MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 6571-000 - VIÇOSA - MG BRASIL 8 o e 9 o ROTEIRO DE MAT 096 TUTORIA EM CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ASSUNTO: Problemas de Otimização e Esboço de gráficos de funções 01. De uma longa folha retangular de metal de 0 cm de largura deve-se fazer uma calha dobrando as bordas perpendicularmente à folha. Quantos centímetros devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacidade máima? 0. Deve-se construir uma caia de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm de largura e 5 cm de comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caia de volume máimo.(desprezar a espessura da cartolina) 0. Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter a capacidade de 75π cm. O custo do material usado para a base do recipiente é de 15 centavos por cm e o custo do material usado para a parte curva é de 5 centavos por cm, Se não há perda de material, determine as dimensões que minimizem o custo do material. 04. Determine o volume máimo de um cilindro circular reto que pode ser inscrito em um cone de 1 cm de altura e 4 cm de raio da base, se os eios do cilindro e do cone coincidem. 05. Uma rodovia Norte-Sul intercepta outra rodovia Leste-Oeste em um ponto P. Um automóvel passa por P às 10 h, dirigindo-se para o leste a 0 km/ h. No mesmo instante, outro automóvel está a km ao norte de P e se dirige para o sul a 50 km/ h. Determine o instante em que os automóveis estão mais próimos um do outro, e aproime a distância mínima entre eles. 06. Uma pessoa se acha em um bote a km de distância do ponto mais próimo em uma praia retilínea, e deseja atingir uma casa a 6 km praia abaio. Se a pessoa pode remar à razão de km / h e andar à razão de 5 km / h, determine o tempo mínimo que levará para atingir a casa. 07. Corta-se um pedaço de arame de 1,50 m de comprimento em duas partes. Com uma das partes forma-se um círculo, e com a outra, um triângulo equilátero. Onde deve ser cortado o arame de modo que a soma das áreas do círculo e do triângulo seja mínima? máima?
Resposta: Deve ser cortado a aproimadamente 56,5 cm de uma etremidade, cujo valor mínimo é aproimadamente de 674,64 cm. O valor máimo ocorrerá se o arame não for cortado, sendo usado em todo o seu comprimento para formar o círculo. 08. Um cartaz de 6 m de altura está colocado no alto de um edifício, com sua parte inferior a 0 m acima do nível do olho do observador. A que distância diretamente abaio do cartaz deve colocar-se um observador de modo a maimizar o ângulo θ formado pelas linhas de visão do topo e da base do cartaz?( Este ângulo deve resultar na melhor visão do cartaz.) 09. Uma caia de base quadrada, sem tampa, deve ter 1m de volume. Determine as dimensões que eigem o mínimo de material. ( Desprezar a espessura do material e as perdas na construção da caia.) 10. Faça o Eercício 09 para uma caia com tampa. 11. Um recipiente cilíndrico sem tampa deve ter 1m de capacidade. Se não há perdas na construção, ache as dimensões que eigem o mínimo de material.( Compare com o Eercício 0.) 1. Se a base circular do recipiente do Eercício 11 é cortada de uma folha quadrada de metal, desprezando-se as sobras, determine as dimensões que eigem o mínimo de material. 1. 00 m de gradeado vão ser usados para construir seis jaulas para um zoológico. Determine as dimensões que maimizam a área cercada. ( Sugestão: Primeiro epresse a largura y como uma função do comprimento ; e então epresse a área A como uma função de.) 14. Com referência ao Eercício 06, se uma pessoa está em um barco a motor que pode navegar a 15 km / h, que rota deve fazer para chegar à casa em tempo mínimo? 15. À 1 : 00 da tarde o navio A está a 0 mi ao sul do navio B e navega rumo Norte a 15 mi / h. Se o navio B navega para o Oeste a 15 mi / h, determine o instante em que a distância d entre os dois navios é mínima? 16. Uma janela tem a forma de um retângulo encimado por um semicírculo. Se o perímetro da janela é de 6 m, determine as dimensões que maimizam a entrada da luz. 17. Um muro tem m de altura, é paralelo à parede de um edifício, e está a 0,0 m desta. Determine o comprimento da menor escada que vá do chão à parede do edifício, tocando o muro. ( Sugestão: Use triângulos semelhantes.)
