1. Considere as matrizes ( 2 1 A 4 0 1 MATEMÁTICA I (M 195 (BIOLOGIA, BIOQUÍMICA E ARQUITETURA PAISAGISTA 2014/2015, B Sistemas lineares e matrizes ( 4 1 2 5 1 Verifique se está definida e, caso esteja, calcule:, C A (b 0B (c A + B (d B +C (e C D 2. Preencha as entradas que faltam na matriz do tipo 4 4 A que A seja simétrica. 0. Sendo A 1 2, B 1 1 (A +C T. ( 4 0 0 2 e C 4. Em cada caso, encontre a matriz M tal que: T 0 ( 2M + 1 2 1 1 2 7 1 1 1 T 0 ( (b 2M T + 5 1 2 1 1 2 7 1 1 1 1 2 2 1 5 2 1 0 6 2 e D 1 1 5 4 8 2 7 1 6 4 2 5 1. de forma a, determine: A T, (A T T, B T, e 5. Determine a matriz completa do sistema linear e escreva-o na forma de uma equação matricial do tipo AX b em cada um dos casos seguintes. 2x 1 + x 2 + x 10 { x y + 2z 0 x + y 2z 4 8x 1 x 2 2x 0 (b (c 2y + 2z 2 x z 1 x 1 x 2 + 5x x + z 1 6. Determine o sistema linear representado pela matriz completa (A b nos casos seguintes. 1 2 ( 2 5 1 0 4 0 1 7 2 (b (c 1 2 1 1 0 2 4 0 0 4
Matemática I 2014 2015 2 7. Reduza cada uma das matrizes seguintes a uma matriz em escada, usando operações de linha. 0 2 1 2 1 4 2 4 2 1 2 (b 4 8 (c 1 1 2 0 1 1 1 6 1 0 1 5 5 9 (d (g 0 0 2 2 1 2 4 2 8 2 1 2 5 2 7 4 8 (e (h 1 0 1 4 1 0 0 1 2 6 2 4 0 4 1 4 1 1 1 1 5 6 8 8 (i (f 2 1 4 1 1 2 4 1 2 1 6 2 1 2 4 1 17 1 2 2 9 8. Determine a forma de Gauss de cada uma das seguintes matrizes: ( ( ( ( 1 2 7 7 15 7 1 (b (c (d 7 2 5 2 5 11 6 14 8 1 4 5 9 1 2 7 4 0 (e 9 (f 2 6 7 (g 1 2 1 1 2 1 6 2 6 5 4 9. Indique a caraterística de cada uma das matrizes dos Exercícios 7 e 8 que rezudiu a uma forma em escada. 10. Se A for uma matriz 2, que valores pode ter a caraterística de A? E se A for uma matriz 2? Dê exemplos para cada um deles. (b Em geral, sendo A uma matriz m n, indique os valores que a caraterística de A pode assumir. 11. Determine: As soluções (x 1,x 2,x, com x 2, do sistema AX b, onde (A b (b A solução geral do sistema AX b, onde (A b (c A solução geral do sistema AX b, onde (A b 1 2 0 1 2 1 0 0 2 4 1 1 0 0 4 1 0 0 0 1 2 ( 1 1 2 0 1 4 2 12. Determine a solução geral de cada um dos seguintes sistemas lineares, usando o método de Gauss. { { y + z 6 2x y 8 4x1 x (b 2 10 (c x y + z 7 6x 5y 2 8x 1 x 2 10 x + y z 1
Matemática I 2014 2015 (d (g (i 2x + y z 0 6x + y 8z 0 2x y + 5z 4 x 1 + 4x 2 2x 4 2x 1 + 7x 2 x 2 2x 1 + 9x 2 7x 1 x + y + z 1 2x + 5y + 4z 2 2x + 7y + 8z 29 2x y z 0 (l x + 2y + 4z 0 x + y + 4z 0 (e (j (h (m x 1 2x 2 x 1 x 2 14 x 1 7x 2 2 { x1 x 2 +2x x 4 8 x 1 7x 2 +x 4 0 5x + y 4z 5 x 2y + z 2 7x y + 2z 1 x 2y + z 0 x + 2y 6z 0 5x 2y 0 2x 4y + 9z 0 { x1 x (f 2 + x 2 x 1 8x 2 + 2x 5 (k (n x + y + 4z t 2x y + z + 4t 1 x + 5z +t 1 x + 2y + 2z 2 x y z 6 2x 5y 5z 4 4x y z 8 1. Determine a solução geral de cada