: Um objeto se move com velocidade constante ao longo de um caminho circular no plano xy. O centro é a origem do plano. Quando o objeto está em x=-2m, sua velocidade vale v=-4j (m/s). Calcule a velocidade deste objeto e sua aceleração quando ele está em y=2m.
Exemplo 4: Pilotos de caças militares sempre se preocuparam com curvas muito acirradas. Como o corpo de um piloto sofre aceleração centrípeta, com sua cabeça direcionada para o centra da curva, a pressão sanguínea no cérebro diminui, podendo causar perda de consciência em uma manobra. Existem vários avisos para o piloto para maneirar. Quando a aceleração centrípeta chega a 2g ou 3g, o piloto sente-se pesado. Em 4g, a visão começa a se turvar e se esta aceleração mantiver-se por algum tempo ou aumentar, a visão cessará e o piloto desmaiará. Qual a aceleração centrípeta, em unidades de g, de um piloto de um F22 com velocidade v=2500km/h fazendo um arco de circunferência de raio 5,80km?
Lançamento de Projéteis O lançamento de projéteis é um caso particular do movimento em duas dimensões. Podemos tratar matematicamente o problema de maneira simples pois podemos decompor este tipo de movimento em dois movimentos independentes: Em um movimento horizontal no qual a velocidade é constante, ou seja, um movimento retilíneo uniforme. Em um movimento vertical no qual a aceleração é constante e igual à aceleração da gravidade, ou seja, um movimento retilíneo uniformemente variado.
O movimento vertical das duas bolas é o mesmo, ou seja, o movimento horizontal da bola amarela não afeta seu movimento vertical, ou em outra palavras, eles são independentes.
O ponto importante é que durante um lançamento oblíquo, o vetor velocidade inicial tem duas componentes, uma componente ao longo do eixo x, e outra componente ao longo do eixo y, ou seja, ambas dependem do ângulo de lançamento. ~v 0 = v 0 cos î + v 0 sen ˆ O movimento horizontal do projétil então tem a seguinte equação. x = x 0 + v 0x.t! x = x 0 + v 0 cos.t
O movimento vertical do projétil então tem as seguintes equações, lembrando que a aceleração é a aceleração da gravidade, g. y = y 0 + v 0y.t 1 2 gt2 y = y 0 + v 0 sen.t 1 2 gt2 v y = v 0y g.t v y = v 0 sen g.t v 2 y = v 2 0y 2g y v 2 y = v 2 0sen 2 2g y
Equação da Trajetória do Projétil x = x 0 + v 0 cos.t t = x x 0 v 0 cos y = y 0 + v 0 sen.t 1 2 gt2 y y 0 = v 0 sen x x0 v 0 cos 1 x x0 2 g v 0 cos 2 y y 0 = sen cos (x x 0) 1 2 g (x x 0) 2 v0 2cos2
y y 0 = sen cos (x x 0) 1 2 g (x x 0) 2 v0 2cos2 y y 0 = tg (x x 0 ) 1 2 g (x x 0) 2 v0 2cos2 (x 0,y 0 )=(0, 0) y = tg.x g 2v0 2cos2 x2 y = bx + ax 2
Alcance Horizontal O alcance horizontal é a distância horizontal que o projétil percorre desde o lançamento até o ponto em que sua altura é a mesma do que a altura inicial de lançamento. x = x 0 + v 0 cos.t y = y 0 + v 0 sen.t 1 2 gt2 Quando a altura final é igual à altura inicial temos que: v 0 sen.t = 1 2 gt2 t = 2v 0sen g
t = 2v 0sen g x = x 0 + v 0 cos.t x x 0 = v 0 cos 2v0 sen g x x 0 = v2 02sen cos g R = v2 0 g sen2 O alcance máximo ocorre quando sen2 =1 = 45 o
Exemplo 5: Na figura abaixo, um avião de salvamento voa a 55m/s a uma altura de 500m rumo a um ponto diretamente acima de uma vítima de naufrágio para deixar cair uma balsa.! a) Qual dever ser o ângulo ø da linha de visão do piloto para a vítima no instante em que o piloto deixa a balsa cair? b) Qual a velocidade vetorial da balsa ao cair na água
Exemplo 6: A figura mostra um navio pirata a 560m de um forte que protege a entrada de um porto. Um canhão de defesa situado no nível do mar, dispara balas com uma velocidade inicial de 82m/s.! a) Qual o ângulo em relação à horizontal com que as balas devem ser disparadas para alcançar o navio? b) Qual o alcance máximo das balas de canhão?