18. Uma página de livro deve ter uma área de 580 cm, com margens de,5 cm em baio e dos lados e 1,5 cm em cima. Determine as dimensões da página com maior área impressa. 19. Um construtor deseja construir um depósito com capacidade de 0 m, teto plano, base retangular cuja largura é três quartos do comprimento. O custo por metro quadrado do material é de R $ 6.000, 00 para o chão, R $ 04.000, 00 para os lados e R $ 10.000,00 para o teto. Que dimensões minimizarão o custo? 0. Para construir uma taça em forma de cone circular reto, remove-se um setor de uma folha circular de cartolina de raio a, e unem-se as duas margens retilíneas do corte. Determine o volume da maior taça que pode ser construída. Determine, também, o ângulo central do setor que maimize o volume da taça. 1. Um fazendeiro tem 500 m de cerca para envolver um terreno retangular. Um celeiro será usado como parte de um lado do campo. Prove que a área do terreno cercado será máima quando o terreno for um quadrado.. Com referência ao Eercício 1, suponha que o fazendeiro queira que a área retangular tenha A m. Prove que a etensão necessária de cerca será mínima quando a área for um quadrado.. Um hotel que cobra R $ 80, 00 a diária, dá descontos especiais a grupos que reservem entre 0 e 60 quartos. Se são reservados mais de 0, o preço de cada quarto é reduzido de uma quantia igual a uma vez o número de quartos reservados. Nessas condições, quantos quartos devem ser reservados para que a receita diária seja máima? 4. Com referência ao Eercício, suponha que cada quarto alugado acarrete uma despesa diária de R $ 6, 00 de limpeza e manutenção, quantos quartos devem ser alugados para produzir a receita diária máima? 5. Deve-se construir um tanque para armazenamento de gás propano em forma de cilindro circular reto com dois hemisférios nas etremidades. O custo do metro quadrado dos hemisférios é o dobro do custo da parte cilíndrica. Se a capacidade do tanque deve ser de 10π m, que dimensões minimizarão o custo da construção? 6. Um oleoduto deve ligar dois pontos A e B distantes km um do outro e situados em margens opostas de um rio de 1 km de largura. Parte do oleoduto ficará submersa, de A a C, e parte acima do solo, de C a B. Se o custo de operação do oleoduto sob a água é quatro vezes o custo da operação no solo, determine a localização de C que minimize o custo de operação do oleoduto. (Desprezar a inclinação do leito do rio.) 7. Determinar as dimensões do retângulo de área máima que pode ser inscrito em um semicírculo de raio a, se seus vértices estão sobre o diâmetro.