um dos seguintes sistemas lineares homogéneos e indique as soluções básicas. x + x 4 + x 5 0 4x x 1 x 2 + 2x x 4 + x 5 0 1 4x 2 x + 5x 5 0 (b 2x x 1 + x 2 2x x 5 0 1 + 1x + 2x 4 x 5 0 x 2x 1 + 2x 2 x + x 5 0 1 2x 2 2x x 4 x 5 0 14. Em cada uma das alíneas seguintes, considere o sistema homogéneo que tem a matriz dada como matriz dos coeficientes. Determine as soluções básicas e exprima a solução geral como combinação linear dessas soluções. 1 4 1 2 1 1 0 2 2 1 1 1 0 0 (b 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 0 (c 15. Determine os valores b i para os quais o sistema é possível, nos casos seguintes. { x1 + 2x 2 b 1 (b x 1 + 6x 2 b 2 x 1 + x 2 x b 1 2x 2 + x b 2 x 2 x b 1 1 4 2 2 1 0 2 5 2 1 2 1 1 16. Classifique e resolva, em função do parâmetro real k, os sistemas lineares que se seguem. { { { x + 2y 1 x + 2y 0 x + 2y 1 (b (c 6x + 4y k 6x + ky 0 7x + 5y k x + 2y + z (d 2x y z 5 4x + y z k 17. Uma pessoa precisa de tomar, por dia, exactamente 5 unidades de vitamina A, 1 de vitamina B e 2 de vitamina C. Três marcas de vitaminas em comprimidos estão disponíveis e as unidades
Matemática I 2014 2015 4 de cada vitamina por comprimido são dadas na tabela vitamina A vitamina B vitamina C marca 1 1 2 4 marca 2 1 1 marca 0 1 1 Determine todas as combinações de comprimidos inteiros das diferentes marcas que fornecem a dose necessária diária de vitaminas. 4 18. Considere a matriz linha L ( 2 1 e a matriz coluna C 1. Determine as matrizes LC e CL. ( ( 2 1 4 2 2 1 4 1 2 19. Sejam A, B, C 0 6 e D 5. 4 0 1 5 1 2 1 Verifique se está definida e, caso esteja, determine: AB (b CD (c (2A(5C (d A 2 (e (AC 2 (f (2A BD (g ADB (h BC (i CB 2 1 7 x 20. Sendo A 1 5 e X y, calcule AX. 0 4 z 21. Calcule os seguintes produtos: 2 1 5 2 2 0 1 2 0 4 0 0 0 0 2 (c (e 0 0 0 1 0 0 0 2 0 1 0 0 0 4 22. Sejam A 0 1 0 2 1 4 1 2 5 4 1 1 2 0 5 1 2 e B (d (b 0 0 1 5 0 1 1 2 ( 1 1 2 0 1 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 5 0 0 0 2 1 2 0 4 2 4 0 0 0 2 0 0 0 Determine AB e BA e encontre uma regra simples para calcular o produto de duas matrizes diagonais do mesmo tamanho. (b Determine A 2, A, B n. 2. Determine uma matriz A tal que: A 5. 1 0 0 0 1 0 (b A 2 9 0 0 0 4 0
Matemática I 2014 2015 5 24. Determine A T e AA T nos casos seguintes: ( 0 1 1 A. (b A 1 1. (c A 2 7 1 1 6 ( 1 0. 