8. Determinar as dimensões do retângulo de área máima que pode ser inscrito em um triângulo eqüilátero de lado a, se dois vértices do retângulo estão sobre um dos lados do triângulo. 9. De todos os cones circulares retos que podem ser inscritos em uma esfera de raio a, determine o volume do cone de volume máimo. 0. Determine as dimensões do cilindro circular reto de volume máimo que pode ser inscrito em uma esfera de raio a. 1. Ache o ponto do gráfico y + 1 mais próimo do ponto (, 1).. Ache o ponto do gráfico y mais próimo do ponto ( 4, 0 ).. A resistência de uma viga retangular é diretamente proporcional ao produto de sua largura pelo quadrado da altura da seção transversal. Determine as dimensões da viga mais resistente que pode ser cortada de um toro cilíndrico de raio a. 4. A iluminação de uma fonte luminosa é diretamente proporcional à intensidade da fonte e inversamente proporcional ao quadrado da distância da fonte. Se duas fontes luminosas S 1 e S distam uma da outra d unidades, em que ponto do segmento retilíneo que une as duas fontes a iluminação é mínima? 5. Um atacadista vende tênis a R $ 0, 00 o par, para pedidos de menos de 50 pares. No caso de encomendas de 50 pares ou mais (até 600 ), o preço por par sofre uma redução de centavos vezes o número de pares encomendados. Qual deve ser a quantidade encomendada que proporciona maior receita ao atacadista? 6. Deve-se fazer uma taça de cartolina em forma de cone circular reto, de volume de 600 cm. Determine as dimensões que eigem menor quantidade de material. ( Despreza eventuais perdas na confecção.) 7. Um pedaço de arame de 6 cm de comprimento deve ser cortado em duas partes. Com uma delas faz-se um triângulo eqüilátero, e com a outra, um retângulo cujo comprimento é o dobro da largura. Onde se deve cortar o arame de modo que a área total do triângulo e do retângulo seja a) mínima? b) máima? 8. Um triângulo isósceles tem base b e lados iguais de comprimento a cada um. Determine o retângulo de área máima que pode ser inscrito no triângulo, se um lado do retângulo está sobre a base do triângulo. 9. Uma janela tem a forma de um retângulo encimado por um triângulo eqüilátero. Se o perímetro da janela deve ser de 4 m, determine as dimensões do retângulo que proporcione área máima para a janela.
40. Dois postes verticais de m e,5 m de altura distam m um do outro. Determine o comprimento do menor cabo que, partindo do topo de um poste, toque o solo e termine no topo do outro poste. 41. Prove que o retângulo de perímetro dado p e área máima é o quadrado. 4. Um cilindro circular reto é gerado pela rotação de um retângulo de perímetro p em torno de um de seus lados. Que dimensões deve ter o retângulo para gerar o cilindro de volume máimo? 4. O proprietário de um pomar de maças estima que, plantando 4 pés por acre (1 acre 4.047 m ), cada pé de maça adulto produzirá 600 maças por ano. Para cada árvore plantada por acre além de 4 haverá um decréscimo de produção de 1 maças por ano. Quantas árvores devem ser plantadas de modo a se obter o número máimo de maças por ano? 44. Uma imobiliária possui 180 apartamentos tipo econômico, que estão todos alugados por R $ 00, 00 mensais. A imobiliária estima que, para cada R $10, 00 de aumento no aluguel, 5 apartamentos ficarão vazios. Qual o aluguel que deve ser cobrado para se obter renda mensal máima? 45. Um pacote pode ser enviado pelo reembolso postal desde que a soma de seu comprimento mais o perímetro da base não eceda a,5 m. Determine as dimensões do pacote de volume máimo que pode ser enviado, se a base é quadrada. 46. Uma rodovia Norte-Sul A e uma rodovia Leste-Oeste B se cruzam em um ponto P. Às 10 : 00 h da manhã, passa por P um automóvel em direção norte a 80 km / h. No mesmo instante, um avião voando em direção leste a 0 km / h a uma altitude de 8.800 m passa por um ponto na rodovia B a 160 km / h a oeste de P. Se o automóvel e o avião mantêm constante suas velocidades e direções, em que instante eles estarão a uma distância mínima um do outro? 47. Duas fábricas A e B distam 4 km uma da outra e emitem partículas na fumaça que poluem a área entre elas. Suponha que o número de partículas emitidas por cada fábrica seja diretamente proporcional ao cubo da distância da fábrica. Se a fábrica A emite duas vezes mais fumaça do que a fábrica B, em que ponto entre A e B a poluição é mínima? 48. Um campo petrolífero tem 8 poços que produzem um total de 1600 barris de petróleo por dia. Para cada poço adicional perfurado a produção média por poço decresce de 10 barris diários. Quantos poços adicionais devem ser abertos para maimizar a produção? 49. Deve-se construir uma barraca de lona em forma de uma pirâmide de base quadrada. Um poste de aço fincado no centro da barraca serve de apoio. Se dispomos de S