25. Sejam A, B e C matrizes. De entre as afirmações seguintes, diga quais são verdadeiras e quais são falsas Se AC BC e C O, então A B. (b Se AC CB então A e B são matrizes quadradas. (c Se (A + B 2 estiver definida, então (A + B 2 A 2 + 2AB + B 2. (d Se AB O, então A O ou B O. (e Se A +C B +C, então A B. (f Se A 2 I, então A ±I. 26. Determine os valores das variáveis x i para os quais valem as seguintes igualdades. ( 1 4(x 1 x 2 + 2(x 1 ( 6 18 (b (x 1 x 2 (2 ( ( ( ( 1 1 5 x1 1 (c (x 1 x 2 (0 14 (d 2 4 2 x 2 5 ( ( ( ( x1 x (e 2 1 1 0 1 0 4 (f (x x x 4 1 0 1 1 x 2 ( 7 2 1 1 27. Verifique se cada uma das seguintes matrizes é invertível e, caso seja, determine a sua inversa. ( ( ( ( 1 0 1 1 1 6 6 0 0 (b (c (d (e 0 1 1 0 1 8 4 8 0 0 0 0 1 7 1 1 1 1 1 2 1 4 1 2 1 (f 0 1 5 (g 2 0 (h 2 5 (i 2 5 1 7 0 1 1 1 0 12 (j 1 0 0 0 2 0 0 0 (k 0 0 0 2 0 1 0 0 (l 28. Resolva o sistema linear AX b sendo A a matriz ( 4 da alínea 27.b e b 2 5 (b da alínea 27.h e b 8 1 1 0 0 1 5 0 1 5 7 (m 4 0 1 1 1 1 0 1 2 0 2 4 1
Matemática I 2014 2015 6 Cadeias de Markov 29. Verifique se a matriz de transição T é regular e, caso seja, determine o seu vector de estados estacionário s nos casos seguintes: 2 1 0 1 1 1 2 T (b T (c T 1 0 1 0 0 1 2 0 1 1 0,4 0,1 0,5 0,5 0, (d T (e T 0 2 1 0,5 0,7 (f T 0,2 0,6 0,2 1 0 1 0,4 0, 0, 0. Um país está dividido em regiões: N Norte, C Centro e S Sul. Em cada ano, - 5% dos habitantes da região N muda-se para a região C e 10% para a região S; - 10% dos habitantes da região C muda-se para a região N e 15% para a região S; - 5% dos habitantes da região S muda-se para a região N e 5% para a região C. Que percentagem de habitantes da região N deverá permanecer nesta região daqui a 2 anos? (b A longo prazo, como deverão estar distribuídos os habitantes pelas regiões? 1. Uma alcateia caça todos os dias numa de regiões, R 1, R 2 e R, e tem os seguintes hábitos de caça: a alcateia - nunca caça na mesma região em dias consecutivos. - se num dia caçar em R 1, no dia seguinte vai caçar em R. - se num dia caçar em R 2 ou em R, é duas vezes mais provável que cace em R 1 no dia seguinte, do que a outra alternativa. Se os lobos caçarem em R na segunda-feira, determine a probabilidade de caçarem lá de novo na quinta-feira. (b Qual a proporção de tempo em que a alcateia caça em cada uma das regiões?
Matemática I 2014 2015 7 Determinantes 2. Calcule os seguintes determinantes: 1 5 0 (b 1 2 6 (c 2 4 1 (d 2 1 4 1 4 2 1 2 7 1 0 1 (e 5 1 0 (f 0 1 4 (g 2 1 0 2 1 1 0 7 4. Calcule os seguintes determinantes, usando a expansão de Laplace numa linha ou coluna. 1 0 6 4 5 7 0 0 4 1 1 (b 0 0 4 (c 0 1 0 5 0 1 6 8 9 5 11 8 7 4 0 1 0 2 4 6 (d 2 6 2 (e 1 1 0 0 2 0 (f 2 0 9 6 4 1 0 2 0 4 0 17 2 4 1 0 1 1 0 a b c 4. Sendo 0 2 1, calcule: 1 1 1 a 1 2a 2b 2c a b c a c b b 0 1 (b /2 0 1 (c a + b c + 2 (d 2 0 c 2 1 1 1 1 a + 1 b + 1 c + 1 1 1 1 5. Usando propriedades dos determinantes, calcule: 1 0 6 1 4 1 1 1 1 2 0 5 (b 5 1 2 (c 0 4 1 0 4 1 4 1 2 2 2 1 2 (f 1 1 2 (g 2 1 0 0 2 6 4 4 0 (h 0 1 2 5 (d 6 2 1 0 4 1 0 0 5 2 4 0 0 1 0 0 1 0 1 0 4 7 1 (e 0 0 0 5 2 2 7 2 6. Calcule os seguintes determinantes: 2 4 0 2 0 1 2 (b 1 4 2 1 4 1 5 2 2 0 1 7 (e 6 1 0 4 8 2 1 0 (f 4 1 0 2 1 0 1 2 4 1 2 6 1 0 0 0 1 2 1 1 1 5 (c 1 4 2 2 (g (d 2 5 0 5 17 6 4 12 2 1 5 2 0 1 0 6 1 4 7 2 8 (h 2 2 0 4 2 2 0 1 2 2 0 2 1
Matemática I 2014 2015 8 (i 5 2 4 0 2 1 2 4 7 1 1 0 1 (j 1 1 1 1 1 1 2 4 2 1 1 4 (k 2 1 0 0 0 1 4 0 0 5 2 6 0 0 1 4 2 8 7. Seja A uma matriz tal que deta 2. Calcule: det(a 2. (b det(a k. (c det(a. (d det(a + A. (e det(a 1. (f det(2a 1. (g det((2a 1. (h det(a T. 8. Sejam A e B matrizes tais que deta 2 e detb. Calcule: det(a B 1 A T. (b det(b T (AB 1. ( cosθ senθ 9. Mostre que a matriz A é invertível e calcule A senθ cosθ 1. 40. Sejam A e B matrizes quadradas. Diga quais das seguintes afirmações são verdadeiras. det( A deta. (b Se A só tem zeros na diagonal principal, então A não é invertível. (c O determinante da matriz que se obtém de A trocando duas colunas é deta. (d Se A e B são matrizes n n com deta 2 e detb, então det(a + B 5. (e Se A e B são matrizes n n com deta 2 e detb, então det(ab 6. (f Uma matriz com uma linha ou uma coluna de zeros não é invertível. (g A é invertível se e só se A T também o é. (h AB é invertível se e só se A e B também o são. 41. Determine a matriz inversa A 1 e resolva o sistema AX b nos casos seguintes. ( ( ( ( ( ( 2 5 7 1 4 7 10 A, b (b A, b (c A, b 4 6 2 5 6 5 42. Resolva cada um dos seguintes sistemas usando a regra de Cramer. { { { x 2y 1 x + y 5 x + y 1 (b (c x + 4y 2x + y 0 x + 2y 2 5x 2y + z 1 x + 2y z 2 (e y + z 0 (f 2x + y + z 0 (g x + 6y z 4 x y + 5z 1 (h x y 5z 4x 4y z 4 x 5z 2 (i 2x y z 1 x + 2y + 2z 1 5x y z 6 { x 5y 4 (d x + 4y 4x + y + z x 2y + 4z 2 x + y 2
Matemática I 2014 2015 9 Valores e vetores próprios 4. Determine o polinómio caraterístico, os valores próprios e os vetores próprios da matriz A nos casos seguintes: ( ( ( ( 0 1 1 2 1 2 0 0 A (b A (c A (d A 1 0 1 2 4 5 0 0 1 0 0 1 0 0 (e A 0 1 0 (f A 4 2 1 4 0 44. Diga se a seguinte matriz é diagonalizável: A 2 0 4 0 0 1 5 0 1 4 2 0 45. Seja A uma matriz 2 2 tal que A ( 1 1 ( 22 e A ( 10 ( 10. Mostre que A é diagonalizável, determine uma matriz diagonalizadora P e diagonalize A. 46. Mostre que a matriz A é diagonalizável, determine uma matriz P diagonalizadora e diagonalize A nos casos seguintes: ( ( ( 2 0 1 4 7 8 1 0 A (b A (c A (d A 0 2 0 4 4 5 0 1 0 2 1 1 1 10 6 (e A 1 1 2 (f A 0 2 0 (g A 0 7 6 1 0 1 47. Determine A k nos casos seguintes: A 1 1 2 1 0 1 (b A 1 1 1 0 2 0 48. Mostre que a matriz A é diagonalizável, determine uma matriz P diagonalizadora e diagonalize 1 1 0 A nos casos seguintes: A 5 2 5 (b A 1 1 0. 5 0 49. Determine A k, onde A 1 1 0 1 1 0 50. Diga se a seguinte matriz é diagonalizável: A 2 0 1 7 0 4 4 1 2 7 4 2 1