metros quadrados de lona para os quatro lados, e se é o comprimento de um dos lados da base, mostre que 1 a) o volume da barraca é V ( ) S 4 6 b) V toma seu valor máimo quando é igual a vezes o comprimento do poste. 50. Um barco deve percorrer 100 km rio acima, contra uma corrente com velocidade de 10 km / h. Quando a velocidade do barco é de v km / h, o número de galões de gasolina consumidos a cada hora é diretamente proporcional a v. a) Mantida uma velocidade constante de v km / h, mostre que o número total y de galões de gasolina consumidos é dado por y 100 k v / ( v 10) para v > 10 e uma constante positiva k. b) Determine a velocidade que minimize o número de galões de gasolina consumidos durante a viagem. 51. Automóveis passam por uma ponte de 1,5 km de etensão. Cada carro tem,5 m de comprimento e deve ficar a uma distância de d metros do carro imediatamente em frente. a) Mostre que o maior número de carros que podem estar sobre a ponte em um dado instante é [[ 1500/(,5 + d) ]], onde [[ ]] denota a função maior inteiro. b) Se a velocidade de cada carro é de v km / h, mostre que a taa máima de fluo de tráfego F ( em carros / hora ) é dada por F [[ 1500 v (,5 d) ]] c) A distância de parada ( em metros ) de um carro a v km / h é aproimadamente 0,015 v. Se d 0,005 v, determine a velocidade que maimiza o fluo de tráfego na ponte. 5. Prove que a menor distância de um ponto ( o, y o ) ao gráfico de uma função diferenciável é medida ao longo de uma normal ao gráfico, isto é, uma reta perpendicular à tangente. 5. Deve-se construir uma linha de estrada de ferro da cidade A à cidade C, passando por B. Em razão das montanhas entre A e C, o ponto de ramificação B deve ficar pelo menos a 0 km a leste de A. Se o custo da construção é de R $ 50.000, 00 por km entre A e B, e de R $100.000, 00 entre B e C, determine o ângulo θ C B D de ramificação que minimize o custo da construção.
54. Deve-se fazer uma calha de uma longa folha de metal de 0,0 m de largura, dobrando-se as etremidades de modo a formarem um ângulo, de 10 m em relação à folha. Quantos centímetros devem ser dobrados de modo que a calha tenha capacidade máima? Nos eercícios a seguir esboce os gráficos das funções indicadas fazendo todos os passos: a) Domínio da função, b) Análise da derivada primeira: b.1) Pontos críticos da função. b.) Intervalos onde a função cresce e decresce. b.) Etremos locais da função.( TESTE da DERIVADA PRIMEIRA ) c) Análise da derivada Segunda: c.1) Pontos críticos da função derivada. c.) Intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima e para baio. c.) Pontos de infleão. c.4) Etremos locais da função.( TESTE da DERIVADA SEGUNDA) d) Assíntotas: d.1) Verticais. d.) Horizontais. d.) Oblíquas. e) A interseção do gráfico com o eio- e o eio-y, quando não for difícil esta tarefa. f) Teste a simetria do gráfico da função: Função Par ou Impar. g) Esboçar o gráfico da função 55. 56. 57. 1 + 1
58. 59. 60. 61. 6. 1 1 1 ( ) 6. ( 10) 64. 65. e ( + 1)( 1) RESPOSTA DOS PROBLEMAS 1. Devem ser dobrados 7,5 cm de cada lado.. Deve-se cortar um quadrado de 7,47 cm de lado, de cada canto da cartolina.. 5 cm de raio e 15 cm de altura. 56 4. π cm 9 1 16 5. h,07min após 10 h ; 0,74 km 9 9 6. T 6 h, ou seja, 1 hora e 44 minutos. 15 7. 8. 50,8 m 9. Lado da base 1 m ; altura m. 10. 11. 1. 1. 14. 15.
16. 17. 18. 19. 0. 1... 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0. 1... 4. 5. 6. 7. 8. 9. 40. 41. 4. 4. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 5. 5. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60.